Luận văn thạc sĩ vật lý: Vật chất tối trong mô hình chuẩn với đơn tuyến vô hướng thực

Bộ Giáo dục và Đào tạo

Viện Hàn lâm Khoa học Và Công nghệ Việt Nam

Viện Vật lý

Nguyễn Thị Liên

Vật chất tối trong mô hình chuẩn với đơn tuyến vô hướng thực

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62.44.01.03
Thầy hướng dẫn: TS.Phùng Văn Đồng

Luận văn thạc sĩ

Hà Nội—2014


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Phùng Văn Đồng đã tận
tình bảo ban, hướng dẫn em học tập, nghiên cứu trong suốt thời gian em học tập và
hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô cùng các anh chị trong nhóm nghiên cứu
lý thuyết trường: thầy Hoàng Ngọc Long, cô Đỗ Thị Hương, anh Lê Thọ Huệ, anh
Cao Hoàng Nam đã động viên em những lúc em gặp khó khăn, giúp đỡ chỉ bảo ân
cần tận tình cho em. Thầy cô và các anh chị đã giúp em trang bị những kiến thức
chuyên môn quan trọng. Những điều mà em học được từ các thầy cô và các anh chị
sẽ là hành trang vô cùng quan trọng trên con đường học tập và nghiên cứu sau này.
Em xin trân trọng cảm ơn Viện vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em
trong quá trình học tập cũng như trong quá trình làm việc.

Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn ở bên ủng hộ, động viên, giúp
đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện, song bản luận văn khó tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô, anh
chị và bạn bè.

ii


Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Các ký hiệu chung

v

Danh sách các bảng

vi

1 Mô hình chuẩn

6

2

3

Mô hình Silveira-Zee cho vật chất tối

13

2.1

Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Chéo hóa thế vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Tương tác của vật chất tối với hạt Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Mật độ vật chất tối

19

3.1

Quá trình hủy hai hạt S ra hai hạt H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2

Quá trình hủy hai hạt S ra hai hạt W − W + . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3

Quá trình hủy hai hạt S ra hai hạt Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4

Quá trình hủy hai hạt S ra hai hạt top quark . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5

Trung bình nhiệt toàn phần, đồ thị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1

Trung bình nhiệt toàn phần của các quá trình . . . . . . . . . . 32

3.5.2

Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii


Kết luận

37

iv

Các ký hiệu chung
Trong luận văn này tôi sử dụng các ký hiệu sau:

Nội dung

Viết tắt

Mô hình chuẩn (Standard Model)

SM

Glashow–Weinberg–Salam

GWS

Sắc động học lượng tử (Quantum Chromo - Dynamics)

QCD

Vật chất tối (Dark Matter)

DM

Mô hình Silveira-Zee

SZ

Hạt có khối lượng lớn tương tác yếu (weakly interacting massive partice) WIMP
Vệ tinh dò vi sóng dị hướng (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)

WMAP

Trung bình chân không (Vacuum Expectation Value)

VEV

v


Danh sách bảng
1.1

Các thế hệ quark và lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1

Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và bậc 4 với Higgs . . . . . . . . . . . 18

vi

7


Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Vũ trụ bao la vẫn còn rất nhiều điều bí ẩn đối với chúng ta.Trong những kì quan nhân
loại từng chiêm ngưỡng qua kính viễn vọng hiếm có thứ gì đẹp hơn Thiên Hà xoáy,
qua kính viễn vọng chúng đều hoạt động bình thường và ổn định. Vậy còn cơ chế
hoạt động bên trong chúng là gì? Bằng cách kết hợp những định luật vật lí của Isaac
Newton vào cuối thế kỉ 17 cùng với khối lượng tính được trong một Thiên Hà, các

nhà khoa học có thể tính được tốc độ quay của một Thiên Hà. Dùng những phương
pháp này giới thiên văn ước tính được tốc độ của các sao ở những vị trí khác nhau
so với trung tâm Thiên Hà. Ngôi sao ở gần trung tâm quay chậm, bởi vì tổng khối
lượng là rất nhỏ tính từ trung tâm đến chúng, nên lực hút rất nhỏ. Ngôi sao xa hơn
một chút di chuyển nhanh hơn, vì tổng lực hút từ nhiều ngôi sao tính từ nó tới tâm
Thiên Hà là lớn. Khi xa thật xa khỏi tâm Thiên Hà, các ngôi sao lại chuyển động
chậm. Khoảng cách lớn khiến lực hút chỉ còn rất yếu nên chúng chỉ chuyển động
thong thả trong quĩ đạo. Từ thực nghiệm, các nhà khoa học đã quan sát các Thiên
Hà và tính được tốc độ quay của các ngôi sao. Và điều ngạc nhiên, họ phát hiện các
ngôi sao gần tâm Thiên Hà chuyển động đúng như dự đoán nhưng ở xa lại nhanh
hơn dự đoán. Quan sát này đối nghịch với những định luật hấp dẫn và chuyển động
cổ điển. Từ đó mọi giả thuyết đều được xem xét lại. Và ngày nay, giới khoa học tin
vào câu trả lời nằm ở một loại vật chất trước đó ta không biết, đó là vật chất tối
(Dark Matter). Loại vật chất tối này được hình dung như một đám mây bao quanh
hầu hết các Thiên Hà. Loại vật chất này rất kì lạ. Nó bị tác động bởi lực hấp dẫn
nhưng nó vô hình trước ánh sáng nhìn thấy được và tất cả các dạng bức xạ điện từ
khác. Loại vật chất này không thể không thể tán xạ hay hấp thụ ánh sáng. Vật chất
1


tối làm tăng thêm lực hấp dẫn cho Thiên Hà và giải thích tốc độ quay của các ngôi
sao cách xa tâm Thiên Hà. Vẫn chưa thể quan sát trực tiếp vật chất tối nhưng giới
khoa học tin rằng nó có thật, phần lớn là vì những giả thuyết khác đều vô lí. Bằng
hàng loạt phương pháp, giới vật lí thiên văn không ngừng tìm kiếm bằng chứng cụ
thể để chứng minh giả thuyết vật chất tối là đúng.
Với bằng chứng thực nghiệm quan trọng, hiện nay lý thuyết vụ nổ lớn (Bigbang)
được cho là hợp lý nhất. Theo mô hình này, vũ trụ được hình thành sau một vụ
nổ Bigbang - đây được cho là thời điểm bắt đầu của vũ trụ. Bằng các quan sát, đo
lường, tính toán ta ước tính tuổi vũ trụ của chúng ta khoảng 13,8 tỉ năm. Vụ nổ này
là nguyên nhân sinh ra không gian, thời gian, toàn bộ vật chất, năng lượng trong vũ

trụ ngày nay. Các hạt tồn tại, tán xạ, sinh hủy trong bể nhiệt của vũ trụ và ở trạng
thái cân bằng nhiệt động. Khi vũ trụ giãn nở và nguội đi các hạt nặng không còn
tồn tại vì chúng phân rã, hủy thành các hạt khác nhẹ hơn. Trạng thái cân bằng nhiệt
động kết thúc khi tốc độ hủy hạt cân bằng với tốc độ giãn nở của vũ trụ. Các hạt
rã rất chậm hoặc bền có cơ hội tồn tại đến ngày nay. Quá trình trên gắn liền với sự
hình thành các quark, hadron, lepton, proton, electron. Khoảng ba phút sau vụ nổ,
các neutron tự do kết hợp với các proton trong phản ứng hạt nhân để hình thành
hạt nhân nặng đầu tiên. Phải mất khoảng 370000 năm mới có thể tạo thành nguyên
tử trung hòa. Và phải mất khoảng một tỉ năm những đám mây khổng lồ gồm các
nguyên tố nguyên thủy gom lại do lực hấp dẫn tạo thành các thiên hà. Thiên hà mà
chúng ta quan sát được ngày nay gồm các nguyên tử, phân tử, neutrino, bức xạ điện
từ, sóng hấp dẫn và dạng vật chất chúng ta chưa biết là vật chất tối[10]. Vật chất tối
được trông đợi là bền và không đều đặn phân hủy thành các hạt khác hoặc thành
các dạng bức xạ. Tại vùng lõi dày đặc của dải Ngân Hà, có lẽ các hạt vật chất tối
đã va chạm và phân hủy lẫn nhau. Quá trình này giải phóng những lượng lớn năng
lượng ở dạng tia gamma. Các quan sát tia gamma phát ra từ tâm dải Ngân Hà khớp
với tiên đoán của chúng ta cho khối lượng các hạt vật chất tối (mô hình lý thuyết
đơn giản nhất cho hạt WIMP cho khớp với kết quả tia gamma thực nghiệm).
Các bằng chứng chứng tỏ sự tồn tại của vật chất tối được đưa ra từ các quan sát
vũ trụ liên quan tới lực hấp dẫn vật lý. Chúng bao gồm: Mật độ tàn dư của vật chất
tối, các dị hướng của Bức Xạ nền Vi Sóng Vũ Trụ (CMB), thang vi mô của vũ trụ,

2


cũng như sự kiện thiên văn Bullet Clusters (Sự đụng độ của hai đám thiên hà) và
các hiệu ứng thấu kính hấp dẫn[5]. Trong khi chúng ta lại chưa biết rõ bản chất của
vật chất tối là gì, thì lại biết rõ rằng không thể mô tả hạt vật chất tối bằng Mô Hình
Chuẩn của vật lý hạt dựa trên bất biến chuẩn của nhóm SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y

và lý thuyết hấp dẫn Einstein - Hilbert dựa trên sự bất biến với các hệ tọa độ tổng
quát. Trong khi suy luận vật chất tối có nguồn gốc hấp dẫn thuần tuý có vẻ hợp lí,
thì những lý thuyết đã từng được đề xướng lại không thuyết phục bằng một phần
các lý thuyết đến từ quan điểm vật lý hạt. Đặc biệt mật độ tàn dư cho gợi ý mạnh
rằng vật chất tối có thể tương tác yếu với vật chất thông thường và nặng (vật chất
WIMP- các hạt tương tác yếu có khối lượng lớn). Nếu thật sự vật chất tối liên quan
đến thang điện yếu (năng lượng cỡ GeV tới 103 GeV), ta có thể hy vọng phát hiện
trực tiếp ra chúng từ đa dạng các thí nghiệm ngầm dưới mặt đất, cũng như phát hiện
gián tiếp qua các thí nghiệm trong không gian sử dụng quan trắc bằng khí cầu, vệ
tinh hoặc các trạm không gian. Hơn nữa, các hạt vật chất tối WIMP có thể sinh ra
trực tiếp tại các máy gia tốc năng lượng cao (LHC) khi bắn phá các hạt cơ bản mà
sự xuất hiện của một phổ kèm mất mát năng lượng, có lẽ được tách ra từ nền của
các neutrino trong mô hình chuẩn[1].
Vật chất trong tự nhiên vận động do bốn loại tương tác cơ bản: tương tác điện
từ, tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn. Tương tác hấp dẫn hoạt
động ở thang vĩ mô như trái đất, thiên hà, mặt trời...được mô tả thành công bởi
thuyết tương đối rộng [3]. Ba loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương
tác mạnh hoạt động ở thang vi mô như nguyên tử, phân tử được mô tả thành công
bởi mô hình chuẩn (SM)[3]. Mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng được coi là nền
tảng, cơ sở của vật lý hiện đại, đã thành công khi mô tả, giải thích các hiện tượng
với độ chính xác cao.
Mô hình chuẩn[2][4] rất thành công trong việc mô tả thế giới của các hạt cơ bản
và sự tương tác giữa chúng. Đáng chú ý, từ lâu giả thuyết về hạt vô hướng Higgs được
đưa ra để cung cấp khối lượng cho tất cả các hạt khác đã được phát hiện ra nhờ thí
nghiệm CERN- LHC. Mô hình chuẩn đã giải thích khá đầy đủ các hiện tượng đã biết
và tiên đoán các hiện tượng vật lý mới.
Bên cạnh những thành công rực rỡ đó, mô hình chuẩn vẫn còn tồn tại như:
3

1. SM mới chỉ thống nhất được ba trong bốn tương tác cơ bản.
2. Trong SM, neutrino không có khối lượng, số lepton thế hệ bảo toàn. Bằng chứng
thực nghiệm cho thấy neutrino có khối lượng nhỏ khác không và có sự trộn lẫn, số
lepton thế hệ không bảo toàn.
3. SM không trả lời được câu hỏi tại sao chỉ có ba thế hệ các fermion.
4. Tại sao lại có sự lượng tử hóa điện tích(các điện tích gián đoạn, có giá trị bằng
bội lần điện tích nguyên tố).
5. SM chưa thể giải thích được vấn đề bất đối xứng vật chất, phản vật chất. Thực
tế chúng ta chỉ quan sát được vật chất cấu thành từ các hạt, không tìm thấy bằng
chứng cho thấy sự tồn tại của phản vật chất, vi phạm các nguyên lý cơ sở của SM
[3].
6. Tại sao top quark lại nặng bất thường? Top quark được dự đoán trong SM có
khối lượng khoảng 10 GeV nhưng thực nghiệm xác định trên máy Tevatron ở Fermilab
vào năm 1995 cho ta khối lượng của top quark khoảng 175 GeV.
7. Hạt Higgs trong SM tiên đoán đã được tìm thấy trong máy gia tốc LHC. Đây
là kết quả quan trọng, có ý nghĩa to lớn trọng trong việc sinh khối lượng cho hạt cơ
bản, quyết định đến sự tiến hóa của vũ trụ. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa tìm được
câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi tự nhiên của Higgs là gì? Tại sao hạt Higgs
nặng cỡ 125 GeV trước các hiệu ứng lượng tử?
8. Mô hình chuẩn chưa dự đoán, giải thích được sự tồn tại của 26.8% vật chất
tối (dark matter), 68.3% năng lượng tối. Người ta đã chứng minh được rằng mô hình
chuẩn không chứa hạt nào là ứng cử viên cho vật chất tối.
Vì vậy, việc mở rộng mô hình chuẩn là cần thiết. Có rất nhiều hướng mở rộng
mô hình chuẩn như: mở rộng phổ hạt, mở rộng số chiều không gian, mở rộng siêu
đối xứng, mở rộng đối xứng chuẩn,....Mô hình mở rộng đơn giản nhất đó là mô hình
thêm một đơn tuyến vô hướng thực vào mô hình chuẩn với hi vọng sẽ làm xuất hiện
hạt mới là ứng cử viên của vật chất tối. Ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa hạt vật chất
tối vô hướng,các hạt Gauge Boson, các hạt Fermion và các hạt Boson Higgs, của mô
hình chuẩn. Ta cũng xem xét các ràng buộc toàn cục từ mật độ tàn dư WMAP, khối
lượng hạt Higgs cỡ 125GeV từ LHC. Điều này cho các tham số phù hợp của mô hình

4


là khối lượng vật chất tối mS , hằng số tương tác λ1 giữa vật chất tối và Higgs.

Mục đích nghiên cứu
• Xây dựng mô hình chuẩn với đơn tuyến vô hướng thực
• Khảo sát vai trò của DM trong mô hình, khối lượng và các tương tác của DM

với Higgs.

• Tính mật độ DM và so sánh thực nghiệm.

Đối tượng nghiên cứu
• Mô hình chuẩn.
• Vật chất tối.

Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, nội dung gồm:
• Chương I. Mô hình chuẩn.
• Chương II. Mô hình Silveira-Zee cho DM.
• Chương III. Mật độ DM .

Cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo.

Phương pháp nghiên cứu
• Lý thuyết trường lượng tử, giản đồ Feynman.
• Phần mềm tính toán: Mathematica.
5

Chương 1
Mô hình chuẩn
Năm 1979, Sheldon Glashow, Abdus Salam và Steven Wienberg đã được giải Nobel
nhờ lý thuyết thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu (electroweak theory).
Tương tác hạt nhân yếu và tương tác điện từ trở nên thống nhất ở thang năng lượng
đủ lớn. Lý thuyết không chỉ mô tả khá đầy đủ các hiện tượng trong tự nhiên mà còn
có rất nhiều dự đoán chính xác, một trong những số đó phải kể đến đó là dự đoán
khối lượng các hạt W và Z là 80GeV, 91GeV; khối lượng của Higgs cỡ 125 GeV và đã
được kiểm chứng thực nghiệm. Sự kết hợp của lí thuyết điện yếu và sắc động lực học
điện tử (quantum chromodynamics - QCD)[12][13][14] của tương tác hạt nhân mạnh
được giới Vật lý hạt gọi chung là Mô Hình Chuẩn (Standard Model - SM).
SM là mô hình mô tả ba tương tác mạnh, điện từ và yếu; được xây dựng trên
nhóm đối xứng chuẩn [1][2] SU(3)C ×SU(2)L ×U(1)Y của phép biến đổi Unitary. Nhóm

SU(3)C là nhóm đối xứng không Abel mô tả tương tác mạnh và là đối xứng màu của

các quark, có 8 hạt truyền tương tác là gauge boson (gluon) không có khối lượng liên
kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong QCD. Nhóm đối xứng SU(2)L
là nhóm spin đồng vị điện yếu không Abel, tác động lên các fermion phân cực trái.
Nhóm đối xứng U(1)Y trộn với thành phần trung hòa W3 của SU(2)L tạo nên trường
photon A và trường điện yếu Z, là nhóm chuẩn gắn với số lượng tử là siêu tích yếu
Y. Nhóm đối xứng SU(2)L × U(1)Y mô tả tương tác điện yếu với 4 hạt truyền tương

tác là các hạt boson chuẩn; trong đó các hạt Wµ± (mang điện) và hạt Zµ (không mang
điện) có khối lượng,các hạt này truyền tương tác yếu (tương tác tầm gần); hạt Aµ
không mang điện và không khối lượng (photon) truyền tương tác điện từ (tương tác
6

Thế hệ
Quark
Lepton

I
u
d
νe
e

II
c
s
νµ
µ

III
t
b
ντ
τ

Bảng 1.1: Các thế hệ quark và lepton

tầm xa)[4]. Mô hình chuẩn giải thích sự tồn tại của các hạt và tương tác giữa chúng
chỉ với các lepton (e, µ, τ, νe , νµ , ντ ), quark (u, d, c, s, t, b) và 12 hạt truyền tương tác
(photon,Wµ± , Zµ , 8 gluon). Các quan sát thí nghiệm cho kết quả phù hợp với mô hình
chuẩn ở mức độ chính xác rất cao ở vùng năng lượng cho đến TeV. Các quark và các
lepton là các hạt fermion được sắp xếp thành 3 thế hệ. Cả quark, lepton đều được
chia thành từng cặp (bảng 1.1).

Các hạt lepton mang điện electron(e), muon(µ), tau(τ ) đều có neutrino tương ứng
không mang điện νe , νµ , ντ . Electron bền và dường như có mặt trong tất cả các dạng
vật chất. Các hạt muon và tau không bền tìm chủ yếu trong quá trình rã. Sự kết hợp
3 vị quark thành tam tuyến để tạo ra bayron, sự kết hợp quark và phản quark tạo
thành meson. Các hạt trong SM được sắp xếp dưới dạng đối xứng chuẩn như sau:
Với lepton :
ψiL =

νi
li

L

li,R ∼ (1, 1, −2)

∼ (1, 2, −1),
i = e, µ, τ.

(1.1)

Với quark:
QiL =

ui
di

L

4
ui,R ∼ (3, 1, )

3
−2
)
di,R = (3, 1,
3

1
∼ (3, 2, ),
3
ui = u, c, t
di = d, s, b.

(1.2)

Ngoài 3 tương tác trên các hạt có thể có tương tác hấp dẫn. Tuy nhiên, tương tác
hấp dẫn rất nhỏ và được bỏ qua.
Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của SM. Cơ chế Higgs là quá trình
7


trong đó các gauge boson có thể nhận được khối lượng khác không thông qua phá vỡ
đối xứng tự phát. Cách thực hiện đơn giản nhất của cơ chế là đưa thêm trường Higgs
vào lý thuyết trường chuẩn. Sau đó sự phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng định
xứ làm cho trường Higgs tương tác với các trường khác của lý thuyết trường chuẩn,
và sinh khối lượng cho các gause boson. Phá vỡ đối xứng cũng sinh ra những hạt vô
hướng (spin= 0) cơ bản, còn gọi là boson higgs. Trong SM, cơ chế Higgs sinh khối
lượng cho các gause boson W, Z của tương tác yếu thông qua sự phá vỡ đối xứng
điện yếu[3]. Cần đưa thêm vào lưỡng tuyến Higgs
φ=

φ+
φ3√
+iφ4
2

(1.3)

.

Trước phá vỡ đối xứng tự phát, có 4 trường Higgs có khối lượng:
φ=

φ+

1
=√
2

φ0

φ1 + iφ2

(1.4)

φ3 + iφ4

V( φ) = m2 φ+ φ + λ(φ+ φ)2

m
⇒ mφ1 = mφ2 = mφ3 = mφ4 = √

2

m2 2
λ
=
(φ1 + φ22 + φ23 + φ24 ) + (φ21 + φ22 + φ23 + φ24 )2
2
4

(1.5)

Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, trường vật lý bị dịch chuyển, khai triển V(φ) quanh
trị trung bình chân không:

1
φ= √
2

φ1 + iφ2

(1.6)

v + φ3 + iφ4

Thay vào biểu thức thế năng, bỏ qua các số hạng bậc 3, 4 và chú ý: −2λv 2 = m2 thì

ta tìm được khối lượng các hạt Higgs sau khi phá vỡ đối xứng tự phát là:
mφ1 = mφ2 = mφ4 = 0, mφ3 =

√

2m

(1.7)

Ta thấy sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì mô hình chuẩn xuất hiện 1 hạt Higgs
có khối lượng, 3 hạt Goldston boson bị ăn mất, do đó sẽ có 3 gause boson được sinh
8


khối lượng. Đó chính là 3 hạt truyền tương tác yếu, ta sẽ đi tìm khối lượng cho các
hạt này.
Ta khảo sát với số hạng động năng của trường Higgs:
σa ′ a
Y
Aµ − ig ′ Bµ )φ
2
2
′
′
g
g
Pµφ ≡ (σa Aµa + YW Bµ )
2
g

Dµ φ = (∂µ − ig

(1.8)

Ta chỉ quan tâm tới thành phần chứa trường chuẩn:
g
Pµφ φ =
2

g′
g YW Bµ
′
′
1
Aµ + iAµ2

′

Aµ3 +

′

′

Aµ1 − iAµ2
′

−Aµ3 +

g′
g YW Bµ

φ1√
+iφ2

2
v+φ√
3 +iφ4
2

(1.9)

Ta có định nghĩa sau khi thực hiện chéo hóa ma trận khối lượng:
′
′
′
′
1
1
Wµ+ = √ (Aµ − iAµ2 ), Wµ− = √ (Aµ1 + iAµ2 )
2
2
′
′
3
3
Zµ = −Aµ cosθW + Bµ sinθW , Aµ = Aµ sinθW + Bµ cosθW

(1.10)

Trong đó:
g′
= tanθW
g

(1.11)

Phổ khối lượng gause tại trị trung bình chân không:
1
< φ >0 = √
2

0

(1.12)

v

Lmass = (Dµ < φ >0 )+ (Dµ < φ >0 )
= (−iPµφ < φ >0 )+ (iP µφ < φ >0 )
√
2Wµ+
g 2v 2 √
Z
µ
−
=
2Wµ cosθW
Zµ
8
cosθW

=
⇒ mWµ− = mWµ+ =

gv
gv
, mZ =
, mAµ = 0
2
2cosθW

9

g 2v 2
4

Wµ− Wµ+ +

g2v2
8cos2 θW

Zµ Z µ

(1.13)


Trong mô hình chuẩn, các Lepton và Quark phân cực trái, nên nó biến đổi như
lưỡng tuyến của SUL (2). Tuy nhiên, theo thực nghiệm các Lepton và Quark phân cực
phải, nên biến đổi như đơn tuyến SUL (2). Do đó số hạng của chúng có dạng:
¯R ψL + ψ¯L ψR )
mψψ
¯ = m(ψ

(1.14)

không bất biến dưới nhóm chuẩn. Do đó cần phải xây dựng tương tác Yukawa để
sinh khối lượng cho các Quark và Lepton, và xây dựng tương tác này bằng tay
Nguyên tắc chung để xây dựng tương tác Yukawa:
- Tương tác giữa Fermion - phản Fermion - Higgs phải bảo toàn số fermion.
- Lagrangian tương tác phải bất biến dưới nhóm SUL (2) và nhóm UY (1)
- Lý thuyết phải tái chuẩn hóa được.
Tương tác Yukawa có trong mô hình chuẩn:
j
LYukawa = hlij ψLi φlR
+ hdij QiL φdjR + hc

(1.15)

Trước khi phá vỡ đối xứng tự phát, các Lepton không có khối lượng:
φ+

φ=

hlij

ν¯Li

¯li
L

+ hdij

u¯iL

d¯iL

LYukawa =

(1.16)

φ3 + iφ4
φ+
φ3 + iφ4
φ+
φ3 + iφ4

j
lR

djR + hc

i +
i i
= hlij (¯
νLi lR
φ + ¯lL
lR (φ3 + iφ4 )) + hc

uiL djR φ+ + d¯iL djR (φ3 + iφ4 )) + hc
+ hdij (¯

(1.17)

Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát:

φ=

φ+
√v
2

+ φ3 + iφ4

v
i +
i i
LYukawa = hlij (¯
νLi lR
φ + ¯lL
lR ( √ + φ3 + iφ4 )) + hc
2
v
j
d
i j +
i
+ hij (¯
uL dR φ + d¯L dR ( √ + φ3 + iφ4 )) + hc
2
10

(1.18)

(1.19)

Đồng nhất số hạng khối lượng ta thu được:
v
mlij = hij √
2

(1.20)

v
mdij = hij √
2

(1.21)

Với các số hạng tương tác Yukawa như trên thì các Lepton có khối lượng, các DownQuark có khối lượng, còn các Up-Quark chưa có khối lượng. Để sinh khối lượng cho
các Up-Quark ta sử dụng phản lưỡng tuyến Higgs φ′ :
(1.22)

φ′ = −iσ 2 φ∗

Tương tác Yukawa cho các Up-Quark:
¯ i uj φ′ + hc
LYU −Quark
= huij Q
L R
ukawa
= huij

√v
2

u¯iL d¯iR

+ φ3 − iφ4
φ−

uiR + hc

v
= huij [¯
uiL ujR ( √ + φ3 − iφ4 ) − d¯iR ujR φ− ] + hc
2

(1.23)

u v
Ta được khối lượng của Up-Quark là: mij
u = hij √2

Lagrangian toàn phần của SM :
Ltot = Llepton + Lquark + LHiggs + Lgauge + LYuk + Lgf + LFPG .

(1.24)

µ
µ
ψL + ilR γµ DlR
lR ,
Llepton = iψL γµ DlL

(1.25)

Trong đó:

Với:
g′
µ
DlL
= ∂ µ − igTa Aaµ − i YlL B µ ,
2
′
g
µ
DlR
= ∂ µ − i YlR B µ ,
2

µ
Lquark = iQiL γµ DQ
QiL + iuiR γµ DqµR uiR + idiR γµ DqµR diR ,
iL

11

(1.26)
(1.27)

(1.28)

g′
µ
µ
iµ
bµ
YQiL B µ ,
DQ
=
∂
−
ig
t
G
−
igT
A
−
i
s i
b
iL
2
′
g
DqµR = ∂ µ − igs ti Gaµ − i YqR B µ
q = u, d.
2

( i =1,2,...,8)

(1.29)

(b = 1,2,3).

LHiggs = (Dµ φ)† (D µ φ) − V (φ),

(1.30)

Trong đó:
g′
D µ = ∂ µ − igTa Aaµ − i YH B µ ,
2
2 +
+ 2
V (φ) = m φ φ + λ φ φ ,

Lgauge

a
−F aµν Fµν
Gaµν Gaµν
B µν Bµν
=
−
−
,
4
4
4

(1.31)
(1.32)

Trong đó:
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gεabcAbµ Acν

Gbµν = ∂µ Giν − ∂ν Giµ − igs Gjµ Gkν f ijk
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ,

a = 12,3

i,j,k= 1,2,...8.

j
+ hdij QiL φdjR + huij QiL (iσ2 φ∗ ) uiR + hc,
LYukawa = hlij ψLi φlR

Lgf = −

(1.33)

∂ µ Wµ+ ∂ ν Wν−
ξ

2

−

(1.34)

2

(∂ µ Zµ )
(∂ µ Aµ )
−
.
2ξ
2ξ

(1.35)

LFGP : Trường ma xuất hiện do điều kiện lượng tử hóa trường chuẩn. Trong đó số

hạng LYuk sinh khối lượng cho các lepton và các quark. Trong SM neutrino không có
phân cực phải nên không có khối lượng Dirac. Do SM bảo toàn số lepton nên neutrino
không có khối lượng Majorana trong mô hình chuẩn. Nhận thấy trong SM không có
hạt nào là ứng cử viên của vật chất tối, mở rộng SM là điều cần thiết dể giải quyết
những tồn tại của SM.

12


Chương 2
Mô hình Silveira-Zee cho vật chất tối
2.1

Lagrangian

Các quan sát thiên văn khẳng định sự tồn tại của vật chất tối chiếm 26.8%. SM không
có hạt nào là ứng viên của vật chất tối. Để giải quyết vấn đề này,ta mở rộng mô hình
chuẩn bằng cách thêm một đơn tuyến vô hướng thực[5][6][7]. Mô hình mới (có tên là
mô hình Silveiza-Zee) có dạng: SZ = SM + S +Z2
Trong đó:
S: Đơn tuyến vô hướng thực ∼ (1, 1, 0)
SM: Mô hình chuẩn.
Z2 : Đối xứng chẵn lẻ được đưa vào sao cho:
Z2

SM −→ SM,
Z2

S −→ −S

(2.1)

Lagrangian toàn phần của mô hình:
LSZ = LSM + LS
1
LS = (∂µ S)(∂ µ S) − VS
2

(2.2)

Trong đó: 21 (∂µ S)(∂ µ S) là thành phần động năng của đơn tuyến vô hướng S. Thế có
dạng[1]:
VS = µ2s S 2 + λs S 4 + λ1 S 2 φ† φ
13

(2.3)


Thế năng của đơn tuyến vô hướng thực S không chứa tương tác bậc 1 và bậc 3 vì bậc
1 và bậc 3 là tích của các trường lẻ, chúng không bất biến với Z2 . Ta thấy S không
thể rã do bảo toàn Z2 ,do đó nó có thể là một ứng cử viên khả thi cho WIMP (hạt
DM tương tác yếu có khối lượng).

LSM ⊃ (Dµ φ)† (D µ φ) − Vφ ,
Vφ = m2 φ† φ + λ(φ† φ)2

(2.4)

Thế năng tương tác toàn phần của trường vô hướng là:
VSZ = Vφ + VS
= m2 φ† φ + λ(φ† φ)

2.2

2

+ µ2s S 2 + λs S 4 + λ1 S 2 φ† φ

(2.5)

Chéo hóa thế vô hướng

Để sinh khối lượng cho các hạt cần phá vỡ đối xứng tự phát bằng cách cho φ có VEV.
Sự phá vỡ đối xứng tự phát là hiện tượng Lagrangian bất biến với phép biến đổi đối
xứng, nhưng chân không là không bất biến với phép biến đổi chuẩn[3]. Trị trung bình

chân không của trường vô hướng là nghiệm của cực tiểu thế năng:
∂VSZ
= m2 φ† + 2λ(φ† φ)φ† + λ1 S 2 φ† = 0
∂φ

(2.1)

Xét cực tiểu thế năng tại trị trung bình chân không, vì S là hạt lẻ đối với nhóm
đối xứng Z2 nên có: VEV = 0,
< S >= 0
< φ >=

0
√v
2

(2.2)

Với :
v2 =

−m2
λ

Và m2 < 0; λ > 0; µ2S > 0; λS > 0
14

(2.3)

Trường vô hướng φ phá vỡ đối xứng, tương tác với các trường khác thông qua thế
năng V. Khai triển trường Higgs thông qua trị trung bình chân không, ta có:
φ =< φ > +φ

′

0

=

φ† φ =

ϕ−

H+iA
√
2

ϕ†

=

φ† =

+

√v
2

ϕ†

v+H+iA
√
2

√
ϕ− v+H−iA
2

v+H−iA
√
2
2
v + 2vH

= ϕ− ϕ† +

√
ϕ† v+H+iA
2

+ H 2 + A2
2

(2.4)
(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Thế năng tương tác của trường là:
2

VSZ = m2 φ† φ + λ(φ† φ) + µ2s S 2 + λs S 4 + λ1 S 2 φ† φ
= V0 + Vlinear + Vmass + Vint

(2.9)

SH1 = m2 φ† φ
=
SH2 =
=
=

m2 v 2
m2 H 2 m2 A2
2
m ϕ ϕ +
+ m vH +
+
2
2
2
† 2
λ(φ φ)
v 2 + 2vH + H 2 + A2
λ(ϕ− ϕ† ) +
2

− † 2
2 − †
[(λ(ϕ ϕ ) + v ϕ ϕ + 2vϕ− ϕ† H + ϕ− ϕ† H 2 + ϕ− ϕ† A2
1
+ (v 4 + 4v 2 H 2 + H 4 + A4 + 4v 3 H + 2v 2 H 2 + 2v 2 A2 + 4vH 3
4
+4vHA2 + 2H 2A2 )]
2 − †

1
= λ(ϕ− ϕ† )2 + λv 2 ϕ− ϕ† + 2λvϕ− ϕ† H + λϕ− ϕ† H 2 + λϕ− ϕ† A2 + λv 2
4
1
1
1
1
1
+λv 2 H 2 + λH 4 + λA4 + λv 3 H + λv 2 H 2 + v 2 A2 + λvH 3 + λvHA2 + H 2 A2
4
4
2
2
2
SH3 = λ1 S 2 φ+ φ
15


v 2 + 2vH + H 2 + A2
)
2

1
1
1
= λ1 S 2 ϕ− ϕ† + λ1 v 2 S 2 + λ1 vS 2 H + λ1 S 2 H 2 + S 2 A2
2
2
2
SH4 = µ2s S 2
= λ1 S 2 (ϕ− ϕ† +

SH5 = λs S 4
1
m2 H 2 1 2
+ λv ) + (m2 v + λv 3 )H + [(m2 + λv 2 )ϕ− ϕ† + (m2 + 3λv 2 )H 2
V(φ,s) = (
2
4
2
1 2
1
+ (m + λv 2 )A2 + (µ2s + λ1 v 2 )S 2 ] + [λ1 vS 2 H + λvH 3 + λvHA2 + 2λvϕ− ϕ† H]
2
2
1
1
1
1
+[λϕ− ϕ† A2 + λ1 ϕ− ϕ† S 2 + λ(ϕ− ϕ† )2 + λH 4 + λA4 + H 2 A2 + λ1 S 2 H 2
4
4

2
2
1
+ λ1 S 2 A2 + λs S 4 ]
(2.10)
2

Từ biểu thức thế năng toàn phần ta có:
V0 =

1 2 2 1 2
m v + λv
2
4

(2.11)

V0 không phụ thuộc vào trường, nó chính là năng lượng chân không (không có hiệu

ứng vật lý)
Vlinear = (m2 v + λv 3 )H = 0
1
1
Vmass = (m2 + λv 2 )ϕ− ϕ† + (m2 + 3λv 2 )H 2 + (m2 + λv 2 )A2
2
2
1
2
2 2
+(µs + λ1 v )S

2

(2.12)

Đồng nhất hệ số tìm khối lượng của các hạt. Số hạng khối lượng của các hạt là:
mϕ− ϕ† = m2 + λv 2 = 0, v 2 = −
m2H = m2 + 3λv 2

m2
λ

m2A = m2 + λv 2 = 0
m2S = 2µ2s + λ1 v 2

(2.13)

Vint = (λ1 vS 2 H + λvH 3 + 2λvϕ− ϕ† H)
+(λϕ− ϕ† H 2 + λϕ− ϕ† A2 + λ1 ϕ− ϕ† S 2 + λ(ϕ− ϕ† )2
1
1
1
1
1
+ λH 4 + λA4 + λA2 H 2 + λ1 S 2 H 2 + λ1 S 2 A2 + λs S 4 )
4
4
2
2
2
16

(2.14)


2.3

Tương tác của vật chất tối với hạt Higgs

Ta đã biết 2 hạt vật lý vô hướng trong mô hình là:
S = S′
S+ = S′
φ =
φ+ =

+

ϕ+

√
ϕ+ v+H+iA

v+H−iA
√
2

ϕ−

2

v+H−iA

√
2

(2.1)

Hạt vô hướng φ là chẵn đối với nhóm đối xứng Z2 , S là lẻ đối với nhóm đối xứng Z2 .
Để bảo toàn tính chẵn lẻ, số hạng khối lượng không có sự trộn lẫn giữa 2 hạt S và φ.
Vì vậy các hạt vô hướng trong mô hình đều là các hạt vật lý.
Khai triển thế năng tương tác tại lân cận trung bình chân không ta được thế năng
tương tác:
VSZ =

(λ1 vS 2 H + λvH 3 + 2λvϕ− ϕ† H) + (λϕ− ϕ† H 2 + λϕ− ϕ† A2 + λ1 ϕ− ϕ† S 2 + λ(ϕ− ϕ† )2 )
1
1
1
1
1
(2.2)
+( λH 4 + λA4 + λA2 H 2 + λ1 S 2 H 2 + λ1 S 2 A2 + λs S 4 )
4
4
2
2
2

Tương tác của S; H với Boson chuẩn và Fermion:
- Không có tương tác giữa S và Boson chuẩn vì S∼ (1, 1, 0) :
Dµ S = ∂µ S

(2.3)

- Không có tương tác giữa S và Fermion vì:

Z2

SM −→ SM,
Z2

S −→ −S
17

(2.4)


Tương tác
S 2H
H3
H4
S 2H 2

Hệ số đỉnh tương tác
i2λ1 v
iλv
i6λ
i2λ1

Bảng 2.1: Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và bậc 4 với Higgs

Nên thế năng tương tác của mô hình được viết lại như sau:

λ1
λ
Vint = λ1 vS 2 H + λvH 3 + H 4 + S 2 H 2
4
2

(2.5)

Đồng nhất hệ số, sử dụng qui tắc bóc vỏ để tìm hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và bậc 4
của trường.
Hệ số tương tác bậc 3 và bậc 4 được liệt kê trong bảng2.1:

18


Chương 3
Mật độ vật chất tối
Phổ các hạt vô hướng trong mô hình có chứa S trung hòa và là hạt lẻ với đối xứng
Z2 . Do đối xứng Z2 là một đối xứng chính xác và không bị phá vỡ của mô hình nên

S sẽ bền và không bị phân rã. Hạt S có thể là vật chất tối nếu mật độ tàn dư của nó
chiếm khoảng 26.8% so với mật độ toàn phần của vũ trụ hiện nay.
Trong thời kì vũ trụ sớm hạt S cũng như toàn bộ các hạt khác trong toàn bộ mô
hình tồn tại trong bể nhiệt và nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Trong quá
trình đó xảy ra đồng thời hai quá trình thuận nghịch : hủy hạt S sinh ra hai hạt trong
mô hình chuẩn và ngược lại hai hạt trong mô hình chuẩn tuy nhẹ hơn nhưng nằm
trong bể nhiệt của vũ trụ nên sẽ có đủ năng lượng để tán xạ ngược sinh ra hai hạt S.
Khi vũ trụ mở rộng và nguội đi cho đến khi nhiệt độ nhỏ hơn khối lượng S, quá
trình hủy hạt S sẽ chiếm ưu thế, vì năng lượng do có trong bể nhiệt sẽ không đủ để
hai hạt trong mô hình chuẩn tán xạ sinh ra hạt S trở lại. Do đó mật độ hạt S sẽ giảm

rất nhanh theo hàm số mũ.
Tuy nhiên, do vũ trụ giãn nở các hạt S sẽ có ít cơ hội tương tác với nhau (mật
độ hạt S giảm nhanh khi thể tích của vũ trụ tăng) . Đến khi tốc độ hủy hai hạt S
cân bằng với tốc độ giãn nở của vũ trụ (chính là tham số Hubble, nhiệt độ vũ trụ ở
đây gọi là freezeout) vật chất tối không hủy được nữa, trạng thái cân bằng nhiệt kết
thúc.
Hạt S còn sống sót và tồn tại cho đến ngày hôm nay với mật độ tàn dư được xác

19