ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

Header Page 1 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU
TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
Footer Page 1 of 114.


Header Page 2 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃ`1`N, COMPACT
YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
1
Footer Page 2 of 114.


Header Page 3 of 114.

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS
Lê Hoàn Hoá- người đã ân cần chỉ bảo, hướng dẫn nhiệt tình về mặt chuyên môn
cũng như phương pháp học tập quý báu, giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở phòng sau đại học, các thầy cô đang công tác
tại trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ
tôi trong toàn bộ quá trình học tập tại trường và trong quá trình làm luận văn. Cuối
cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân- những người đã động viên,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mai Văn Duy

Footer Page 3 of 114.


Header Page 4 of 114.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu và viết tắt
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................... 4
1.1. Không gian Banach. ......................................................................................... 4
1.2. Không gian Hilbert. .......................................................................................... 5
1.3. Tôpô yếu – Tính phản xạ. ................................................................................ 9
1.4. Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet. ......................................................... 14
1.5. Tập định hướng và lưới. ................................................................................. 18
1.6. Tập có thứ tự và bổ đề Zorn. .......................................................................... 19
Chương 2. TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI
CHẶT CỦA KHÔNG GIAN ............................................................ 21
2.1. Tính khả vi Gateaux của chuẩn, không gian trơn. ......................................... 21
2.2. Không gian lồi chặt. ....................................................................................... 29
Chương 3. TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI
ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN ................................................................. 33
3.1. Tính khả vi Frechet của chuẩn. ...................................................................... 33
3.2. Tính khả vi Frechet đều của chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi đều. ...... 42
Chương 4. CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ............................................. 65
4.1. Cấu trúc chuẩn tắc. ......................................................................................... 65
4.2. Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động. ......................................... 67
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 77

Footer Page 4 of 114.

Header Page 5 of 114.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

x Chuẩn của x trên không gian định chuẩn.
x, y Tích vô hướng của x, y trên không gian tiền Hilbert.

S ( X ) :=
1} Mặt cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X .
{x ∈ X | x =
B( X ) :=
{ x ∈ X | x ≤ 1} Quả cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X .

Footer Page 5 of 114.


Header Page 6 of 114.

1

MỞ ĐẦU
Điểm bất động của ánh xạ là một đối tượng đã được nghiên cứu từ rất lâu và
có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ. Các định lý
về điểm bất động được bắt đầu nghiên cứu từ lớp các ánh xạ liên tục trong không
gian hữu hạn chiều, đó là các định lý Brouwer:
Định lý Brouwer: Cho X là không gian hữu hạn chiều, B là quả cầu đơn vị đóng
trong X . Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U : B → B đều có điểm bất động.
Định lý Brouwer mở rộng: Cho X là không gian hữu hạn chiều, C là tập lồi đóng
bị chặn trong X . Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U : C → C đều có điểm bất động.
Thực chất, điều kiện của định lý là ánh xạ liên tục trên một tập lồi đóng bị

chặn trong không gian hữu hạn chiều(do đó là compact). Ta biết rằng lớp các không
gian hữu hạn chiều là khá khiêm tốn. Do đó, người ta muốn mở rộng định lý này lên
không gian vô hạn chiều, khi số chiều của không gian là vô hạn thì tính liên tục trở
nên yếu đi và tính compact của các tập lồi đóng bị chặn cũng mất đi. Do đó, các
điều kiện cũng cần phải mạnh hơn:
Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X là không gian Hilbert, C ⊂ X là
tập lồi đóng bị chặn và U : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, U có điểm bất
động trong C.
Định lý Shauder: Cho X là không gian Banach, C ⊂ X là tập lồi đóng,
U : C → C liên tục và U (C ) compact tương đối. Khi đó, U có điểm bất động trong C.

Rõ ràng khi mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không còn đảm bảo
cho sự tồn tại điểm bất động, ta cần tính không giãn. Còn khi mở rộng lên không
gian Banach, tính lồi đóng cũng không còn đảm bảo được sự tồn tại điểm bất động,
do đó ta cần một điều kiện không dễ đạt được, đó là tính compact mạnh.
Vấn đề được đặt ra là ta cần phải thay được điều kiện compact mạnh bằng
một điều kiện nhẹ hơn mà định lý vẫn đúng trên không gian Banach. Điều đó đã dẫn
chúng ta đến việc nâng cấp không gian lên một lớp không gian mạnh hơn là không
gian lồi đều và cần thêm các cấu trúc mới là cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu. Đặc

Footer Page 6 of 114.


Header Page 7 of 114.

2

trưng của các cấu trúc này dựa vào các khái niệm lồi đều, lồi chặt của không gian.
Tính lồi đều, lồi chặt của không gian thì lại đặc trưng bởi tính khả vi Frechet, khả vi
Gateaux của ánh xạ chuẩn. Vì vậy, luận văn sẽ nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả

vi Frechet, mối liên quan giữa chúng với tính lồi chặt, lồi đều và cấu trúc chuẩn tắc,
compact yếu, không gian lồi đều để từ đó có được các định lý điểm bất động cho
ánh xạ không giãn.
Luận văn được làm dựa theo [1,tr 20-57]. Luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:
Nhắc lại một số kiến thức, khái niệm về không gian định chuẩn, không gian
Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert và các tính chất, sự hội tụ của
dãy trong các không gian này. Ngoài ra chương này còn phát biểu và chứng minh
một số khái niệm, tính chất, định lý về tôpô yếu, tôpô yếu sao, tính phản xạ, tập
định hướng và lưới, tập sắp thứ tự và bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux và khả vi
Frechet của ánh xạ.
Chương 2: Tính khả vi Gateaux của chuẩn và tính lồi chặt của không gian.
Chương này trình bày sự khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn, tính trơn của không
gian, tính lồi chặt của không gian và định lý về mối liên hệ giữa các tính chất này
thông qua một khái niệm là ánh xạ tựa.
Chương 3: Tính khả vi Frechet của chuẩn và tính lồi đều của không gian.
Chương này trình bày khái niệm, tính chất và phân biệt giữa khả vi Gateaux và khả
vi Frechet của ánh xạ chuẩn. Chương này còn trình bày khái niệm, tính chất và phân
biệt giữa tính lồi chặt và lồi đều của không gian. Bên cạnh đó còn nghiên cứu về
tính trơn đều của không gian, tính khả vi Frechet đều của ánh xạ chuẩn và tính
compact yếu trong không gian lồi đều.
Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc và các định lý điểm bất động của ánh xạ
không giãn.
Chương 4 là nội dung chính của luận văn. Chương này trình bày khái niệm,
tính chất của tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian
lồi đều và các định lý về sự tồn tại, tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn trên tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian Banach, sự

Footer Page 7 of 114.

Header Page 8 of 114.

3

tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng bị chặn trong không
gian lồi đều và sự tồn tại điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn giao
hoán.

Footer Page 8 of 114.


Header Page 9 of 114.

4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn,
không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tôpô yếu, tính phản
xạ, tập sắp thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet. Chương này được
làm dựa theo [4,chương 1,3].

1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1:Cho X là không gian vector trên . Ánh xạ  : X →  được
gọi là một chuẩn nếu:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ X ,

x = 0 ⇔ x = 0,
ii) λ
x λ x , ∀x ∈ X , ∀λ ∈ ,

=
iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X .
Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X được trang bị ánh xạ chuẩn  gọi là
không gian vector định chuẩn hay gọi tắt là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.3: Cho X là không gian định chuẩn và { xn }n∈N * là dãy trong X .
Ta nói { xn }n∈N * hội tụ về x nếu:

∀ε > 0, ∃n0 > 0 : ∀n ≥ n0 ⇒ xn − x < ε .
Định nghĩa 1.1.4: Cho X là không gian định chuẩn và { xn }n∈N * là dãy trong X .
Ta nói { xn }n∈N * là dãy Cauchy nếu:

∀ε > 0, ∃n0 > 0 : ∀m, n ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε .
Định nghĩa 1.1.5: Cho X là không gian định chuẩn, X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử trong X .
Mệnh đề 1.1.1: Cho X là không gian tôpô compact và { X i }i∈I là một họ các tập
đóng có tính chất giao hữu hạn khác rỗng. Khi đó, họ { X i }i∈I có giao khác rỗng.

Footer Page 9 of 114.


Header Page 10 of 114.

5

Chứng minh: Giả sử

X

i

i∈I

đó, X X=
= ∅. Khi =
\  Xi
i∈I

{ X \ X i }i∈I là một phủ mở của không gian compact
cho X
X i1 , X i2 ,..., X ik sao=

k

)

(

(X \ X ) .
i

Như vậy,

i∈I

X nên tồn tại hữu hạn các tập

k

X \ X ij
X \  X i j ≠ X (mâu thuẫn với tính giao hữu

=

=j 1 =j 1

hạn khác rỗng của họ { X i }i∈I ). Vậy

X

i

≠ ∅.

i∈I

1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1: Cho X

là một không gian vector trên . Ánh xạ

, : X × X →  được gọi một tích vô hướng nếu với mọi x, y ∈ X , λ ∈ y :
i) x, y = y, x ,
ii) x + y, z = x, z + y, z ,
iii) λ x, y = λ x, y ,
iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = 0.
Mệnh đề 1.2.1: Cho , là tích vô hướng trên không gian vector X và

x, y ∈ X thì
x, y

2

≤ x, x . y, y . Đẳng thức xảy ra khi tồn tại λ ∈  sao cho x = λ y.

Chứng minh:
Nếu y = 0 :

=
x, y

=
y, x

0=
x, x 0. =
x, x 0,

y, y = 0
Bất đẳng thức nghiệm đúng với mọi x ∈ X .
Nếu y ≠ 0 :
Ta có: x − λ y, x − λ y ≥ 0, ∀x, y ∈ X , λ ∈ y.
Đặt: f (λ ) =
x − λ y, x − λ y

f (λ ) = y, y λ 2 − 2λ x, y + x, x
thì f là tam thức bậc hai.

Footer Page 10 of 114.


Header Page 11 of 114.

=
∆ 'f

6

x, y − x, x . y , y
2

Do f (λ ) ≥ 0, ∀λ ∈ 

⇒ ∆ 'f ≤ 0
⇒ x, y

2

≤ x, x . y , y

Đẳng thức xảy ra khi ∆ 'f =
0.
Khi đó, phương trình f (λ ) = 0 có nghiệm kép λ=
λ=
1
2

x, y
y, y

Suy ra:

 x, y
f 
 y, y


 = 0


⇒ x−

x, y
x, y
y, x −
y =
0
y, y
y, y

x, y
⇒x=
y.
y, y
Định nghĩa 1.2.2: Không gian vector X trên  được trang bị một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Mệnh đề 1.2.1: Một không gian định chuẩn X là không gian tiền Hilbert khi và chỉ
khi chuẩn trên X thoả đẳng thức hình bình hành:

x + y + x − y= 2( x + y ) .
2

2

2

2

Chứng minh:

( ⇐ ) Cho
=
x

X là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng , . Đặt :

x, x , ∀x ∈ X .

Ta chứng minh  là chuẩn. ∀x, y ∈ X , λ ∈ y :
i) x =

x, x ≥ 0, x = 0 ⇔ x, x = 0 ⇔ x = 0,

ii) λ x
=
=
λ x, λ x

Footer Page 11 of 114.

=
λ x, λ x

=
λ λ x, x
=
λ 2 x, x =
λ x, x λ x ,


Header Page 12 of 114.

7

iii)

x+ y =
=

x + y, x + y =

x + y, x + x + y, y

x, x + 2 x, y + y , y ≤

= x +2

x. y + y

2

2

x, x + 2

x, x . y , y + y , y

=x + y .

Ta chứng minh  thoả đẳng thức hình bình hành:

x + y + x − y = x + y, x + y + x − y, x − y
2

2

= x, x + 2 x, y + y , y + x, x − 2 x, y + y , y
= 2( x, x + y, y )
= 2( x + y ).
2

( ⇒ ) Cho

2

X là không gian định chuẩn với chuẩn thoả mãn đẳng thức hình bình

hành. Đặt:

x+ y − x− y
. Ta chứng minh , là tích vô hướng, với mọi
x, y =

4
2

2

x, y ∈ X , λ ∈ y :
x+ y − x− y
=
4
2

i) x, y
=

x+ y − y−x
=
4

2

2

2

y, x ,

ii)

x+ y+z − x+ y−z
x + y, z =

4
2

=

( x + z) + y

Footer Page 12 of 114.

2

(

2

+ (x + z) − y − x + ( y − z) + x − ( y − z)
2

4

2

2

)


Header Page 13 of 114.

8

2 x+ z +2 y −2 x −2 y−z
=
4
2

2

2

2

)− y − z −( y − z
2

−2 y

2

)

− y+z

2

)

2

4

(

x+z + 2 z − x−z
2

=

(

2

x+ z + x+ z −2 x
2

=

2

2

2

) − y − z − (2 z
2

2

4

x+z − x−z
=
4
2

2

y+z − y−z
+
4
2

2

=
x, z + y , z

iii) Ta chứng minh: λ x, y = λ x, y

0+ y − 0− y
= 0
4
2

Với
=
λ = 0 : λ x, y

2

Với λ ∈ *+ :

λ x, y = x + x + ... + x, y = x, y + x, y + ... x, y = λ x, y
Với λ ∈ *− thì λ ' =
−λ , λ ' ∈ *+ :

λx + y − λx − y
2

=
λ x, y

2

=
4

λ 'x + y − λ 'x − y
2

=
−

4

−λ ' x + y − −λ ' x − y
4
2

2

2

=
− λ ' x, y =
− λ ' x, y =
λ x, y

Suy ra: λ=
x, y λ x, y , ∀λ ∈ .
Với λ ∈ , λ =

m
, m ∈ , n ∈  + :
n
2

2

m
m
x+ y −
x− y
2
2
1 mx + ny − mx − ny
m
n
n
x, y

λ x, y
=
=
= 2
4
4
n
n
1
1
1
1
m
mx, ny
m x, ny
m ny, x
mn y, x =
x, y λ x, y
= =
=
=
=
2
2
2
2
n
n
n
n

n
Với λ ∈ , ∃{λn }n∈N * ⊂ , λn → λ :

Footer Page 13 of 114.


Header Page 14 of 114.

9

(

)

2

(

)

2

2

− lim ( n x − y )
lim ( ll
nx + y)

− lim n x − y
lim ll

n x+ y
n→∞
n→∞
=
4

l x, y

n→∞

2

n→∞

4

Do chuẩn liên tục nên ta có:

ll
x + y − nx − y
=
lll
= lim
=
x, y lim n
lim n x, y
n x, y
2

2

n→∞

=

n→∞

4
=
x, y .lim ll
x, y .
n

n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.2.3: Không gian tiền Hilbert mà mỗi dãy Cauchy đều hội tụ theo
chuẩn sinh bởi tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert.

1.3. Tôpô yếu – Tính phản xạ

{

}

Cho X là không gian Banach, B ( X ) :=
x ∈ X | x ≤ 1 là quả cầu đơn vị
đóng trong X . X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  với
chuẩn xác định bởi:

f

X*

= sup f ( x) , B( X *) :=
{ f ∈ X *| f
x =1

X*

≤ 1} là quả cầu

đơn vị đóng trong X *. X ** là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X *
vào  với chuẩn xác định bởi: ξ

X **

= sup ξ ( f ) .
f

X*

=1

Định lý 1.3.1: ( Định lý tách các tập lồi, xem [4,trang 7] ) Cho X là không gian
Banach, A, B ⊂ X , A ∩ B =
∅. Nếu A là tập lồi đóng và B là tập compact thì tồn
tại α ∈ , f ∈ X *:

f ( y ) < α < f ( z ), ∀y ∈ A, ∀z ∈ B.
Định lý 1.3.2: (Hệ quả của định lý Hahn- Banach, xem [4,trang 3] ) Cho X là
không gian Banach, x ∈ X , x ≠ 0. Khi đó, tồn tại f ∈ X * sao cho:

=
f ( x)

=
x , f
2

x.

Định nghĩa 1.3.1: ( Xem [4,trang 57] ) Cho X là không gian Banach, x0 ∈ X .Với
mỗi ε > 0 và hữu hạn các f i ∈ X *, i ∈{1,2,..., k} .
Đặt

Vx0 { f1 , f 2 ,..., f k ; ε }=

Footer Page 14 of 114.

{x ∈ X :

fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}} .


Header Page 15 of 114.

=
U x0

10

{V { f , f ,..., f ;ε } | f ∈ X *, ∀i ∈{1,2,..., k}, ε > 0, k ∈ N *} .
x0

1

2

k

i

{V ⊂ X | ∀x ∈V , ∃U ∈U x : U ⊂ V }

σ ( X , X *)=

Khi đó tôpô xác định bởi họ lân cận {U x }x∈X , mỗi tập mở là tập thuộc σ ( X , X *)
được gọi là tôpô yếu trên X và kí hiệu là σ ( X , X *). Như vậy, trên X ta xét hai
tôpô, tôpô yếu và tôpô thông thường trên X sinh bởi chuẩn ( gọi là tôpô mạnh).
Mệnh đề 1.3.1: Tôpô yếu là tôpô yếu nhất (ít tập mở nhất ) để tất cả các ánh xạ
tuyến tính liên tục trên X .
Chứng minh: Lấy f ∈ X *. Do cách đặt các lân cận trong tôpô yếu ta có f liên tục
với tôpô yếu. Giả sử mọi ánh xạ f ∈ X * đều liên tục với tôpô τ . Suy ra

{x ∈ X |

f ( x − x0 ) < ε } là tập mở trong τ với mọi f ∈ X *, ε > 0.

Ta chứng minh τ ⊃ σ ( X , X *).
Lấy x0 ∈ X . Ta chứng minh với mọi U là lân cận mở của x0 trong σ ( X , X *), tồn
tại lân cận mở V của x0 trong τ sao cho V ⊂ U . Thật vậy, tồn tại

ε > 0, fi ∈ X * , i ∈{1,2,..., k} để U có dạng:

{x ∈ X |

U=

fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}}

=
∩{ x ∈ X | fi ( x − x0 ) < ε }
k

i =1

k

{

}

Chọn V =
∩ x ∈ X | fi ( x − x0 ) < ε thì V là lân cận mở cần tìm.
i =1

Mệnh đề 1.3.2: Cho X là không gian hữu hạn chiều thì tôpô yếu trùng với tôpô
mạnh.

Chứng minh: Đặt τ là tôpô mạnh sinh bởi chuẩn trên X . Hiển nhiên ta có

τ ⊃ σ ( X , X *). Ta chứng minh τ ⊂ σ ( X , X *). Lấy U là lân cận mở của x0 trong
τ . Ta chứng minh tồn tại lân cận mở V của x0 trong σ ( X , X *) sao cho V ⊂ U .

{

}

Chọn r > 0 sao cho B = x ∈ X : x − x0 < r ⊂ U . Do X là không gian hữu hạn
chiều, gọi {e1 , e2 ,..., ek } , ei ∈ X , ei = 1, ∀i ∈{1,2,..., k} là cơ sở của X . Khi đó,

Footer Page 15 of 114.


Header Page 16 of 114.

=
x

11

k

k

x e , x ∑ x e . Gọi
∑=
0

i i
0
=i 1 =i 1

i

i

pi : X → , pi ( x) = xi , ∀x =

pi , i ∈{1,2,..., k} là các phép chiếu chính tắc:
k

∑xe.
i =1

i i

Ta có pi ∈ X *, ∀i ∈{1,2,..., k}.
Đặt ε=

r
> 0 ta có V =
k

{x ∈ X |

pi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}} là lân cận của

x0 trong tôpô yếu và với mọi x ∈V :

x − x0 =

= k =r
∑ ( xi − xi0 ) ei ≤ ∑ xi − xi0 ei = ∑ pi ( x − x0 ) < ∑ ee
k

k

k

k

=i 1 =i 1 =i 1 =i 1

⇒ V ⊂ B ⊂ U.
Vậy τ ⊂ σ ( X , X *).
Mệnh đề 1.3.3: Cho X là không gian Banach và C ⊂ X , C là tập lồi. Khi đó C
là đóng yếu nếu và chỉ nếu C đóng mạnh.
Chứng minh: Nếu C là đóng yếu thì hiển nhiên C là đóng mạnh. Bây giờ, cho C
là đóng mạnh. Ta chứng minh C là đóng yếu bằng cách chứng minh X \ C là mở
yếu.
Lấy x0 ∈ X \ C. Ta có C là tập lồi đóng, { x0 } compact, { x0 } ∩ C =
∅. Do định lý
tách các tập lồi, tồn tại α ∈ , f ∈ X * sao cho:

f ( x0 ) < α < f ( y ), ∀y ∈ C.
Đặt V =
{ x ∈ X | f ( x) < α } thì V mở yếu và x0 ∈V ⊂ X \ C. Suy ra rằng

X \ C mở yếu hay C đóng yếu.
Mệnh đề 1.3.4: Cho X là không gian Banach, { xn }n∈N * là dãy trong X . Khi đó:
σ ( X , X *)

i) xn → x khi và chỉ khi f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X *.


σ ( X , X *)

ii) xn → x thì xn → x.
σ ( X , X *)



iii) Nếu xn → x thì tồn tại dãy { yn }n∈N * ⊂ conv { xn : n ∈ N *} sao cho yn → x .

Footer Page 16 of 114.


Header Page 17 of 114.

12

Chứng minh:
σ ( X , X *)

i) Nếu xn → x thì với mọi f ∈ X *, f liên tục yếu suy ra f ( xn ) → f ( x). Giả
σ ( X , X *)

sử f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X *. Ta chứng minh xn → x . Lấy

{x ∈ X |

V=

fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}} là lân cận bất kì của x0 . Do

f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X * nên fi ( xn ) → f ( x), ∀i ∈{1,2,..., k}. Do đó, với ε > 0,
∃n0i > 0, ∀n ≥ noi ⇒ fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2,...k}. Đặt n0 = max{n01 , n01 ,..., n0k } thì
:

∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈V . Suy ra ∀V ∈U x0 , ∃n0 > 0 : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈V . Nghĩa là
σ ( X , X *)

xn → x.


ii)Cho xn → x . Do với mọi f ∈ X * thì f liên tục với tôpô mạnh nên
σ ( X , X *)

f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X *. Áp dụng i) ta có xn → x .
σ ( X , X *)
∞

→ x. Đặt C = conv { xn }. Do xn → x nên ta có x nằm
 n=1


σ ( X , X *)

iii) Cho xn

trong bao đóng yếu của

∞

{ x }, suy ra x nằm trong bao đóng yếu của C. Do C
n

n =1

lồi nên bao đóng yếu của C chính là bao đóng mạnh của C. Suy ra x nằm trong


bao đóng mạnh của C. Suy ra tồn tại dãy { yn }n∈N * ⊂ C , yn → x. Ta có

{ yn }n∈N * ⊂ C nghĩa là mỗi

yn là bao lồi tuyến tính của hữu hạn các xn . Ta có điều

phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3.5: Tập compact yếu thì bị chặn theo chuẩn.
Chứng minh: Xét X là không gian Banach, A ⊂ X là tập compact yếu. Với mỗi
(f)
x ∈ A, ta có thể coi x ∈ X **, x : X * → , x=

nên

f ( A)

Footer Page 17 of 114.

compact, suy ra

f , x , ∀f ∈ X *. Do A compact yếu

f ( A) bị chặn với

mọi

f ∈ X *.

Nghĩa là


Header Page 18 of 114.

13

f , x < ∞, ∀f ∈ X *, x ∈ A. Suy ra sup x, f < ∞, ∀f ∈ X *. Theo nguyên lý bị chặn
x∈ A

đều ta suy ra sup x < ∞. Nghĩa là A bị chặn theo chuẩn.
x∈ A

Định nghĩa 1.3.2: (Xem [4]) Cho X là không gian Banach, X * là không gian
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  và f 0 ∈ X * .Với mỗi ε > 0 và hữu hạn
các xi ∈ X , i ∈{1,2,..., k}. Đặt

V f { x1 , x2 ,..., xk ; ε }=

{ f ∈ X *: ( f − f ) ( x) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}} .
0

{V {x , x ,..., x ;ε } | x ∈ X *, ∀i ∈{1,2,..., k}, ε > 0, k ∈ N *} .
σ ( X *, X )= {V ⊂ X *| ∀f ∈V , ∃U ∈U : U ⊂ V } .
, mỗi tập mở là tập thuộc σ ( X *, X )
Khi đó tôpô xác định bởi họ lân cận {U }

=
U f0

f0

1

2

k

i

f

f

f ∈X *

được gọi là tôpô yếu sao trên X * và kí hiệu là σ ( X *, X ).
Mệnh đề 1.3.6: (Xem [4,trang 62] ) Cho X là không gian Banach, f ∈ X *,

{ f n }n∈N * là dãy trong

X *. Xem như X là không gian con của X ** ta có các kết

quả sau tương tự như với tôpô yếu:
σ ( X *, X )

i) f n →

f khi và chỉ khi f n ( x) → f ( x), ∀x ∈ X .



σ ( X *, X )

ii) f n → f thì f n →

f.

Định lý 1.3.3: (Định lý Banach- Alaoglu, Xem [4,trang 66]) Quả cầu đơn vị đóng
trong X * là compact trong tôpô yếu sao.
Định nghĩa 1.3.3: Cho X là không gian Banach. Với mỗi x ∈ X , ánh xạ

J x : X * → , J x (=
f ) f ( x), ∀f ∈ X * là ánh xạ tuyến tính liên tục. Do đó, ánh xạ
J : X → X **, x  J x là đơn cấu đẳng cự. Nếu J là toàn ánh thì X được gọi là
không gian phản xạ.
Định lý 1.3.4: (Định lý Kakutani, Xem [4,trang 67] ) Không gian Banach X là
không gian phản xạ nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị đóng trong X là compact đối

với tôpô yếu.

Footer Page 18 of 114.


Header Page 19 of 114.

14

Định lý 1.3.5: (Định lý James) Không gian Banach X là không gian phản xạ nếu
và chỉ nếu với mọi f ∈ B ( X *), tồn tại x ∈ B ( X ) sao cho f ( x) = f

X*

.

1.4. Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet
Định nghĩa 1.4.1: Cho ( X ,  X ) và (Y , Y Y ) là các không gian Banach

x∈ X , F : X →Y
F được gọi là khả vi Gateaux tại x ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

Ax : X → Y sao cho với mọi y ∈ X :

lim

F ( x + l y ) − F ( x)

l →0

l

= Ax ( y )

(1)
Ánh xạ Ax gọi là đạo hàm Gateaux của F tại x.
Định nghĩa 1.4.2: Cho ( X ,  X ) và (Y , Y Y ) là các không gian Banach

x∈ X , F : X →Y
F được gọi là khả vi Frechet tại x ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

Ax : X → Y sao cho:
F ( x + h)= F ( x) + Ax (h) + O(h)

O ( h)
= 0Y .
h →0 X h
X

với O : X → Y , lim

Nhận xét 1.4.1: Ánh xạ khả vi Frechet tại x thì liên tục tại x .
Mệnh đề 1.4.1: Cho ( X ,  X ) và (Y , Y Y ) là các không gian Banach

x∈ X , F : X →Y
i) Nếu F khả vi Frechet tại x thì F khả vi Gateaux tại x.
ii) Nếu F khả vi Gateaux tại x và giới hạn (1) là đều theo y ∈ S ( X ) thì F khả vi
Frechet tại x.
Chứng minh:
i) Do F khả vi Frechet tại x nên tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục Ax : X → Y sao

cho:

Footer Page 19 of 114.


Header Page 20 of 114.

15

F ( x + h)= F ( x) + Ax (h) + O(h)

O ( h)
= 0Y
h →0 X h
X

với O : X → Y , lim

Với y ∈ X , y ≠ 0 . Xét giới hạn:

lim

F ( x + lll
y ) − F ( x)
A ( y ) + O( y )
= lim x

ll
A (lll
y)

O( y )
O( y )
lim x
Ax ( y ) + lim
=
+ lim
=
lll
→0
→0
→0
lll
ll
→0
→0

 O( y )

O(ll
y)
O (l y )

Do lim
lim
. y X  0 nên lim
=
=
= 0Y .
ll
→0

→0 
l →0

ll
y
l
Y
X Y


Suy ra: lim

F ( x + l y ) − F ( x)

l →0

l

Với y ∈ X , y =
0 X : lim
l →0

= Ax ( y ) .

F ( x + l y ) − F ( x)
Ax (0 X ) .
= 0=
Y

l

Vậy với mọi y ∈ X : lim

F ( x + l y ) − F ( x)

l

l →0

= Ax ( y ) , do đó F khả vi Gateaux tại x.

ii) Do F khả vi Gateaux nên ta có Ax là ánh xạ tuyến tính liên tục. Ta có giới hạn
(1) là đều theo y ∈ S ( X ) , nghĩa là:

∀ε > 0, ∃δ > 0 :
F ( x + λ y ) − F ( x)

λ

− Ax ( y ) < ε , ∀λ : λ < δ , ∀y ∈ X : y

X

=1

Y

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 :
F ( x + λ y ) − F ( x) − Ax (λ y ) Y < ε λ , ∀λ : 0 < λ < δ , ∀y ∈ X : y
Với h ∈ X , h ≠ 0 X , h

X

Đặt λ
<δ .=

h=
,y
X

theo (*) ta có: F ( x + h) − F ( x) − Ax (h)

Y

Footer Page 20 of 114.

X

=1

h
thì 0 < λ < δ , y
hX

<ε h X .

Như vậy: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀h ∈ X , h ≠ 0 X , h

X

<δ

X

(*)
1,
=


Header Page 21 of 114.

⇒

16

F ( x + h) − F ( x) − Ax (h) Y
h

⇒ lim

<ε

X

F ( x + h) − F ( x) − Ax (h) Y

h →0 X

h

=
0

X

Đặt O (h=
) F ( x + h) − F ( x) − Ax (h), ∀h ∈ X thì :

F (x +=
h) F ( x) + Ax (h) + O(h), ∀h ∈ X

O ( h)
= 0Y . Nghĩa là F khả vi Frechet
h →0 X h
X

với Ax là ánh xạ tuyến tính liên tục và lim
tại x.

Ví dụ 1.4.1: Ta thấy rằng mỗi ánh xạ khả vi Frechet thì khả vi Gateaux nhưng
ngược lại có thể không đúng. Xét ánh xạ f :  2 →  ,

0

f ( x, y ) =  x 3 y
 x6 + y 2


,x= y= 0
,x 2 + y 2 > 0

Ta chứng minh f khả vi Gateaux tại ( 0,0 ) nhưng không liên tục tại điểm này và
do đó không khả vi Frechet tại ( 0,0 ) . Thật vậy, đặt
2
A : yyy
→ , A( x, y ) =
0, ∀ ( x, y ) ∈ 2 thì A tuyến tính liên tục.

Với ( a, b ) ≠ (0,0) :

f [ (0,0) + t (a, b)] − f (0,0)
( ta ) ( tb )
= lim
lim
6
2
t →0
t →0
t
t ( ta ) + ( tb )
3

(

)

0, b = 0
ta 3b
= lim
=


t →0 t 3 a 6 + b 2
0, b ≠ 0
f [ (0,0) + t (a, b)] − f (0,0)
⇒ lim
=
0
t →0
t
Với ( a, b ) = (0,0) :

Footer Page 21 of 114.


Header Page 22 of 114.

lim
t →0

17

f [ (0,0) + t (a, b)] − f (0,0)
=0
t

Vậy lim
t →0

f [ (0,0) + t (a, b)] − f (0,0)
= A(a, b), ∀(a, b) ∈  2 hay f khả vi Gateaux

t

tại ( 0,0 ) .
Xét giới hạn:

lim

( x , y )→( 0,0 )

x3 y
f ( x, y ) = lim
( x , y )→( 0,0 ) x 6 + y 2

xn4
Chọn dãy xn → 0, yn =
xn thì =
lim
( xn , yn )→( 0,0 ) x 6 + x 2
n
n

xn2
=
lim
0
( xn , yn )→( 0,0 ) x 4 + 1
n

xn6
Chọn dãy xn → 0, yn =

x thì lim =
( xn , yn )→( 0,0 ) x 6 + x 6
n
n

1 1
=
lim
( x , y )→( 0,0 ) 2 2

3
n

Suy ra

lim

( x , y )→( 0,0 )

f ( x, y ) không tồn tại hay f không liên tục tại ( 0,0 ) nên không khả

vi Frechet tại ( 0,0 ) .
Mệnh đề 1.4.2: Cho ( X ,  X ) là không gian Banach hữu hạn chiều và (Y , Y Y ) là
không gian Banach

x ∈ X , F : X → Y , F khả vi Gateaux tại x và liên tục Lipschitz hệ số L trên một lân
cận U của x. Khi đó, F khả vi Frechet tại x.
Chứng minh: Gọi Ax là đạo hàm Gateaux của F tại x. Lấy ε > 0 .
Do X hữu hạn chiều nên S ( X ) compact, tồn tại u1 , u2 ,..., uk ∈ X sao cho
k

S ( X ) ⊂ ∪ B(ui , ε ) . Ta có:
i =1

lim
l →0

F ( x + lui ) − F ( x)
= Ax (ui ), ∀i ∈{1,2,..., k}

l

∃δ i > 0 : ∀λ , λ < δ i ⇒

F ( x + λui ) − F ( x)

λ

− Ax (ui ) < ε , ∀i ∈{1,2,..., k}

∃δ i > 0 : ∀λ ,0 < λ < δ i ⇒ F ( x + λui ) − F ( x) − Ax (λui ) < ε λ , ∀i ∈{1,2,..., k}

Footer Page 22 of 114.


Header Page 23 of 114.

18

Đặt δ ' min {δ i : i ∈{1,2,...k}} ta có:

=

∀λ ,0 < λ < δ ' ⇒ F ( x + λui ) − F ( x) − Ax (λui ) < ε λ , ∀i ∈{1,2,..., k}
Chọn δ > 0 đủ nhỏ sao cho δ ≤ δ ' và

x + δ y ∈U , ∀y ∈ S ( X ), x + δ ui ∈U , ∀i ∈{1,2,..., k} .
k

Với y ∈ S ( X ) , do S ( X ) ⊂ ∪ B (ui , ε ) nên tồn tại i ∈{1,2,..., k} sao cho
i =1

y ∈ B(ui , ε ) . Như vậy:
∀λ , λ < δ , y ∈ S ( X ), y ∈ B (ui , ε ) :
F ( x + λ y ) − F ( x) − Ax (λ y ) Y
= F ( x + λ y ) − F ( x + λui ) + F ( x + λui ) − F ( x) − Ax (λui ) + Ax (λui ) − Ax (λ y ) Y
≤ F ( x + λ y ) − F ( x + λui ) Y + F ( x + λui ) − F ( x) − Ax (λui ) Y + Ax (λui ) − Ax (λ y ) Y
≤ L λ . y − ui

X

+ ε λ + Ax . λ . y − ui

≤ ε λ ( L + 1 + Ax

)

X

Vậy:

∀ε > 0, ∃δ > 0 :
F ( x + λ y ) − F ( x)

λ

− Ax ( y ) < ε ( L + 1 + Ax ) , ∀λ : λ < δ , ∀y ∈ S ( X )
Y

Nghĩa là F khả vi Gateaux và lim

F ( x + l y ) − F ( x)

l →0

l

= Ax ( y ) đều theo y ∈ S ( X ) .

Áp dụng mệnh đề 1.4.1 ta có F khả vi Frechet tại x.

1.5. Tập định hướng và lưới
Định nghĩa 1.5.1:Tập hợp A được gọi là tập có hướng nếu trong A có quan hệ ≤
thỏa mãn:
i) ∀α ∈ A ⇒ α ≤ α ,
ii) ∀α , β , γ ∈ A : α ≤ β , β ≤ γ ⇒ α ≤ γ ,
iii) ∀α1 ,α 2 ∈ A ⇒ ∃α ∈ A : α1 ≤ α ,α 2 ≤ α .

Footer Page 23 of 114.

Header Page 24 of 114.

19

Ví dụ 1.5.1 : Bx là họ các lân cận của x trong một không gian tôpô. Xét quan hệ ≤
được định nghĩa như sau: V1 ≤ V2 ⇔ V1 ⊃ V2 , ∀V1 ,V2 ∈ Bx . Khi đó, dễ dàng kiểm
tra được ( Bx , ≤) là tập có hướng.
Định nghĩa 1.5.2: Cho A là tập có hướng và X là tập tuỳ ý. Một ánh xạ từ A vào
X, α  xα được gọi là một lưới (dãy suy rộng) trong X. Kí hiệu : { xα }α∈A .
Định nghĩa 1.5.3: Nếu B là tập có hướng và ánh xạ a : B → A thoả mãn:

∀a 0 ∈ A, ∃β 0 ∈ B : ∀β ∈ B, β ≥ β 0 ⇒ a ( β ) ≥ a 0 thì lưới { xa ( β ) }

β ∈B

được gọi là

lưới con của lưới { xα }α∈A .
Định nghĩa 1.5.4: Lưới { xα }α∈A trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ về x
( lim xaa
=
x hay x → x) nếu:
x∈A

∀V ∈U x , ∃α 0 ∈ A : ∀α ≥ α 0 ⇒ xα ∈V .
Mệnh đề 1.5.1: Nếu xα → x thì tồn tại một lân cận V của x và một lưới con

{x }

β β ∈B của

{ xα }α∈A mà thoả : xβ ∉V , ∀β ∈ B .

Chứng minh:Do xα → x ta suy ra:

B
=
∃V ∈U x , ∀α 0 ∈ A, ∃α ≥ α 0 và xα ∉V . Đặt

{α : xα ∉V } thì B có tính

chất:

∀α 0 ∈ A ⇒ ∃α ≥ α 0 ,α ∈ B .Xét ánh xạ đồng nhất a : B → A nhúng B vào
A thì :

∀a 0 ∈ A, ∃β 0 = a ∈ B : ∀β ∈ B, β ≥ β 0 ⇒ a ( β ) = β ≥ β 0 = aa
≥ 0
Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.6. Tập có thứ tự và bổ đề Zorn
Định nghĩa 1.6.1: Tập hợp A được gọi là tập có thứ tự nếu trên A có quan hệ ≤
thoả mãn:
i) ∀a ∈ A ⇒ a ≤ a
ii) ∀a, b, c ∈ A, a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

Footer Page 24 of 114.


Header Page 25 of 114.

20

iii) ∀a, b ∈ A, a ≤ b, b ≤ a ⇒ a =
b
Định nghĩa 1.6.2: Tập ( A, ≤ ) được gọi là tập sắp thứ tự tốt (tập sắp thứ tự toàn
phần) nếu với mọi a, b ∈ A thì a ≤ b hoặc b ≤ a.
Định nghĩa 1.6.3: Cho ( A, ≤ ) là tập sắp thứ tự và x ∈ A. x được gọi là phần tử tối
đại ( tối tiểu) nếu: ∀a ∈ A, x ≤ a ⇒ x =a. ( ∀a ∈ A, a ≤ x ⇒ x =a ).
Định nghĩa 1.6.4: Cho ( A, ≤ ) là tập sắp thứ tự. Phần tử x ∈ A được gọi là phần tử
lớn nhất ( nhỏ nhất) nếu: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ x ( ∀a ∈ A ⇒ x ≤ a ).
Định lý 1.6.1: Cho ( A, ≤ ) là tập sắp thứ tự. Nếu mọi tập con sắp thứ tự tốt của A
đều có phần tử tối tiểu thì A có phần tử tối tiểu.

Footer Page 25 of 114.