Di thi HSG 9 (có dap an )

Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1: (4 điểm)
Cho P(x) là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11
P(5) = 27. Hãy tính P(-2) + 7P(6).
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình
zyx
yx
z
yx
y
zy
x
++=
+
=
++
=
+
11
Câu 3: (2 điểm)
Cho 2x+4y + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ y
2
Câu 4: ( 2 điểm)
Tìm các ngiệm nguyên của phơng trình :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y

2
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O, R), M là điểm chuyển động
trên cung BC. Vẽ đờng kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I.
a) Chứng minh MA = MB + MC
b) Chứng minh:
MCMBMI
111
+=
c) Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6 : (3 điểm)
Trên dây cung AB của đờng tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB

vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q. Chứng minh:
ằ
ằ
AB KL<
...........................Hết...........................
Mã ký hiệu
Đ01T-08-HSG9
Hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
1212121112
Câu 1: (4 điểm)
Xét đa thức f(x) = x
2
+ 2 thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27
Đặt Q(x) = P(x) f(x)

Ta có Q(1) = P(1) f(1) = 0
Q(3) = P(3) f(3) = 0
Q(5) = P(5) f(5) = 0
Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm
Do P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa
thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1.
Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x r)

P(x) = Q(x) + f(x)
Ta có P(-2) = (-2 1)(-2 3)(-2 -5)(-2 r) + (-2)
2
+ 2
P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6
7P(6) = 7[(6 1)(6 3)(6 5)(6 r) + 6
2
+ 2]
= 7[5.3.1(6 r) + 36 + 2]
= 3.5.6.7 3.5.7.r + 38.7
P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + 6 + 38.7
= 3.5.7.8 + 272
=840 + 272 = 1112
Câu 2. (4 điểm)
Đặt x + y + z = t

x + y = t z, y + z = t x
Khi đó hệ đã cho có dạng

(1)
(2)
(3)

(4)
Từ (2) ta có x = t
2
xt

x + xt = t
2

x =
1
2
+
t
t

Dễ thấy t

-1
Từ (4) ta có z =
1
2
+

t
tt
với x

t, z

t

1

, t

0, t

-1
Từ (3)

y = t
2
tz + t =
1
3
2
+
+
t
tt

(1 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)

(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)

(0,5 điểm)
(1 điểm)
(0,5 điểm)
(0,25 đ)
(0,5 điểm)
(0,25điểm)











=

=
+
=

=++
t
zt
z
t
zt
y

t
xt
x
tzyx
1
1
Mã ký hiệu
HD01T-08-HSG9