Bài 7 hướng dẫn giải bài tập tự luyện lý thuyết cơ sở ve đường thẳng phần 3

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

(d1 ) :

3x  z  1  0
x y 1 z


và (d2 ) : 
1
2
1
2 x  y  1  0

a. CM: (d1 ) và (d 2 ) chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả (d1 ), (d 2 ) và song song với () :

x 4 y 7 z 3


1
4
2

Lời giải:



a.Ta có : u ( d1 )  (1; 2;1) ; u ( d2 )  (1; 2;3) và M1 (0; 1;0)   d1  ; M 2 (0;1;1)   d 2 

 

 M1M 2  (0; 2;1)  u ( d1 ) .u ( d2 )  .M1M 2  8  0   d1  và  d 2  chéo nhau
b. d1  d  A  A(t1 ; 1  2t1; t1 ) và d 2  d  B  B(t2 ;1  2t2 ;1  3t2 )

 AB  (t2  t1 ; 2  2t1  2t2 ;1  3t2  t1 )

 t  t 1  t  t
t  3t2  1
1
2
Do d song song   u (  )  AB  2 1 
 1
1
2
2
 t1  2; t2  1  A  2;3; 2  : B 1; 1; 4 
 (d ) :

x 4 y 7 z 3


1

4
2

Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

2 x  y  3z  5  0
2 x  2 y  3z  17  0
(d1 ) : 
và (d 2 ) : 
x  2 y  z  0
2 x  y  2 z  3  0
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ( d1 ) và song song với ( d 2 ) .
Lời giải:



 

b. Do u ( d1 )  (1; 1; 1); u ( d2 )  (1; 2; 2)  n(Q )  u ( d1 ) .u ( d2 )   (4; 3; 1) hay n(Q )  (4;3;1)

Mặt khác:
I (2; 1;0)  d1 ; J (0; 25;11)  d 2  (Q) : 4( x  2)  3( y  1)  z  0 hay (Q) : 4 x  3 y  z  5  0

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d1 ), (d 2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

(d1 ) :

x  1 y 1 z  2


2
3
1

và (d 2 ) :

Hình học giải tích trong không gian

x2 y2 z
; ( P) : 2 x  y  5 z  1  0


1
5
2

a. CM:. (d1 ) và (d 2 ) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.
b. Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P), cắt cả (d1 ), (d 2 ) .
Lời giải:




a.Ta có : u ( d1 )  (2;3;1) ; u ( d2 )  (1;5; 2) và M1 (1;1; 2)   d1  ; M 2 (2; 2;0)   d 2 

 

 M1M 2  (3; 3; 2)  u ( d1 ) .u ( d2 )  .M1M 2  62  0   d1  và  d 2  chéo nhau
  
u1.u 2  .MN
62


Ta có: d ( d1  d 2 ) 

 
195
u1.u 2 


b. d1    A  A(2t1  1;3t1  1; t1  2) và d 2    B

 B(t2  2;5t2  2; 2t2 )  AB  (t2  2t1  3;5t2  3t1  3; 2t2  t1  2)

 t  2t  3 5t  3t  3 2t  t  2
1
1
2
1
Do   ( P)  (2; 1; 5)  n( P )  AB  2
 2

2

1
5
x 1 y  4 z  3
 () :


2
1
5

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d và d :
x 1 y  1 z
.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với


2
1
1
đường thẳng d và tìm điểm đối xứng M’ với M qua d
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.
 x  1  2t

d có phương trình tham số là:  y  1  t
 z  t



Vì H  d nên tọa độ H (1 + 2t ;  1 + t ;  t).Suy ra : MH = (2t  1 ;  2 + t ;  t)


Vì MH  d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nên :
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0  t =

  1
4
2
2
. Vì thế, MH =  ;  ;  
3
3
3
3

 
uMH  3MH  (1; 4; 2)
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x  2 y 1 z


1
4
2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

7 1 2
8 5 4
Theo trên có H ( ;  ;  ) mà H là trung điểm của MM’ nên M’ ( ;  ;  )
3 3 3
3 3 3
x  t

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.cho đường thẳng  :  y  2t
z  1


và điểm A(1, 0,  1)

Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF là tam giác đều.
Lời giải:


  
Đường thẳng  đi qua M 0 (0, 0,1) và có vtcp u (1, 2, 0) ; M 0 A  (1, 0, 2);  M 0 A , u   ( 4,  2, 2)



+ Khoảng cách từ A đến  là AH = d ( A , ) 

  
 M 0 A , u 


u

+ Tam giác AEF đều  AE  AF  AH .



2 6
5

2
4 2
4 2
.Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R =

3
5
5

x  t
 y  2t

và đường thẳng  , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :  z  1

( x  1) 2  y 2  ( z  1) 2  32

5


1 2 2
x 
5


24 2
1 2 2
t =
suy ra tọa độ E và F là:  y 
5
5

z  1






1 2 2
x 
5


24 2
y 
5


z  1



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -