Bài 3 Hướng Dẫn Giải Bài Tập Tự Luyện Lý thuyết Cơ sở về mặt Phẳng

Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong khơng gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vng góc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Lời giải:

 
a. Do OG  ( P)  n( P )  OG  (1;1;1)  ( P) :1( x  1)  1( y  1)  1( z  1)  0  ( P) : x  y  z  3  0
y  0
b. Vì phương trình của Ox : 
 A(3;0;0) . Tương tự : B(0;3;0) và C (0;3;0)
z  0
Ta có: AB=BC=CA=3 2  ABC là tam giác đều
Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 1 y  3 z
:

 và điểm M(0 ; - 2 ; 0).
1
1
4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách
giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.

Lời giải:

Giả sử n( a; b; c ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.

Đường thẳng  đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u  (1;1; 4)


n.u  a  b  4c  0
 / /( P)

  | a  5b |
Từ giả thiết ta có 
4
d ( A;( P))  4
 2
2
2
a

b

c


(1)
(2)

Thế b = - a - 4c vào (2) ta có (a  5c) 2  (2a 2  17c 2  8ac)  a 2 - 2ac  8c 2  0



a
4 v
c

Với

a
 2
c

a
 4 chọn a = 4, c = 1  b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.
c

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương

Với

Hình học giải tích trong khơng gian

a

 2 chọn a = 2, c = - 1  b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
c

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
 x  5  2t
x  y  z  7  0

(d1 ) :  y  1  t
và (d 2 ) : 
2 x  3 y  z  16  0
z  5  t


Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d 2 )
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:


Lấy 2 điểm M (5;1;5)  d1; N (5;2;0)  d2  MN  (0;1; 5)

 
Và n(Q )  u ( d1 ) .MN   (6;10; 2)  (Q) : 6( x  5)  10( y  1)  2( z  5)  0 hay (Q) : 3x  5 y  z  25  0

Bài 4. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

x 1 y z  2
.
 
2
1

3

Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng

2
.
3

Lời giải:

 x  2 y 1  0
Phương trình d dạng tổng quát 
3 y  z  2  0
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng:

m  x  2 y 1  n 3 y  z  2  0, m2  n2  0  mx   2m  3n  y  nz  m  2n  0
2
d  I ; Q  
  Q1  : x  y  z  1  0,  Q2  : 7 x  y  5 z  3  0.
3
Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm như trên.
Bài 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương
trình:
(P): 2x  y  2z  2 = 0;

(d):

x y 1 z  2



1
2
1

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.

2 x  y  1  0
Lời giải: Đường thẳng () có VTCP u  ( 1; 2;1) ; PTTQ: 
x  z  2  0

Mặt phẳng (P) có VTPT n  (2; 1; 2)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong khơng gian

Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng (P) là: sin  

| 2  2  2 |
6

3
3. 6

 Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là cos   1 

6
3

9
3

Giả sử (Q) đi qua () có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z  2) = 0 (m2+ n2 > 0)
 (2m + n)x + my + nz + m  2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là: cos  

| 3m |
3. 5m  2n  4mn
2

2



3
3

 m2 + 2mn + n2 = 0  (m + n)2 = 0  m = n.
Chọn m = 1, n = 1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y  z + 3 = 0
Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vng góc với (Q).


Lời giải: Ta có AB(1;1;1), nQ (1; 2;3),

 
 AB; nQ   (1; 2;1)



 

 
Vì  AB; nQ   0 nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến

Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)
và hai đường thẳng (d ) :

x y 1 z


1
2
3

và (d ') :

x y 1 z  4


1
2
5

Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trì nh mặt phẳng đó .


Lời giải: (d) đi qua M 1 (0; 1; 0) và có vtcp u1  (1; 2; 3)

(d’) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u2  (1;2;5)
 


Ta có u1; u2   (4; 8; 4)  O , M1M 2  (0;2;4)
  
Xét u1; u2  .M1M 2  16  14  0 nên (d) và (d’) đồng phẳng.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) thì (P) có vtpt n  (1; 2; 1) và đi qua M1 nên có phương trình

x  2y  z  2  0

Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mp(P) , từ đó ta có M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -