Phương trinh_ Bất Phương Trình qui ve phuong trinh bac hai

www.laisac.page.tl
CHUYÊNĐỀ
P
P
P
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ơ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
R
R
R
Ì
Ì
Ì
N
N

N
H
H
H
V
V
V
À
À
À
B
B
B
Ấ
Ấ
Ấ
T
T
T
P
P
P
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ

Ơ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
R
R
R
Ì
Ì
Ì
N
N
N
H
H
H
Q
Q
Q
U
U
U
I
I

I
V
V
V
Ề
Ề
Ề
B
B
B
Ậ
Ậ
Ậ
C
C
C
H
H
H
A
A
A
I
I
I
A).PHƯƠNGTRÌNHVÀBẤT PHƯƠNGTRÌNHCHỨACĂN THỨC
I.DẠNGCƠBẢN 
Chúý:Đểtồntại
A
thì

0 ³A
;
0 ³A
Khigiảilưuýbabướcsau:
1.Biểuthứcngoàicăn.
2.Biểuthứctrongcăn.
3.Làmmấtcănđểgiải
1).DạngPhươngtrình cơbản
3
3
2
0
)0(0
BABA
BA
B
BA
BA
BhayA
BA
= Û = ·
î
í
ì
=
³
Û = ·
î
í
ì

=
³ ³
Û = ·
2.DạngBấtphươngtrì nhcóbảncơbản
2
A 0
A B B 0
A B
ì
³
ï
< Û >
í
ï
<
î
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
é
³
ì
í
ê
<
î
ê

> Û
ê
³
ì
ï
ê
í
ê
>
ï
î
ë
II).MỘTSỐVÍDỤ:
Giảiphươngtrình
Bài1.
2
4 2 2x x x + - = -
2 2 2
2 0 2
4 2 ( 2) 3 0
2
3
0 3
x x
x x x x x
x
x
x x
- ³ ³
ì ì

Û Û
í í
+ - = - - =
î î
³
ì
Û Û =
í
= Ú =
î
Bài2. 4 1 1 2x x x + - - = -
1 1
4 4
2 2
4 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 (1 )(1 2 ) 2 1
x x
x x x x x x x x
ì ì
- £ £ - £ £
ï ï
Û Û
í í
ï ï
+ = - + - - + - - - = +
î î
2
1
4
1 1
2

1
2 2
0
7
2
0
(1 )(1 2 ) 4 4 1 2
x
x
x x
x x
x x x x
ì
- £ £
ï
ì
ï
- £ £
ï
ï ï
Û ³ - Û Û =
í í
ï ï
= Ú = -
ï
ï
- - = + +
î
ï
î

Bài3.Giảicácbấtphươngtrìnhsauđây
1) 1)1(2
2
+ £ - xx (
311 £ £ Ú - = xx
)
2) 02162
2
> + - + - xxx (
3 1
7; 3
2 2
x x £ - > )
3) 3x + –
1x -
<
2x -
(
2
21
3
x > )
BÀITẬP:
Giảicácphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhsau:
Bài1:Giảicácphươngtrình
2
2
1
1) 3 9 1 2 0 :
2

11
2) 2 9 4 3 1 : ; 0
3
3) 5 1 3 2 1 0 : 2
4) 2 3 5 2 4 6 0 : 2
x x x DS x
x x x DS x x
x x x DS x
x x x x DS x
-
- + + - = =
+ = - + + = =
- - - - - = =
- + - - + - = =
Bài2:Giảicácbấtphươngtrình
7
1) ( 1)(4 ) 2 ( 1 ; )
2
x x x x x + - > - - £ <
2) 7 1 3 18 2 7 ( 9)x x x x + - - £ + ³
3) 5 1 1 2 4 ( 10 2)x x x x x - - - > - < Ú ³
4)
2
51 2
1 ( 5; 1 2 13; 1; 1 2 13)
1
x x
x x x x
x
- -

< < - ³ - - > £ - +
-
5)
2
1 1 4 2 1 1
3 ( ; ;0 )
4 2 2
x
x x x
x
- -
< < - ³ - < £
II.PHƯƠNGPHÁPĐẶTẨNSỐPHỤ:
Cácdạngđặtẩnphụthườnggặp sauđây
Dạng
2 2
ax axbx m bx c n + + + + =
Đặt
2
axt bx c = + + kèmtheođiềukiện
VíDụ 1:Giảiphươngtrình
–4 )2)(4( x x + - =
2
x –2x–8(1)
HD:Đặtt= )2)(4( x x + - (t³ 0)
(1)trởthành:– 4t=–
2
t
Û
ê

ë
é
=
=
4t
0t
Vídụ2:Giảibấtphươngtrình
1) (x+5)(2–x) ³=3 x3x
2
+ .
2) 2855)4)(1(
2
+ + < + + xxxx (– 9<x<4)
Dạng
( )( )
ncxbcxadcxbcxa = - + + - + +
Phươngpháp.Đặtt= cxbcxa - + + ;ĐK: )(2 batba + £ £ + .
HD:Đặt 3 6t x x = + + - .Đưavềphươngtrình:t
2
–2t–3=0
Vídụ 1.Chophươngtrình: mxxxx = - + - - + + )3)(1(31
a) Giảip/tkhim=2. ĐS:x=1hoặcx=3.
b) Tìmm đểp/tcónghiệm. Đs 2222 £ £ - m
Vídụ 2:Giảiphươngtrình
1x +
+
x4 -
+ )x4)(1x( - + =5(1)
HD: Đặtt=
1x +

+
x4 - Þ
)x4)(1x( - + =
2
5t
2
-
(1)trởthành:t+
2
5t
2
-
=5.
Vídụ 3 Giảibấtphươngtrình
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x - + - ³ - + - +
Vídụ 4:Giảiphươngtrình sauđây: . 2 5 3 2 9 4 1 2 3
2
+ - + - = - + - x x x x x
Dạng:
.
''
).()'')(.( m
bax
bxa
baxbxabax =
+
+
+ + + +
b a


Phươngpháp :Đặt
=t
)'')((
''
)(
2
bxabaxt
bax
bxa
bax + + = Þ
+
+
+
.
Phươngtrìnhđãchotrởthành: 0
2
= - + mtt
b a
 .
Vídụ:Chophươngtrình:
.
3
1
)3(4)1)(3( m
x
x
xxx =
-
+

- + + -
1. Giảiphươngtrìnhkhim=3.
2. Địnhthamsốmđểphươngtrìnhcónghiệm.
HD:Đặt
2
1
( 3) ( 3)( 1)
3
x
t x X x x
x
+
= - Þ = - +
-
nênpt(1)đưavề:t
2
+4tm=0(2)
a) Vớim=3thìphươngtrình(2)trởthành
2
1
4 3 0
3
t
t t
t
= -
é
+ + = Û
ê
= -

ë
Đs 1 5x = - , 1 13x = -
b)Trướchếtphươngtrình(2)cónghiệm
0 4 0 4m m
¢
Û D ³ Û + ³ Û ³ -
.
Giảsửnghiệmlàt
0
thì
0
1
( 3)
3
x
x t
x
+
- =
-
.
+Nếut
0
=0thìx=–1
+Nếut
0
>0thì
2
0
2

0
3
1 4
( 3)( 1)
x
x X
x x t
>
ì
Û = + +
í
- + =
î
+Nếut
0
<0thì
2
0
2
0
3
1 4
( 3)( 1)
x
x t
x x t
<
ì
Û = - +
í

- + =
î
Vậyvới
4m ³ -
thìphươngtrình(2)cónghiệmtứclàphươngtrình(1)cónghiệm.
Dạng:
) 1 ( .
2
¹ = ± + a a x a x
.
Phươngpháp :Đặt
).0( ³ = + ttax
Đưaphươngtrìnhvềhệ
ï
î
ï
í
ì
= -
= +
axt
atx
2
2
Trừhaivếtheovếtađưavềdạng(t+x)(x–t+1)=0.
Vídụ: Giảiphươngtrình:
. 2007 2007
2 4
= + + x x
HD.Đặtt

2
= 2007
2
+ x .Phươngtrìnhtrởthành 0 ) 1 )( (
2007
2007
2 2 2 2
2 4
2 4
= - - + Þ
ï
î
ï
í
ì
= -
= +
t x t x
x t
t x
.
Chúý:Cóthểgiảicáchkhácnhưsau:
Phươngtrình
4
1
2007 2007
4
1
2 2 2 4
+ + - + = + + Û x x x x

2
2
2
2
2
1
2007
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
- + =
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ Û x x .
Dạng:
) ( . N n b ax a b x
n
n
Î - = +
.
Phươngpháp :Đặt

n
baxt - = ,tacóhệ
ï
î
ï
í
ì
= +
= +
axbt
atbx
n
n
Vídụ 1:Giảiphươngtrìnhsau:
3
3
1221 - = + xx ;
3
3
2552 - = + xx
HD.Đặt
ï
î
ï
í
ì
= +
= +
Þ - =
xt

tx
xt
21
21
12
3
3
3
Vídụ 2:Giảiphươngtrình
3
3
1 2 2 1x x + = - .
Hướngdẫn:Đặt
3
3
3
3
1 2
2 1 1 2
1 2
x y
y x y x
y x
ì
+ =
ï
= - Û + = Þ
í
+ =
ï

î
.Đápsố:x=1;
1 5
2
x
- ±
=
ĐUAVỀHỆPHƯƠNGTRÌNH
Vídụ1.Giảiphươngtrình: 3 10 25
2 2
= - - - x x .
HD.TXĐ: 1010 £ £ - x .
Đặt
2
25 x - =avà
2
10 x - =b(a,b ³ 0)
Việcgiảiphươngtrình,chuyểnvềgiảihệPThữutỉsau:
î
í
ì
= -
= -
15
3
22
ba
ba
Vídụ 2.Giảiphươngtrình: 211
33

= - + + xx
HD.TXĐ:x ³ 0. Đặt
3
1 x + =avà
3
1 x - =b.
ViệcgiảiPT(3)chuyểnvềgiảihệPT
î
í
ì
= +
= +
2
2
33
ba
ba
Giảihệphươngtrìnhnàyđượca=b=1.Từdósuyra x =0
Û
x=0.
Vídụ3.Giảiphươngtrình
3
7x + –
x
=1(1)
HD+Cách1:Đặtt=
x
(t ³ 0)
(1)trởthành
3 2

7t + =t+1
Û
2
t +7=
3
t +3
2
t +3t+1
Û
(t–1)(
2
t +3t+6)=0(Bạnđọctựgiải)(ĐSx=1)
+Cách2:Đặt
ï
î
ï
í
ì
=
+ =
xv
7xu
3
cóhệ
î
í
ì
= -
= -
7vu

1vu
23
Vídụ 4.Giảiphươngtrình
3x + –
3
x
=1(1)
HD+Cách1:Đặtt=
3
x
,(1)trởthành: 1t
3
+ =t+1
+Cách2:Đặt
ï
î
ï
í
ì
=
+ =
3
xv
3xu
cóhệ
î
í
ì
= -
= -

3vu
1vu
32
(ĐS 1; 2 2)x x = =
Vídụ 5:Giảiphươngtrình
xx
2
+
+ 7xx
2
+ + =3+
2
(1)
Giải Đặt
ï
î
ï
í
ì
+ + =
+ =
7xxv
xxu
2
2
(1)trởthành:u+v=3+
2
.Tacóhệphươngtrình
ï
î

ï
í
ì
= -
+ = +
7uv
23vu
22
Vídụ 6: Giảiphươngtrình
2
x +4x= 6x + (1)
HD · Tadựkiếnđặt 6x + =at+bđểđưavềhệphươngtrìnhđốixứng:
Tacóhệphươngtrình:
ï
î
ï
í
ì
- + = +
+ = +
222
2
b6xabt2ta
batx4x
hệnàyđốixứngnếu
ï
ï
î
ï
ï

í
ì
- =
=
=
=
2
2
b6b
1a
4ab2
1a
Û
î
í
ì
=
=
2b
1a
.Nhưvậytađặtt+2= 6x + (t ³ –2)
Khiđócóhệptđốixứng:
ï
î
ï
í
ì
+ = +
+ = +
2xt4t

2tx4x
2
2
(ĐS
3 17 5 13
; )
2 2
x
- - - +
=
+ĐẶTẲNMỚI,ẨNCŨCÒNLẠIXEM NHƯTHAM SỐ.
Vídụ1:Giảiphươngtrình:
( )
23132
22
+ - = - + xxxx .
HD:Đặt 2
2
+ = xt .PTtrởthành:
( ) ( )
01213
2
= - + - - xxtxt
Giảiphươngtrinhbậc2ẩnt,tacó:
ê
ë
é
- =
=
12xt

xt
Vídụ2:Giảiphươngtrình:
( )
( )
1212114
22
- + + = + - xxxx (HD:Đặt 1
2
+ = xt .)
Thídụ3:Giảiphươngtrình: . 0 5 6 6 ) 1 4 ( 5 10 6
2 2
= + - - - + - x x x x x
Vídụ 4:Giảiphươngtrình(4x–1)
1x
2
+
=2
2
x +2x+1(1)
HD:Đặtt=
1x
2
+
(t ³ 1)(1)trởthành(4x– 1)t=2
2
t +2x–1
D =
2
)3x4( -
Þ

t=
4
)3x4()1x4( - ± -
Û
ê
ê
ê
ë
é
- = +
= +
1x21x
2
1
1x
2
2
Vídụ 5:Giảiphươngtrình2
2
x –3x+2=x 2x3 - (1)
HD:Đặtt= 2x3 - (t ³ 0)(1)trởthành
2
t +xt–2
2
x =0.
· Cách1: D =9
2
x (chínhphương)
Þ
t=

2
x3x ± -
Û
ê
ê
ë
é
- = -
= -
x22x3
x2x3
· Cách2:phươngtrìnhđẳngcấp
Þ
đặtx=ty:
2
t +y
2
t –2
2
y
2
t =0
Û
2
t (1+y–2
2
y )=0.
*ĐƯAVỀTỔNGBÌNHPHƯƠNG:
î
í

ì
=
=
Û = +
0
0
0
2 2
B
A
B A
Vídụ1.Giảiphươngtrình .5634224 - + - + - = + + + zyxzyx
HD:Phươngtrìnhtươngđương
( ) ( ) ( )
0352312
222
= - - + - - + - - zyx .
Vídụ2.Giảiphươngtrình x x x 16 1 9 1 13 = + + - .
HD:Phươngtrìnhtươngđương 0
2
3
1 3
2
1
1 13
2 2
=
÷
ø
ö

ç
è
æ
- + +
÷
ø
ö
ç
è
æ
- - x x
*PHƯƠNGPHÁPĐÁNHGIÁ:
Nếu
î
í
ì
£
³
MB
MA
thìA=Bkhivàchỉkhi
î
í
ì
=
=
MB
MA
Vídụ 1:Giảiphươngrình sauđây:
222

2414105763 xxxxxx - - = + + + + + .
HD:VT=
( )
59)1(5413
2
³ + + + + + xx ;VP=
( )
515
2
£ + - x Þ
ptcónghiệmx=1
Vídụ2. Giảicácphương trình: 5253
2
+ - = - + + xxxx ; 1215
2
+ + - = - + - xxxx
HD:VT=
( )( )
4531153 = - + + + £ - + + xxxx ;VP=
( )
44152
2
2
³ + - = + - xxx
Thídụ3.Giảibấtphươngtrình: 4 5 2 3 4 2 3
2 2 2
+ - ³ + - + + - x x x x x x
HD.Đièukiện 4 ; 1 ³ £ x x .
Khi
4 ³ x

,bấtphương
(
)
0 ) 4 3 ( ) 4 2 ( 1 ³ - - - + - - - - Û x x x x x .Đúng.
Khix 1 £ ,bấtphương
(
)
1 0 ) 4 3 ( ) 4 2 ( 1 = Û ³ - - - + - - - - Û x x x x x x
Vídụ4:Giảiphươngtrình
x3
+
x
1
=4
8
x
(1)
Giải.MXĐ:x>0
Có
4
x
1
x3 +
=
8
x
1
x
1
xxxxxx + + + + + + +

³
8
x
(2) " x>0(BĐTCôsi)
Vậy(1)
Û
dấu“=”ở(2)xảyra
Û x
=
x
1
Û
x=1.
VẬNDỤNGTÍNHĐƠN ĐIỆUCỦAHÀMSỐ:
Vídụ1:Giảicácphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhsau:
.231362 xxx - = - + - ; xxx 2101032 - ³ + + + .
HD:phươngtrìnhtươngđương 231362 = + - + - xxx
Vếtráilàhàmsố
xxxxf + - + - = 1362)(
đồngbiếntrong );6[ +¥ .
Mặtkhácvếphải23=f(10).
Phươngtrìnhtươngđươngf(x)=f(10) 10 = Þx lànghiệmduynhất.
Vídụ2.Giảiphươngtrình 0 ) 3 9 2 ( 3 ) 4 4 4 2 )( 1 2 (
2 2
= + + + + + + + x x x x x .
HD.Phươngtrìnhtươngđương
) 3 ( ) 1 2 ( ) 3 ) 3 ( 2 ( 3 ) 3 ) 1 2 ( 2 )( 1 2 (
2 2
x f x f x x x x - = + Û + - + - = + + + + .
Trongđó ) 3 2 ( ) (

2
+ + = t t t f ,làhàmđồngbiếnvàliêntụctrongR,phươngtrìnhtrởthành
f(2x+1)=f(3x)
5
1
3 1 2 - = Û - = + Û x x x lànghiệmduynhất.
Vídụ3 (HSGbảngA1995). Giảiphươngtrình 0 4 4 8 40 8 3
4
2 3
= + - + - - x x x x .
HD.Đặt 13 ) 3 ( ) ( 40 8 3 ) (
2 3
= = Þ + - - = f x mìn x x x x f .
13 ) 3 ( ) ( max 4 4 8 ) (
4
= = Þ + = g x g x x g
.
*PHƯƠNGPHÁPNHÂNLƯỢNGLIÊNHỢP.
Vídụ1.Giảicácphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhsau: 1
411
2
=
- -
x
x
;
( )
.123
311
9

2
2
+ <
+ -
x
x
x
HD.phươngtrình
2
2
2 2
4 1 1 4 1
) 4 1 1 (
4
1
4 1 1
x x
x x
x
x
x
- + = Û =
- +
Û =
- -
Û .
Vídụ2:Giảibấtphươngtrình
2
12x 8
2x 4 2 2 x

9x 16
-
+ - - >
+
(1)
Bằngcáchnhânlượngliênhợpbấtphươngtrìnhtươngđương
( )
2
2
6x 4 2(6x 4)
(3x 2) 9x 16 2 2x 4 2 2 x 0
2x 4 2 2 x
9x 16
- -
é ù
> Û - + - + + - >
ë û
+ + -
+
(2)
Lạithựchiệnphépnhânliênhợp
(
)
( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
(2) (3x 2) 9x 16 4 12 2x 4 8 2x 0
(3x 2) 9x 8x 32 16 8 2x 0

(3x 2) x 2 8 2x x 2 8 2x 0(3)
é ù
Û - + - - + - >
ê ú
ë û
Û - + - - - >
Û - - - + + - >
Vídụ 3.Giảiphươngtrình:
5
3
2314
+
= - - +
x
xx .
HD.Phươngtrìnhtươngđương
0)52314)(3(
5
3
2314
3
= - - + + + Û
+
=
- + +
+
xxx
x
xx
x

.
Vídụ 4.Giảiphươngtrình: . 2 7 9
2 2
= - - + x x
HD:Nhậnthấyptcónghiệmx=4
Pt
(
)
(
)
03759
22
= - - - - + Û xx
0
37
16
59
16
2
2
2
2
=
+ -
-
-
+ +
-
Û
x

x
x
x
.
Thídụ 5.Giảibấtphương trình 6525432
222
+ + ³ + + + + + xxxxxx .
PHƯƠNGPHÁPLƯỢNGGIÁCHÓA:
Vídụ1:Giảiphươngtrình:
( )
2 2
1 1 1 2 1x x x + - = + -
Giải:Điềukiện:
1 1x - £ £
.Đặt sin , ;
2 2
x t t

p p

é ù
= Î -
ê ú
ë û
.Tacóphươngtrình:
3
1 cos sin (1 2cos ) sin sin 2 2 cos 2cos .sin
2 2 2
t t t
t t t t t + = + = + Û =

Vì ; cos 0
2 2 2
t
t

p p

é ù
Î - Þ ¹
ê ú
ë û
,tađược:
1
2 3
6
sin
2
2 2
1
2
t
x
t
x
t

p
p

é

=
é
ê
=
ê
= Û Û
ê
ê
ê
=
=
ë
ê
ë
Vídụ2:Giảibấtphươngtrình:
( )
5
2 5
1 1x x - + £ .
Giải:Điềukiện:
0 1x £ £
.Đặtx=costvới0
2
t

p

£ £ .Tacó
5
5

2
sin cos 1t t + £
.
Do
5
5 2 2
2
sin sin ;cos cost t t t £ £ nên
5
5 2 2
2
sin cos sin cos 1. 0;
2
t t t t t

p

é ù
+ £ + = " Î
ê ú
ë û
nênbấtphươngtrình
cónghiệmlàmọi
[ ]
0;1x Î
Vídụ 3:Giảiphươngtrình :
[
]
[
]

213)1(4
2332
= - - + - - xxxx .
HD:Đặtx=cos
a
 (
p
£ £x0 ).Phươngtrìnhtrởthành
12
5
cos;
12
cos23cos3sin

p p
a a
= = Þ = + xx .
Vídụ 4.(THTT1/2007).Giảiphươngtrình 2 3
3
+ = - x x x .
HD.Đk
2 - ³ x
.Khix<2tacóx
3
3x=x+x(x
2
4)>x 2 2 + > x x .
Vậyđểphươngtrìnhcónghiệmtachỉxét
2 2 £ £ - x
.

Đặt
p a a
£ £ = 0 , cos x .Khiđóphươngtrìnhviếtlại
2
cos 3 cos 2 cos 2 ) cos 3 cos 4 ( 2
3

a
a a a a
= Û + = -
Giảiphươngtrìnhcónghiệm
5
4
cos 2 ,
7
4
cos 2

p p

= = x x
CÓCHỨATHAMSỐ
Bài1:Giảivàbiệnluậncácbấtphươngtrìnhsau:
1)
mx2 -
³ x
2) 3x2
2
+ <x–m
3)

mx -
–
m2x -
> m3x -
Bài2:Tìm điềukiệncủamđểphươngtrình
2
2 2 1x x m x + - = - cónghiệm
Bài3:Tìm điềukiệncủamđểphươngtrình
2
2
16 4 0
16
m
x
x
- - - =
-
cónghiệmthực.
B).PHƯƠNGTRÌNHCÓẨNỞTRONGDẤUGIÁTRỊTUYỆTĐỐI
1).DạngPhươngTrìnhcóbản
2
0
A B A B
B
A B
A B
· = Û = ±
³
ì
· = Û

í
=
î
2).DạngBấtPhươngTrì nh cơbản
2 2
( )( ) 0A B A B A B A B
A B B A B
A B
A B
A B
· < Û < Û - + <
· < Û - < <
< -
é
· > Û
ê
>
ë
Vídụ1: Giảiphươngtrình:vàbấtphươngtrìnhsau:
11
2
= - + xx ,
( )
2
2 4 3 1x x x - + - = ,. x
x
x
=
-
-

2
1
2
1 3
( )
2
x
±
=
.
5
232
23
=
- + +
- -
xx
xx
,
2
2 3 3x x x - - < , 1 4 2 1x x - ³ +
1 2 3 ( 0 2)x x x x x - + - > - < Ú > ,
2
2
3 1
3
1
x x
x x
- +

<
+ +
Vídụ 2:Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhsau
0224).2
13).1
2
= - + - - +
- = +
mmxxx
xmx
Vídụ3:Tìmm đểphươngtrìnhsaucónghiệm
|x
2
–2x+m|=x
2
+3x–m –1
PHƯƠNGPHÁPĐẶTẨNSỐPHỤ:
Vídụ1:Tìmm đểphươngtrình:
( )
2 2
2 1 0 1x x m x m - - - + = cónghiệm.
Giải:Đặt 1 0t x = - ³ tacót
2
1=x
2
2xnênpt(1)trởthành:t
2
mt+m
2
1=0(2).

Phương trình(1)cónghiệmkhivàchỉkhi(2)cóítnhấtmộtnghiệm
0t ³
· Trườnghợp1:phươngtrình(2)cónghiệmt=0
2
0 1 0 1P m m Û = Û - = Û = ± .
· Trườnghợp2:phươngtrình(2)cónghiệm
2
1 2
0 0 1 0 1 1t t P m m < < Û < Û - < Û - < < .
· Trườnghợp3:phươngtrình(2)cónghiệm
2
2
1 2
2 3 2 3
3 3
3 4 0
0
1
2 3
, 0 0 1 0 1 .
1
3
0 0
0
m
m
m
t t P m m
m
S m

m
ì
-
£ £
ï
ï
ì
- + ³
D ³
ì
ï
>
ï
é
ï
> Û > Û - > Û Û < <
í í í
ê
< -
ë
ï ï ï
> >
ỵ
ỵ
ï
>
ï
ỵ
Đápsố:
2 3

1
3
m - £ £
Vídụ2:Chophươngtrình:
2
2 1x x m x - + = -
a)Giảiphươngtrìnhvớim=0.
b)Tìmm đểphươngtrìnhcóbốnnghiệmphânbiệt.
Giải:Đặtt=x–1,thìphươngtrìnhđãchotrởthành
2
1 (*)t m t + - =
a)Vớim=0tacó
2 2
3 5
0
0 0
1 5
2
1 5
2
1 1 0
1 5
2
2
t
x
t t
t
t t t t
t

x
é
+
³
ì
=
ê
³ ³
ì ì
± +
ï
ê
Û Û Û = Þ
í í í
± ±
ê
- = ± ± - =
=
+
ỵ ỵ
ï
=
ỵ
ê
ë
b)Phươngtrìnhđãchocóbốnnghiệmphânbiệtkhivàchỉkhiphươngtrình(*)có4nghiệm
phânbiệt.
2 2
0 0
(*)

1 1 0
t t
t m t t t m
³ ³
ì ì
Û Û
í í
+ - = ± ± + - =
ỵ ỵ
.Phươngtrình(*)có4nghiệmphânbiệtkhivà
chỉkhimỗiphươngtrìnht
2
–t+m –1=0vàt
2
+t+m –1=0cóhainghiệmkhơngâmphân
biệt.Nhưngphươngtrìnht
2
+t+m –1=0khơngthểcóhainghiệmkhơngâm(vìS=–1<0).
Vậyphươngtrìnhđãchokhơngthểcó4nghiệmphânbiệt.
C) PHƯƠNGTRÌNHBẤT PHƯƠNGTRÌNHTRÙNGPHƯƠNG
4 2
0ax bx c + + =
Phương pháp đặt x
2
= t ( t >=0)
ví dụ : Giải các phương trình
4 2
2 2
) 12 0
)(1 )(1 ) 3 0

a x x
b x x
- - =
- + + =
c)
4 2
3 2 0x x - + £
D) PHƯƠNGTRÌNHDẠNG:
( )( )( )( )
x a x b x c x d k + + + + = Với a + b = c + d
Đặt t =
( )( )
x a x b + +
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )( )( )( )
1 2 4 5x x x x m - - + + =
a) Giảiphươngtrìnhkhim=112.
b) Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm
Ví dụ 2:Giảibấtphươngtrình
( )( )
2 2
3 2 9 20 4x x x x - + - + ³
,
( )( )
2 2
1 8 15 9x x x - + + £
E) PHƯƠNGTRÌNHDẠNG:
( )( )
2 2 2
x ax c x bx c mx + + + + =

Chia cả hai vế cho x
2
rồi đặt
x c
t
x
+
=
Ví dụ: Giảicác phương trình và bấtphươngtrình
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 2 2
2
2
) 1 5 1 3
)4 5 6 10 12 3
10
) 1 2 4 8
9
a x x x x x
b x x x x x
c x x x x x
- + - + = -
+ + + + £
- - - - >
F) PHƯƠNGTRÌNHDẠNG:
4 3 2
0;( 0)ax bx cx bx a a + + ± + = ¹
Đưa về dạng

2
2
1 1
0a x b x c
x x
ỉ ư ỉ ư
+ + ± + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Đặt
1
t x
x
= ±
Ví dụ : Giải các phương trình và bấtphươngtrình
4 3 2
4 3 2
3
3
) 4 5 4 1 0
) 3 2 6 4 0
1 1
) 3
a x x x x
b x x x x
c x x
x x
- + - + =
+ - - + £
ỉ ư

+ = +
ç ÷
è ø