Chuyên đề về dãy số

-1MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ

1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3…)
Ta có công thức tổng quát:
n
n
1   1 + 5   1 − 5  ÷
un =

÷ − 
÷
2 ÷
5   2 ÷


 ÷


- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.
Bấm
1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím ∆ =

Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5
và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un

bằng cách bấm liên tiếp phím ∆ = ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21...
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: Bấm 1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY =

Giải thích:
Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2=1 với u1=1 được u3= 2 và ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5
và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un
bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21...
Quy trình 2: Bấm 1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Giải thích:
Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .


-2Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5

và ghi vào B .
Khi bấm ∆ SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím = .
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi un trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:
( ( (1+

5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X

− ( (1−

5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X ÷

5

Bấm CALC máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các un tương ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ cần khai báo công
thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được
các u tương ứng.
2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u 1 = a; u2 = b; un+1=
un + un-1 với mọi n ≥ 2 a và b là hai số nào đó.
Quy trình 1:
Bấm b SHIFT STO A .
+ a SHIFT STO B và lặp lại dẫy phím
+ ALPHA A SHIFT STO A .
+ ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY = .
Giải thích
Bấm b SHIFT STO A nghĩa là đưa u2 = b vào A .
Bấm + a SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =b với u1 =a được u3=a + b và ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= a + b với u2 = b được u4 = u3 + u2 = a + 2b và ghi
vào A .

Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = a + 2b với u3 = a + b trong B được u5 = u4
+ u3 = 2a + 3b và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính
các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ được u6; u7; u8 ...
Quy trình 2: : Bấm b SHIFT STO A
+ a SHIFT STO B
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Giải thích:
Khi bấm b SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào B .
Khi bấm + ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A .
Khi bấm + ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5
và ghi vào B .
Khi bấm ∆ SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím = .
Ví dụ 1:


-3-

Cho dãy số u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4…).
1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n ≥ 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13
Sử dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n ≥ 2 như sau:
13 SHIFT STO A (gán u2 = 13 vào A )

+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím = 8 lần được số 2584 nghĩa là u13 = 2584.
Sau khi tính được u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím = được số 17711 nghĩa là
u17 =17711.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
13 SHIFT STO A (gán u2 = 13 vào A )
+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các un tương ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4..)
a) Lập một quy trình bấm phím để tính un+1.
b) Tính u12; u20; u25, u30.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số:

u 2 u3 u4 u6
.
u1 u 2 u 3 u 5

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
233 SHIFT STO A (gán u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )

+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các un tương ứng.
Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím ∆ = được u12=28657
Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím ∆ = nữa được u20= 1346269
Để tính tiếp u25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được u25= 14930352
Để tính tiếp u30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được u30= 165580141.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233 SHIFT STO A (gán u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )


-4+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Lặp lại phím = ta tính tiếp được u6= 1597; u7 = ; 2584....
Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:

u
u 2 233
377
=
≈ 1, 61805; 3 =
≈ 1, 61802
u1 144
u 2 233
u

u 4 610
1597
=
≈ 1, 61803; 6 =
≈ 1, 61803
u 3 377
u 5 987
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:
b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B

Lặp lại dãy phím × a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B

Giải thích: Bấm b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B đưa b = u2 vào ô nhớ A , tính u3 = au2
+ bu1 và gán u3 vào ô nhớ B .
Dãy phím × a + ALPHA A × b SHIFT STO A tính u4 = au3 + bu2 và gán u3 vào ô nhớ A , còn
trong ô nhớ B là u3. thực hiện × a + ALPHA B × b SHIFT STO B ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ
B.
Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của un+1=aun + bun-1
b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B
+ Quy trình 2:
× a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B
∆ SHIFT

COPY

Lặp lại phím =

Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím ∆ SHIFT COPY để
lặp lại quy trình.
Ví dụ 1: Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, ….)
a) Tính u3 , u4 , u5 , u6 , u7.
b) Viết quy trình bấm phím để tính un.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 2 SHIFT STO B (gán u3 = 42 vào B )
× 2 + ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 104 vào A )
× 2 + ALPHA B SHIFT STO B
(gán u5 = 250 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u6 = 604, u7 = 1458 ...
Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 2 SHIFT STO B (gán u3 = 42 vào B )
× 2 + ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 104 vào A )


-5× 2 + ALPHA B SHIFT STO B
∆ SHIFT

(gán u5 = 250 vào B )

COPY

Lặp lại phím =
Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím = ,
còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím ∆ = .
(2 + 3) n − (2 − 3) n
Ví dụ 2: Cho dãy số u n =

2 3
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un.
c) Lập một quy trình để tính un?
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( (2+

3) ^ 1 − ( 2 −

3 ) ^ 1 ) ÷ 2×

3=

(u1= 1)

REPLAY
Sử dụng phím
để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí số mũ là 1 sửa
thành số mũ là 2 rồi bấm = , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ... ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy.

b) Đặt a = (2 + 3); b = (2 − 3) ta có a+ b = 4 và ab = 1

a n − b n (a + b)(a n −1 − b n −1 ) − a n −1b + ab n −1
un =
=
2 3
n −1
4(a − b n −1 ) − ab(a n − 2 − b n − 2 )
un =

2 3
n −1
n −1
4(a − b ) (a n − 2 − b n −2 )
un =
−
=4un-1 - un-2
2 3
2 3
Vậy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un
c) Lập quy trình tính un.
Có u1 = 1, u2 = 4
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
× 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )
× 4 − ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 56 vào A )
× 4 − ALPHA B SHIFT STO B
(gán u5 = 209 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u6 = 780, u7 = 2911 ...
Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( (2+

3 ) ^ ALPHA X − ( 2 −

3 ) ^ ALPHA X ) ÷ 2

3

Bấm CALC máy hiện X ?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các un tương ứng.
u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864.
c) Lập quy trình tính un.
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
× 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )


-6× 4 − ALPHA A SHIFT STO A
× 4 − ALPHA B SHIFT STO B
∆ SHIFT

(gán u4 = 56 vào A )
(gán u5 = 209 vào B )

COPY

Lặp lại phím =
Tìm được các un tương ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5,..)
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C

Lặp lại dãy phím + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B
+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C

Bằng cách bấm tiếp: ∆ SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
Giải thích:

Bấm: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B nghĩa là gán u1 = 1 vào A , gán u3 = 2 vào B .
Bấm: ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C tính u4 và gán vào C
+ ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A tính u5 và gán vào A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B tính u6 và gán vào B
+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C tính u7 và gán vào C
Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, ...
2
2
5. Dãy phi tuyến dạng: u1 =a, u2 = b, un+1 = un +un-1
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
Bấm: b SHIFT STO A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B

Lặp lại dãy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A
x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B

Bằng cách phím ∆ SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
- Giải thích:
Bấm b SHIFT STO A gán u2= b vào A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B tính u3 = b2 + a2 và gán vào B
2
2
Lặp lại dãy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A tính u4 = u3 +u2 và gán vào A
2

2

x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B tính u5 =u4 +u3 và gán vào B

6. Một số dãy số khác

Bài 1: Cho dãy số a1 = 3....a n +1 =
a) Lập quy trình bấm phím tính an+1
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10

a 3n + a n
1 + a 3n


-7-

Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS
( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 )
a) Bấm 3 =
Lặp lại phím = ta được :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781;
0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424....
Giải thích:
Bấm 3 = gán a1 = 3 vào ô nhớ Ans
Bấm

( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 ) tính a2

Bấm = gán u2 vào ô nhớ Ans
(Mỗi lần bấm phím = thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ Ans )
Bài 2:Cho dãy số

x n +1 =

3x n − 1
, n = 1, 2,3...

xn + 3

a) Hãy tính xn với n = 1, 2,..., 15 với x0 = 1; x0 = 3
b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x 0 cho trước bất kỳ, tức là tồn tại mọt số N
nguyên dương sao cho với mọi x0 dãy {xn} xác định như trên ta có:
xn+N =xn với mọi n= 1, 2, 3, ...
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1
Bấm: 1 =
Khai báo công thức x n +1 =
Bấm tiếp: (

3x n − 1
xn + 3

3 × Ans − 1 ÷ ( Ans +

3 ) (1)

Liên tiếp bấm phím = được xn.
Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 Bấm 3 =
Dùng phím V để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím = được x'n
x1= 0,267949192
x'1= 0,886751345
x2= - 0,267949192
x'2= 0,204634926
x3= - 1
x' 3= - 0,333333333
x4= - 3,732050808
x'4= - 1,127711849

x5= 3,732050808
x'5= - 4,886751346
x6= 1
x' 6= 3
x7= 0,267949192
x'7= 0,886751345
x1= - 0,267949192
x'8= 0,204634926
......
.....
Tính theo công thức truy hồi ta được:


-8-

x1 =

3x 0 − 1
x − 3
1
; x2 = 0
; x3 = −
x0
x0 + 3
3x 0 + 1

x4 =

x0 + 3
3x 0 + 1

; x5 =
; x6 = x0
1 − 3x 0
3 − x0

Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6
III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải
Bài 1: Biết dãy só {an} xác định như sau: a1 = 1; a2 = 2; an+2 =3an+1 +2an với mọi n nguyên dương.
Tính a15.
Bài 2: Cho dãy số u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 2003un + 2004un-1 ( n = 2, 3, 4, ...)
a) Tính u4, u5, u6.
b) Lập quy trình tính un+1 .
Cho dãy số un=(3 + 7 )n +(3 - 7 )n (n = 0, 1, 2,…)
Lập công thức tính un+2 theo un và un+1
Lập quy trình tính un, n=5,…,10
Kết quả : u2 = 32; u3 = 180; u4 = 1016; u5 = 5736; u6 = 32384; u7 = 182832;
u8 = 1032224; u9 = 5827680; u10 = 32901632;
Bài tập 3: Cho dãy số

(10 + 3) n − (10 − 3) n
un =
2 3
a) Tính các giá trị u1, u2; u3, u4.
b) Xác định công thức truy hồi tính un+2 theo un+ 1 và un.
c) Lập quy trình tiên tục tính un+2 theo un+ 1 và un rồi tính u5, u6,... u16.
Bài 4: Cho dãy số {un} xác định bởi:
u1 = 1; u2 = 3; un =3un-1 khi n chẵn và un =4un-1 + 2un-2 khi n lẻ.
a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính un
b) Tính u10, u11, u12, u14, u15.
Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:

1 × 2 + 3 × 4 SHIFT STO A

Lặp lại dãy phím × 3 = × 4 + ALPHA A × 2 SHIFT STO A nhờ ∆ =
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
4 ALPHA B + 2 ALPHA A SHIFT STO A
3 ALPHA A SHIFT STO B
V SHIFT COPY =

Kết quả: u10 = 115548; u11 = 537824; u12 = 1613472; u13 = 7529536; u14 = 22588608 ; u15 = 105413504.
Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau:
S1 = 1 + 2; S2 = (1 + 2) + 4 + 5; S3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9: ...
Tính S50; S60; S80; S100.
Bài 6: Cho U1 = 4, U2 = 7, Un+1 = 3Un – 2Un-1 (n > 3)
a) Viết quy trình bấm phím tính Un. (n > 3)


-9-

b) Tính U6; U12?
Bài 7: Cho dãy số xn +1 =

xn + 4
, với n ≥ 1.
xn + 1

a) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = 1 và tính x100.
b) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = - 2 và tính x100.

(

) (
n

Bài 8: Cho dãy số {Un} như sau. Un = 3 + 2 2 + 3 − 2 2

)

n

với n = 1, 2, 3, 4,……

a) Tính U1; U2, U3; U4, U5; U6.
b) Viết công thức truy hồi để tính Un+2 theo Un+1 và Un.
c) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 9: Cho dãy số {Un} như sau. U0 = U1 = 2; Un+2 = Un+1.Un + 1 với n = 0, 1, 2, 3, 4,…
a) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un với n ≥ 2.(nêu rõ loại máy)
b) Tính U2, U3; U4, U5; U6. U7; U8.

(

) (

)

n

n

n

Bài 10: Cho dãy số {Un} như sau. Un = 5 + 2 6 + 5 − 2 6

n

với n = 1, 2, 3, 4,……

a) Chứng minh rằng Un+2 + Un = 10Un+1 với ∀n = 1, 2,3,....
b) Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy)
 3+ 5   3− 5 
Bài 11: Cho dãy số {Un} như sau. Un = 
÷
÷
÷ + 
÷ − 2 , với n = 0,1,2,3,….
 2   2 

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy)
(2 + 3) n − (2 − 3) n
Bài 12: Cho dãy số {Un} như sau. Un =
, với n = 0,1,2,3,….
2 3

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un và Un+1.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 13: Cho dãy số {Un} như sau. Un =

(5 + 7) n − (5 − 7) n
, với n = 0,1,2,3,….
2 7

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy)
4 xn2
Bài 14: Cho dãy số: xn +1 = 2
với n ≥ 1.
xn + 1

a) Lập Quy trình tính xn, biết x1 = 0,25
b) Tính x100.
Bài 15: Cho dãy số: u1 = 2, u 2 = 3; u 3 = 4, u n+3 = 3u n+2 - 6u n+1 +12u n với n = 1, 2, 3,...
a) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính u n+3 với n = 1, 2, 3,....
b) Tính các giá trị u14 ; u18 .
Bài 16: Cho dãy số được xác định bởi:
 u 1 = 1, u 2 = 2

 u n+2 = 3u n+1+ 4 u n + 5 ; n ∈ N*


- 10 -

Hãy lập quy trình tính un.

a1 = 1, a2 = 3
Bài 17: Xét dãy số: 
*

an + 2 = 2an − an + 1; n ∈ N
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương.
Giải:
- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 SHIFT STO A × 2 - 1 + 1 SHIFT STO B
× 2 -

ANPHA

A

+ 1 SHIFT

STO A

× 2 -

ANPHA

B

+ 1 SHIFT

STO B

∆

SHIFT

COPY

= ... = ...

- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
1(1 + 1)
2
2(2 + 1)
a2 = 3 =
2
3(3 + 1)
a3 = 6 =
2
4(4 + 1)
a4 = 10 =
2
5(5 + 1)
a5 = 15 =
2
a1 = 1 =

...












⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
an =

n( n + 1)
2

(1)

* Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1)

đúng với mọi n ∈ N*

Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
⇒A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2

(*)

Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*).
Bài 18: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...):


- 11 -

( 2 + 3) −( 2 − 3)
=
n

un

n

2 3

a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 19: Cho dãy số (an) được xác định bởi:
ao = 2


2

an +1 = 4an + 15an − 60 ,

n ∈N *

a) Xác định công thức số hạng tổng quát an.
b) Chứng minh rằng số: A =

1
( a2n + 8) biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số
5

nguyên liên tiếp với mọi n ≥ 1.
Bài 20: Cho dãy số (un) xác định bởi:
uo = 0, u1 = 1

un + 2 = 1999un +1 − un , n ∈ N

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố.
Bài 21: Cho dãy số (an) xác định bởi:
a1 = 5, a2 = 11

an +1 = 2an − 3an−1 ,

n ≥ 2, n ∈ N

Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm.
b) a2002 chia hết cho 11.
Bài 22: Cho dãy số (an) xác định bởi:
a1 = a2 = 1

an2−1 + 2

a
=
,
 n
an −2


n ≥ 3, n ∈ N

Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên.
Bài 23: Dãy số (an) được xác định theo công thức:

(

)

n
 2+ 3 n
an =  2 + 3  , n ∈ N *
(
) 


; (kí hiệu 
là phần nguyên của số

Chứng minh rằng dóy (an) là dãy các số nguyên lẻ.

(

2+ 3

) ).
n