Đề cương ôn tập giải tích môn Toán lớp 12 học kì 2

Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

III. Ứ
ỨN
NG
G DỤ
DỤN
NG
G TÍCH
TÍCH PHÂ
PHÂN
N
III.
1. Diện tích hình phẳng

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
là:
S = ∫ f ( x ) dx
(1)
a

• Diện tích S của hình phẳng giới

hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
là:
S
=
∫ f ( x ) − g( x ) dx
(2)
a
Chú ý:
b
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm b
f
(
x
)
dx
=
số f(x) không đổi dấu thì: ∫
∫ f ( x )dx
a

a

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

c

d

b

= ∫ f ( x )cdx = ∫ f ( x )ddx + ∫ f ( x )bdx + ∫ f ( x ) dx
a
(vì trên
∫ f ( x )adx + ∫ f ( x )cdx + ∫ f ( x )ddx
c
d
các đoạn [a; c], [c; d], a
[d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S = ∫ g( y ) − h( y ) dy 2. Thể tích vật thể
c

• Gọi B là phần vật thể giới
hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b
Thể tích của B là:
V = ∫ S ( x )dx
a

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V = π ∫ f 2 ( x )dx
Trang
96
a


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

là:

V = π ∫ g2 ( y )dy
c

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình

phẳng

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

y = xy 2=−ln4 xx −, y6,=y0,= x0,=x1=, −
x 2,
= xe = 4
x
e

1)
3)

2)
4)

và y = x – x2 y =

5)
x 3x, ,yy==0,0,xx==−12,, xx == 1e
yy == ln
e
6)
2
2
7) y = x -2 , y = -3x + 2
8) y = x – x + 3 , y = 2x + 1
2
9) y = x -12x + 36 , y = 6x – x2 1 10) y = lnx, x = , x = e , y = 0
11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 2
12 ) y = x2 + 2x, x –y +2 = 0

e
13) y = x +2 và y = x2 + x – 2
14) y = 4 –x2 và x = 3
15) y = 2 – x2 và y = -x
16) y = x3 – 1 và x = 2

1 + ln x
y = x3 − x
, y = 0, x = 1, x = e
x

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
1)
2)
1 3
π
y =y = sin
x −x ,xy2 ,=y0,= x0,=x0,= x0,=x = 3
3)
3
4
y =x = x0,, xx == π
4
y = sin 6 x + cos6 x , y = 0,
4)
2
3
2

5)
y = x −y1,= yx =, 0,
y =x = x−1, x = 1
6)
3
2 2
7)
8)
y = − x x+ 4 x , y =x x + 2
y=
,y=
2 π
9)
π
x −cos
2)2x ,+xy=
= 9,
4
8
y = sin x , y( =
, xy== 0
10)
4
2
2y = ln x , y = 0, x 2= 2
11)
y = x − 4 x + 6, y = − x − 2 x + 6
12)
2
13) y = 3x – x , y = 0

14) y = , y = 0, x = 0, x =
πx
sin
π
15) y = cosx, y = 0, x = 0 , x =
π4 2 16) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
17) y = lnx, y = 0, x = e
18) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
−34π
19) y = -x2 + 1, y = 0
20) y = xlnx, y = 0, x = e
4
21) y = (e +1)x, y = ( 1 + e x)x
y = x , y = 0, x = 3
22)
23)
y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e

Trang 97


Tran Sú Tuứng

Nguyeõn haứm Tớch phaõn

Trang 98