HSG Quảng Ninh 04-05

sở giáo dục - đào tạo
quảng ninh
-------- --------
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005
đề thi chính thức
môn : Toán
(bảng A)
Số BD: ........
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký GT 1
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n
2
+ 2006 là số
chính phơng.
2) Giải phơng trình:
( )
22
2
+
x
=
15
3
+
x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5

2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2

Chứng minh rằng: x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm
phân biệt là x
1
và x
2

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác
ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA,
d

B
OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d
A
và d
B
, d
B
và d
C
, d
C
và d
D
, d
D
và d
A
tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N.
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng.
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m. Tính độ dài ON theo k, l, m.
------------------------ Hết -------------------------
hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005
môn toán lớp 9 - bảng a
-------------------
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm

Bài 1.1
3 điểm
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng
thì n
2
+ 2006 = m
2
với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*). 1,0 đ
Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006
không chia hết cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng.
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 1.2
3 điểm
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2

+
x
=
)1)(1(5
2
++
xxx
0,5 đ
Đặt
)1(
+
x
= u;
)1(
2
+
xx
= v (1) => u
2
+ v
2
= x
2
+ 2.
Khi đó (1) trở thành: 2(u
2
+ v
2
) = 5u.v
=> u = 2v ; u = v/2

0,5 đ
0,75 đ
Thay vào (1); giải các phơng trình; tìm đợc: x =
2
375
+
và x =
2
375

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =
2
375
+
và x =
2
375

1,0 đ
0,25 đ
Bài 2
3 điểm
Giả sử có x, y thoả mãn
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+
y
2
=> x 1; y 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
0,25 đ
1,0 đ
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
5
2
+
x
+
1

x
+ x

2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
<=>
<=> (
5
2
+
x
-
5
2
+
y
) + (
1

x
-
1

y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=>(x
2
- y
2
)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +(x - y)/(
1

x
+
1

y
)+(x
2

-y
2
) =
0
<=> (x - y).((x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +1/(
1

x
+
1

y
) +x+y)=
0
<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
5
2
+
x

+
5
2
+
y
) + 1/(
1

x
+
1

y
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y
1,0 đ
0,5 đ
0,25 đ
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
4 điểm
Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x
1
và x
2
nên ta
có : 9a
2

+ 4a > 0 (1) ; x
1
2
- 3ax
1
- a = x
2
2
- 3ax
2
- a = 0 ; x
1
+ x
2
= 3a
=> x
1
2
= 3ax
1
+ a ; x
2
2
= 3ax
2
+ a (2)
0,5 đ
1,0 đ
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm

Khi đó: A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a
+
+
+
0,5 đ
Theo (1) thì 9a

2
+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1
= -1 và x
2
= -1/2
1,0 đ
0,5 đ
Vậy A
nhỏ nhất
= 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x
1
= -1 và x
2
= -1/2 0,5 đ
Bài 4
Hình vẽ:
4. 1)
4 điểm
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B,
C, D của tứ giác ABCD. 1,5 đ
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC
= - BAO - BCO + - CBO - CDO

= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - =
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
4. 2)
3 điểm
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng.
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
0,25 đ
1,25 đ
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l
1,0 đ
0,5 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ chấm.
Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, làm tròn nh chấm thi TN.
Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh.