MỘT số bất ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN tử đạo hàm TRÊN THANG THỜI GIAN và áp DỤNG (tt)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.13 KB, 34 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
TRẦN ĐÌNH PHỤNG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN
VÀ ÁP DỤNG
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 62.46.01.02
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Quy Nhơn
Tập thể hướng dẫn:
PGS. TS. Đinh Thanh Đức
GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn
Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 3:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tại
Trường Đại học Quy Nhơn vào lúc ....... giờ ....... ngày ....... tháng ....... năm 2017
Có thể tìm hiểu luận án tại:
-Thư viện Quốc gia Việt Nam
-Trung tâm thông tin tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn
Lời cam đoan
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đinh
Thanh Đức và GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các
kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công
bố trước đó.
Tác giả
Trần Đình Phụng
Lời cảm ơn
Luận án được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn nhiệt tình
và đầy tận tâm của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn. Trước tiên, tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Thanh Đức, người đã hướng dẫn tác giả từ những bước đi đầu
tiên trong nghiên cứu khoa học, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tác
giả vượt qua khó khăn trong quá trình nghiên cứu khoa học mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất
lẫn tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành đến Thầy Vũ Kim Tuấn, người đã nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên
cứu khoa học và giúp tác giả học hỏi thêm được nhiều điều về nghiên cứu khoa học và cuộc sống mặc dù
thời gian làm việc chung với tác giả không nhiều.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,
Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng Quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải
tích khóa 1 đã luôn tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học
tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân. Thầy đã giúp đỡ tác giả tận tình trong
quá trình nghiên cứu khoa học cũng như trong việc hoàn thành Luận án.
Cuối cùng, tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những người luôn sát
cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án.
MỤC LỤC
Mở đầu
1
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian
5
1.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Phép toán vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Phép toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp dụng
7
2.1. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 3. Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian
14
3.1. Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Tính dao động của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Tính dao động của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 4. Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp dụng
19
4.1. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. Bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Định lý Ried cho một lớp hệ động lực cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận
23
Danh mục các công trình của tác giả
25
Tài liệu tham khảo
29
i
Mở đầu
Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện và đóng một vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực của
toán học thuần túy, toán ứng dụng mà còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc
sống, chẳng hạn như khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và kinh tế. Các bất đẳng thức hàm là một
trong những cơ sở quan trọng để xây dựng giải tích nói chung và lĩnh vực phương trình vi phân, đạo hàm
riêng và tích phân nói riêng. Trong lĩnh vực phương trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng, các bất
đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là những công cụ vô cùng hữu hiệu trong việc nghiên cứu các
tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của các lớp phương trình này. Một số đại diện quan trọng
của lớp các bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm là bất đẳng thức Opial, Wirtinger và Hardy.
Dưới góc độ giải tích thuần túy, có thể thấy rằng bất đẳng thức Opial là dạng nội suy của bất đẳng thức
Poincaré một chiều với một số điều kiện biên nào đó, trong khi bất đẳng thức Wirtinger là dạng của bất
đẳng thức Poincaré một chiều đối với các hàm tuần hoàn.
Năm 1960, Opial [34] nhà toán học người Ba Lan đã đưa ra bất đẳng thức
b
|f (x)f (x)|dx ≤
0
b
4
b
|f (x)|2 dx,
(0.1)
0
trong đó f là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên [0, b], nhận giá trị phức sao cho f (0) = f (b) = 0.
Trong Bất đẳng thức (0.1), 4b là hằng số tốt nhất có thể. Năm 1962, Beesack [8] đã chứng minh rằng: Nếu
f là hàm liên tục tuyệt đối và xác định trên [0, b], nhận giá trị phức sao cho f (0) = 0, thì
b
|f (x)f (x)|dx ≤
0
b
2
b
|f (x)|2 dx,
(0.2)
0
trong đó 2b là hằng số tốt nhất có thể, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (x) = cx, với c là hằng số. Ngay
sau đó, nhiều nhà toán học trên thế giới đã phát triển và mở rộng các bất đẳng thức Opial (0.1) và (0.2)
theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1968, Willett [57] lần đầu tiên đưa ra bất đẳng thức loại Opial mở
rộng Bất đẳng thức (0.2) theo hướng nâng bậc đạo hàm. Sau đó, Boyd [13], Das [17], Pachpatte [35] đã
tiếp tục phát triển kết quả theo hướng mở rộng này. Để nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng
của các phương trình đạo hàm riêng, Agarwal [1], Cheung [16], Yang [60], Pachpatte [37] đã mở rộng các
Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) cho hàm số nhiều biến. Một hướng mở rộng không tầm thường khác đó là
xét các trường hợp khác nhau đối với các số mũ của hàm số và đạo hàm của nó. Theo hướng nghiên cứu
này, có một số công trình tiên phong của Hua [20] và Yang [59]. Năm 1972, Godunova và Levin [19] đã
đưa ra các dạng mở rộng cho các Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) liên quan đến hàm lồi. Các kết quả này đã
được Peˇcari´c [39], Pachpatte [37], và Andri´c cùng các cộng sự [7] mở rộng cho hàm số nhiều biến.
Bất đẳng thức Opial dạng rời rạc đã được Lasota [26] đề xuất vào năm 1968. Cụ thể, Lasota đã đưa
ra các dạng rời rạc tương ứng với các Bất đẳng thức (0.1) và (0.2) như sau: Cho {xi }N
i=0 là một dãy số
thực. Nếu x0 = xN = 0, thì
N −1
N −1
1 N +1
|∆xi |2 ,
(0.3)
|xi ∆xi | ≤
2
2
i=0
i=0
trong đó ∆ là toán tử sai phân tiến và [·] là hàm phần nguyên. Nếu x0 = 0 thì
N −1
|xi ∆xi | ≤
i=0
N −1
2
1
N −1
|∆xi |2 .
i=0
(0.4)
Sau đó, các Bất đẳng thức (0.3) và (0.4) đã được mở rộng bởi Lee [27] và Pachpatte [36].
Các bất đẳng thức Opial cùng với các dạng mở rộng của chúng đã được chứng minh là mang tính ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học do không chỉ kế thừa ý tưởng từ bất đẳng thức Poincaré
mà còn do chính bản thân các biến thể. Cụ thể, các bất đẳng thức loại Opial là công cụ hữu ích trong
việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, xét tính bị chặn, tính ổn định và tính dao động của
nghiệm, nghiên cứu các bài toán về giá trị riêng và nhiều vấn đề khác. Trong [6], Agarwal và Pang đã
tổng hợp rất nhiều dạng mở rộng khác nhau của bất đẳng thức Opial và các áp dụng của chúng.
Gần đây, Nhân, Đức, và Tuấn [30] (2013) đã đưa ra một bất đẳng thức loại Opial tổng quát có dạng
m
b
Gj ◦ fj
τn (x)
a
1
s
(n) s
ϕ(x)dx
m
b
≤N
j=1
Gj
a
j=1
(n)
|fj (x)|p τn (x)δj (x)dx
1
p
.
(0.5)
Dạng rời rạc và mở rộng cho hàm nhiều biến của Bất đẳng thức (0.5) lần lượt được Nhân, Đức, Tuấn, và
Vũ [32], Đức, Nhân và Xuân [18] đưa ra sau đó.
Năm 1988, nhà toán học Hilger người Đức trong luận án tiến sĩ của mình đã đưa ra lý thuyết giải tích
trên thang thời gian nhằm mục đích thống nhất giải tích liên tục và giải tích rời rạc. Sự ra đời của giải tích
trên thang thời gian là một đòi hỏi mang tính tất yếu bởi rất nhiều mô hình toán học trong thực tế luôn
đòi hỏi dữ liệu vừa có tính liên tục vừa có thể rời rạc. Giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta có
thể nghiên cứu các phương trình trên một tập con đóng tùy ý của R, mà ta gọi là thang thời gian, thường
được kí hiệu là T. Các ví dụ điển hình nhất của thang thời gian T đó là R, Z và q¯Z = {q t , t ∈ Z} ∪ {0}
trong đó q > 1. Do đó việc thiết lập các bất đẳng thức trên thang thời gian là cần thiết cho việc nghiên
cứu các tính chất định tính và định lượng cho nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian. Từ
đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến lý thuyết bất đẳng thức trên thang thời gian. Việc nghiên cứu
các bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian được Bohner và Kaymak¸calan [9], Agarwal, Bohner và
Peterson [2] khởi xướng vào năm 2001: Nếu hàm số f : [0, b]T → R là hàm ∆−khả vi sao cho f (0) = 0, thì
b
b
|[f (x) + f σ (x)]f ∆ (x)|∆x ≤ b
0
|f ∆ (x)|2 ∆x.
(0.6)
0
Ngay sau đó, Bất đẳng thức (0.6) đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau.
Có hai dạng mở rộng tự nhiên nhất cho Bất đẳng thức (0.6) đó là các bất đẳng thức loại Opial
b
γ+β
p
b
γ
∆
β
∆
|f (x)| |f (x)| ϕ(x)∆x ≤ S1
a
p
|f (x)| τ (x)∆x
(0.7)
a
và
b
b
σ
γ
∆
β
∆
|f (x) + f (x)| |f (x)| ϕ(x)∆x ≤ S2
a
p
|f (x)| τ (x)∆x
γ+β
p
,
(0.8)
a
khi f (a) = 0 hoặc/và f (b) = 0, trong đó p > 1, β > 0, γ > 0, S1 , S2 là các hằng số. Hai dạng bất đẳng
thức này được nghiên cứu trong các công trình [10, 24, 25, 29, 45, 46, 47, 48, 52, 54, 55, 61, 62]. Sau đó,
các dạng (0.7) và (0.8) đã được phát triển theo một số hướng như: nâng bậc ∆−đạo hàm (xem Wong và
các cộng sự [58], Sirvastava và các cộng sự [54], Saker, Agarwal, và O’regan [50], Saker [48]), cho nhiều
¨
hàm số (xem Karpuz và Ozkan
[25]), cho hàm số nhiều biến (xem Agarwal, O’regan và Saker [5]).
Từ những bất đẳng thức gần đây của Nhân, Đức, và Tuấn [30, 32] và nhiều nhà toán học khác trên
thế giới cho trường hợp liên tục, rời rạc cùng với những ứng dụng khác nhau của chúng trong lĩnh vực
2
phương trình vi phân, sai phân, ta có thể thấy rằng sự ra đời của chúng có nhất định trong việc phát
triển lý thuyết phương trình vi phân và sai phân. Sự phát triển mạnh mẽ của nhiều bất đẳng thức trên
thang thời gian trong thời gian gần đây đã góp phần vào việc phát triển lý thuyết phương trình động
lực trên thang thời gian. Vì lẽ đó, việc nghiên cứu nhằm cải tiến và đề xuất các bất đẳng thức mới trên
thang thời gian luôn là vấn đề quan trọng và có tính cấp thiết trong lĩnh vực giải tích nói chung mà đặc
biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết phương trình động lực nói riêng.
Tiếp nối những kết quả gần đây, chúng tôi tiếp tục phát triển và mở rộng các Bất đẳng thức loại
Opial (0.7) và (0.8) cho hàm một biến và hàm nhiều biến trên cơ sở sử dụng phương pháp và ý tưởng
được đề xuất bởi Nhân, Đức và Tuấn trong [30, 32] cùng với lý thuyết giải tích trên thang thời gian. Hơn
nữa, chúng tôi còn áp dụng các kết quả mới để thiết lập một số bất đẳng thức loại Lyapunov mới, hữu
ích trong việc nghiên cứu sự phân bố các không điểm tổng quát của nghiệm của một số lớp phương trình
động lực. Tuy nhiên, việc xây dựng những kết quả mới này là không hề dễ dàng mà chúng đòi hỏi những
kĩ thuật cao, tính toán phức tạp nhằm khắc phục những điểm khác biệt giữa liên tục và rời rạc.
Cùng với bất đẳng thức Opial, một công cụ quan trọng khác trong nghiên cứu lý thuyết phương trình
vi phân, tích phân, và đạo hàm riêng đó là đồng nhất thức Picone, được chính nhà toán học người Ý
Picone đề xuất năm 1910 trong [40] như sau:
d u
(P0 (t)u v − P1 (t)uv ) = (P0 (t) − P1 (t))(u )2 + (Q1 (t) − Q0 (t))u2
dt v
u 2 u
+ P1 (t) v
+ (v 2 [u] − uL2 [v]).
v
v
(0.9)
Từ đó, Picone đã sử dụng nó để chứng minh các Định lý so sánh Sturm cho các toán tử vi phân
2 [u]
L2 [v] = (P1 (t)v ) + Q1 (t)v.
= (P0 (t)u ) + Q0 (t)u,
Đồng nhất thức Picone không chỉ là một công cụ rất mạnh khi nghiên cứu tính dao động nghiệm của
các phương trình vi phân, nghiên cứu các bài toán giá trị riêng trong phương trình vi phân mà còn được
dùng để thiết lập các bất đẳng thức tích phân liên quan tới các hàm số và đạo hàm của nó chẳng hạn
như các bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy.
Kể từ khi ra đời, đồng nhất thức Picone đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu, mở rộng theo
nhiều hướng khác nhau. Năm 1999, Jaroˇs và Kusano [23] đã mở rộng đồng nhất thức Picone (0.9) cho
các toán tử vi phân nửa tuyến tính cấp hai α [u] = (P0 Gα+1 (u )) + Q0 Gα+1 (u) Lα [v] = (P1 Gα+1 (u )) +
Q1 Gα+1 (u), trong đó α > 0 và Gp (t) = |t|p−1 sign(t) với p > 1 và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyết
Sturm cho các phương trình thuần nhất α [u] = 0 và không thuần nhất α [u] = f . Các phiên bản rời rạc
ˇ
ˇ
và thang thời gian của đồng nhất thức Picone lần lượt được Rehák
[43], Agarwal, Bohner và Rehák
[3]
đưa ra sau đó.
Năm 2011, Jaroˇs [21] đã đưa ra đồng nhất thức loại Picone cho toán tử Lα [v] từ đó thiết lập một bất
đẳng thức loại Wirtinger.
Gần đây, Jaroˇs [22] (2013) và Tiryaki [56] (2015) đã thu được các đồng nhất thức và bất đẳng thức
loại Picone cho hệ phương trình vi phân phi tuyến
u = A(t)u + B(t)G 1 (v)
+1
α
(0.10)
v = −C(t)G
(u) − D(t)v.
α+1
3
Từ đó, áp dụng chúng để nhận được một số bất đẳng thức loại Wirtinger. Tuy nhiên các kết quả này vẫn
còn một số hạn chế cần phải khắc phục.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Chúng ta có thể xây dựng được các đồng nhất thức loại Picone
cho các hàm số xác định trên thang thời gian để từ đó thiết lập các bất đẳng thức loại Wirtinger, mà các
kết quả này thống nhất các kết quả dạng liên tục và dạng rời rạc đã được đề cập ở trên hay không? Nỗ
lực đầu tiên để trả lời câu hỏi này thuộc về Agarwal cùng các cộng sự [4]. Họ đã thiết lập bất đẳng thức
loại Wirtinger bằng cách nghiên cứu một lớp bất phương trình ∆−vi phân tuyến tính cấp hai.
Gần đây nhất, vào năm 2015, Saker, Mahmoud và Peterson [51] đã cố gắng mở rộng đồng nhất thức
loại Picone và bất đẳng thức loại Wirtinger được thiết lập bởi Jaroˇs [21] cho các hàm số xác định trên
thang thời gian. Tuy nhiên, Công trình [51] của họ có một vài thiếu sót, các kết quả trong [51, Theorem
2.1] không chính xác.
Do đó, chúng tôi nhận thấy rằng việc xây dựng các đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mới
trên thang thời gian là thực sự cần thiết, có tính thời sự và có ý nghĩa khoa học. Trong luận án này,
chúng tôi vừa hiệu chỉnh các kết quả trong Công trình [51] vừa mở rộng chúng bằng cách thiết lập một
số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone mới cho hệ động lực phi tuyến
u∆ = Auσ + BG 1 (v)
+1
α
v ∆ = −CG
σ
(u ) − Dv.
α+1
Từ đó, chúng tôi sử dụng chúng để thu được các ước lượng tiên nghiệm cho một số phương trình và hệ
phương trình động lực trên thang thời gian. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi thiết lập một số bất
đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy mới trên thang thời gian, hữu ích trong việc nghiên cứu các tính
chất định tính cho nghiệm của hệ động lực mà chúng tôi đang xét. Cụ thể, chúng tôi thu được các kết
quả như Định lý hoán vị vòng quanh Reid, Định lý so sánh Sturm, Định lý tách Sturm và một nguyên lý
biến phân trong lý thuyết dao động.
Mục đích chính của Luận án là xây dựng một số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trên
thang thời gian như bất đẳng thức loại Opial, bất đẳng thức loại Wirtinger, bất đẳng thức loại Hardy và
các áp dụng của chúng.
Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm có 4 chương:
• Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian
• Chương 2: Bất đẳng thức Opial trên thang thời gian và áp dụng
• Chương 3: Tính dao động của một số phương trình động lực trên thang thời gian
• Chương 4: Đồng nhất thức Picone trên thang thời gian và áp dụng
Bình Định, tháng 05 năm 2017
Tác giả
Trần Đình Phụng
4
Chương 1
Một số kiến thức cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về thang thời gian, phép tích vi phân
và tích phân trên thang thời gian. Hầu hết các kết quả trong chương này được chúng tôi trích dẫn từ các
công trình [11, 12] của Bohner và Peterson, [14, 15] của Cabada và Vivero.
1.1. Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.1 ([11]). Thang thời gian (time scale) T là một tập con không rỗng, đóng của R. Như
vậy, các tập R, Z, N, q¯Z := {q k : k ∈ Z} ∪ {0} với q > 1, hZ := {hk : k ∈ Z} với h > 0, tập Cantor là các
thang thời gian. Các tập Q, R \ Q, C, (0, 1) không phải là các thang thời gian. Tôpô trên thang thời gian
T là tôpô cảm sinh từ tôpô chuẩn trên tập các số thực R.
Định nghĩa 1.2 ([11]). Cho T là một thang thời gian tùy ý. Toán tử nhảy tiến (forward jump operator)
σ : T → T được định nghĩa như sau:
σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} với mọi t ∈ T.
Toán tử nhảy lùi (backward jump operator) ρ : T → T được định nghĩa như sau:
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} với mọi t ∈ T.
Hàm hạt (graininess function) µ : T → R+
0 được định nghĩa như sau:
µ(t) := σ(t) − t với mọi t ∈ T.
Trong định nghĩa này ta đặt inf ∅ := sup T (tức là σ(t) = t nếu t là điểm lớn nhất của T) và sup ∅ := inf T
(tức là ρ(t) = t nếu t là điểm nhỏ nhất của T), trong đó ∅ là tập rỗng.
Định nghĩa 1.3 ([11]). Cho T là một thang thời gian, t ∈ T.
• Nếu σ(t) > t thì t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered).
• Nếu ρ(t) < t thì t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered).
• Nếu t vừa là điểm cô lập phải vừa là điểm cô lập trái thì t được gọi là điểm cô lập (isolated).
5
• Nếu t < sup T và σ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense).
• Nếu t > inf T và ρ(t) = t thì t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense).
• Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi là điểm trù mật.
Định nghĩa 1.4 ([11]). Cho T là một thang thời gian tùy ý. Ta định nghĩa tập Tκ như sau:
T \ (ρ(sup T), sup T] nếu sup T < ∞
Tκ :=
T
nếu sup T = ∞.
Định nghĩa 1.5 ([11]). Cho T là một thang thời gian tùy ý, a, b ∈ T sao cho a < b. Ta định nghĩa đoạn
[a, b]T trong T như sau:
[a, b]T := [a, b] ∩ T.
Các tập (a, b]T , [a, b)T và (a, b)T được định nghĩa theo cách tương tự.
1.2. Phép tính vi phân
Định nghĩa 1.6 ([11]). Cho hàm số f : T → R và t ∈ Tκ . Nếu tồn tại số a sao cho với mọi > 0, tồn tại
một lân cận U của t (tức là U = (t − δ, t + δ) ∩ T với một δ > 0 nào đó) sao cho
|f (σ(t)) − f (s) − a[σ(t) − s]| ≤ [σ(t) − s] ∀s ∈ U,
thì a được gọi là ∆−đạo hàm (đạo hàm Hilger, delta đạo hàm) của f tại t. Kí hiệu a := f ∆ (t).
Hàm f được gọi là ∆−khả vi (hay ngắn gọn là khả vi) trên Tκ nếu f ∆ (t) tồn tại với mọi t ∈ Tκ . Hàm
số f ∆ : Tκ → R được gọi là ∆−đạo hàm (hay đạo hàm) của hàm số f trên Tκ .
Định nghĩa 1.7 ([11]). Cho hàm số f : T → R ∆−khả vi trên Tκ . Nếu hàm số f ∆ ∆−khả vi trên
2
2
(Tκ )κ = Tκ thì ta nói hàm số f có ∆−đạo hàm cấp hai, ta viết f ∆ = (f ∆ )∆ .
Ta định nghĩa ∆−đạo hàm cấp n của hàm số f theo cách tương tự, tức là
n
f ∆ = (f ∆
n
n−1
trong đó Tκ = (Tκ
n−1
n
)∆ : Tκ → R,
)κ .
1.3. Phép tính tích phân
Chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phân Lebesgue trên thang thời gian. Lý thuyết
tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên thang thời gian đã được xây dựng bởi Bohner và Guseinov
[12, Chapter 5] vào năm 2003. Trên cơ sở đó, gần đây, Cabada và Vivero [15] đã tiếp tục nghiên cứu và
phát triển lý thuyết tích phân Lebesgue trên thang thời gian. Cụ thể, họ đã nghiên cứu mối quan hệ giữa
tích phân Lebesgue trên thang thời gian và tích phân Lebesgue cổ điển và đã đưa ra phương pháp tính
chính xác giá trị của tích phân Lebesgue trên thang thời gian thông qua giá trị của tích phân Lebesgue.
6
Chương 2
Bất đẳng thức loại Opial trên thang thời gian và áp
dụng
Chương này bao gồm nhiều dạng khác nhau của bất đẳng thức Opial trên thang thời gian trong trường
hợp một hoặc nhiều biến. Ở cuối chương, chúng tôi đưa ra một số áp dụng của bất đẳng thức loại Opial
trên thang thời gian. Các kết quả mới của chương này được trích từ các công trình [33, 41, 42].
2.1. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm một biến
Định lý 2.1. Cho τj ∈ W([a, c]T ), fj ∈ Lpa ([a, c]T , τj ) với mọi j ∈ [1, n]N và υ := [(
đó, υ là một hàm trọng trên [σ(a), c]T . Hơn nữa,
n
c
n
σ(a)
j=1
−p
q
. Khi
n
fj )∆ (x)|p υ(x)∆x ≤
|(
n
∆
j=1 τξj ) ]
Fξσj (a).
Fξj (c) −
j=1
(2.13)
j=1
Tương tự, cho τj ∈ W([c, σ(b)]T ) và fj ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τj ) với mọi j ∈ [1, n]N . Khi đó, hàm số υˆ :=
[−(
n
ˆηj )∆ ]
j=1 τ
−p
q
là một hàm trọng trên [c, b]T và
n
b
|(
c
n
∆
fj ) (x)| υˆ(x)∆x ≤
j=1
n
Fˆηj (c) −
p
j=1
Fˆηj (b).
(2.14)
j=1
Định lý 2.2. Cho τ ∈ W([a, c]T ) và f ∈ Lpa ([a, c]T , τ ) sao cho Fξ (c) < R và τξ (c) < R. Khi đó,
ϑ := [(G ◦ τξ )∆ ]
−p
q
∈ W([σ(a), c]T ) và
c
|(G ◦ f )∆ (x)|p ϑ(x)∆x ≤ (G ◦ Fξ )(c) − (G ◦ Fξσ )(a).
(2.18)
σ(a)
Tương tự, cho τ ∈ W([c, σ(b)]T ) và f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ) thỏa mãn Fˆη (c) < R và τˆη (c) < R. Khi đó,
ϑˆ = [−(G ◦ τˆη )∆ ]
−p
q
∈ W([c, b]T ). Hơn nữa
b
ˆ
|(G ◦ f )∆ (x)|p ϑ(x)∆x
≤ (G ◦ Fˆη )(c) − (G ◦ Fˆη )(b).
c
7
(2.19)
1 , τ ∈ W([a, c] ) và f ∈ Lp ([a, c] , τ ) sao cho F (c) < R và τ (c) < R với
Hệ quả 2.3. Cho Gj ∈ GR
a
j
j
T
T j
ξj
ξj
n
j=1 Gj
mọi j ∈ [1, n]N . Khi đó, ν := [(
◦ τξj )∆ ]
−p
q
∈ W[σ(a), c]T và
n
c
n
∆
|(
σ(a)
n
p
Gj ◦ fj ) (x)| ν(x)∆x ≤
j=1
(Gj ◦ Fξσj )(a).
(Gj ◦ Fξj )(c) −
j=1
(2.23)
j=1
Tương tự, nếu τj ∈ W([c, σ(b)]T ) và fj ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τj ) thỏa mãn Fˆηj (c) < R và τˆηj (c) < R với mọi
n
j=1 Gj
j ∈ [1, n]N , thì νˆ := [−(
◦ τˆηj )∆ ]
−p
q
∈ W([c, b]T ) và
n
b
|(
c
n
∆
n
(Gj ◦ Fˆηj )(c) −
p
Gj ◦ fj ) (x)| νˆ(x)∆x ≤
j=1
j=1
(Gj ◦ Fˆηj )(b).
(2.24)
j=1
1 , τ ∈ W([a, c] ) và f ∈ Lp ([a, c] , τ ) sao cho F (c) < R và τ (c) < R với
Định lý 2.4. Cho Gj ∈ GR
a
j
j
T
T j
ξj
ξj
mọi j ∈ [1, n]N . Nếu ϕ ∈ W([a, c]T ) sao cho
K=
c
σ(a)
α
ϕ β (x)
Gj ◦ fj (x)
σ(a)
q
Gj ◦ τξj (x)
β
∆
n
n
−α
∆x
n
< ∞,
β
p
n
ϕ(x)∆x ≤ K
j=1
β
α
j=1
thì
c
∆
(Gj ◦ Fξj )(c) −
j=1
(Gj ◦
Fξσj )(a)
.
(2.25)
j=1
Tương tự, cho τj ∈ W([c, σ(b)]T ) và fj ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τj ) thỏa mãn Fˆηj (c) < R và τˆηj (c) < R với mọi
j ∈ [1, n]N . Nếu ϕ ∈ W([c, σ(b)]T ) sao cho
ˆ =
K
c
b α
ϕ β (x) −
Gj ◦ fj (x)
c
q
Gj ◦ τˆηj (x)
β
∆
n
n
−α
∆x
n
ˆ
ϕ(x)∆x ≤ K
j=1
β
α
< ∞,
j=1
thì
b
∆
β
p
n
(Gj ◦ Fˆηj )(c) −
j=1
(Gj ◦ Fˆηj )(b) .
(2.26)
j=1
Hệ quả 2.5. Cho τ, ϕ ∈ W([a, c]T ) và f ∈ Lpa ([a, c]T , τ ) sao cho L =
c
p ∆
q
σ(a) ϕ (x)(τξ ) (x)∆x
1
q
hữu hạn.
Khi đó,
c
p ∆
(|f | ) (x) ϕ(x)∆x ≤ L
σ(a)
Fξp (c)
−
Fξp (σ(a))
1
p
.
(2.27)
Tương tự, nếu τ, ϕ ∈ W([c, σ(b)]T ) và f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ), thì
b
b
p ∆
(|f | ) (x) ϕ(x)∆x ≤
c
ϕ
q
(x)(−ˆ
τηp )∆ (x)∆x
c
trong đó vế phải được giả sử tồn tại và hữu hạn.
8
1
q
Fˆηp (c) − Fˆηp (b)
1
p
,
(2.28)
Hệ quả 2.6. Cho m ∈ N, ϕ, τj ∈ W([a, c]T ) với j ∈ [1, n]N . Nếu fj ∈ Lpa ([a, c]T , τj ) sao cho fj (a) = 0 với
mọi j ∈ [1, n]N và N =
c
(t)∆t
∆
n
j=1
1
q
< ∞, thì
∆x
mn
p
c n
1
fjm (x) ϕ(x)∆x ≤ N
n
a
x
p
a τj
n
j=1
∆
m
−q
c q
a ϕ (x)
|fj∆ (x)|p τj (x)∆x
.
(2.30)
a j=1
ˆ =
Tương tự, nếu ϕ, τj ∈ W([c, b]T ), fj ∈ Lpb ([c, b]T , τj ) sao cho fj (b) = 0 với mọi j ∈ [1, n]T , và N
b q
c ϕ (x)
m
−q
−
b
p
x τj
n
j=1
b
(t)∆t
< ∞, thì
∆x
∆
n
j=1
mn
p
b n
ˆ 1
fjm (x) ϕ(x)∆x ≤ N
n
c
1
q
∆
|fj∆ (x)|p τj (x)∆x
.
(2.31)
c j=1
1 , τ ∈ W([a, c] ) và f ∈ Lp ([a, c] , τ ) sao cho F (c) < R và τ (c) < R với
Định lý 2.7. Cho Gj ∈ GR
a
j
j
T
T j
ξj
ξj
j ∈ [1, n]N . Nếu ϕ ∈ W([a, c]T ) sao cho
c
P =
α
q
n
α
β
τξ∆j (x)(Gj ◦ τξj )(x)
σ(a)
β
α
j=1
(Gk ◦ τξk )(x) ϕ (x)∆x < ∞,
k=j
thì
c
fj∆ (x)(Gj
σ(a)
β
n
n
p
(Gj ◦ Fξj )(c) −
j=1
k=j
β
n
|(Gk ◦ fk )(x)| ϕ(x)∆x ≤ P
◦ fj )(x)
j=1
(Gj ◦
Fξσj )(a)
.
j=1
(2.32)
Tương tự, cho τj ∈ W([c, σ(b)]T ) và fj ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τj ) thỏa mãn Fˆηj (c) < R và τˆηj (c) < R với
j ∈ [1, n]N . Khi đó,
b
fj∆ (x)(Gj
c
β
n
|(Gk ◦ fk )(x)| ϕ(x)∆x ≤ Pˆ
◦ fj )(x)
j=1
n
(Gj ◦ Fˆηj )(c) −
j=1
k=j
β
p
n
(Gj ◦ Fˆηj )(b) ,
j=1
(2.33)
trong đó ϕ ∈ W([c, σ(b)]T ) thỏa Pˆ = [
n
b
[−ˆ
τη∆j (x)(Gj
c(
j=1
◦ τˆηj )(x)]
(Gk ◦ τˆηk
α
β
)(x))α/q ϕ β (x)∆x] α
< ∞.
k=j
Hệ quả 2.8. Nếu τ, ϕ ∈ W([a, c]T ), f ∈ Lpa ([a, c]T , τ ) và
Q=
β
γ+β
β
p
c
σ(a)
γ
β
τξ∆ (x)τξ (x)
α
q
α
β
β
α
ϕ (x)∆x
< ∞,
thì
c
γ
σ(a)
∆
γ+β
β
β
|f (x)| |f (x)| ϕ(x)∆x ≤ Q Fξ
9
(c) −
(γ+β)/β
Fξ
(σ(a))
β
p
.
(2.37)
Tương tự, giả sử τ, ϕ ∈ W([c, σ(b)]T ), f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ) và
β
γ+β
ˆ=
Q
β
p
b
α
q
γ
β
−ˆ
τη∆ (x)ˆ
τη (x)
β
α
ϕα/β (x)∆x
< ∞.
c
Ta có
b
γ+β
β
γ+β
β
ˆ Fˆη
|f (x)| |f (x)| ϕ(x)∆x ≤ Q
γ
∆
β
(c) − Fˆη
β
p
.
(b)
(2.38)
c
2.2. Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến
∂ 1 fi (x)
Ω | ∆x1 |∆x
m , với mỗi i ∈ [1, m] . f : Ω → (−R, R) là hàm số thỏa mãn
Định lý 2.9. Cho F ∈ HR
i
N
1
Nếu fi ∈ La (Ω, 1, 1) với mọi i ∈ [1, m]N , thì
m
Di F (|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)
Ω
i=1
∂ 1 fi (x)
∆x1
∂ 1 f1 (x)
∆x, ...,
∆x1
∆x ≤ F
Ω
Ω
∂ 1 fm (x)
∆x .
∆x1
< R.
(2.45)
m và với mỗi i ∈ [1, m] , f : Ω → (−R, R) là hàm số thỏa mãn
Định lý 2.10. Cho F ∈ HR
i
N
λ
∂ fi (x)
1
Hλ (b, a) Ω | ∆x1 |∆x < R. Nếu fi ∈ La (Ω, 1, λ) với mọi i ∈ [1, m]N , thì
m
Di F (|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)
Ω
i=1
1
≤
F Hλ (b, a)
Hλ (b, a)
Ω
∂ λ fi (x)
∆xλ
∆x
∂ λ f1 (x)
∆x, ..., Hλ (b, a)
∆xλ
Ω
(2.47)
∂ λ fm (x)
∆x .
∆xλ
m , với mỗi i ∈ [1, m] , φ là hàm lồi, không âm và tăng trên [0, ∞) và hàm số
Định lý 2.11. Cho F ∈ H∞
i
N
1
ϕi (x)
∂ kj ϕi (x)
ϕi : Ω → R thỏa mãn ∂ ∆x
là
hàm
không
âm
và
1
kj |xj =aj = 0 với mọi kj ∈ [0, λj − 1]N , j ∈ [1, n]N .
∆ j xj
Nếu fi ∈ Cnλ
rd (Ω) và
∂ kj fi (x)
k
∆ j xj j
m
Di F ϕ1 (x)φ1
Ω
i=1
≤F
Ω
|xj =aj = 0 với mọi kj ∈ [0, λj − 1]N , j ∈ [1, n]N và i ∈ [1, m]N , thì
λ f (x)
1
| ∂ ∆x
λ |
Hλ (b, a) ∂ 1 ϕ (x)
1
∆x1
∂ 1 ϕ1 (x)
φ1
∆x1
∂ λ f (x)
| ∆xiλ |
∂ 1 ϕi (x)
φ
H
(b,
a)
i
λ
∂ 1 ϕi (x)
∆x1
1
|fm (x)|
|f1 (x)|
, ..., ϕm (x)φm
ϕ1 (x)
ϕm (x)
∆x, ...,
Ω
∂ 1 ϕm (x)
φm
∆x1
Định lý 2.12. Cho ωi , τi , ∈ W(Ω) và fi : Ω → (−R, R) sao cho
i ∈ [1, m]N . Nếu fi ∈ Laα+β (Ω, τi , λ) với mọi i ∈ [1, m]N và
m
KΩ :=
[Di G(V1 (x), ..., Vm (x))]
Ω
ωi
∂ λ fi (x) α+β
τi (x)∆x
Ω | ∆xλ |
−α
(x)τi β (x)
(2.48)
.
< R với mọi
β
α+β
∆x
< ∞,
(2.52)
1
α+β−1 (τ (t)) 1−α−β ∆t với mọi x ∈ Ω, i ∈ [1, m] , thì
i
N
Ωx (Hλ (x, t))
m
[Di G(|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)]α
Ω
α+β
β
∆x
∂ λ fm (x)
|
|
λ
Hλ (b, a) ∂ 1∆x
∆x
ϕm (x)
1
∆x
i=1
α+β
trong đó Vi (x) :=
α(α+β−1)
β
∆x
i=1
≤ KΩ G
Ω
∂ λ f1 (x)
∆xλ
∂ λ fi (x) α
ωi (x) ∆x
∆xλ
α+β
τ1 (x)∆x, ...,
Ω
10
∂ λ fm (x)
∆xλ
(2.53)
α
α+β
α+β
τm (x)∆x
.
λ
λ−1
fi (x) α+β
Định lý 2.14. Cho ωi , τi ∈ W(Ωκ
τi (x)∆x < R
) và fi : Ω → (−R, R) thỏa mãn Ωκλ−1 | ∂ ∆x
λ |
λ−1
α+β
κ
với mọi i ∈ [1, m]N . Nếu fi ∈ Lρλ−1 (b) (Ω
, τi , λ) với mọi i ∈ [1, m]N và
m
K ∗ κλ−1
Ω
:=
Ωκ
[Di G(V1∗ (x), ..., Vm∗ (x))]
λ−1
α+β
¯x
Ω
ωi
β
α+β
−α
(x)τi β (x)
1
[Di G(|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)]α
i=1
× G
Ωκ
∂ λ f1 (x)
∆xλ
λ−1
λ−1
|Hλ (x, t)| α+β−1 (τi (t)) 1−α−β ∆t với mọi x ∈ Ωκ
m
λ−1
α+β
β
(2.61)
∆x
i=1
hữu hạn, trong đó Vi∗ (x) :=
Ωκ
α(α+β−1)
β
λ−1
Định lý 2.15. Cho ωi , τi ∈ W(Ωκ
, i ∈ [1, m]N , thì
∂ λ fi (x) α
ωi (x) ∆x ≤ K ∗ κλ−1
Ω
∆xλ
α+β
τ1 (x)∆x, ...,
Ωκ
λ−1
) và fi : Ω → (−R, R) sao cho
.
τm (x)∆x
κλ−1
Ω
(2.62)
α
α+β
α+β
∂ λ fm (x)
∆xλ
∂ λ fi (x)
∆xλ
α+β
τi (x)∆x < R với
¯ c , τi , λ) với mọi i ∈ [1, m]N , thì
mỗi i ∈ [1, m]N . Nếu fi ∈ Laα+β (Ωc , τi , λ) ∩ Lα+β
(Ω
ρλ−1 (b)
m
Ωκ
[Di G(|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)]α
λ−1
i=1
∂ λ f1 (x)
∆xλ
≤ KΩc G
Ωc
+
λ−1
với mọi c ∈ Ωκ
và (2.61).
KΩ∗¯ c
∂ λ fi (x) α
ωi (x) ∆x
∆xλ
α+β
∂ λ fm (x)
∆xλ
τ1 (x)∆x, ...,
Ωc
α+β
λ
∂ f1 (x)
τ1 (x)∆x, ...,
∆xλ
¯c
Ω
G
¯c
Ω
λ−1
sao cho Ωκ
α
α+β
α+β
(2.63)
τm (x)∆x
∂ λ fm (x)
∆xλ
α
α+β
α+β
τm (x)∆x
¯ c , trong đó KΩc , K ∗¯ lần lượt được xác định như trong (2.52)
= Ωc ∪ Ω
Ωc
1,m
Định lý 2.19. Cho G ∈ GR
và với mỗi i ∈ [1, m]N , ωi , τi ∈ W(Ω) sao cho
m
P :=
Ω
trong đó νi (x) :=
Ωx (τi (t))
α+β
β
Di G(ν1 (x), ..., νm (x))ωi
−α
(x)τi β (x)
1
1−α−β
Di G
Ω
ϕα1 (x)φα1
i=1
≤P G
Ω
Ω
< ∞,
α(α+β−1)
β
∆t
,
x ∈ Ω. Hơn nữa, với mỗi i ∈ [1, m]N , cho φi là hàm
∂ 1 ϕi (x)
φi
Ω
∆x1
Hλ (b, a)
|
∂ λ fi (x)
|
∆xλ
∂ 1 ϕi (x)
∆x1
|f1 (x)|
|fm (x)|
, ..., ϕαm (x)φαm
ϕ1 (x)
ϕm (x)
∂ 1 ϕi (x)
∆x1
∂ kj fi (x)
với mọi kj ∈ [0, λj − 1]N , j ∈ [1, n]N . Nếu fi ∈ Cnλ
rd (Ω) sao cho
m
∆x
i=1
lồi, không âm và tăng trên [0, ∞), và hàm số ϕi : Ω → R sao cho
j ∈ [1, n]N , i ∈ [1, m]N và
β
α+β
k
∆ j xj j
không âm và
∂ kj ϕi (x)
k
∆ j xj j
|xj =aj = 0
|xj =aj = 0 với mọi kj ∈ [0, λj − 1]N ,
α+β
τi (x)∆x < R với mọi i ∈ [1, m]N , thì
∂ λ f (x)
| ∆xiλ |
∂ 1 ϕi (x)
φ
H
(b,
a)
i
λ
∂ 1 ϕi (x)
∆x1
1
λ f (x)
1
α+β
| ∂ ∆x
λ |
Hλ (b, a) ∂ 1 ϕ (x)
τ1 (x)∆x, ...,
1
∆x1
λ f (x)
α
m
α+β
| ∂ ∆x
| α+β
λ
.
Hλ (b, a) ∂ 1 ϕ (x)
τm (x)∆x
m
∆x1
α
ωi (x) ∆x
∆x
∂ 1 ϕ1 (x)
φ1
∆x1
∂ 1 ϕm (x)
φm
∆x1
11
(2.75)
m và với mỗi i ∈ [1, m] , hàm số f : [a, c] → (−R, R) thỏa mãn
Định lý 2.20. Cho F ∈ HR
i
N
c
∂ 1 fi (x)
1
a χξi (x)| ∆x1 |∆x < R. Nếu fi ∈ La ([a, c], 1) với mọi i ∈ [1, m]N thì
m
c
Di F (|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)
σ(a)
i=1
c
≤F
χξ1 (x)
a
σ(a)
−F
χξ1 (x)
a
∆x
c
∂ 1 f1 (x)
∆x, ...,
∆x1
∂ 1 f1 (x)
∆x1
∂ 1 fi (x)
∆x1
a
χξm (x)
∂ 1 fm (x)
∆x
∆x1
σ(a)
χξm (x)
∆x, ...,
a
1 f (x)
σ(b)
i
ληi (x)| ∂ ∆x
1 |∆x
c
Với mỗi i ∈ [1, m]N , cho hàm số fi : [c, σ(b)] → (−R, R),
L1a ([c, σ(b)], 1) thì
m
b
∂ 1 fi (x)
∆x1
Di F (|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)
c
i=1
σ(b)
≤F
c
σ(b)
−F
b
λη1 (x)
∂ 1 f1 (x)
∆x, ...,
∆x1
λη1 (x)
∂ 1 f1 (x)
∆x1
∆x, ...,
b
(2.80)
< R. Nếu fi ∈
∆x
σ(b)
c
σ(b)
∂ 1 fm (x)
∆x .
∆x1
ληm (x)
∂ 1 fm (x)
∆x
∆x1
ληm (x)
∂ 1 fm (x)
∆x .
∆x1
(2.81)
Định lý 2.21. Cho F : [0, ∞)m → R là một hàm lồi và tăng theo từng biến trên [0, ∞) sao cho
F (0, ..., 0) = 0, Hi , i = 1, ..., m là các hàm lồi và tăng trên [0, ∞), ri (x) > 0, i = 1, ..., m trên [a, σ(b)] và
σ(b)
ri (x)∆x = 1. Nếu fi ∈ L1a ([a, c], 1) ∩ L1b ([c, σ(b)], 1) với mọi i ∈ [1, m]N , trong đó c ∈ (σ(a), b) sao
a
cho [a, c] ∪ [c, σ(b)] = [a, σ(b)], thì
m
b
∂ 1 fi (x)
∆x1
Di F (|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)
σ(a)
i=1
≤ 2F
H1−1
1
σ(b)
r1 (x)H1
a
σ(b)
−1
..., Hm
∆x
rm (x)Hm
a
f1 (x)
χξ1 (x)λη1 (x)| ∂ ∆x
1 |
∆x ,
2r1 (x)
χξm (x)ληm (x)| ∂
2rm (x)
1f
m (x)
|
∆x1
∆x
.
(2.82)
Định lý 2.23. Với mỗi i = 1, ..., m, cho Hi là một hàm lồi và tăng trên [0, ∞), ri (x) > 0 trên [a, c] sao
c
cho a ri (x)∆x = 1, ωi , τi , ∈ W([a, c]), và fi : [a, c] → (−R, R) sao cho
c
a
χξi (x)
∂ 1 fi (x)
∆x1
α+β
τi (x)∆x < R
với mọi
i ∈ [1, m]N .
Nếu fi ∈ Lα+β
([a, c], τi ) với mọi i ∈ [1, m]N và
a
c
Kσ(a)
c
m
σ(a)
i=1
:=
[Di G(V1 (x), ..., Vm (x))]
12
α(α+β−1)
β
α+β
β
ωi
−α
(x)τi β (x)
β
α+β
∆x
(2.87)
hữu hạn, trong đó Vi (x) :=
c
1
x
1−α−β ∆t
a χξi (x)(τi (t))
m
với x ∈ [σ(a), c], i ∈ [1, m]N , thì
∂ 1 fi (x) α
ωi (x) ∆x
∆x1
[Di G(|f1 (x)|, ..., |fm (x)|)]α
σ(a)
≤
i=1
c
Kσ(a)
H1−1
G
c
−1
Hm
rm (x)Hm
1
f1 (x) α+β
χξ1 (x)| ∂ ∆x
τ1 (x)
1 |
∆x , ...,
r1 (x)
c
r1 (x)H1
a
χξm (x)| ∂
1f
m (x) α+β
|
τm (x)
∆x1
rm (x)
a
(2.88)
α
α+β
∆x
.
2.3. Một số áp dụng
Xét phương trình
∂1
∂ 1 y(x)
r(x)
∆x1
∆x1
+ s(x)y σ (x) = 0
x ∈ D = [a1 , b1 ]T1 × [a2 , b2 ]T2 ,
với
(2.99)
Định lý 2.13. Giả sử y là một nghiệm không tầm thường của (2.99) sao cho
y(x)|xj =aj = y(x)|xj =bj =
∂y(x)
∆i xi
=
xj =aj
∂y(x)
∆i xi
= 0,
i, j = 1, 2.
(2.100)
xj =bj
Khi đó
2M +
[µ1 (x1 )N (x1 )] ≥ 1.
sup
(2.101)
x1 ∈[a1 ,b1 ]T1
Chúng tôi xác định một chặn trên của các nghiệm của phương trình
∂ 1 y(x)
∂ 1 y(x)
=
ζ
x,
, I(y(x)) ,
∆x1
∆x1
x ∈ Ω,
(2.110)
với các điều kiện ban đầu y(x)|xj =aj = 0 với mọi j ∈ [1, n]N , trong đó
I(y(x)) =
Υ t, y(t),
Ωx
1
∂ 1 y(t)
∆t.
∆t1
1
y(x)
β ∂ y(x) α
Định lý 2.30. Giả sử Υ(x, y(x), ∂∆x
1 ) ≤ ω(x)|y(x)| | ∆x1 | , trong đó ω ∈ W(Ω), và
∂ 1 y(x)
, I(y(x))
∆x1
ζ x,
≤ w1 (x) + w2 (x)
∂ 1 y(x)
∆x1
γ
+ w3 (x)|I(y(x))|,
(2.111)
trong đó γ ∈ (0; 1), w1 , w2 , và w3 là các hàm không âm trên Ω, w2 (x) < 1 với mọi x ∈ Ω. Nếu Phương
trình (2.110) có một nghiệm y ∈ Laα+β (Ω, 1, 1), thì
1
[A1−α−β (t) + (1 − α − β)B(t) Vol(Ωt )] 1−α−β ∆t
y(x) ≤
(2.112)
Ωx
với giả thiết tích phân vế phải tồn tại, trong đó
γ
w3 (t)K(t)
B(x) = sup
,
t ∈Ωx 1 − w2 (t)
w1 (t) + (1 − γ)γ 1−γ
A(x) = sup
,
1 − w2 (t)
t ∈Ωx
Vol(Ωt ) là thể tích của hình hộp Ωt , và
K(x) =
α
α+β
α
α+β
α+β−1
(Vol(Ωt ))
Ωx
13
ω
α+β
β
β
α+β
(t)∆t
với
x ∈ Ω.
Chương 3
Tính dao động của một số phương trình động lực trên
thang thời gian
Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tính dao động của một số phương trình động lực
trên thang thời gian bằng cách xét bài toán về sự phân bố của các không điểm tổng quát của nghiệm.
Các kết quả mới trong chương này được trích từ các công trình [33, 44].
3.1. Bất đẳng thức loại Lyapunov trên thang thời gian
Xét phương trình
Lp f = (τ Gp (f ∆ ))∆ + ψGp (f ∆ ) + ϕGp (f σ ) = 0.
(3.4)
Định lý 3.1. Nếu Phương trình (3.4) có một nghiệm không tầm thường f ∈ Lpa ([a, c]T , τ ) sao cho
f ∆ (c)f (c) ≤ 0, thì
Tξ (c, ψ) + Wξ (a, c, Φc ) > 1 − δ,
(3.6)
trong đó Φc (x) =
c
x ϕ(t)∆t,
Tξ (c, ψ) =
1
p
1
p
1
q
c
p−1
∆
(x)|ψ(x)|q ∆x
σ(a) τξ (x)τξ
c
q
|Φc (x)|
Wξ (a, c, Φc ) =
a
(τξp )∆ (x)∆x
và
1
q
.
Tương tự, nếu f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ) là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.4) sao cho
f ∆ (c)f (c) ≥ 0, thì
ˆ η (c, σ(b), Φ
ˆc ) > 1 − δ,
Tˆη (c, ψ) + W
(3.7)
ˆc (x) =
trong đó Φ
x
c ϕ(t)∆t,
Tˆη (c, ψ) =
1
p
1
p
−
σ(b)
ˆ η (c, σ(b), Φ
ˆc ) =
W
1
q
b ∆
ˆη (x)ˆ
τηp−1 (x)|ψ(x)|q ∆x
c τ
và
1
q
ˆc (x)|q (−ˆ
|Φ
τηp )∆ (x)∆x
.
c
Hệ quả 3.2. Nếu f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.4) sao cho f ∈ Lpa ([a, c]T , τ )
và f ∆ (c)f (c) ≤ 0, thì
Tξ (c, 1)
sup
x∈[σ(a),c]T
|ψ(x)|
+ τξp−1 (c)
14
sup |Φc (x)|
x∈[a,c]T
> 1 − δ.
(3.13)
Tương tự, nếu f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.4) sao cho f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ )
và f ∆ (c)f (c) ≥ 0, thì
Tˆη (c, 1)
sup |ψ(x)|
+ τˆηp−1 (c)
ˆc (x)|
|Φ
sup
x∈[c,b]T
> 1 − δ.
(3.14)
x∈[c,σ(b)]T
Định lý 3.3. Phương trình (3.4) không tiêu điểm trên [a, σ(b)]T nếu
ˆ 0 (a, σ(b), Φ
ˆa ) ≤ 1 − δ.
max T0 (σ(b), ψ) + W0 (a, σ(b), Φσ(b) ), Tˆ0 (a, ψ) + W
(3.15)
Định lý 3.4. Nếu Phương trình (3.4) có một nghiệm không tầm thường f với hai không điểm tổng quát
liên tiếp a và b, thì tồn tại c, σ(d) ∈ [a, b]T , c ≤ σ(d), sao cho
Tξ (c, ψ) + Wξ (a, c, Φc ) > 1 − δ
(3.16)
ˆ η (d, σ(b), Φˆd ) > 1 − δ.
Tˆη (d, ψ) + W
(3.14)
và
Hệ quả 3.5. Giả sử với mọi c, σ(d) ∈ [a, b]T , c ≤ σ(d), ta có
ˆ 0 (d, σ(b), Φ
ˆd ) ≤ 1 − δ.
max T0 (c, ψ) + W0 (a, c, Φc ), Tˆ0 (d, ψ) + W
(3.17)
Khi đó, Phương trình (3.4) không dao động trên [a, b]T .
3.2. Tính dao động của phương trình thuần nhất
Xét phương trình
(τ Gp (f ∆ ))∆ + ϕGp (f σ ) = 0.
(3.19)
Định lý 3.6. Nếu f ∈ Lpa ([a, c]T , τ ) là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.19) và
f ∆ (c)f (c) ≤ 0, thì
τξp−1 (c)
c
sup
ϕ(t)∆t
> 1.
(3.20)
x
x∈[a,c]T
Hơn nữa, f không có cực trị trong (a, c)T , thì
τξp−1 (c)
c
sup
ϕ(t)∆t
x∈[a,c]T
> 1.
(3.21)
x
Nếu f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.19) thỏa mãn f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ) và
f ∆ (c)f (c) ≥ 0, thì
x
τˆηp−1 (c)
sup
ϕ(t)∆t
x∈[c,σ(b)]T
> 1.
(3.22)
c
Hơn nữa, nếu f không có cực trị trong (c, b]T , thì
x
τˆηp−1 (c)
sup
ϕ(t)∆t
x∈[c,σ(b)]T
15
c
> 1.
(3.23)
Hệ quả 3.7. Phương trình (3.19) không tiêu điểm trên [a, σ(b)]T nếu
σ(b)
max
ϕ(t)∆t ,
sup
x∈[a,b]T
x
x
sup
≤
ϕ(t)∆t
τ
a
x∈[a,σ(b)]T
1−p
σ(b)
−q
p
(x)∆x
.
(3.24)
a
Định lý 3.8. Cho a và b là hai không điểm tổng quát của một nghiệm không tầm thường f của Phương
trình (3.19). Khi đó, tồn tại hai đoạn con rời nhau I1 và I2 của [a, b]T , thỏa mãn
1−p
σ(b)
ϕ(x)∆x > 2
p
χξ (x)λη (x)τ
I1 ∪I2
−q
p
(x)∆x
,
(3.25)
a
ϕ(x)∆x ≤ 0.
(3.26)
[a,σ(b)]T \(I1 ∪I2 )
Hệ quả 3.9. Phương trình (3.19) là không dao động trên [a, b]T nếu với mọi đoạn con I1 và I2 của
[a, σ(b)]T , sao cho
1−p
σ(b)
ϕ(x)∆x ≤ 2
p
I1 ∪I2
τ
−q
p
(x)∆x
.
(3.31)
a
Hệ quả 3.10. Từ hệ quả trên ta nhận được phiên bản trên thang thời gian của bất đẳng thức Lyapunov.
Định lý 3.11. Giả sử tồn tại một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.19) có (n + 1) không
điểm tổng quát trên [a, b]T . Khi đó tồn tại 2n đoạn con rời nhau Ij1 và Ij2 , j = 1, ..., n của [a, b]T sao cho
σ(b)
1
n<
2
τ
−q
p
1
p
1
p
(x)∆x
ϕ(x)∆x
a
(3.34)
I
ϕ(x)∆x ≤ 0.
(3.35)
[a,σ(b)]T \∪n
j=1 (Ij1 ∪Ij2 )
Định lý 3.12. Gọi λn là giá trị riêng thứ n của phương trình
−(τ Gp (f ∆ ))∆ (x) = λϕ(x)Gp (f σ (x)),
x ∈ (a, b)T ,
(3.39)
trong đó a và b là các không điểm tổng quát của f . Khi đó tồn tại 2n đoạn con rời nhau Ij1 và Ij2 ,
j = 1, ..., n của [a, b]T , sao cho
1−p
σ(b)
p p
λn > 2 n
τ
−q
p
−1
(x)∆x
ϕ(x)∆x
a
(3.40)
I
ϕ(x)∆x ≤ 0.
(3.41)
[a,σ(b)]T \∪n
j=1 (Ij1 ∪Ij2 )
Định lý 3.13. Nếu f là một nghiệm dao động của Phương trình (3.19), τ ≥ K > 0 trên [a, ∞)T , và
lim sup
x→∞
δ p−1
K
ϕ(t)∆t
< 2p
(3.42)
(I1 ∪I2 )(x,δ)
với mọi δ > 0 và với bất kỳ hai đoạn con rời nhau I1 và I2 của [x, x + δ]T , thì khoảng cách giữa hai không
điểm liên tiếp của f không bị chặn khi x → ∞.
Định lý 3.14. Cho f là một nghiệm dao động của Phương trình (3.19). Nếu τ ≥ K > 0 trên [a, ∞)T và
tồn tại δ0 > 0 sao cho với mọi đoạn con rời nhau I1 và I2 của [x, x + δ0 ]T sao cho
lim
x→∞
ϕ(t)∆t
= 0,
(I1 ∪I2 )(x,δ0 )
thì khoảng cách giữa hai không điểm tổng quát liên tiếp của f phải dần đến vô cùng khi x → ∞.
16
(3.43)
3.3. Tính dao động của phương trình không thuần nhất
Xét các phương trình sau
(τ Gp (f ∆ ))∆ + ψGp (f ∆ ) + ϕGp (f σ ) = h,
1 < γ ≤ p.
(3.47)
1 < γk < 2p − 1.
(3.48)
n
∆
∆
ϕk Gγk (f σ ) = h,
(τ Gp (f )) +
k=1
(τ Gp (f ∆ ))∆ + ϕGγ (f σ ) = h,
1 < γ < 2p − 1.
(3.49)
Định lý 3.15. Nếu f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.47) thuộc vào lớp hàm
Lpa ([a, c]T , τ ) và f ∆ (c)f (c) ≤ 0, thì
1
1
2
Tξ (c, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wξ∗ (a, c, Φc )Vξ (a, c) +
trong đó Φc (x) =
c
x ϕ(t)∆t,
Hc (x) =
Tξ (c, ψ) =
x
c h(t)∆t,
1
p
Wξ∗ (a, c, Φc )
γ
c
γ−1 (τ γ (x))∆ ∆x
|Φ
(x)|
c
ξ
a
=
τξ∆ (x)τξp−1 (x)|ψ(x)|q ∆x
c
,
γ−1
γ
,
1
q
c
σ(a)
χξ (t)τ (t)∆t
(3.52)
Γ(γ−1)(p−1)
p−γ
p
c
Vξ (a, c) =
1
p
Lξ (a, c, Hc ) > 1 − δ,
1
2
τ
Lξ (a, c, Hc ) =
−q
p
,
q
1
q
(x)|Hc (x)| χξ (x)∆x
.
a
a
Tương tự, nếu f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.47) thuộc vào lớp hàm
và f ∆ (c)f (c) ≥ 0, thì
Lpb ([c, σ(b)]T , τ )
1
1
2
ˆ c )Vˆξ (c, σ(b)) +
Tˆη (c, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wˆ ∗ η (c, σ(b), Φ
ˆc (x) =
trong đó Φ
x
c ϕ(t)∆t,
ˆ c (x) =
H
Tˆη (c, ψ) =
1
p
λη (t)τ (t)∆t
γ−1
γ
γ
σ(b) ˆ
|Φc (x)| γ−1 (ˆ
τηγ (x))∆ ∆x
c
b
τˆη∆ (x)ˆ
τηp−1 (x)|ψ(x)|q ∆x
−
(3.53)
Γ(γ−1)(p−1)
Wˆ ∗ η (c, σ(b), Φˆc ) =
1
p
,
1
q
,
c
p−γ
p
σ(b)
Vˆη (c, σ(b)) =
c
x h(t)∆t,
ˆ η (c, σ(b), H
ˆ c ) > 1 − δ,
L
1
2
,
σ(b)
ˆ η (c, σ(b), H
ˆ c) =
L
τ
c
−q
p
ˆ c (x)|q λη (x)∆x
(x)|H
1
q
.
c
Định lý 3.17. Phương trình (3.47) không tiêu điểm trên [a, σ(b)]T nếu
1
1
2
T0 (σ(b), ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
W0∗ (a, σ(b), Φσ(b) )V0 (a, σ(b)) +
1
2
L0 (a, σ(b), Hσ(b) ) ≤ 1 − δ,
(3.61)
Γ(γ−1)(p−1)
và
1
1
2
ˆa )Vˆ0 (a, σ(b)) +
Tˆ0 (a, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wˆ ∗ 0 (a, σ(b), Φ
17
1
2
Γ(γ−1)(p−1)
ˆ 0 (a, σ(b), H
ˆ a ) ≤ 1 − δ.
L
(3.62)
Định lý 3.18. Nếu Phương trình (3.47) có một nghiệm không tầm thường f với hai không điểm tổng
quát liên tiếp a và b thì tồn tại c, σ(d) ∈ [a, b]T , c ≤ σ(d) sao cho
1
1
2
Tξ (c, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wξ∗ (a, c, Φc )Vξ (a, c) +
(3.63)
Γ(γ−1)(p−1)
1
1
2
ˆd )Vˆη (c, σ(b)) +
Tˆη (d, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wˆ ∗ η (d, σ(b), Φ
Lξ (a, c, Hc ) > 1 − δ,
1
2
ˆ η (d, σ(b), H
ˆ d ) > 1 − δ.
L
1
2
(3.64)
Γ(γ−1)(p−1)
Hệ quả 3.19. Giả sử với mọi c, σ(d) ∈ [a, b]T , c ≤ σ(d), ta có
1
1
2
T0 (c, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
W0∗ (a, c, Φc )Vξ (a, c) +
và
L0 (a, c, Hc ) ≤ 1 − δ,
1
2
Γ(γ−1)(p−1)
1
1
2
Tˆ0 (d, ψ) + 2Γ(γ−1)(p−1)
Wˆ ∗ 0 (d, σ(b), Φˆd )Vˆη (c, σ(b)) +
ˆ 0 (d, σ(b), H
ˆ c ) ≤ 1 − δ.
L
1
2
Γ(γ−1)(p−1)
Khi đó, Phương trình (3.47) không dao động trên [a, b]T .
Định lý 3.20. Giả sử f là một nghiệm không tầm thường của Phương trình (3.48) thỏa mãn f ∈
Lpa ([a, c]T , τ ) và f ∆ (c)f (c) ≤ 0. Nếu f không có cực trị trong (a, c)T , thì tồn tại n + 1 đoạn con Ik , k =
1, ..., n + 1 của [a, c]T thỏa mãn
n
n
ϕk (t)∆t
k=1
Ik
Γ(γk −1)(p−1)
ϕk (t)∆t +
Ik
k=1
h(t)∆t
>
In+1
c
1
4
ϕk (t)∆t ≤ 0, k = 1, ..., n,
τ
−q
p
2(1−p)
(t)χξ (t)∆t
, (3.65)
a
h(t)∆t ≤ 0.
(3.66)
[a,c]T \In+1
[a,c]T \Ik
Tương tự, giả sử f là một nghiệm không tầm thường của (3.48) sao cho f ∈ Lpb ([c, σ(b)]T , τ ) và
f ∆ (c)f (c) ≥ 0, hơn nữa nếu f không có cực trị trong (c, σ(b))T , thì tồn tại n+1 đoạn con Jk , k = 1, ..., n+1
của [c, σ(b)]T sao cho
n
n
ϕk (t)∆t
k=1
Jk
Γ(γk −1)(p−1)
k=1
ϕk (t)∆t +
Jk
h(t)∆t
>
Jn+1
1
4
σ(b)
τ
−q
p
2(1−p)
,
(t)λη (t)∆x
c
(3.67)
ϕ(t)∆t ≤ 0, k = 1, ..., n,
[c,σ(b)]T \Jk
h(t)∆t ≤ 0.
(3.68)
[c,σ(b)]T \Jn+1
Định lý 3.21. Giả sử a và b là hai không điểm tổng quát liên tiếp của một nghiệm không tầm thường của
Phương trình (3.49). Khi đó, tồn tại bốn đoạn con của [a, σ(b)]T là I1 , I2 , J1 , và J2 thỏa mãn I1 ∩ J1 =
I2 ∩ J2 = ∅ và
σ(b)
1
2Γ(γ−1)(p−1)
ϕ(x)∆x +
I1 ∪J1
I2 ∪J2
2
h(x)∆x > 2p Γ(γ−1)(p−1)
18
τ
a
−q
p
1−p
(x)χξ (x)λη (x)∆x
.
(3.74)
Chương 4
Đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian và áp
dụng
Chúng tôi dành chương này để thiết lập đồng nhất thức loại Picone trên thang thời gian cho nghiệm
của một lớp hệ phương trình động lực phi tuyến cấp 1 và sử dụng nó để ước lượng tiên nghiệm cho một
số phương trình và hệ phương trình động lực trên thang thời gian. Theo đó, chúng tôi thu được một số
bất đẳng thức loại Wirtinger và loại Hardy mới trên thang thời gian và áp dụng chúng để nghiên cứu
tính chất định tính cho nghiệm của hệ động lực mà chúng tôi đang xét. Các kết quả mới trong chương
này được trích từ công trình [31].
Xét hệ động lực có dạng
u∆ = Auσ + BG 1 (v)
+1
α
v ∆ = −CG
(uσ ) − Dv.
(4.1)
α+1
4.1. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức loại Picone
Định lý 4.1 ([11]). Cho x ∈ R và t0 ∈ T cố định. Khi đó bài toán
y ∆ = x(t)y,
y(t0 ) = 1.
(4.2)
có một nghiệm duy nhất trên T.
Bổ đề 4.1 (Bất đẳng thức Gronwall [11, Corollary 6.7]). Cho y ∈ Crd (T, R), u ∈ R+ , u ≥ 0 và γ ∈ R.
Nếu có bất đẳng thức
t
y(t) ≤ γ +
y(ξ)u(ξ)∆ξ với mọi t ∈ T
t0
thì ta cũng có bất đẳng thức
y(t) ≤ γeu (t, t0 ) với mọi t ∈ T.
Định lý 4.2. Cho x ∈ AC(I0 ), (u, v) ∈ P(I0 ), −E ∈ R+ và đặt
α
1
1 − [1 − sA(t)] α+1 [1 − sE(t)] α+1
EA (t) := lim
,
s→µ(t)
s
s∈T
19
t ∈ I0 .
(4.3)
Khi đó, tồn tại một hàm không âm Ω(x, u, v, EA ) sao cho đồng nhất thức
|x|α+1 v
Gα+1 (u)
∆
|xσ |α+1 v
|x∆ − EA xσ |α+1
σ α+1
−
C|x
|
+
(E
−
D)
− Ω(x, u, v, EA )
Bα
Gα+1 (uσ )
=
(4.4)
xảy ra ∆−hầu khắp nơi trên I0 . Đặc biệt, nếu E = D, thì
|x|α+1 v
Gα+1 (u)
∆
≤
|x∆ − DA xσ |α+1
− C|xσ |α+1 ,
Bα
∆ − hầu khắp nơi trên I0 .
(4.5)
Đẳng thức trong (4.5) xảy ra nếu và chỉ nếu
x(t) = Ku(t)e(−A)
(−DA ) (t, t0 ),
∆ − hầu khắp nơi trên I0 ,
(4.6)
với K là hằng số và t0 ∈ I0 .
Bổ đề 4.2. Nếu sj với j = 1, ..., 4 là các số thực sao cho s3 s4 > 0, thì
|s1 |α+1
|s2 |α+1
−
Gα+1 (s3 ) Gα+1 (s4 )
Gα+1 (s3 − s4 ) ≤ |s1 − s2 |α+1 .
(4.7)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi s1 s4 = s2 s3 .
Hệ quả 4.3. Cho x ∈ AC(I0 ) và u là một nghiệm dương của bất phương trình
(P Gα+1 (u∆ ))∆ + QGα+1 (uσ ) + λRGβ+1 (uσ ) ≤ 0,
(4.11)
trong đó β > 0, λ là một số thực và R ∈ Crd (I0 ). Khi đó,
∆
|x|β+1 P Gα+1 (u∆ )
Gβ+1 (u)
≤ P |u∆ |α−β |x∆ |β+1 − |xσ |β+1 (Q|uσ |α−β + λR),
(4.12)
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và u tỉ lệ với nhau.
Xét hệ động lực có dạng
x∆ = A1 xσ + B1 G 1 (y),
+1
α
y ∆ = −C G
σ
(x ) − D y,
1
α+1
(4.14)
1
Hệ quả 4.4. Cho (x, y) là nghiệm của hệ (4.14), (u, v) ∈ P(I0 ) và đặt
(1 − sA(t))α − (1 − sA1 (t))α+1
,
s→µ(t)
s(1 − sA(t))α
E(t) := lim
t ∈ I0 .
(4.15)
s∈T
Khi đó, tồn tại một hàm không âm Ω(x, u, v, A1 ) sao cho
|x|α+1 v
xy −
Gα+1 (u)
∆
= Ω(x, u, v, A1 ) + (A1 − D1 )xσ y + (C − C1 )|xσ |α+1
+
1
1
− α
α
B1
B
∆
σ α+1
|x − A1 x |
|xσ |α+1 v
− (E − D)
Gα+1 (uσ )
(4.16)
xảy ra trên I. Do đó,
xy −
|x|α+1 v
Gα+1 (u)
∆
≥
+
|A1 − D1 |
|xσ |α+1
α+1
1
1
α |A1 − D1 |
−
−
|x∆ − A1 xσ |α+1 .
B1α B α α + 1 B1α+1
C − C1 −
20
(4.17)
