Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn (LV02075)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS.
Nguyễn Văn Khải. Thầy đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn tôi trong
quá trình hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn
bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán và phòng Sau Đại học trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập tại đây. Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi, ủng hộ
tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày tháng năm 2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn
trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày tháng năm 2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc


Mục lục

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7. Không gian liên hợp và tính phản xạ . . . . . . . . . . .

16

1.8. Cấu trúc hình học của không gian Banach . . . . . . . .

17

2 Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn 26
2.1. Ánh xạ không giãn và điểm bất động của nó . . . . . . .

26

2.2. Ánh xạ không giãn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

41


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ánh xạ không giãn là một phần quan trọng của giải tích hàm
phi tuyến - một lĩnh vực quan trọng của giải tích - một môn học vừa
mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Ánh xạ không
giãn và điểm bất động của nó là một nội dung quan trọng của toán
học hiện đại và có nhiều ứng dụng chẳng hạn như để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình và hệ phương
trình phi tuyến, phương trình tích phân,... Với lý do đó, với sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải tôi đã lựa chọn luận văn với đề tài
“Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn.”
Để hoàn thành luận văn, tôi đã sử dụng một số tài liệu tham khảo
cụ thể như sau: Kiến thức chuẩn bị cũng như mục 2.1 của Chương 2
được dựa trên tài liệu [1] và [2], phần còn lại của luận văn được dựa trên
tài liệu [3].

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về ánh xạ không giãn và điểm bất động
của nó trong không gian Banach và ánh xạ không giãn mở rộng.

4


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ không
giãn, ánh xạ không giãn mở rộng và một số vấn đề liên quan.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ánh xạ không giãn và vấn đề liên quan.
Ánh xạ không giãn mở rộng và vấn đề liên quan.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn dùng phương pháp của giải tích toán học.

6. Đóng góp của luận văn:
Trình bày một số vấn đề về ánh xạ không giãn và ánh xạ không
giãn mở rộng.
Hà Nội, ngày tháng năm 2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Cho X = ∅ là một tập hợp tùy ý . Một metric trong
X là một ánh xạ
d:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu
là (X, d). Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Ví dụ 1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:
d(x, y) = |x − y|.

(1.1)

thì d là một metric và R là không gian metric với khoảng cách nêu trên.

6


Ví dụ 1.2. Ta ký hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số bất kỳ
x(t), y(t) ∈ C[a,b] ta đặt
d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.

(1.2)

a≤t≤b

Vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| cũng
liên tục trên [a, b]. Hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ C[a,b] × C[a,b] và
tập số thực R. Ánh xạ (1.2) thỏa mãn các điều kiện về metric. Không
gian metric tương ứng vẫn được ký hiệu là C[a,b] .
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm {xn } trong không gian metric (X, d) được gọi
là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim (xn , x) = 0.Khi đó ký hiệu lim xn = x
n→∞

n→∞

hay xn → x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. Một dãy điểm {xn } trong không gian metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim (xm , xn ) = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.
Ví dụ 1.3. a) Xét tập các số thực R với khoảng cách
d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ R
thì R là không gian metric đầy đủ.
b) Xét tập Q các số hữu tỷ với khoảng cách
d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ Q
thì Q không phải là không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.5. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi
là tập hợp compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử của
tập K đều chứa dãy con hội tụ tới một phần tử thuộc K. Khi K = X

thì M gọi là không gian compact.
7


Định nghĩa 1.6. Trong không gian metric M = (X, d), A là tập con
của M . Đường kính của tập A kí hiệu là diam A và được xác định bởi:
diam A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

1.2.

Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.7. Xét R là trường số thực, tập hợp X = ∅ cùng với hai
phép tính cộng và nhân vô hướng:
+ Phép cộng:
X ×X →X
(x, y) → x + y
+ Phép nhân vô hướng:
R×X →X
(λ, x) → λx
X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
1) ∀x, y ∈ X : x + y = y + x;
2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z);
3) ∃θ ∈ X để ∀x ∈ X sao cho x + θ = x;
4) ∀x ∈ X ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ;
5) ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X : λ(x + y) = λx + λy;
6) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : (λ + µ)x = λx + µx;
7) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : λ(µx) = (λµ)x;
8

8) ∀x ∈ X : 1.x = x.
Khi đó ta cũng nói rằng X là một không gian vectơ trên R hoặc nói ngắn
gọn X là không gian tuyến tính nếu không sợ nhầm lẫn, mỗi phần tử
x ∈ X được gọi là một vectơ.

1.3.

Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian vectơ trên trường số thực R.
Hàm số . : E → R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất
sau thỏa mãn:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X, x = 0 ⇔ x = θ;
ii) λx = |λ| x với mọi λ ∈ R và với mọi x, y ∈ X;
iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Không gian vectơ X trên đó xác định một chuẩn được gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn.
Ví dụ 1.4. (Không gian Euclide n - chiều)
Rn := {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}. Ta xác định x

2

trên Rn bởi
1
2

n

x

2

|xi |2

=

(x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ).

i=1

Ví dụ 1.5. Xét không gian C[a;b] các hàm liên tục trên đoạn [a; b] với
phép cộng, phép nhân thông thường. Xét f ∈ C[a;b] , f =

b
2
a [f (x)] dx

là một chuẩn và khi đó C[a;b] là không gian tuyến tính định chuẩn.

9


Ví dụ 1.6. (Không gian các dãy bị chặn)
Kí hiệu l∞ là tập hợp tất cả các dãy số bị chặn.
Xét x

∞

= sup |xn | < ∞.
n→∞

Rõ ràng .

∞

là chuẩn và l∞ là không gian tuyến tính định chuẩn.

Nhận xét 1.1. Với x, y ∈ X, đặt d(x, y) = x − y thì dễ thấy d là
khoảng cách trên X.
Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa suy ra nếu X là một không gian tuyến
tính định chuẩn thì nó là một không gian metric, với metric được định
nghĩa bởi d(x, y) = x − y với mọi x, y ∈ X. Khi đó d là một khoảng
cách cảm sinh bởi chuẩn trong X. Vì vậy, lý thuyết các không gian metric
áp dụng được cho các không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.9. Giả sử {xn }∞
n=1 là một dãy trong không gian tuyến
tính định chuẩn X. Ta nói dãy {xn }∞
n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếu
lim xn − x = 0,

n→∞

nghĩa là, với mọi số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho xn − x < ε
với mọi n ≥ nε .
Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn }∞
n=1 và ta
viết
lim xn = x hoặc xn → x.

n→∞

Một dãy được gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó.
Mệnh đề 1.1. Giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X, xn →
x0 , yn → y0 và λn → λ0 . Khi đó xn + yn → x0 + y0 và λn xn → λ0 x0 với
xn , yn , x0 , y0 ∈ X, λn , λ0 ∈ R.

10


Định nghĩa 1.10. Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn X
được gọi là dãy Cauchy, nếu
lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.11. Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, R là
tập số thực. Khi đó A ⊂ X được gọi là lồi, nếu với mọi x1 , x2 ∈ A, λ ∈ R
sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 ta có
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Tập hợp các điểm z = λx1 + (1 − λ)x2 với x1 , x2 ∈ X, λ ∈ [0, 1] được gọi
là đoạn thẳng nối x1 , x2 trong X.
Ví dụ 1.7. Hình cầu B(0, 1) = {x ∈ X : x ≤ 1} là một tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x, y ∈ B, 0 ≤ s ≤ 1. Ta có
sx + (1 − s)y ≤ sx + (1 − s)y
= s x + (1 − s) y
< s + (1 − s) = 1.

Từ đó sx + (1 − s)y ∈ B(0, 1), vậy B(0, 1) là một tập lồi.
Ví dụ 1.8. C = {x ∈ R2 : |x1 | ≤ 1, |x2 | ≤ 2} là một tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy ∀x(x1 , x2 ), y(y1 , y2 ) ∈ C.
Ta có |x1 | ≤ 1, |y1 | ≤ 1, |x2 | ≤ 2, |y2 | ≤ 2.
Với s ∈ [0, 1], z = sx + (1 − s)y ta có


z1 = sx1 + (1 − s)y1 ;

z2 = sx2 + (1 − s)y2 .

11


Ta có
|z1 | = |sx1 + (1 − s)y1 |
≤ |sx1 | + |(1 − s)y1 |
= s|x1 | + (1 − s)|y1 |
≤ s + (1 − s) = 1.
Và
|z2 | = |sx2 + (1 − s)y2 |
≤ |sx2 | + |(1 − s)y2 |
= s|x2 | + (1 − s)|y2 |
≤ 2s + 2(1 − s) = 2.
Từ đó suy ra sx + (1 − s)y ∈ C, vậy tập C là tập lồi.
Định nghĩa 1.12. Cho A ⊂ X; coA là tập con lồi nhỏ nhất của X chứa
A được gọi là bao lồi của A:
coA = ∩{K ⊂ X : K ⊃ A}; với K lồi.
coA được gọi là bao lồi đóng của A được xác định bởi
coA ∩ {K ⊂ X : K ⊃ A}; K là đóng và lồi.

Định nghĩa 1.13. Giả sử D là một tập lồi trong không gian tuyến tính
X.
• Hàm f : D → R được gọi là lồi trên D nếu
f (λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
với mọi λ ∈ [0, 1] và ∀x, y ∈ X.
• Hàm f : D → R được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ D ta có
f (z) < max{f (x), f (y), ∀z ∈ [x, y] = đoạn thẳng nối hai điểm x, y}.
12


1.4.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.14. Nếu không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ với khoảng cách d(x, y) = x − y thì X được gọi là không
gian Banach.
Ví dụ 1.9. C[a;b] - Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là
không gian Banach với chuẩn
x = max |x(t)|, ∀x ∈ C[a;b] .
t∈[a;b]

Ví dụ 1.10. L2[a;b] - Không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue
trên đoạn [a; b] là không gian Banach với chuẩn
b

x2 (t)dt, ∀x ∈ L2[a;b] .

x =
a

Ví dụ 1.11. Xét không gian C[a;b] với chuẩn ở ví dụ 1.7 nêu trên. Có
thể chứng minh rằng C[a;b] với chuẩn f =

b
2
a [f (x)] dx

không phải là

không gian Banach.

1.5.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.15. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Ta gọi
là tích vô hướng trên X là một ánh xạ đi từ X × X → R, kí hiệu (., .)
thỏa mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ R:
1) (x, y) = (y, x);
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (λx, y) = λ(x, y);
13


4) ∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ.
Số (x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
Định nghĩa 1.16. Xét H = ∅ gồm các phần tử x, y, z, . . . là không gian
Hilbert nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường R

2) H được trang bị một tích vô hướng (., .)
3) H là một không gian Banach với khoảng cách
d(x, y) = x − y =

(x − y, x − y), ∀x, y ∈ H.

Ví dụ 1.12. Không gian R là không gian Hilbert với
(x, y) = x.y và x =

(x, x) = |x|.

Ví dụ 1.13. Không gian Rn với tích vô hướng
n

xi .yi , ∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ∀y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .

(x, y) =
i=1

Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
n

x =

|xi |2 ,

(x, x) =
i=1

Rn với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.

1.6.

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.17. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn
trên R. Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa
mãn
14


1) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X
2) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.
Sau đây để cho gọn ta thường viết Ax thay cho A(x).
Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính,
còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần
nhất.
Khi X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X.
Khi Y = R thì toán tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.18. Xét X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn,
toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu
xn → x0 (n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0 (n → ∞).
Một toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục. Nhưng
với các không gian tuyến tính định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyến tính
không luôn luôn liên tục. Điều kiên liên tục tương đương với tính bị chặn
ở định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.19. Xét X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn,
toán tử tuyến tính A : X → Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại hằng
số M > 0 để cho
(∀x ∈ X) Ax ≤ M x .

Cho toán tử tuyến tính giới nội A : X → Y , ta gọi chuẩn của A là một
số, kí hiệu A , xác định bởi:
A = inf{M > 0 : Ax ≤ M x , ∀x ∈ X}.
Định lý 1.1. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) = (x, a),
15

x ∈ H.


trong đó phần tử a ∈ H được xác định bởi phiếm hàm f và
f = a .

1.7.

Không gian liên hợp và tính phản xạ
Xét X, Y là hai không gian Banach và L(X, Y ) là tập hợp tất cả

các toán tử tuyến tính giới nội từ X và Y .
Trong L(X, Y ) trang bị phép toán cộng như sau:
A, B ∈ L(X, Y ) thì (A + B)(x) = A(x) + B(x), ∀A, B ∈ L(X, Y ),
∀x ∈ X. Ngoài ra, xét phép nhân ngoài xác định bởi
(λA)(x) = λ.Ax, ∀λ ∈ R, ∀A ∈ L(X, Y ), ∀x ∈ X.
Khi đó, dễ thấy A + B ≤ A + B và λA = |λ| A nên rút
ra L(X, Y ) là không gian tuyến tính trên R.
Định lý 1.2. L(X, Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.20. Không gian L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liên
tục từ X vào R được gọi là không gian liên hợp của X và ký hiệu X ∗ .
Định nghĩa 1.21. Không gian L(X ∗ , R) các phiếm hàm tuyến tính liên

tục từ X ∗ vào R được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X, ký hiệu
X ∗∗ .
Ánh xạ x → x∗∗ được goi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng
chính tắc của X trong X ∗∗ .
Định nghĩa 1.22. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là
không gian phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào
không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của nó là một toàn ánh.
16


Định nghĩa 1.23. Môt dãy các phần tử xn của không gian Banach X
hội tụ mạnh đến phần tử x0 khi (n → ∞) nếu xn − x0 → ∞. Hội tụ
theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy xn hội tụ yếu đến x0 nếu:
∀f ∈ X ∗ có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞.
Nhận xét 1.3. Hội tụ mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu. Ngược lại
không đúng.
Ví dụ 1.14. Trong không gian Hilbert khả ly l2 lấy dãy {ej }∞
1 với
ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) (tọa độ thứ j bằng 1, các tọa độ khác bằng 0),
khi đó (ei , ej ) = δij .
Xét ϕ ∈ l2 : ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . .) ta có (ej , ϕ) = ϕj nên lim (ej , ϕ) =
j→∞

0. Tức là dãy {ej } hội tụ yếu đến phần tử 0, tuy nhiên dãy {ej }∞
1 thỏa
√
mãn ei − ej = 2, ∀i = j nên nó không hội tụ mạnh tới 0.

1.8.

Cấu trúc hình học của không gian Banach

Định nghĩa 1.24. Không gian Banach (X, . ) được gọi là lồi chặt nếu
x+y
< 1.
với mọi x = y mà x ≤ 1, y ≤ 1, ta có
2
Ví dụ 1.15. Xét không gian X = Rn với x

2

được xác định bởi

n

x

2

1/2

x2i

=

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R.

i=1

Khi đó X là không gian lồi chặt.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ R, x = y mà:
n

x

2

x2i

=
i=1

17

1/2

≤ 1,


n

y

yi2

=

2

1/2

≤ 1.

i=1

Ta có
n

x+y

2
2

n
2

=

(xi + yi ) =
i=1

n

x2i

+2

i=1
n

n

i=1

x2i +
i=1

yi2

≤ 2(1 + 1) = 4.

i=1

⇒ x+y

2

< 2.

Ví dụ 1.16. Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
1

i=1

n

<2

x

yi2

xi yi +

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,

1

xác định bởi

x(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

không là không gian lồi chặt.
Thật vậy,
Lấy x = (1, 0, . . . , 0), y = (0, 1, . . . , 0). Khi đó, x = y, x
y

1

1

= 1,

= 1, x + y = (1, 1, 0, . . . , 0),
n

x+y

1

|xi + yi | = 2.

=
i=1

Định nghĩa 1.25. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0 đều tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X mà x ≤ 1,
y ≤ 1, x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2
Ví dụ 1.17. Mọi không gian Hilbert H đều lồi đều.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ H thỏa mãn: x ≤ 1, y ≤ 1,
x − y ≥ ε.

18


Trong không gian Hilbert với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, ta có đẳng
thức hình bình hành
x+y

2

+ x−y

x+y

2

= 2( x

2

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

+ y 2) − x − y

2

≤ 2(1 + 1) − ε2 = 4 − ε2 .
Suy ra
Hay

x+y
≤
2

x+y 2
ε2
≤1− .

2
4
2
ε
1−
=1− 1−
4

1−

ε2
.
4

x+y
ε2
Đặt δ(ε) = 1 − 1 −
ta được
≤ 1 − δ(ε).
4
2
Vậy không gian Hilbert H là không gian lồi đều.
Ví dụ 1.18. Không gian C[0,1] không phải là lồi đều.
Xét 2 hàm sau trên [0, 1]: x(t) = 1, t ∈ [0, 1], và


1
, t ∈ [0, 21 ]
y(t) =


−2t + 2 , t ∈ [ 1 , 1].
2
∀x, y ∈ C[0,1] và có x = 1, y = 1 , x − y = 1,

x+y
= 1.
2

Suy ra ∀ε > 0, δ(ε) > 0 sao cho với x, y ∈ [0, 1] mà
x+y
≤ 1 − δ(ε).
x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ⇒
2
Vậy C[0,1] không phải là lồi đều.
Định nghĩa 1.26. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số
δX : [0, 2] → [0, 1]
được xác định bởi công thức
δX ( ) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥
2
19

.


Định nghĩa 1.27. Đặc trưng lồi của không gian Banach X được xác
định bởi
0 (X)

= sup{ ∈ [0, 2] : δX ( ) = 0}.

Hai đại lượng này cho ta nhiều thông tin về tính chất của không
gian. Chẳng hạn, X lồi đều khi và chỉ khi
chỉ khi δX (2) = 1; nếu

0 (X)

0 (X)

= 0; X lồi chặt khi và

< 2 thì X là không gian phản xạ. Hiển

nhiên mọi không gian lồi đều thì lồi chặt và phản xạ.
Định nghĩa 1.28. Không gian Banach X được gọi là lồi đều theo mọi
hướng nếu δX (ε) > 0 và x − y = tz với mọi z ∈ SX , ε ∈ [0, 2], t ≥ 0.
Bổ đề 1.1. Không gian Banach X là lồi đều theo mọi hướng nếu và
chỉ nếu lim xn − yn = 0, với (xn ) ⊂ X, (yn ) ⊂ X mà lim xn = 1,
n→∞

n→∞

lim yn = 1, lim xn + yn = 2 và với z ∈ Sx , xn − yn ∈ Span({z})

n→∞

n→∞

với mọi n, ở đây Span(A) là không gian con tuyến tính sinh bởi A, với
A là một tập con khác rỗng của X.
Chứng minh.
Giả sử không gian Banach X lồi đều theo mọi hướng và tồn tại
(xn ), (yn ) trong X mà lim xn = 1, lim yn = 1, lim xn + yn = 2,
n→∞

n→∞

n→∞

lim inf xn − yn > c > 0 và z ∈ Sx sao cho

n→∞

xn − yn ∈ Span({z}) với mọi n
Lấy γ > 0 ta có thể giả thiết rằng (xn ), (yn ) ∈ (1 + γ)BX ,
x n + yn
≥ 1 − r và xn − yn ≥ c với mọi n thì
2
c
1
xn + y n
2γ
δX (z;
)≤1−
≤
,
1+γ
1+γ

2
1+γ
với γ > 0 bất kỳ và δX (z, ε) là liên tục,
δX (z, c) = 0 (trái với giả thiết).
20


Bây giờ ta giả sử rằng X không lồi đều theo mọi hướng thì δX (z, ε) = 0
với z ∈ SX và ε > 0.
Từ định nghĩa của δX (z, ε) ta có dãy (xn ), (yn ) trong BX sao cho
1
xn + yn
xn − yn ≥ ε và 1 − ≤
với mọi n.
n
2
Có
2
2 − ≤ xn + yn ≤ xn + 1 ≤ 2 với mọi n.
n
Điều đó chứng tỏ rằng lim xn = 1.
n→∞

Tương tự ta cũng có lim yn = 1.
n→∞

Bổ đề 1.2. Trong không gian Banach X các điều kiện sau là tương
đương
(i) X là lồi đều theo mọi hướng;
(ii) Nếu {xn } là dãy bị chặn trong X thì một hàm f trên X định nghĩa

bởi f (x) = limsupn xn − x là tựa lồi chặt, tức là:
f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)},

(1.3)

với ∀ λ ∈ (0, 1) và x, y ∈ X, x = y.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii). Giả sử X là không gian lồi đều theo mọi hướng, gắn
λ ∈ (0, 1) và x, y ∈ X với x = y. Ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),
vì f lồi. Ta xét 3 trường hợp sau:
• f (x) = f (y),
1
• f (x) = f (y) và λ = ,
2
21

(1.4)


1
• f (x) = f (y) và λ = .
2
Trong trường hợp đầu tiên ta có:
λf (x) + (1 − λ)f (y) < max{f (x), f (y)}.
Trong trường hợp 2, bằng phản chứng, ta giả sử (1.3) không xảy ra thì
từ (1.4) ta có
1
1
f ( x + y) = f (x) = f (y) =: α.

2
2
Chọn dãy con {xnj } của dãy {xn } thỏa mãn
1
1
lim xnj − x − y = α.
j→∞
2
2
Với
1
1
α = lim xnj − x − y
j→∞
2
2
1
1
≤ lim inf
xnj − x + xnj − y
j→∞
2
2
1
1
≤ lim inf xnj − x + lim sup xnj − y
2 j→∞
2 j→∞
1
1

≤ lim sup xnj − x + lim sup xnj − y
2 j→∞
2 j→∞
1
1
≤ f (x) + f (y) = α.
2
2
Ta có limj xnj − x = α. Tương tự ta có thể chứng minh rằng
lim xnj − y = α.

j→∞

x nj − x
xn − x
và vj = j
thì ta có
α
α
y−x
limj uj = 1, limj vj = 1, limj uj + vj = 2 và uj − vj =
với
α
y−x
j ∈ N. Tuy nhiên limn un − vn =
= 0.
α
Điều này mâu thuẫn với bổ đề 1.1. Do đó (1.3) xảy ra.

Theo đó, từ x = y, α > 0, ta đặt uj =

22


1
thì ta có
2
1
1
f (λx + (1 − λ)y) = f (2λ( x + y) + (1 − 2λ)y)
2
2
1
1
≤ 2λf ( x + y) + (1 − 2λ)f (y)
2
2
< 2λ max{f (x), f (y)} + (1 − 2λ)f (y)

Trong trường hợp 3, nếu 0 < λ <

= max{f (x), f (y)}.
1
< λ < 1.
2
(ii) ⇒ (i): Giả sử ta có (ii), lấy {un } và {vn } là 2 dãy trong

Tương tự ta cũng có thể chứng minh (1.3) trong trường hợp

không gian X, w ∈ X, và {tn } là 1 dãy trong R sao cho limn un = 1,

limn vn = 1, limn un + vn = 2, w = 1 và un − vn = tn w với n ∈ N.
Bằng phản chứng, ta giả sử rằng lim supn un − vn > 0 thì với {tn } bị
chặn, tồn tại một dãy con {tnj } của {tn } sao cho {tnj } hội tụ tới τ = 0.
Định nghĩa hàm lồi liên tục f trên X bởi
f (x) = lim sup vnj − x ,
j→∞

ta có f (x) = 1,
f (−τ w) = lim sup vnj + τ w = lim sup unj − tnj w + τ w = 1,
j→∞

f

j→∞

1
1
1
0 + (−τ w) = lim sup vnj + vnj + τ w
2
2
2 j→∞
1
= lim sup unj − tnj w + vnj + τ w = 1.
2 j→∞

Do đó, f tựa lồi chặt, điều này mâu thuẫn với (ii).
Vậy ta có limn un − vn = 0. Theo bổ đề 1.1 thì X là lồi đều theo mọi
hướng.
Định nghĩa 1.29. Không gian Banach (X, . ) được gọi là có tính chất

Opial nếu mọi dãy hội tụ yếu (xn ) trong X và giới hạn yếu z, ta có
lim inf xn − z < lim inf xn − y ,
n→∞

n→∞

23


với y = z, y ∈ X.
Định nghĩa 1.30. Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi
là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn H của
nó với diam H > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao cho
sup{ x − z : z ∈ H} < diam H
Ví dụ 1.19. Xét X = R với x = |x|. Khi đó, tập K = [−1; 1] có cấu
trúc chuẩn tắc.
Ví dụ dưới đây chỉ ra một tập trong không gian Bacnach không
có cấu trúc chuẩn tắc.
Ví dụ 1.20. Cho X = C[0;1] và tập K ⊂ C xác định như sau:
K = {x ∈ X : 0 ≤ x(t) ≤ x(1) = 1}.
Khi đó tập K lồi, đóng, bị chặn nhưng không có cấu trúc chuẩn tắc.
Thật vậy, hiển nhiên tập K là lồi đóng, bị chặn. Ta có:
diamK = sup{ x − y : x, y ∈ K}
= sup
x,y∈K

max |x(t) − y(t)|
t∈[0;1]

≤ 1.

1

Lấy hai dãy xn = t n

và {yn = tn } trong K ta có:
1
n2

xn − yn ≥

1
n2

−

1
.
n2

Cho n → ∞ ta có diamK ≥ 1 vậy diamK = 1.
Với mọi x ∈ K ta có tn x(t) ∈ K và:


0 : t < 1
n
t x(t) →

1 : t = 1
24