Mô hình xích markov và ứng dụng trong thuật toán xếp hạng (LV02073)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THANH BÌNH

MÔ HÌNH XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG THUẬT TOÁN XẾP HẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học

TS. Hà Bình Minh

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hà Bình Minh, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau Đại học, các
thầy, cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
TÁC GIẢ

Lê Thanh Bình


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn "Mô hình xích Markov và ứng dụng trong
thuật toán xếp hạng" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà
Bình Minh.
Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn
này là trung thực, các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
TÁC GIẢ

Lê Thanh Bình


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Mô hình xích Markov rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Xích Markov và ma trận chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa xích Markov và ma trận chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Phân phối xác suất của một xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Xích Markov chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Định nghĩa xích Markov chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2. Vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3. Các bài toán áp dụng có chứa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng
PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1. Mô phỏng một hệ thống các trang web đơn giản dưới dạng đồ thị . . .
25
2.1.1. Đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2. Mô tả một hệ thống các trang web đơn giản dưới dạng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.3. Ma trận biểu diễn đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.4. Mô hình xích Markov cho đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.5. Hạn chế của ma trận chuyển của xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Thuật toán PageRank dựa trên xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1. Ma trận Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.2. Tính toán phân phối dừng của ma trận Google và xếp hạng trang web . . . . . . . . . . . .

31

Chương 3. Áp dụng với các ví dụ thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2. Mô phỏng dưới dạng đồ thị và Mô hình hóa bởi xích Markov .

38

3.3. Tính toán ma trận chuyển, trạng thái dừng và xếp hạng chuyên đề
bằng phần mềm Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thuật toán xếp hạng nổi tiếng PageRank của Google được phát triển trên
nền tảng toán học là mô hình xích Markov. Gần đây, ý tưởng của thuật toán
PageRank được ứng dụng trong việc xếp hạng các tạp chí khoa học, dẫn đến
sự ra đời của chỉ số Eigen-Factor, bên cạnh những chỉ số thông dụng khác
như Impact-Factor, H-Index, . . . . Việc hiểu rõ ý tưởng, cũng như cơ sở toán

học của các thuật toán xếp hạng như vậy sẽ là mục tiêu của luận văn này.
Cấu trúc luận văn:
Luận văn sẽ được chia làm 03 chương, chương 1 của luận văn sẽ
dành để giới thiệu mô hình xích Markov rời rạc với những khái niệm liên
quan. Chương 2 sẽ trình bày chi tiết việc áp dụng mô hình xích Markov cho
thuật toán xếp hạng PageRank. Chương 3 chúng tôi trình bày áp dụng vào bài
toán Sắp xếp chuyên đề toán trong chương trình toán bậc trung học cơ sở ở
Việt Nam.

2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng mô hình xích Markov trong thuật toán xếp hạng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng mô hình xích Markov trong thuật toán xếp hạng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mô hình xích Markov và ứng dụng.

1


5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các mô hình xác suất rời rạc, ngôn ngữ lập trình MATLAB, . . . .

6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn trình bày một cách hệ thống, chi tiết về mô hình xích Markov
rời rạc và áp dụng mô hình này vào thuật toán xếp hạng trang web của Google.
Luận văn cũng trình bày một số ví dụ cụ thể về mặt lập trình, thực hiện thuật
toán. Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm tới mô
hình xích Markov và thuật toán xếp hạng trang web của Google.

2


Chương 1
Mô hình xích Markov rời rạc
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cũng như các kết
quả, ví dụ cơ bản về mô hình xích Markov. Nội dung chương này sẽ được viết
dựa trên chương 10 của tài liệu tham khảo [5].

1.1. Xích Markov và ma trận chuyển
1.1.1. Định nghĩa xích Markov và ma trận chuyển
Để đưa ra được định nghĩa của mô hình xích Markov, trước tiên ta xét
mô hình sau. Trong hình 1.1 dưới đây gồm bốn phòng, mỗi phòng có một
màu khác nhau và được đánh số theo thứ tự là 1, 2, 3, 4. Ta thả một con chuột
vào trong một phòng nào đó và quan sát. Vì hành vi của chuột là không thể
dự đoán được, ta sẽ dùng xác suất để mô tả sự chuyển động của chuột. Ta coi

Hình 1.1:

các phòng là các trạng thái, trạng thái thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) tương ứng với con
chuột đang ở phòng thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) và kí hiệu pij là xác suất di chuyển
từ trạng thái i tới trạng thái j trong một khoảng quan sát được. Chẳng hạn,
xác suất p12 mà chuột di chuyển từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 là p12 = 21 ,
trong khi đó xác suất di chuyển từ trạng thái 1 tới trạng thái 3 phải là p13 = 41 .
Ta có p14 = 0 vì không có đường đi trực tiếp từ phòng 1 tới 4. Khi đó p11 = 41
3


là xác suất mà chuột ở lại phòng 1 trong một khoảng quan sát.

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi ma trận

p11

p21
P =
p
 31
p41

p12
p22
p32
p42

p13
p23
p33
p43



p14

p24 

p34 

p44

là ma trận chuyển của phép thử nghiệm.
Trong ví dụ trên, với 4 trạng thái và P là một ma trận kích thước 4 × 4. Ta
có thể có các cách điền giá trị các xác suất, ở đây ma trận P có thể là:


1 1 1
0
 41 22 4 1 


6 3 0 6
P =
1 0 1 1 .
3
3 3
1 1 1
0 4 2 4
Ta cũng có thể biểu diễn các phần tử của P bằng cách sử dụng sơ đồ cây. Ở
hình 1.2 dưới đây, các phần tử của P là các xác suất có điều kiện biểu diễn
các xác suất mà con chuột sẽ đi tới phòng kế tiếp cho trước mà ta đã biết bây
giờ con chuột đang ở đó. Đây là ý tưởng cốt yếu của sự di chuyển từ trạng
thái này tới trạng thái khác với các xác suất tạo thành một cơ sở của một xích
Markov.
Định nghĩa 1.1.2. (Xích Markov) Một xích Markov là một dãy các phép thử
nghiệm mà kết quả của mỗi phép thử nghiệm là một trong số các trạng thái
ta đánh số là 1, 2, . . . , m. Xác suất trong mỗi trạng thái riêng chỉ phụ thuộc
vào trạng thái trước đó chiếm giữ.
Nếu pij là xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j, thì ma trận
chuyển P = [pij ] của một xích Markov là ma trận kích thước: m × m



p11 p12 . . . p1m


 p21 p22 . . . p2m 

P =
... ... ... ... .


pm1 pm2 . . . pmm
4


Hình 1.2:

Lưu ý rằng, ma trận chuyển P là một ma trận vuông với các phần tử là
các xác suất, do đó giá trị của các phần tử pij (1 ≤ i, j ≤ m) luôn ở giữa
0 và 1. Hơn nữa, tổng của các phần tử trên một dòng luôn bằng 1. Ma trận
chuyển của một xích Markov chứa những thông tin cần thiết cho phép ta dự
đoán được điều gì sẽ xảy ra tiếp theo nếu ta đã biết điều gì xảy ra trước đó.
Như vậy, để biết được điều đó ta chỉ cần đặc biệt hóa tình huống tại lúc bắt
đầu của phép thử nghiệm. Nghĩa là ta cần phải có các giá trị xác suất ban đầu
tại lúc bắt đầu phép thử nghiệm. Chẳng hạn, ta cần phải đặc biệt hóa phòng
mà con chuột đã ở lúc bắt đầu phép thử và dòng vector được sử dụng để biểu
diễn mục đích này.
Định nghĩa 1.1.3. (Phân phối xác suất ban đầu) Trong một xích Markov với
m trạng thái, phân phối xác suất ban đầu là một 1 × m dòng vector v (0) , có
phần tử thứ i là xác suất phép thử đã ở trạng thái i lúc bắt đầu.
Chẳng hạn, nếu con chuột có khả năng được đặt ở bất kỳ một trong các

phòng lúc bắt đầu, thì ta sẽ có v (0) = [ 14 41 14 14 ]. Nếu con chuột luôn luôn
ở vị trí ban đầu là phòng số 1, thì ta sẽ có v (0) = [1 0 0 0].

5


1.1.2. Phân phối xác suất của một xích Markov
Trong mục này ta trình bày cách tìm phân phối xác suất của một xích Markov.
Ta minh họa qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.1. Trong hình 1.1, giả sử rằng ta điền các xác suất chuyển khi từ
phòng 1 tới các phòng 1, 2, 3, 4 là:
1 1 1
{
0}.
3 3 3
Ở đây, con chuột bắt đầu ở trong phòng 1, và xác suất là 13 của lần nó ở lại
phòng 1 trong thời gian của khoảng quan sát, 13 là xác suất nó vào phòng 2, và
1
3 là xác suất nó vào phòng 3. Vì con chuột không thể tới phòng 4 trực tiếp từ
phòng 1, và do đó xác suất là 0. Tương tự, xác suất chuyển từ phòng 2, phòng
3 và phòng 4 là tương ứng như sau:
1 1
1
{
0
};
3 3
3
1
1 1

{
0
};
3
3 3
1 1 1
}.
{0
3 3 3
Ta hãy tìm:
1. Ma trận chuyển P ;
2. Nếu vị trí ban đầu của con chuột ở phòng 4, tìm phân phối xác suất ban
đầu;
3. Phân phối xác suất như thế nào sau hai lần quan sát, giả thiết rằng vị trí
ban đầu của con chuột ở phòng 4?
Lời giải:
1. Ma trận chuyển P là


1
3
1

3
1
3

0

1

3
1
3

0
1
3

6



1
3

0

0

1
3
;
1

3
1
3

1
3

1
3




2. Vì vị trí ban đầu của con chuột là phòng 4, phân phối xác suất ban đầu
là
v (0) = [0 0 0 1];
3. Để tìm các xác suất sau hai lần quan sát, ta sử dụng sơ đồ cây.
Cây bắt đầu tại 4 , vì vị trí ban đầu của chuột là ở phòng 4. Khi đó, sử dụng
dòng 4 của ma trận chuyển, ta có sự phân nhánh từ 4 , tới các phòng 2 , 3 ,
và 4 . Ta bỏ qua phòng 1, vì p41 = 0. Từ các nhánh phòng đó ta sử dụng các
dòng 2, 3 và 4 của ma trận chuyển, thể hiện ở hình 1.3 dưới đây:

Hình 1.3:

Từ sơ đồ cây này ta suy ra rằng, con chuột sẽ ở trạng thái 1 sau hai lần
quan sát với xác suất 19 + 19 = 29 . Tức là,
2
Xác suất di chuyển từ 4 tới 1 trong hai phép thử = .
9

7


Tương tự,
1
3
1

Xác suất di chuyển từ 4 tới 3 trong hai phép thử =
3
Xác suất di chuyển từ 4 tới 4 trong hai phép thử
1 1 1 1 1 1 1
= · + · + · = .
3 3 3 3 3 3 3
Xác suất di chuyển từ 4 tới 2 trong hai phép thử =

1 1 1 2
+ · =
3 3 3 9
1 1 1 2
· + · =
3 3 3 9
·

Do đó, phân phối xác suất v (2) sau hai lần quan sát là
v (2) = [

2
9

2
9

2
9

1
].

3

Sử dụng kí hiệu v (k) là vector biểu diễn các xác suất của trạng thái sau k phép
thử. Vị trí thứ i của v (k) là xác suất của trạng thái i sau k phép thử. Thay vì
theo quá trình tìm v (2) trong Ví dụ 1.1.1 ta có thể tính toán trực tiếp v (k) từ
ma trận chuyển P và phân phối xác suất ban đầu v (0) .
Định lý 1.1.1 ([5]). (Phân phối xác suất sau k phép thử) Trong một xích
Markov, phân phối xác suất v (k) sau k phép thử là
v (k) = v (k−1) P

(1.1.1)

trong đó P là ma trận chuyển.
Phương trình (1.1.1) chứng tỏ
v (1) = v (0) P,

k = 1;

v (2) = v (1) P,

k = 2;

v (3) = v (2) P,

k = 3;

··· .
Phân phối kế tiếp có thể luôn tính được từ phân phối trước đó bằng cách nhân
với ma trận chuyển P.
Ví dụ 1.1.2. Ta xét lại Ví dụ 1.1.1. Hãy sử dụng phương trình (1.1.1) để tìm

phân phối xác suất sau hai lần quan sát.
8


Lời giải:
Phân phối xác suất ban đầu là v (0) = [0

v (1) = v (0) P = [0

0

0

1
3
1

3
1] 
1
3

0

0

0 1], như vậy, theo (1.1.1),

1 1
0

3 3

1
1
0
1 1 1
3
3
=
[0
].

3 3 3
0 31 13 
1
3

1
3

1
3

1
3
1
3

1
3

0

0

1
3
1
3
1
3

Áp dụng (1.1.1) một lần nữa ta có


v

(2)

(1)

= v P = [0

1
3

1
3

1

3
1
1 
]  31
3 
3

0

0
1
3

1
3
1
3



=[

2
9

2
9

2
9

1
].
3

Bằng cách này ta vẫn thu được v (2) như đã tính trong Ví dụ 1.1.1 phần 3.
Ta thấy rằng, sau một vài tính toán từ (1.1.1) ta có
v (1) = v (0) P
v (2) = v (1) P = [v (0) P ]P = v (0) P 2 vì v (1) = v (0) P
v (3) = v (2) P = [v (0) P 2 ]P = v (0) P 3 vì v (2) = v (0) P 2
v (4) = v (3) P = [v (0) P 3 ]P = v (0) P 4 vì v (3) = v (0) P 3 .
Tiếp tục cách này ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.1.2 ([5]). (Phân phối xác suất sau k phép thử) Trong một xích
Markov, phân phối xác suất v (k) sau k phép thử là
v (k) = v (0) P k

(1.1.2)

trong đó P k là lũy thừa mũ k của ma trận chuyển P và v (0) là phân phối xác
suất ban đầu.
Từ định lí này ta có thể tính v (2) = v (0) P 2 , ta có


v (2) = v (0) P 2 = [0

0

0

1

 32

9
1] 
2
9
2
9

9

2
9
1
3
2
9
2
9

2
9
2
9
1
3
2
9

2

9

2
9
2
9
1
3

=[

2
9

2
9

2
9

1
].
3


Tiếp theo, ta xét một vài bài toán áp dụng chứa xích Markov bằng ví dụ về sự
di chuyển dân số sau.
Ví dụ 1.1.3. Giả sử rằng thành phố Vĩnh Yên đang trải qua sự chuyển động
dân số đến các vùng ngoại ô. Hiện nay, 85% của tổng dân số sống ở thành
phố và 15% sống trong các vùng ngoại ô. Nhưng mỗi năm 7% của người dân

thành phố di chuyển đến các vùng ngoại ô, trong khi chỉ có 1% người dân
ngoại ô di chuyển trở lại thành phố. Giả sử rằng tổng dân số (của thành phố
và vùng ngoại ô) vẫn không đổi, bao nhiêu phần trăm của tổng số sẽ ở lại
thành phố sau 5 năm?
Lời giải:
Bài toán này có thể được biểu diễn như một dãy các phép thử mà trong đó
mỗi phép thử đo tỉ lệ dân số trong thành phố và tỉ lệ dân số ở ngoại ô.
Trong (n + 1) năm, tỉ lệ đó chỉ phụ thuộc vào giá trị của tỉ lệ trong năm
thứ n và không phụ thuộc vào tỉ lệ tìm thấy của năm trước đó. Phép thử này
có thể được mô hình bởi một xích Markov như sau.
Phân phối ban đầu của xích Markov này là
Tp

Ngoại ô

v (0) =[0.85

0.15].

Tức là, tại thời điểm ban đầu, có 85% dân số sống ở bên trong thành phố và
15% sống ở ngoại ô.
Ma trận chuyển là
P =

0.93 0.07
.
0.01 0.99

Tức là, mỗi năm có 7% dân số trong thành phố di chuyển tới vùng ngoại ô
(còn lại 93% vẫn sống ở trong thành phố) và 1% dân số ở vùng ngoại ô di

chuyển vào trong thành phố sống (do đó còn lại 99% dân số vẫn sống ở ngoại
ô).
Để tìm phân phối xác suất sau 5 năm, ta cần tính v (5) . Ta áp dụng (1.1.1)

10


năm lần.
v (1) = v (0) P = [0.85

0.15]

v (2) = v (1) P = [0.792

0.93 0.07
= [0.792
0.01 0.99

0.208]

0.208]

0.93 0.07
= [0.73864
0.01 0.99

0.26136]

v (3) = v (2) P = [0.73864

0.26136]

0.93 0.07
= [0.68955
0.01 0.99

0.31045]

v (4) = v (3) P = [0.68955

0.31045]

0.93 0.07
= [0.64439
0.01 0.99

0.35561]

v (5) = v (4) P = [0.64439

0.35561]

0.93 0.07
= [0.60284
0.01 0.99

0.39716].

Như vậy, sau 5 năm có 60.28% dân số vẫn ở trong thành phố và 39.72% dân
số sống ở ngoại ô.

Ví dụ 1.1.3 dẫn tới câu hỏi: khi nào dân số ở Vĩnh Yên ổn định. Tức là,
sau một số năm nhất định dân số đạt được trạng thái cân bằng? Hơn nữa, dân
số có cân bằng không, nếu đạt được, nó có phụ thuộc vào phân phối ban đầu
không, hay nó độc lập với trạng thái ban đầu? Ta sẽ trả lời những câu hỏi này
trong phần tiếp theo.

1.2. Xích Markov chính quy
Một câu hỏi quan trọng về xích Markov là: Điều gì xảy ra sau một khoảng
thời gian đủ dài? Phân phối của các trạng thái có tiến tới trạng thái ổn định
theo thời gian không? Trong mục này ta sẽ đề xuất các điều kiện phù hợp để
dưới các điều kiện đó một xích Markov tiến tới trạng thái cân bằng (hay trạng
thái dừng). Ta cũng trình bày quá trình tìm phân phối cân bằng này khi nó tồn
tại.

11


1.2.1. Định nghĩa xích Markov chính quy
Định nghĩa 1.2.1 (Xích Markov chính quy). Một xích Markov được gọi là
chính quy nếu với một lũy thừa nào đó của ma trận chuyển của xích đó có tất
cả các phần tử đều dương.
Ví dụ 1.2.1. Cho trước ma trận chuyển P của một xích Markov nào đó
1
2

P =
Ta có
2

P =

1
2

1
2

2

1 0

=

1
2

1 0
1
2

.

1
2

1
2

1 0

1
2

1 0

=

3
4
1
2

1
4
1
2

có tất cả các phần tử đều dương, do đó xích Markov này là chính quy.
Ví dụ 1.2.2 (Xích Markov không chính quy). Xét xích Markov có ma trận
chuyển
1 0
P = 3 1 .
4

4

Bằng quy nạp ta thấy rằng, mỗi lũy thừa của P luôn có phần tử p12 = 0,
do đó xích Markov này là không chính quy.
Ví dụ tiếp theo cho ta các bước xác định dáng điệu tiệm cận của một xích
Markov.

Ví dụ 1.2.3 (Lòng trung thành của người tiêu dùng). Một công ty rượu vang
đang xúc tiến bán rượu Syrah của công ty đó. Kết quả là 75% tổng số những
người đã uống rượu vang Syrah trong một chu kỳ thời gian là 1 tháng tiếp
tục uống trong tháng tiếp theo; những người uống các loại rượu vang đỏ khác
trong khoảng thời gian 1 tháng, 35% thay đổi sang rượu vang Syrah ở tháng
tiếp theo.
Ma trận chuyển P của phép thử nghiệm này là
E1
P =

E2

E1 0.75 0.25
E2 0.35 0.65
12


a) Tìm xác suất chuyển từ E1 sang hoặc là E1 hoặc E2 trong hai phép thử;
b) Tìm xác suất chuyển từ E2 sang hoặc là E1 hoặc E2 trong hai phép thử.
Lời giải:
Sơ đồ cây mô tả hai lần thực hiện của phép thử này được cho trong 1.4.
(2)

a) Xác suất p11 của quá trình chuyển từ E1 sang E1 trong hai lần thực hiện
là
(2)

p11 = (0.75)(0.75) + (0.25)(0.25) = 0.65
(2)

Xác suất p12 từ E1 sang E2 sau hai lần thực hiện là

Hình 1.4:
(2)

p12 = (0.75)(0.25) + (0.25)(0.65) = 0.35.
(2)

b) Xác suất p21 của quá trình chuyển từ E1 sang E1 trong hai lần thực hiện
là
(2)

p21 = (0.35)(0.75) + (0.65)(0.35) = 0.49
(2)

Xác suất p12 từ E1 sang E2 sau hai lần thực hiện là
(2)

p22 = (0.35)(0.25) + (0.65)(0.65) = 0.51.

13


Nếu ta lấy bình phương ma trận chuyển, ta có
P2 =

0.75 0.25
0.35 0.65

0.75 0.25

0.35 0.65

=

(0.75)(0.75) + (0.25)(0.25) (0.75)(0.25) + (0.25)(0.65)
(0.35)(0.75) + (0.65)(0.35) (0.35)(0.25) + (0.65)(0.65)

=

0.65 0.35
0.49 0.51

và ta lưu ý rằng
(2)

(2)

p11 p12
P = (2)
(2) .
p21 p22
2

Điều này có nghĩa là, bình phương của ma trận chuyển cho ta các xác suất di
chuyển từ một trạng thái này tới một trạng thái khác trong hai lần thực hiện
phép thử.
Điều này vẫn đúng trong trường hợp tổng quát, cụ thể ta có kết quả sau
đây.
Định lý 1.2.1 ([5]). [Xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau n
lần thực hiện] Nếu P là ma trận chuyển của một xích Markov, thì phần tử thứ

(i, j) của ma trận P n cho ta các xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng
thái j sau n lần thực hiện.
Từ định lý này ta có thể thấy dáng điệu của một quá trình Markov sau khi
chạy một thời gian dài bằng cách nâng lũy thừa ma trận chuyển của quá trình
đó tới lũy thừa cao hơn. Chẳng hạn, ta sử dụng ma trận chuyển P trong Ví dụ

14


1.1.3 và tính từ P 2 tới P 12 .
P =

0.7500 0.2500
0.3500 0.6500

P2 =

0.6500 0.3500
0.4900 0.5100

P3 =

0.6100 0.3900
0.5460 0.4540

P4 =

0.5940 0.4060
0.5684 0.4316

P5 =

0.5876 0.4124
0.5774 0.4226

P6 =

0.5850 0.4150
0.5809 0.4191

P7 =

0.5840 0.4160
0.5824 0.4176

P8 =

0.5836 0.4164
0.5830 0.4176

P9 =

0.5834 0.4166
0.5832 0.4168

P 10 =

0.5834 0.4166
0.5833 0.4167

P 11 =

0.5834 0.4166
0.5833 0.4167

P 12 =

0.5833 0.4167
.
0.5833 0.4167

Lưu ý rằng các lũy thừa cao hơn của P n dường như hội tụ và hội tụ về trạng
thái ổn định, tức là bằng với một ma trận trạng thái dừng. Cũng vậy, ta thấy
rằng các dòng của ma trận P 12 là bằng nhau. Điều này có nghĩa là xác suất
là 0.5833, tức là một người sẽ uống rượu Syrah bất kể những gì anh ta hay cô
ta đã uống trước đó! Nói cách khác, tình hình đã ổn định, với 58.33% uống
Syrah và 41, 67% uống các rượu vang đỏ khác.
Một vector xác suất là một ma trận dòng mà toàn bộ phần tử là các xác
suất có tổng là 1. Vector xác suất t = [0.5833 0.4167] được gọi là vector
trạng thái dừng t của xích Markov có ma trận chuyển là P.
1.2.2. Vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy
Như trên ta đã nói về vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy,
mục này ta trình bày cách tìm vector này. Ta có kết quả sau đúng với mọi xích
Markov chính quy.
Định lý 1.2.2 ([5]). (Dáng điệu tiệm cận của xích Markov chính quy) Cho P
là ma trận chuyển của xích Markov chính quy. Khi đó các tính chất sau là
đúng:
15

1. Ma trận P n tiến tới một ma trận bất động T khi n đủ lớn. Khi đó, ta viết
P n → T (khi n đủ lớn);
2. Các dòng của ma trận T là trùng nhau và bằng với vector xác suất t;
3. t là vector xác suất duy nhất thỏa mãn tP = t;
4. Nếu v (0) là phân phối ban đầu tùy ý, thì v (n) → t khi n đủ lớn.
Chứng minh. Các tính chất 1 và 2 đã được chứng minh. Để thấy tính chất 3,
ta xét phương trình (1.1.1) và từ P 12 , đặt
t = [0.5833

0.4167].

Ta tính tP,
tP = [0.5833

0.4167]

0.75 0.25
= [0.5833
0.35 0.65

0.4167] = t.

Vector dòng t thỏa mãn phương trình tP = t.
Điều này có nghĩa là không nhất thiết phải tính các lũy thừa cao hơn n của
ma trận P để tìm ma trận bất động T. Vì tính chất 3 cho phép ta tìm vector t
bằng cách giải một hệ phương trình.
Để tìm vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy, ta minh họa
qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.4. Tìm vector trạng thái dừng t của xích Markov có ma trận chuyển
là

0.93 0.07
P =
,
0.01 0.99
đây là ma trận chuyển của xích Markov trong Ví dụ 1.1.3 biểu diễn sự di
chuyển dân số.
Lời giải:
Trước tiên, ta quan sát rằng P là chính quy vì P = P 1 có tất cả các phần
tử đều dương. Vector trạng thái dừng t có hai tính chất: t = [t1 t2 ] là một
vector xác suất nên
t1 + t2 = 1,
16


and do tính chất 3 của Định lý 1.2.2, ta có tP = t, nên
[t1
[0.93t1 + 0.01t2

0.93 0.07
= [t1
0.01 0.99

t2 ]

0.070t1 + 0.99t2 ] = [t1

t2 ]

t2 ]

Đồng nhất các phần tử ta có
0.93t1 + 0.01t2 = t1

0.070t1 + 0.99t2 = t2 ,

hay
−0.07t1 + 0.01t2 = 0.
Do đó ta thu được hệ sau

t + t
1
2
0.07t1 − 0.01t2

=1

(1.2.1)

= 0.

Giải hệ này ta thu được t1 = 18 và t2 = 78 . Do đó vector trạng thái dừng là
t = [ 81 78 ]. Ta giải thích t = [ 81 78 ] như sau: sau thời gian đủ dài 81 hay 12.5%
tổng số dân sẽ sống ở thành phố trong khi đó 87 hay 87.5% số dân sẽ sống ở
ngoại ô.
Ví dụ 1.2.5. Tìm vector trạng thái dừng t của ma trận chuyển

1
1
0
2

2
1 1 
P =  2 2 0 .
1
3

1
3

1
3

Lời giải:
Trước tiên ta chứng tỏ P là chính quy, thật vậy ta thấy
5 1 5
12
2


P =  12
4
9

3
1
4
5
18

12

1
4
5
18

có tất cả các phần tử đều dương. Giả sử t = [t1 t2
của P. Khi đó
t1 + t2 + t3 = 1 và tP = t
17

t3 ] là vector bất động


hay
1
2

t1 + t2 + t3 = 1 và [t1


t3 ]  12

t2

1
3

Sau một vài tính toán ta có hệ

1



t + 1t + 1t

2 1 2 2 3 3
1
t2 + 31 t3
2



 1 t1 + 1 t3
2
3



0

1
2

1
2
1
3


0 = [t1

t2

t3 ].

1
3

= t1
= t2
= t3

hay



t1 + t2 + t3




3t − 3t − 2t
1

2



−3t2 + 2t3





3t1 − 4t3

=1
3

=0
=0
= 0.

Lưu ý rằng tổng của hai phương trình cuối của hệ trên là phương trình thứ
hai. Giải hệ này ta có
4
4
2
2
1
t1 = t3 = , t2 = t3 = , t3 = .
3
9
3
9
3
Do đó vector bất động của P là t = [ 49

2
9

1

3 ].

Một đặc trưng của xích Markov thường là phân phối xác suất t sau thời
gian đủ dài có thể tìm được bằng cách giải một hệ phương trình. Một đặc
trưng đáng chú ý hơn của xích Markov là sự vector cân bằng t đạt được mà
không phụ thuộc vào các phân bố xác suất ban đầu.
Định lý 1.2.3 ([5]). Trong một xích Markov chính quy, vector cân bằng t đạt
được không phụ thuộc vào các phân bố xác suất ban đầu.
Để đơn giản, ta sẽ chứng minh nhận xét này cho ma trận chuyển cỡ 2 × 2,
trường hợp ma trận chuyển có cỡ cao hơn được chứng minh hoàn toàn tương
tự.
Chứng minh. Giả sử v (0) = [a b] là phân phối xác suất ban đầu tùy ý của
xích Markov chính quy với ma trận chuyển cỡ 2 × 2 là P. Đặt t = [t1 t2 ] là
18


vector bất động của ma trận này. Khi đó theo tính chất 1 trong Định lý 1.2.2,
ta có
t1 t2
Pn → T =
khi n đủ lớn.
t1 t2
Nhân cả hai vế với v (0) ta có
v (0) P n → v (0) T khi n đủ lớn.
Do v (n) = v (0) P n , nên
v (n) → v (0) T khi n đủ lớn.
Mặt khác,
v (0) T = [a

b]

t1 t2
= [(a + b)t1
t1 t2

(a + b)t2 ].

Vì v (0) là một vector xác suất nê a + b = 1. Do đó v (0) T = [t1
v (n) → v (0) T = [t1

t2 ] và

t2 ] = t.

Nghĩa là, ta luôn thu được cùng một vector t bất kể các phần tử của v (0) như
thế nào. Hay nói cách khác, với bất kì phân phối ban đầu v (0) ta luôn chỉ thu
được một vector bất động t duy nhất.
1.2.3. Các bài toán áp dụng có chứa xích Markov
Mặc dù định nghĩa của vector trạng thái dừng cho phép ta tính trực tiếp vector
đó, nhưng nó cũng có một nhược điểm lớn: Có những xích Markov mà có một
vector trạng thái dừng q nhưng lim xn = q, khi đó định nghĩa này của q là
n→∞

chưa đủ để xn hội tụ. Thật vậy, ta xét các ví dụ chứng tỏ các cách khác nhau
mà trong đó xn có thể không hội tụ.
Ví dụ 1.2.6. Xét người đi bộ ngẫu nhiên trên tập {1, 2, 3, 4, 5} với các biên là

19

hấp thụ. Ma trận chuyển là


1 1/2 0
0 0


0 0 1/2 0 0



P =
0
1/2
0
1/2
0




0 0 1/2 0 0
0 0
0 1/2 1
.
Lưu ý rằng chỉ hai dáng điệu tiệm cận của xác suất là tồn tại với xích này
đó là các trạng thái 0 hoặc trạng thái 4. Do đó xác suất mà xích ở các trạng
thái 1, 2 hoặc 3 trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa khi n tăng, khi đó P n với
n = 20 và n = 30 là:



1 0.74951 0.49951 .24951 0


0 0.00049
0
0.00049 0


P 20 = 
0
0.00098
0
0
0
,


0
0 0.00049 0.00049

0 0.24951 0.49951 0.74951 1


1 0.749985 0.499985 0.249985 0


0 0.000015
0
0.000015 0



.
P 30 = 
0
0
0.000030
0
0




0
0.000015 0
0 0.000015
0 0.249985 0.499985 0.749985 1
Ta thấy rằng P n hội tụ tới ma trận

1 0.75 0.5 0.25

0 0
0
0

0 0
0
0



0
0
0 0
0 0.25 0.5 0.75


0

0

0


0
1

khi n tăng. Nhưng các cột của ma trận này là không bằng nhau; xác suất của
các trạng thái 1 và 5 phụ thuộc vào lúc bắt đầu của xích. Mặc dù xích có các
20


vector trạng thái dừng và với 0 ≤ q ≤ 1 là vector


q


 0 



 0 




 0 
1−q
trạng thái dừng của P. Ma trận này có vô hạn các vector trạng thái dừng, do
đó xn không thể dự đoán sự hội tụ mà không phụ thuộc vào x0 .
Ví dụ 1.2.7. Một cộng đồng nhất định có ba cửa hàng tạp hóa. Trong cộng
đồng này có tồn tại một sự thay đổi khách hàng từ một cửa hàng tạp hóa này
tới cửa hàng khác. Một nghiên cứu được thực hiện vào ngày 01 tháng Một, và
nó đã cho ta thấy rằng 14 số dân đi mua sắm ở cửa hàng I, 31 tại cửa hàng II, và
2
15 tại cửa hàng III. Mỗi tháng cửa hàng I giữ lại 90% khách hàng của mình
và mất 10% trong số họ đến cửa hàng II. Cửa hàng II giữ lại 5% khách hàng
của mình và mất 85% trong số họ vì họ mua ở cửa hàng I và 10% trong số họ
mua ở cửa hàng III. Cửa hàng III vẫn giữ được 40% khách hàng của mình và
mất 50% trong số họ tới mua ở cửa hàng I và 10% ở cửa hàng II. Giả sử dân
số của cộng đồng vẫn không đổi. Hãy tìm
(a) Ma trận chuyển P ;
(b) Phân phối xác suất ban đầu;
(c) Tỷ lệ khách hàng mỗi cửa hàng còn lại đến ngày 01 tháng 2;
(d) Tỷ lệ khách hàng mỗi cửa hàng sẽ giữ lại đến ngày 01 tháng 3;
(e) Giả sử mô hình vẫn tiếp tục tương tự, khi đó sự phân phối dài hạn
của khách hàng trong số ba cửa hàng sẽ như thế nào.
Lời giải:

21