Phương trình tích phân trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————oOo————

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Giải tích

Giảng viên hướng dẫn : TS. HOÀNG NGỌC TUẤN
Sinh viên thực hiện

: NGUYỄN THỊ HẢI

Lớp

: K39A

HÀ NỘI, 04-2017


Mục lục

Lời cảm ơn

3

Lời cam đoan

4

Lời mở đầu

5

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

7

1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . . . . . .

8

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

17

2.1

Phương trình tích phân Fredholm . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4

Phương pháp nghiệm cho một nhân tách được

2.5

Phương trình tích phân Volterra loại I và phương trình tích

. . . . . . . 30

phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1


Kết luận chung

38

2


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm
ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, các thầy
cô trong tổ bộ môn Giải Tích cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy
đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.
Hoàng Ngọc Tuấn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa
luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được
những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

3


Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, khóa
luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài “Phương trình tích
phân trong không gian Hilbert” do em tự làm.

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện khóa luận này em còn tham khảo
một số tài liệu như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

4


Lời mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng vai
trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn, trong đó có phương trình
tích phân.
Để nắm vững hơn các kiến thức về phương trình tích phân và ứng dụng
của nó nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn đề tài khóa luận tốt
nghiệp: “Phương trình tích phân trong không gian Hilbert”.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về giải
tích, đặc biệt là phương trình tích phân trong không gian Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương trình tích phân trong không gian Hilbert.

5

6

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao
gồm 2 chương:

• Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị”.
• Chương 2: “Phương trình tích phân”.
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận
tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải Tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này.
Hà Nội, ngày 20/4/2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1. Một hàm x → x từ không gian vectơ E đến K được

gọi là chuẩn nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(1)

x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0;

(2)

λx =| λ | x , ∀x ∈ E, λ ∈ K;

(3)

x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E.

Định nghĩa 1.2. Cho . là một chuẩn trong E , (E, . ) được gọi là
không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.1. Cho không gian vectơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈ L[a,b]
ta đặt
b

|x(t)| dt

x =

(1.1)

a

Khi đó (L[a,b] , . ) là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.3. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)
Giả sử E là không gian định chuẩn. Dãy (xn ) các phần tử của E được gọi

7


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

8

là hội tụ đến phần tử a ∈ E nếu

lim x − a = 0.

n→∞

Định nghĩa 1.4. (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn)
Dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn nếu

lim

m,n→∞

xm − xn = 0,

hay tương đương ∀ε > 0, ∃n0 , ∀m, n ≥ n0 : xm − xn < ε.
Định nghĩa 1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không
gian metric đầy.

1.2

Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K.
Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu

A thỏa mãn các điều kiện:
1)

∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay;

2)

∀x ∈ X, ∀α ∈ K : A(αx) = αAx.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử
tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi là bị


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

9

chặn, nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

Ax ≤ c x , ∀x ∈ X.

(1.2)

Định nghĩa 1.8. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ
thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu A .
Định lý 1.1. (Định lí ba mệnh đề tương đương) Cho A là toán tử
tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Khi
đó ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X;
3) A bị chặn.
Định lý 1.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Nếu A bị chặn thì A = sup Ax .
x≤1

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9. (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính
trên trường K. Tích vô hướng trong X là ánh xạ

f: X ×X →K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các tiên đề sau :
1)

αx, y = α x, y ,

∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K;


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

10

∀x, y ∈ X;

2)

x, y = y, x ,

3)

x + y, z = x, z + y, z ,

4)

x, x ≥ 0,

∀x, y, z ∈ X;

∀x ∈ X,

x, x = 0 ⇔ x = 0.
Định nghĩa 1.10. (Không gian Hilbert) Ta gọi một tập H = ∅ gồm
những phần tử x, y, z, . . . nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa
mãn các điều kiện:
1)

H là không gian tuyến tính trên trường K;

2)

H được trang bị một tích vô hướng ·, · ;

3)

H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ H.

Ví dụ 1.2. Không gian C k với tích vô hướng xác định bởi x, y =

k

ξj θj ,
j=1

∀x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ), y = (θ1 , θ2 , ..., θk ) ∈ C k , là không gian Hilbert với
k

x =

x, x =

1
2

|ξj |2

.

j=1

Định lý 1.3. Cho dãy (xn ) ⊂ H sao cho xn , xm = 0, ∀n = m. Khi đó
∞

∞

xn hội tụ trong không gian H khi và chỉ khi chuỗi

chuỗi

xn 2 .

n=1

n=1

Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho X là không gian tích vô
hướng, khi đó ∀x, y ∈ X : | x, y | ≤ x

y .

Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Bessel) Nếu (en )n≥1 là một hệ trực chuẩn
nào đó trong không gian Hilbert H thì ∀x ∈ H ta đều có bất đẳng thức

| x, en |2 ≤ x

2

n≥1

Bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Bessel.

(1.3)


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

11

Định lý 1.6. (Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f (x) = x, a ,

x∈H

(1.4)

trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f = a .

(1.5)

Các phương trình trong toán học ứng dụng có thể được viết như các
phương trình toán tử dạng

T x = x,

(1.6)

ở đó T là một toán tử trong không gian Hilbert và x là ẩn.
Các nghiệm của phương trình (1.6) sẽ được gọi là các điểm bất động
của ánh xạ T . Như vậy, các điểm bất động là các phần tử của không gian
mà nó là không đổi bởi tác động của T .
Ánh xạ co là một ánh xạ T : E −→ E, ở đó E là một tập con của
không gian định chuẩn, mà tồn tại một số dương α < 1 sao cho

T x − T y ≤ α x − y , ∀x, y ∈ E.

(1.7)

Ta sẽ dùng định lý điểm bất động Banach để được sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của phương trình toán tử đã biết.
Định lý 1.7. Cho S là một tập con đóng của một không gian Banach và
cho T : E −→ E là một ánh xạ co. Khi đó
(a) Phương trình T x = x có một và chỉ một nghiệm trong S ,


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

12

(b) Nghiệm x duy nhất có thể được thu được như là giới hạn của dãy (xn )
các phần tử của S định nghĩa bởi xn = T xn−1 , n = 1, 2, ..., ở đó x0 là một
phần tử tùy ý của S :

x = lim T n x0 .
n−→∞

(1.8)

Định lý 1.7 có thể được dùng để chứng minh sự tồn tại và tìm nghiệm
của các phương trình đại số, phương trình vi phân và phương trình tích
phân.
Định lý 1.8. Cho E là một không gian Banach, và cho T : E −→ E. Nếu

T m là một ánh xạ co với mỗi m ∈ N thì T có một điểm bất động duy nhất
x0 ∈ E, x0 = lim T n x với x ∈ E bất kỳ.
n−→∞

Định lý 1.9. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong một không
gian Banach E và ϕ là một phần tử tùy ý của E , thì toán tử được xác định
bởi:

T f = αAf + ϕ

(1.9)

có một điểm bất động duy nhất với bất kì |α| đủ nhỏ. Chính xác hơn, nếu

k là một hằng số dương sao cho
Af ≤ k f , ∀f ∈ E,
thì T f = f luôn có một nghiệm duy nhất khi |α|k < 1.
Hệ quả 1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong một không
gian Banach. Khi đó phương trình

x = x0 + αAx

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

13

luôn có một nghiệm duy nhất cho bởi
∞

αn An x0

x=
n=1

khi |α| A < 1.
Định lí sau, của Charles Emile Picard (1856 − 1941) là một ví dụ quan
trọng của ứng dụng định lí điểm bất động cho phương trình vi phân thường.
Định lý 1.10. (Định lí Picard về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường

dy
= f (x, y)
dx

(1.10)

y(x0 ) = y0 ,

(1.11)

với điều kiện ban đầu

ở đó f là một hàm số liên tục trong mỗi miền đóng

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
chứa điểm (x0 , y0 ) trong phần trong của nó. Nếu f thỏa mãn điền kiện
Lipsit

|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ k|y1 − y2 |

(1.12)

với mỗi k ∈ R và ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R, thì nó tồn tại một nghiệm duy nhất

y = ϕ(x0 ) của bài toán (1.10)-(1.11) được xác định trong mỗi lân cận của
x0 .


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

14

Chứng minh: Ta thấy rằng mọi nghiệm của phương trình vi phân
x

y(x) = y0 +

f (t, y(t)) dt

(1.13)

x0

thỏa mãn (1.10) và (1.11), và ngược lại. Xét toán tử T xác định trong

C([a, b]) bởi
x

(T ϕ)(x) = y0 +

f (t, ϕ(t)) dt.

(1.14)

x0

Cho

M = sup {|f (x, y)| : (x, y) ∈ R} ,
và chọn ε > 0 sao cho kε < 1 và [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ [a, b]. Nếu

S = {ϕ(x) ∈ C ([x0 − ε, x0 + ε]) : |ϕ(x) − y0 | ≤ M ε, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]}
thì S là một tập con đóng của không gian Banach C([x0 − ε, x0 + ε]) với

ϕ =

sup

|ϕ(x)|.

[x0 −ε,x0 +ε]

Hơn nữa, nếu ϕ ∈ S và x ∈ [x0 − ε, x0 + ε] thì
x

|(T ϕ)(x) − y0 | =

f (t, ϕ(t)) dt ≤ M ε,
x0

và vì vậy T ánh xạ S vào chính nó. Cuối cùng, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ S, ta có
x

T ϕ1 −T ϕ2 =

(f (t, ϕ1 (t)) − f (t, ϕ2 (t))) dt ≤ kε ϕ1 −ϕ2 .

sup
[x0 −ε,x0 +ε]

x0

Vậy khi kε < 1, T là một ánh xạ co. Vì thế, theo Định lí 1.7 có duy nhất
một nghiệm của phương trình T ϕ = ϕ, đó là, y = ϕ là một nghiệm duy
nhất của (1.13).


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

15

Định lý 1.11. (Thay phiên Fredholm cho toán tử compact tự liên
hợp) Cho A là một toán tử compact tự liên hợp trong một không gian
Hilbert H. Khi đó phương trình toán tử không thuần nhất

f = Af + ϕ

(1.15)

có một nghiệm duy nhất với mọi ϕ ∈ H nếu và chỉ nếu phương trình thuần
nhất

g = Ag

(1.16)

chỉ có nghiệm tầm thường g = 0. Hơn nữa, nếu phương trình (1.15) có
một nghiệm, thì ϕ, g = 0 với mọi nghiệm g của (1.16).
Chứng minh: Ta có H có một cơ sở trực giao (vn ) gồm các vectơ riêng
của A với các giá trị riêng (λn ) tương ứng. Cho
∞

ϕ=

cn vn .

(1.17)

n=1

Ta tìm một nghiệm của (1.15) dưới dạng

∞

f=

an vn .
n=1

Vậy

∞

∞

an vn =
n=1

∞

an λn vn +
n=1

cn vn ,
n=1

và do đó

an =

cn
, ∀n ∈ N,

1 − λn

(1.18)

với điều kiện λn = 1. Nếu (1.16) không có các nghiệm khác không, 1 không


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

16

phải là giá trị riêng của A và do đó (1.18) là đúng. Vì thế, nếu (1.15) có
nghiệm, nó có dạng

∞

f=
n=1

cn
vn .
1 − λn

(1.19)

Điều này cho thấy rằng nếu (1.15) có một nghiệm thì nó là duy nhất.
Để chứng minh rằng (1.15) có nghiệm, ta chỉ cần chứng tỏ rằng (1.19)
là luôn hội tụ. Ta có λn −→ 0, và vì thế

1

≤M
1 − λn
với mỗi hằng số M và mọi n ∈ N. Kết quả là
∞

n=1

cn
1 − λn

∞

2

≤M

|cn |2 < ∞.

2
n=1

Vậy chuỗi (1.19) hội tụ và tổng của nó là một nghiệm của (1.15).
Nếu (1.16) có một nghiệm không tầm thường g và f là một nghiệm của

(1.15) thì f + cg cũng là một nghiệm của (1.15) với mọi c ∈ C. Vì thế
(1.15) có vô số nghiệm trong trường hợp này.
Cuối cùng, giả sử f và g là các nghiệm của (1.15), (1.16) tương ứng.
Khi đó

f, g = Af, g + ϕ, g = f, Ag + ϕ, g = f, g + ϕ, g ,

khi Ag = g. Điều này có nghĩa ϕ, g = 0. Hơn nữa, nếu (1.15) có một
nghiệm thì ϕ trực giao với mọi nghiệm của (1.16).


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
2.1

Phương trình tích phân Fredholm

Trong phần này và sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được của các
phương trình tích phân.
Định lý 2.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
tích phân tuyến tính không thuần nhất Fredholm loại II) Phương
trình
b

f (x) = α

K(x, y)f (y)dy + ϕ(x)

(2.1)

a

có một nghiệm duy nhất f ∈ L2 ([a, b]) với điều kiện nhân K là liên tục
trong [a, b] × [a, b], ϕ ∈ L2 ([a, b]) và |α|k < 1 ở đó
b

b

k=
a

|K(x, y)|2 dxdy.

a

17


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

18

Chứng minh: Xét toán tử
b

(T f )(x) = α

K(x, y)f (y)dy + ϕ(x).
a

Từ ϕ ∈ L2 ([a, b]), T f ∈ L2 ([a, b]) nếu
b

K(x, y)f (y)dy ∈ L2 ([a, b]).

(2.2)

a

Từ bất đẳng thức Schwarz, ta thấy
b

b

K(x, y)f (y)dy ≤
a

|K(x, y)f (y)| dy
a
b

≤

|K(x, y)|2 dy

1
2

b

|f (y)|2 dy

1
2

.

a

a

Vì thế
2

b

K(x, y)f (y)dy

b

≤

a

b

2

|K(x, y)| dy
a

|f (y)|2 dy

a

và

b

2

b

b

b

K(x, y)f (y)dy dx ≤
a

a

b

2

|K(x, y)| dy
a

a
b

b

≤

a

b

2

|K(x, y)| dydx
a

|f (y)|2 dy dx

a

|f (y)|2 dy.

a

Từ
b
a

b
a

b

|K(x, y)|2 dydx < ∞ và

|f (y)|2 dy,

a

(2.2) được thỏa mãn và như vậy T ánh xạ L2 ([a, b]) vào chính nó.


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

19

Chú ý rằng điều này cũng cho thấy rằng toán tử được xác định bởi
b

(Af )(x) =

K(x, y)f (y)dy
a

là bị chặn. Vì thế, theo Định lí 1.9, phương trình T f = T có một nghiệm
duy nhất với bất kì |α|k < 1.
Ví dụ 2.1. Xét phương trình tích phân
b

f (x) = α

e

x−y
2

f (y)dy + ϕ(x),

(2.3)

a

ở đó ϕ là hàm số cho trước. Từ
b

b

e
a

a

x−y
2

2

2

eb − ea
,
dxdy =
ea+b

phương trình (2.3) có một nghiệm duy nhất với bất kì
a+b

e 2
|α| < b

.
e − ea
Định lý 2.2. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
tích phân Fredholm phi tuyến) Giả sử
b

K(x, y, f (y))dy = M f , ∀f ∈ L2 ([a, b]),

(a)
a

(b)

|K (x, y, z1 ) − K (x, y, z2 )| ≤ N (x, y)|z1 − z2 |, ∀x, y, z1 , z2 ∈ [a, b],
b

b

(c)
a

a

|N (x, y)|2 dxdy = k 2 < ∞.


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

20

Khi đó phương trình Fredholm phi tuyến
b

f (x) = α

K (x, y, f (y)) dy + ϕ(x)

(2.4)

a

có một nghiệm duy nhất f ∈ L2 ([a, b]), ∀ϕ ∈ L2 ([a, b]) và mọi α mà

|α|k < 1.
Chứng minh: Xét toán tử

T f = αAf + ϕ,
ở đó
b

(Af )(x) =

K (x, y, f (y)) dy.
a

Khi đó
b

T f1 − T f2 = |α|

(K (x, y, f1 (y)) − K (x, y, f2 (y))) dy
a
b

≤ |α|

|K (x, y, f1 (y)) − K (x, y, f2 (y))| dy
a

dx

a
b

1
2

2

b

≤ |α|

N (x, y) |f1 (y) − f2 (y)| dy
a

1
2

2

b

dx

a

≤ |α|k f1 − f2 .
Rõ ràng, nếu |α|k < 1, thì T là một toán tử co và như vậy nó có một
điểm bất động duy nhất. Điểm bất động đó là một nghiệm của phương
trình (2.4).
Chú ý rằng, khi K (x, y, f (y)) = K1 (x, y)f (y), phương trình (2.4) quy
về (2.1). Vì thế Định lí 2.2 bao gồm được các trường hợp tuyến tính.


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

2.2

21

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Xét một phương trình toán tử

f = ϕ + αT f.

(2.5)

Nếu T là một toán tử tích phân với một nhân K , đó là

b

T f (x) =

K(x, t)f (t)dt,
a

thì (2.5) dẫn đến một phương trình tích phân Fredholm loại II:
b

f (x) = ϕ(x) + α

K(x, t)f (t)dt.
a

Trong trường hợp này, ta có
b

T 2 f (x) = T

K(x, t)f (t)dt
a
b

b

=

K(x, z)

K(z, t)f (t)dt dz
a

a
b

b

=

K(x, z)K(z, t)dz f (t)dt.
a

a

Vì thế, T 2 là một toán tử tích phân mà nhân là
b

K(x, z)K(z, t)dz.
a

Tương tự
b

T n f (x) =

Kn (x, t)f (t)dt,
a

với n ≥ 2,

(2.6)


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

22

ở đó nhân Kn của T n cho bởi
b

Kn (x, t) =

K(x, ξ)Kn−1 (ξ, t)dξ,

với n > 2.

a

Nhân Kn cũng có thể viết là
b

Kn (x, t) =

b

K(x, ξn−1 )K(ξn−1 , ξn−2 ) · · · K(ξ1 , t)dξn−1 dξn−2 . . . dξ1 .

...
a

a

Tiếp theo, ta áp dụng Hệ quả 1.1 để có được kết quả sau đây liên quan
đến tính giải được của (2.5) và do đó cũng là của phương trình tích phân

(2.6).
Nếu |α| T

< 1, thì phương trình (2.5) có duy nhất một nghiệm cho

bởi chuỗi Neumann

∞

αn T n ϕ.

f =ϕ+

(2.7)

n=1

Do đó, phương trình tích phân (2.6) có một nghiệm f duy nhất cho bởi
∞

b

αn−1 Kn (x, t) ϕ(t)dt.

f (x) = ϕ(x) + α
a

(2.8)

n=1

Nếu ta áp dụng ký hiệu
∞

αn−1 Kn (x, t),

Γ(x, t; α) =
n=1

thì nghiệm có thể viết dưới dạng
b

f (x) = ϕ(x) + α

Γ(x, t; α)ϕ(t)dt.
a

Hàm số Γ thường được gọi là nhân giải thức.

(2.9)


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

23

Ví dụ 2.2. Ta có nghiệm cho bởi chuỗi Neumann của phương trình tích
phân
1

1
2

f (x) = x +

(t − x)f (t)dt.
−1

Đầu tiên ta đặt f0 (x) = x. Khi đó
1

1
f1 (x) = x +
2

1
(t − x)tdt = x + .
3
−1

Thay f1 trở lại phương trình ban đầu, ta thấy
1

1

f2 (x) = x +
2

1
1 1
(t − x)(t + )dt = x + − x.
3
3 3
−1

Tiếp tục quá trình này, chúng ta có được

1
1 x
− − 2,
3 3 3
1 x
1
x
f4 (x) = x + − − 2 + 2 ,
3 3 3
3
..
.
f3 (x) = x +

n

f2n (x) = x +

n
m−1 −m

(−1)

3

−x

m=1

(−1)m−1 3−m .
m=1

Bằng cách cho n −→ ∞, ta nhận được

1
3
f (x) = x + .
4
4
Dễ dàng chứng minh nghiệm này bằng cách thay trực tiếp vào phương
trình ban đầu.


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

2.3

24

Phương trình tích phân Volterra

Phương trình Volterra
x

K(x, y)f (y)dy = ϕ(x),

(2.10)

a

và
x

f (x) − α

K(x, y)f (y)dy = ϕ(x)

(2.11)

a

là các trường hợp đặc biệt của phương trình Fredholm. Tuy nhiên, phương
trình Volterra có nhiều tính chất quan trọng và thú vị, nó không thể thu
được từ các phương trình Fredholm, vì vậy một nghiên cứu riêng biệt chắc
chắn là cần thiết.
Định lý 2.3. (Phương trình Volterra loại II) Giả sử ϕ ∈ L2 ([a, b])
và nhân K thỏa mãn điều kiện
b

a

b

|K(x, y)|2 dxdy < ∞.

(2.12)

a

Khi đó phương trình
x

f (x) = α

K(x, y)f (y)dy + ϕ(x)

(2.13)

a

có một nghiệm duy nhất trong L2 ([a, b]), với bất kì α ∈ C. Nghiệm đó có
thể được viết dưới dạng
∞

f (x) = ϕ(x) +

x

α

n=1

n

Kn (x, y)ϕ(t)dt,
a

(2.14)