Đề thi học sinh giỏi môn toán 7 huyện khoái châu năm học 2016 2017(có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5,0 điểm).
Chọn chữ cái đứng trước đáp án đúng và viết vào bài làm.
Câu 1. Nếu x  4 thì x2 bằng:
A. 8
B. 16
Câu 2. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = -2x là:
A. (-1; -2)
B. (1;2)
Câu 3. Số 1,(2) viết dưới dạng phân số là:
A.

10
9

B.

11
9

C. 64

D. 256

C. (-1;2)

D. (0;-2)

C.

12
9

D.

6
5

Câu 4. Tam giác ABC vuông tại A, có AB : AC = 3 : 4; BC = 15cm. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. AC = 6,75cm
B. AC = 9cm
C. AC = 15cm
D. AC = 12cm
Câu 5. Ba đường trung tuyến trong một tam giác giao nhau tại một điểm, điểm đó gọi là:
B. Tâm đường tròn
C. Tâm đường tròn
A. Trực tâm
D. Trọng tâm
ngoại tiếp
nội tiếp

Câu 6. Chia số 91 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 4 thì ba phần đó là:
A. 42; 28; 21
B. 42; 30; 19
C. 40; 28; 23
D. 40; 29; 22
Câu 7. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB, khẳng định nào
sau đây đúng?
B. BM = CN
C. BM > CN
D. BM < CN
A. BM  CN
Câu 8. Điểm kiểm tra 15 phút của 10 học sinh được ghi lại như sau:
1; 2; 4; 5; 7; 7; 8; 8; 8; 10. Số trung bình cộng của dấu hiệu trên là:
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8


Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, có A  200 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC.
Số đo góc BDC là:
A. 300
B. 800
C. 500
D. 700
Câu 10. Điểm B(3; -2) nằm trong góc phần tư nào của hệ trục tọa độ Oxy?
A. I
B. II
C. III
D. IV

Câu 11. Biết
A. 24

x y z
2
2
2
  và 2x + 2y - 3z = -100. Khi đó x + y + z là:
3 4 5

B. -24

C. 24 và -24

D. 24 hoặc -24



Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6, A  300 . Phân giác của góc C cắt AB tại D.
Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BD, AD lần lượt là:
A. 2; 4
B. 3; 3
C. 4; 2
D. 1; 5
Câu 13. Tam giác ABC đều cạnh a, AH  BC (H  BC) . Độ dài đoạn AH là:
A.

3a
2

B. a 3

C.

a 3
2

D.

a
2

Câu 14. Tam giác ABC có BC = 1cm; AC = 9cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên. Tam
giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác vuông
C. Tam giác cân tại
D. Tam giác cân tại
tại A
cân tại A
A
B


Câu 15. Tam giác ABC cân tại A, điểm D trên cạnh AB thỏa mãn AD = DC = CB. Số đo góc
A là:
A. 300
B. 360
C. 150
D. 200

Câu 16. Bậc của đa thức 3x2 + 7x3 - 3x3 - 3x2 - 4x3 + 1 là:
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
5 3 4
2 4 5
Câu 17. Cho hai đơn thức A = (-3x y ) ; B = (2x z ) . Nếu A + B = 0 thì giá trị của x, y, z là:
A. x = y = z = 0
B. x = 0
C. x = 0 hoặc y = z = 0
D. x = 1 và y = z = 0
Câu 18. Giá trị x = -1 là nghiệm của đa thức nào?
A. x2 + 2x + 2
B. 3x - 5 - (5x - 3)
C. x2 - 2x - 3
D. x2 + 1
Câu 19. Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2 : 3 : 4. Các chiều cao tương ứng của tam
giác đó tỉ lệ với nhau theo các số nào?
A. 4; 3; 2
B. 6; 4; 3
C. 3; 4; 6
D. 8; 6; 4
3
2
2
2
Câu 20. Cho x + y - 2 = 0, giá trị của đa thức M = x + x y - 2x - xy - y + 3y + x - 1 là:
A. -1
B. 1

C. 0
D. 3
B. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Bài 1 (1,0 điểm):

4 2 3
3 3 3
 ):  (  ):
7 5 14 7 5 14
y y 3
z
b) Tìm x, y, z biết: 2 x  ;  và x  y   30
3 z 5
2

a) Tính giá trị biểu thức A = (

Bài 2 (1,0 điểm):
a
b
c
d
. Tính giá trị của biểu thức:



2b 2c 2d 2a
2017a  2016b 2017b  2016c 2017c  2016d 2017d  2016a
A




cd
d a
ab
bc
(a  b) 2 ab

b) Cho a, b, c, d dương thỏa mãn: a + c = 2b ; 2bd = c(b + d). Chứng minh rằng:
(c  d ) 2 cd

a) Cho các số a, b, c, d dương thỏa mãn:

Bài 3 (0,5 điểm): Hai ô tô cùng xuất phát từ A và B, đi ngược chiều nhau. Khi gặp nhau tại địa
điểm C (C nằm giữa A và B) thì quãng đường xe thứ nhất đi được nhiều hơn quãng đường xe
thứ hai đi được là 100 km. Tính quãng đường mỗi xe đã đi đến lúc gặp nhau. Biết rằng, xe thứ
nhất đi từ A đến B hết 7 giờ 30 phút, xe thứ hai đi từ B đến A hết 12 giờ 30 phút.


Bài 4 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, A  900 . Trên cạnh BC lấy điểm H, trên tia đối
của tia CB lấy điểm K sao cho BH = CK. Trên tia đối tia CA lấy điểm E, sao cho CE = CA.
1) Chứng minh:
a) ABH  ECK
b) AB + AC < AH + AK
2) Từ H, K kẻ các đường vuông góc với BC cắt AB, AE lần lượt tại F, G. Chứng minh BF = CG.
3) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AFG.
Bài 5 (1,0 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  ( x  5  2)2  y  4  2017
b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.24 +…+ n.2n = 2n+11
-------------Hết-----------Họ và tên thí sinh…………………………….............Số báo danh……………………

Chữ kí của giám thị số 1:….……………………………………………………………
Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu, không sử dụng máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài
làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm của
mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5,0 điểm).
Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ĐA D C B D D A D B A D D A C C B A C C B B
B. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Bài
Bài 1
1,0 đ

Đáp án

a)
0,5 đ

b)
0,5 đ

4 2 3 3 3 3
4 2 3 3 3
A = (  ):  (  ): = (    ):
7 5 14 7 5 14
7 5 7 5 14
12 14 8
=
. 
35 3
5
y 3
y z
Ta có:   
z 5 3 5
y z
Nên 2 x  
3 5
z
Mà x  y   30 => 2x + 2y - z = -60
2

Điểm
0,25
0,25

0,25

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 

y z 2 x  2 y  z 60
 

 30
3 5 1  2.3  5
2

0,25

Do đó x = -15; y = -90 ; z = -150
Bài 2
1,0 đ

a)
0,5 đ

Ta có:

a
b
c
d
a bcd
1





 (Do a, b, c, d >0)
2b 2c 2d 2a 2(a  b  c  d ) 2

0,25

Suy ra a=b=c=d
Nên A =
b)
0,5 đ

1 1 1 1
   =2
2 2 2 2

Vì a+c = 2b nên từ 2bd = c (b+d)
Hay ad + cd = bc + cd
Hay ad = bc Suy ra

0,25
Ta có: (a+c)d = c(b+d)

a c
a b
 . Nên 
b d
c d

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a b
 
c d cd
a
b
( a  b) 2
Suy ra: ( ) 2  ( ) 2 
(1)
c
d
(c  d ) 2

0,25


a
c

a b ab
(2)
c d cd
(a  b) 2 ab

Từ (1), (2) suy ra
(đpcm)
(c  d ) 2 cd

Mặt khác: ( )2  . 

Bài 3
0,5 đ

7 giờ 30 phút = 7,5h ; 12 giờ 30 phút = 12,5h
Gọi quãng đường xe thứ nhất và xe thứ hai đi được đến lúc gặp
nhau tại C lần lượt là s1, s2 (km) (s1 >s2>0).
Gọi vận tốc xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là v1, v2 (km/h) (v1
>v2>0).
Cùng xuất phát ở hai đầu A, B đến lúc gặp nhau tại C thì thời
gian đi như nhau nên vận tốc và quãng đường đi được là hai đại
lượng tỉ lệ thuận.
Do đó:

s1 v1
 (1).
s2 v2

0,25

Cùng đi hết quãng đường AB thì thời gian và vận tốc là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch.
Nên

v1 12,5 5

 (2).
v2 7,5 3

Từ (1) và (2) suy ra:

s1 5
s s
 , Do đó: 1  2 .
s2 3
5 3

Lại có: s1 - s2 = 100.
Áp dụng tính chất

s1 s2 s1  s2 100
 

 50
5 3
53
2

dãy

tỉ

số

bằng

nhau

ta

có:

0,25

Suy ra s1 = 250, s2 = 150 (thỏa mãn).
Vậy xe thứ nhất đi được 250km, xe thứ hai đi được 150km.
Bài 4
1,5 đ

A
Phải
có
hình
vẽ và
GT,
KL

F
B

C
H

K

I
G
E

1) a) Chứng minh  ABH=  ECK (c.g.c)
b) có AB + AC = AE
Vì  ABH =  ECK  AH=EK (2 cạnh tương ứng)

áp dụng bất đẳng thức tam giác trong AEK có:
AK + EK > AE hay AK + AH > AB + AC
2) Chứng minh  BHF =  CKG (g.c.g)
 BF = CG
3) Vì BF = CG  AB + AC = AF + AG (1)
có BH = CK (gt)  BC = HK
Gọi giao điểm của FG với BC là I ta có:

0,25
0,25

0,5
0,5


FI  IH 
  FI  GI  IH  IK
GI  IK 
 FG  HK
 FG  BC  2 
Bài 5
1,0 đ

a)
0,5 đ

b)
0,5 đ

Từ (1) và (2)  chu vi  ABC nhỏ hơn chu vi  AFG

Ta có: ( x  5  2)2  22  4 với mọi x
y  4  0 với mọi y

Nên: A  ( x  5  2) 2  y  4  2017  4  0  2017  2013 với mọi
x, y
Dấu “=” xảy ra  x = 5; y = -4
Vậy GTNN của A là -2013 khi x = 5; y = -4
Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 +…+ n.2n
Suy ra 2S - S = (2.23 + 3.24 + 4.25 +…+ n.2n+1 )-(2.22 + 3.23 +
4.24 +…+ n.2n)
S = n.2n+1 - 23 -(23 + 24 + 25 +…+ 2n-1 + 2n)
Đặt A = 23 + 24 + 25 +…+ 2n-1 + 2n. Tính được A = 2A-A=2n+1-23
Khi đó S = n.2n+1 - 23 - 2n+1+23 = (n-1).2n+1
Nên (n-1).2n+1 = 2n+11. Suy ra n - 1 = 210 =1024
Vậy n = 1025
-------------------Hết-------------------

0,25

0,25

0,25

0,25