Đề cương ôn tập giải tích môn Toán lớp 12 học kì 2

Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

CHƯƠNG III
III
CHƯƠNG
NGUYÊNN HÀ
HÀM
M,, TÍCH
TÍCH PHÂ
PHÂNN VÀ
VÀ ỨỨNNGG DỤ
DỤNNGG
NGUYÊ

II. TÍCH
TÍCH PHÂ
PHÂN
N
II.
1. Khái niệm tích phân

• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
F(b) – F(a) đgl tích phân của f
∫ f ( x )dx từ a đến b và kí hiệu là .
a

b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, a
tức là:
b

∫

b

b

f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a)

• Ý nghóa hình
học: Nếu hàm số
y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
a

a

a

2. Tính chất của tích phân
ab
•
•
• (k: const) bb 0
fdx

)dx
k∫=ff0((xxb))dx
dx b
b
b
c( x==
b−
∫ kff ((x∫x))dx
•
•
aag
0
b
a
f
(
x
f
)
(
±
x
)
dx
(
x
)
=
dx
f

=
(
x
)
dx
f
(
x
+
)
dx
[
]
b ∫
• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; ∫ ∫
∫
∫ f±( x∫)gdx( x )dx
a
a
a ≥0c
a
∫ fa( x )dx
b] thì
a
• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số

b

∫

a

trong đó: u = u(x) có ∫ f [ u( x )] .u '( x )dx = ∫ f (u)du
u( a )
đạo hàm liên tục trên K, a
y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
xác đònh trên K, a, b ∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:

b

b

b

∫ udv = uv − ∫ vdu
a

a

tính

– Trong phương pháp tích b
vdu
∫ udv
hơn .

Chú ý: – Cần xem lại các
phương pháp tìm nguyên hàm.
phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ
a

a

Trang 84

a

b

f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx

u( b )

b

b

S = ∫ f ( x )dx

a


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)

Chú ý: Để sử dụng phương
pháp này cần phải:

a

– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2 2

a)
d)

2

x3− 1 3 x +1
2
)dx
+ 1)dx
∫1 (∫x( x∫1+3 +x 22+xedx
1
122 323
xxx+−−x22+x12

x 2 ( x − 1)dx
dx
dx
31
x
x
+
x
011

b)

k) l)

(

)

4
1 2x1 +x 4 2
dx
∫ ( x + x∫+∫ 22x +2 x dx)dx
− 2−1 xx + 2
1

e

−1

2

m)

Bài 2. Tính các tích phân sau:

25

2
dx 3
2
(
x
+
∫ ∫ x∫ +x2x ++x 1+dxx −x )2dx
1 2 41
22
2 xdx
dx
∫∫0002x 3xx + 9dx
3 − x 23
1+

c)
d)

c)
e)

f)
g)

∫∫∫

a)

b)

e)
f)

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)
d)

b)

c)
e)

ππ π
π
2 6 π sin(
π 2 x + ) dx
62 +
(2sin
0
xx++3cos
cosx
x xdx

)dx
4sin
34 3
tan
x
.
dx
2
2
π 0 (2 cot
3tan x x+ dx
5) dx
3 ππ ππ0π cos2 x
2 22
dx x
6 4 12− cos
sin x.cos2dx
xdx
π
π1 +
1
+
cos
sin
x
x
0 00
3
4
4

2

∫

∫∫(
∫ ∫

f)
g)

h)

i)

)

∫ ∫∫

x − cot
x dxx )
∫ (tan
∫ cos

−

π
6

0

dx

Dạng 1: Giả sử ta cần tính .
Nếu viết được g(x) dưới bg( x ) = f [ uu((xb ))] .u '( x )
a
∫ g( x )dx = ∫ f (u)du
dạng: thì
u( a )
β
Dạng 2: Giả sử ta cần tính . a
∫ f ( x )dx
Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a,
α
b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b)
( g(tb) = f [ x(t)] .x '(t)) b
f ( x )dx = ∫ f [ x (t )] x '(t )dt = ∫ g(t )dt

∫ g( x )dx

β

Dạng 2 thường gặp
ở các trường hợp sau:

α

∫

m)

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng
phương pháp đổi biến số

b

thì

k)

a

a

Trang 85


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

f(x) có chứa

Cách đổi biến
π
π
x = a sin t ,
− ≤t≤
2
2

a2 − x 2

x = a cos t,

0≤t ≤π

hoặc
a2 + x 2

x = a tan t,

π
π
2
2

−

x = a cot t,

0
hoặc
 π π
a
,
t ∈  − ;  \ { 0}
sin t
 2 2

Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
111 1
a)
c) d)
xa 2
xdx
 π b)
dx
−−x2x)19
dx t ∈ [ 0; π ] \  
3,dx
∫∫0xx∫(1=(1+1cos
e)
f)  2 g)
h) e 1 +2e 3ln2ln22 x+ eln
lnx xx3 dx
x +
)t 1
2x
00 0
x
1
+
∫∫1 x∫ 12+xexx dx
Bài 2.
Tính các tích phân ∫1
0 0
sau :
ln 2 x x −2x x
c)

d)
e .xe dx a) b)
1)
∫∫0112e∫e0ln(xe42(1+−−xe5ln
dx
)dx e)
π
x
f)
g)
e 1+
1lnexx
e x +x1
cos x4 e
2
dx
e
sin
h)
∫0∫1 ∫1∫x0 2xxxdx
i
1 1e ln xx2
i)
k)
m)
n)
dx
∫∫10 xe1 dx
dx
xx x2

0 1+ e
Bài 3 . Tính các tích phân sau :
π
4
5
1) 2)
3)
dx
3 π3 22x 2 − 3 x dxx
∫
∫
4)
5)
6)
2
2
x 2−x3−x−3+432 )dx
(cos
−1π 3 xx+ sin
∫
2
π
∫
∫ 3x −+ 1 dxdx
7)
8)
9)
4
0
xdx

1
63 x.cos
23∫2πesin
2
2
10)
11)
12)
2ln x
1
cos
tan
3xx+x.cos3
.sin
xdx
7dx
xdx
02sin
∫
∫
dx
π
π
sin
x
∫
∫
23
13)
14)

00 0
xx 3 dx
2∫106 1 + x dx
15)
1
+
3cos
∫
5
5 x
4
0sincos
x.cos
xdxxdx
π∫ lnπ0∫2 x3 x+ 4
16)
17)
18)
e
+
1
0 0
2 ∫2 2 1
dx
sin x x
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng
e
.sin
dx
2

xdx
e
∫ 0∫
phương pháp tích phân từng 0 π sin 4 x
4
phần
x 2 − a2

x=

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

b

b

b

a

a

a

a

x
∫ P( x ).e dx

u
dv

∫ P( x ).cos xdx

P(x)

P(x)
cos xdx

x

e dx

∫ P( x ).sin xdx
P(x)
sin xdx

∫ P( x ).l n xdx
lnx
P(x)

Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

2ππ
4

0

0
0

x cos xdx
∫
(
x
+
sin
x sin x2)xdx
cos xdx
∫ ∫Trang
86
2

2

a)

b)

c)


Nguyên hàm – Tích phân
d)

e)

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất
f)

11π

dx
)dx
∫3((1xx−−tanx2.)e2exxdx
x) dx
∫0π∫ln(∫∫xxxeln−xdxdx
3

2 x

0

2

2x

eln 2

g)

h)
i)

10

k)

l)
Bài 2 : Tính các tích phân sau :
π π5lnππ2
1)
2)
cos x x
2
4
(
e
2
x
x
(1
(
.cos3
ln(
e
+
+
cos
−
x
x
1)
−
)sin
xdx
1)
x

)
dx
dx
xdx
∫ ∫ ∫ x.tan xdx
3)
4)
0 0
2 0∫
5)
6)
0
7)
8)
4

9)

π2
2

x + ln x) dx
∫∫ (2
( x + 1) cos xdx
1
0

π 2e 2
x + ln x
2

( x + 1)e2 xdx
dx
(101− sinxx2).cos xdx
0

∫

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối

3

∫

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

∫
0

22

x∫∫2 x+x2 −2−x2x−dx
dx
3 dx
00

a)

b)
c)

d)

e)

4

3

2 2

∫ ∫x x− 6−x1+dx9dx

1 −3

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
ππ
42

π
4

sin x
2tan
x. cos
xdxxdx

dx
∫0∫0sin
∫
1+
3
cos
x
0

a)
c)
d)

b)

g)

h)

e)

ππ
2

f)
πππ
2
22

sinxxcos

cos xdx
xdx
∫∫0∫sin
sin 3 x cos4 xdx

00

Trang 87

i)

cos x3dx
x
∫∫∫sin
sin xdx
00
0

22
3