HSG Quang Ninh 05-06

sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2005-2006
đề thi chính thức
môn : Toán
(bảng A)
Số BD: ..................
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký giám thị 1
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/3/2006
Bài 1.
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
51
1
+
+
95
1
+
+
139
1
+
..... +
20052001
1
+
+

20092005
1
+
b) B = x
3
- 3x + 2000 với x =
3
223
+
+
3
223

Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình :
(d
1
) : x - 5y + k = 0 ; (d
2
) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d
3
) : (k + 1)x - y + 1 = 0
Tìm các giá trị của tham số k để ba đờng thẳng đó đồng quy.
Bài 3.
Giải hệ phơng trình :

=+
=+
=+
14
14
14
yxz
xzy
zyx

Bài 4.
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung
nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt dây BC tại E,
dây AN cắt dây CD tại F.
1) Chứng minh rằng ta luôn có :
- Góc AEB = góc AEF.
- Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
2) Đặt góc MAB =

, tính diện tích tam giác AEF theo R và

.
Bài 5.
Chứng minh rằng:

+
b
a
1
.21
+








+
a
b
1
.3
80 với a 3, b
3.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
------------------------ Hết -------------------------
hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2005-2006.

Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Bài 1.a
1,5
điểm
áp dụng công thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b), với a=
3
223
+
, b=
3
223

và biến đổi => x
3
= 6 + 3x
Suy ra A = 2006
1,25 đ
0,25
Bài 1.b
2,5
điểm
Có A =
15

15


+
59
59


+
913
913


+...+
20012005
20012005


+
20052009
20052009



Rút gọn, đợc A =
4
12009

.
1,0 đ

1,5 đ
Bài 2
3 điểm
Chứng minh đợc (d
2
) luôn cắt (d
1
) tại điểm M
0
(0 ; 1)
Khi đó M
0
(0 ; 1) (d
3
) <=> k = 5
1,5 đ
1,0 đ
Vậy ba đờng thẳng đồng qui <=> k = 5 0,5 đ
Bài 3
4 điểm
Điều kiện của ẩn : x, y, z 1/4.
Nhân vế-vế cả ba phơng trình với 2 rồi cộng lại, ta đợc phơng trình:
4x + 4y + 4z = 2
14

x
+ 2
14

y

+ 2
14

z
(*)
Biến đổi (*) <=> (
14

x
-1)
2
+ (
14

y
-1)
2
+ (
14

z
-1)
2
= 0
<=>
14

x
=
14

y
=
14

z
= 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn
đ/kiện.
0,5 đ
1,5 đ
1,5 đ
Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ.
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2). 0,5 đ
Bài 4
4. 1)
4 điểm
Trớc hết từ giả thiết suy ra MAN = 45
0
.
Gọi DB, cắt AN, AM tại P, Q. Chứng minh đợc: ABEP và ADFQ là các tứ
giác nội tiếp
=> EPF = EQF = 90
0
=> tứ giác PQEF nội tiếp.
Từ đó ch/minh đợc AEB = APB = AEE => AEB = AEF.
0,5 đ
1,0 đ
0.75 đ
0,75 đ
Kẻ AH EF (HEF). Chứng minh đợc AEH = AEB => AH=AB

Suy ra EF luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định là (A;a) với a =AB=R
2
.
0,5 đ
0,5 đ
4. 2)
2 điểm
Dể chứng minh đợc S
AEF
= S
AEH
+ S
AFH
= S
AEB
+ S
AFD
Tính đợc S
AEB
= (1/2).AB.EB = (1/2).R
2
. R
2
.tg

= R
2
. tg

và S

AFD
= ... = R
2
. tg(45
0
-

)
Suy ra S
AEF
= R
2
.(tg

+ tg(45
0
-

))

Chú ý: Có thể tính theo cách khác:
* S
AEF
= (1/2).AF.EP = ... = S
AEF
= (R
2
/
2
.cos

.cos(45
0
-

))
* Hoặc S
AEF
=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R
2
.
202
))45(1()1(

+
tgtg
đều là đáp số đúng và cũng cho điểm tối đa.
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Bài 5
3 điểm
Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 2
3
.
3 a
a
+ (62.3/3) = 64 (1) a 3

Dấu bằng xảy ra <=> (3/a) = a/3 và a = 3 <=> a = 3.
0,75 đ
0,5 đ
Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 2
3
7
.
21 b
b
+ (2.3/3) = 16 (2)
b 3. Dấu bằng xảy ra <=> (21/b) = 7b/3 và b = 3 <=> b = 3.
0,75 đ
0,5 đ
Từ (1) và (2) suy ra BĐT cần chứng minh !
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = 3.
0,25 đ
0,25 đ
Cách giải khác:
Trớc hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) 16 (*) với b 3.
Với b 3 thì (*) <=> 3b
2
- 16b + 21 0 <=> (b - 3)(3b - 7) 0.
Do b 3 nên (b - 3) 0 và (3b - 7) 3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7) 0.
Dấu bằng xảy ra <=> b = 3 .
Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 với a 3.
(<=> (a-3)(21a-1) 0). Dấu bằng xảy ra <=> a = 3.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hình vẽ bài 4:
Các chú ý khi chấm:
1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh

phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ
chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.
Bài 5.
Tìm tất cả các số nguyên dơng a, b, c thỏa mãn : a
3
+ b
3
+ c
3
= 2001.
(Loại trừ , thử => ra đáp số)
Bài 1.
b) B =
326
32
++
+
-
326
32
+

Bài 1.b
2,5
điểm
Nhân cả tử và mẫu các phân thức với

2
, rồi biến đổi, ta đợc: A =
=
32412
2)32(
++
+
-
32412
2)32(
+

=
2
)31(32
2)32(
++
+
-
2
)13(32
2)32(
+

=
133
2)32(
+
+
-

133
2)32(


=
)133)(133(
))133)(32()133)(32.((2
+
++
=
13
27
1,0 đ
1,5 đ
c) Tìm giá trị của tham số m để phơng trình (x
2
- 1)(x + 3)(x + 5) = m
có 4 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
thỏa mãn
4321
1111
xxxx
+++

= -1.
Cho phơng trình x
4
- (m
2
+ 2)x
2
+ 1 = 0 với m là tham số.
Gọi các nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, hãy tính theo m giá trị của
biểu thức A =
4
1
x
+
4
2
x
+
4
3
x
+

4
4
x
Bài 5.
Chứng minh rằng với x R, y R ta có :








+
++
9
1
9.21
2
2
y
x
+

+
++
9
1
9.3
2
2
x
y
80
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Tính đợc EF = R
2
.
202
))45(1()1(

+
tgtg

Suy ra S
AEF
= R
2
.
202
))45(1()1(

+

tgtg