SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Lĩnh vực môn: Toán
Cấp học: Trung học cơ sở

NĂM HỌC: 2016 - 2017


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài.
1.1. Cơ sở lý luận:
Trong lĩnh vực giáo dục, một số vấn đề được quan tâm và bàn luận sôi nổi
từ nhiều thập niên qua là: Đổi mới phương pháp dạy học. Ở Nghị quyết IV, khóa
II năm 1993, Đảng ta đã đề ra nhiệm vụ: “Phải đổi mới phương pháp dạy học ở
tất cả các cấp học, bậc học” và đến Nghị quyết TWII, khóa VIII lại tiếp tục
khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học”. Định hướng trên
đây đã được pháp chế hóa trong Luật giáo dục tại điều 24.2 ghi rõ: “Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo
của học sinh phù hợp đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào cuộc sống, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập của học sinh.
Bước sang thế kỉ XXI, khi nền khoa học công nghệ phát triển như vũ bão
thì ngành Giáo dục có nhiệm vụ vô cùng nặng nề là phải làm sao đào tạo được
thế hệ tương lai phải là người biết hành động một cách năng động và sáng tạo.

Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì ở tất cả các cấp học, ngành học đều phải áp
dụng phương pháp dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực của người học”
bởi đây là nhân tố mới có vai trò thúc đẩy nhà trường phát triển gắn kết, hòa
nhập với sự phát triển của công nghệ, tạo nguồn lực đem lại lợi ích to lớn cho
toàn xã hội.
1.2. Cơ sở thực tế:
Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề
tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là
đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em rất sợ
học hình, một số mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là
như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?
Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp
đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở
một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về
mối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau.
Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay
và khó .
Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phương pháp tứ
giác nội tiếp”
2. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm

2/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ các phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp
để giải một số bài toán hay và khó như sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Như vậy, có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một
cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp khảo sát thực tiễn.
- Phương pháp đọc tài liệu.
- Thống kê, lập bảng số liệu đối sánh.
- Rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A5 trường THCS Phương Trung
- Phạm vi nghiên cứu : Được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm
ở bộ môn Hình Học lớp 9, trong học kì 2 năm học 2016-2017.
5. Kế hoạch nghiên cứu
Tháng 9-10 : Khảo sát thực tế
Tháng 11-12: Nghiên cứu tìm giải pháp giảng dạy cho phương pháp tứ
giác nội tiếp.
Các tháng còn lại áp dụng những giải pháp đã tìm để nâng cao hiệu quả
trong việc vận dụng chứng minh các bài tập Hình Học lớp 9.
6. Khảo sát thực trạng khi chưa thực hiện đề tài.
Khi được phân công dạy môn Toán tại lớp 9A5, ngay từ đầu năm tôi đã
tiến hành khảo sát thực tế, kết quả như sau:

* Số liệu điều tra trước khi thực hiện:
a. Điều tra, khảo sát về tâm lý, sở thích:
Lớp 9A5: Tổng số 44 học sinh. Tôi đưa ra câu hỏi khảo sát như sau: “Môn
học em yêu thích ? ”

Kết quả:
Không thích
Bình thường
Thích
24/44
15/44
5/44
(54,55%)
(34,09%)
(11,36%)
Nhận xét:
Ta thấy tỉ lệ học sinh yêu thích học Hình Học còn thấp, tỉ lệ học sinh
không thích học Hình Học lại cao hơn.
3/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

b. Điều tra qua vở bài tập của học sinh:
Tôi thu và kiểm tra 44 vở bài tập của học sinh.
Kết quả:
Không làm bài tập
Làm bài tập qua loa, đối phó
Làm bài tập
(chép trong sách giải bài tập)
20/44
14/44
10/44
(45,46%)
(31,81%)

(22,73%)
Nhận xét:
Tỉ lệ học sinh làm bài tập trước khi đến lớp cũng thấp, học sinh không
làm bài tập chiếm tỉ lệ cao.

* Kết quả khảo sát chất lượng đầu năm:
Lớp
9A5

TS

TB

HS

(%)

44

Phân loại (%)
G

%

K

%

TB

%

Y

%

Kém

2

4,5

5

11,4

27

61,4

10

22,7

0

%
0

Từ đó có thể kết luận: Nhiều em không thích học hình, không biết chứng

minh hình.Vì vậy kết quả khảo sát chất lượng đầu năm của các em cũng rất thấp,
và điểm có chủ yếu là ở phần đại số.

4/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

PHẦN B: NỘI DUNG
TÊN ĐỀ TÀI: “PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP”
1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu.
Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận
khoa học sau:
1.1. Về phương pháp chúng ta dùng phương pháp phân tích – tổng
hợp:
Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng
minh A ⇒ B, ta chứng minh rằng A ⇒A1 ⇒A2 ⇒ ... ⇒ B.
Các quan hệ kéo theo nói trên được trình bày dưới dạng: A 1 ⇒ A2 (lí do)
hoặc: (lí do) A1 ⇒A2.
Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thường:
a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A ⇒A1, từ A1 ⇒A2 ,....Và cuối cùng
suy ra Am.
b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể
chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B 2,…, cuối cùng ta có
thể chứng minh Bn.
Nếu chứng minh được Am ⇒ Bn thì bài toán chứng minh A ⇒ B được chứng
minh với sơ đồ sau: A ⇒A1 ⇒A2 ⇒ …⇒Am ⇒ Bn ⇒ ….⇒ B2 ⇒ B1 ⇒ B.
1.2. Một số phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau.
* Phương pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đường thẳng
song song…

* Phương pháp 2: Áp dụng định lý góc có cạnh tương ứng song song hay
vuông góc.
* Phương pháp 3: Là hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
* Phương pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến và
một dây cung)…
Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để
chứng minh hai góc bằng nhau.
1.3. Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc.
·
Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB
= 900 , trong đó AB là một
đoạn cho trước là đường tròn đường kính AB.
Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho
·
trước một AMB
có số đo không đổi bằng α (0o < α < 180o) là hai cung tròn đối
xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn AB .
1.4. Định lý thuận, đảo về “Tứ giác nôị tíêp một đường tròn”
Trang 87, 88 SGK Toán 9 tập 2.
1.5. Tính chất của tam giác đồng dạng .
5/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

1.6. Dựa vào định nghĩa đường tròn.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
2.1 Đặc điểm nhà trường.
Trường THCS Phương Trung thuộc địa bàn xã Phương Trung, là trường
có số lượng học sinh khá đông, đứng thứ nhất trong huyện. Tổng số cán bộ, giáo

viên, nhân viên hiện tại là 65 người . Tổ Khoa Học Tự Nhiên có 28 người, số
giáo viên có chuyên môn giảng dạy môn Toán là 17, trong đó có 4 giáo viên hợp
đồng.
Trường nằm trên địa bàn đông dân với nhiều thành phần kinh tế khác
nhau và khá phức tạp, do đó có ảnh hưởng đến nhận thức và học tập của học
sinh. Một số phụ huynh rất quan tâm đến việc học tập của con em mình nhưng
một số vẫn còn thờ ơ, chưa có sự phối hợp với nhà trường trong việc giáo dục ý
thức học cho các em. Trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, nhiều giáo viên
giảng dạy lâu năm có kinh nghiệm; đội ngũ giáo viên trẻ giàu nhiệt huyết, chuẩn
về trình độ chuyên môn.
Ban lãnh đạo nhà trường đã tạo được một khối đoàn kết nhất trí cao trong
tập thể sư phạm. Chi bộ nhà trường chỉ đạo kịp thời, sâu sát. Chính quyền, công
đoàn, đoàn thanh niên phối hợp với nhau nhịp nhàng, chặt chẽ, trên cơ sở tôn trọng
lẫn nhau, đã góp phần thúc đẩy nhà trường thực hiện tốt kế hoạch năm học do hội
nghị cán bộ, viên chức đề ra. Hội Khuyến học, Ban đại diện cha mẹ học sinh hoạt
động có hiệu quả góp phần thúc đẩy nhà trường không ngừng phát triển.
2.2 Những ưu điểm và bất cập khi thực hiện vấn đề nghiên cứu.
2.2.1 Những ưu điểm :
Việc đổi mới phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” đã và
đang được áp dụng trong nhà trường giúp học sinh phát huy được vai trò chủ
động của mình trong việc lĩnh hội kiến thức, kích thích khả năng sáng tạo của
học sinh trong quá trình học tập. Cùng với việc đổi mới về phương pháp, một số
phương tiện, kĩ thuật dạy học hiện đại cũng đã được áp dụng vào quá trình giảng
dạy của giáo viên trên lớp giúp giờ học sinh động và mang lại hiệu quả cho giờ
học.
Hàng năm, Sở giáo dục và Đào tạo Hà Nội, phòng giáo dục đào tạo huyện
Thanh Oai đều tổ chức các chuyên đề tập huấn cho giáo viên môn Toán với
mục đích nâng cao chất lượng học tập ở bộ môn này.
2.2.2. Những bất cập:
Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp

hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù
nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc
một đường tròn, …. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức
chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý
6/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi
học xong chương III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo
viên đối với học sinh.
Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở
định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt
hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên
chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội
tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một
đường tròn. Trong nhiều bài tập không hề yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp.
nhưng nếu chúng ta chứng minh tứ giác nội tiếp thì lại được chứng minh được
yêu cầu của bài toán rất rễ dàng.
3. Những giải pháp:
3.1 Học sinh nắm được phương pháp để học tốt môn Hình học lớp 9 .
Đối với các bạn học sinh cấp 2, đặc biệt là các bạn học sinh lớp 9 môn
Toán là môn học khó đạt điểm cao bởi có rất nhiều kiến thức và các bài toán vẽ
hình, tính toán phức tạp. Để học giỏi môn Hình học lớp 9 nói riêng và môn Toán
9 nói chung, ta cần lưu ý thêm những điều sau đây:
3.1.1.Nắm thật chắc lý thuyết.
Chương trình Toán lớp 9 có rất nhiều lý thuyết, định nghĩa, định lý, do đó
bạn phải nắm thật chắc lý thuyết, thuộc các định lý thì mới có thể hiểu và áp

dụng chúng vào các bài tập. Đặc biệt chương trình Hình học lớp 9 bạn phải nắm
thật chắc phần lý thuyết như các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
vuông, các tỷ số lượng giác cuả góc nhọn trong hình vuông…đặc biệt là các lý
thuyết về đường tròn, các bạn phải nắm được các các định nghĩa như: góc nội
tiếp, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.... Nếu bạn không nhuần nhuyễn các định
nghĩa, các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, các quy định về góc với đường
tròn v.v…thì bạn không thể sáng tạo trong khi giải toán hình học.
3.1.2. Rèn luyện kỹ năng vẽ hình.
Đối với môn Hình học lớp 9, để làm được bài một cách chính xác bạn cần
đọc thật kỹ đề bài. Khi vẽ hình nên vẽ hình bằng bút chì để có thể dễ dàng sửa
lại các lỗi sai. Nên vẽ hình thật to và rõ ràng để làm bài được dễ dàng hơn.
3.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán.
Để có kỹ năng giải Toán hình học 9 một cách nhanh chóng và chính xác
bạn cần làm thật nhiều bài tập, trước hết là các ví dụ cơ bản trong sách giáo khoa
và sách bài tập, sau đó nên làm các bài tập tổng hợp và nâng cao. Trong mỗi bài
tập nên rút ra các làm tổng quát cho các dạng bài để không bị bỡ ngỡ khi gặp
7/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

những bài tương tự, ngoài ra các bạn còn phải đọc sách tham khảo để có được
những bài toán và các dạng toán riêng.
3.1.4.Đọc nhiều sách tham khảo
Có rất nhiều sách tham khảo chương trình Hình học lớp 9 để tìm đọc và
luyện các bài tập. Nên chọn các loại sách có các ví dụ cơ bản, dễ hiểu với cách
làm khoa học và có phần giải thích rõ ràng để nắm được các ý quan trọng và
cách làm bài.
3.2 – Kiến thức cơ bản
3.2.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có
bốn đỉnh nằm trờn đường tròn đó.

B
A
O

* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

C
D

3.2.2.Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
3.2.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc α .
3.2.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội
tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
3.3 - Bài tập minh họa.
3.3.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

8/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Bài toán 1:
Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’.
Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Chứng minh:
Cách 1:
Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
·
Xét ∆BB’C có : BB'C
= 900 (GT)

A
B'

C'

O

B

OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh

C

huyền
⇒ OB’ = OB = OC = r (1)
·
Xét ∆BC’C có : BC'C
= 900 (GT)
Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)
⇒ Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn.
·
Cách 2: Ta có:
BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ BB'C
= 900 .
·
CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ BC'C
= 900 .

⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Phương pháp 2: Dựa vào định lý
µ +C
µ = 1800 hoặc B
µ +D
µ = 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ A

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.

A
C'

B'

I

O
C

B

D

Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
·
·
b/ Từ câu a ⇒ BCB
' + BC'B'
= 1800
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
·

·
Mà : BCB
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
' = BDA
9/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

·
·
⇒ BDI
+ BC'I
= 1800

⇒ Tứ giác BDIC’ nội tiếp đường tròn. (Tổng số đo hai góc đối của
tứ giác bằng 1800)
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
Bài toán 3:
M

Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O).
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M,
trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao
cho AM=CN.
Chứng minh tứ giác AMNO nội
tiếp.

A
1 2

O
B

1

C

N

Chứng minh:
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
¶ =A
¶
⇒A
1

2

∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
¶ =C
µ nên A
¶ =A
¶ =C
µ
⇒A
2

1

1

2

1

·
µ + OCN
·
Mà µA1 + OAM
= 1800 và C
= 1800
1

·
·
⇒ AOM
= OCN

Xét ∆OAM và ∆OCN có :
·
·
OA = OC; AOM
(chứng minh trên)
= OCN
AM = CN (giả thiết)
⇒
∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
·
·

·
·
⇒
hay AMO
AMO
= CNO
= ANO
⇒
Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng
nhìn cạnh OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào đặc điểm tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng
góc trong của đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
10/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M
với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp
được đường tròn.
Chứng minh:
Ta có :

·
MEP
=

(

» + MB
¼
sd AD

)

M

2
A

( góc có đỉnh nằm bên trong (O))

¼
sdDM
·
(góc nội tiếp)
DCP
=
2
» + MA
¼
sd AD
·
Hay ⇒ DCP
=
2
Lại có :
Nên :

B

O

Mà

(

P

E

)

D
C

¼ = MB
¼
AM
·
·
= DCP
MEP

Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ:
B F

Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB
E
tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC
A
C
tại G; OH ⊥AD tại H.
O
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.
H

G
D

Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của
đỉnh đối diện là:
AEFC; AHGC; BEHD; BFGD
Thật vậy: Xét tứ giác AEFC
·
·
·
Ta có: EAC
(cùng phụ với ABO
)
= EOB

·

·
» )
(Hai góc nội tiếp cùng chắn EB
BFE
= EOB
·
·
⇒ EAC
= BFE
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
11/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Thật vậy: Ta có :

·
·
» )
(Hai góc nội tiếp cùng chắn OH
OEH
= OAH
·
·
¼ )
(vì cùng phụ với AOH
OAH
= HOD

·
·
» )
(Hai góc nội tiếp cùng chắn HD
HOD
= HGD
·
·
⇒ OEH
= HGD
·
·
Chứng minh tương tự ta được : OEF
= FGC
·
·
·
·
Từ đó : OEH
+ OEF
= HGD
+ FGC
·
·
·
⇒ FEH
= HGD
+ FGC
·

·
·
Mặt khác: HGD
+ FGC
+ HGF
= 1800
·
·
⇒ FEH
+ HGF
= 1800 ( điều phải chứng minh)
3.3.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Bài toán 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cựng nằm trên một đường
tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai
đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng
nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ: (Bài toán về đường tròn Euler)
A

Chứng minh rằng, trong
một tam giác bất kì, ba trung
điểm của các cạnh, ba chân của
các đường cao, ba trung điểm của
các đoạn thẳng nối trực tâm với
đỉnh đều ở trờn một đường tròn.

K

M

l

L
F

E

H
O
N
B

P
I

Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC
ND là đường trung bình của ∆BHC
HC
⇒ ME = ND =
2
⇒ Tứ giác MNDE là hình bình hành (1)
12/26

D

C


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Lại có : ME // CH (vì ME là đường trung bình của ∆AHC)
MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB)
Mà CH ⊥ AB (giả thiết)
⇒ ME ⊥ MN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O;
OM)

·
Vì MID
= 900 ⇒ I ∈ (O; OM)
·
·
Vì FLP
= 900 ; NKE
= 900 ⇒ L; K ∈ (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
µ nhọn. Đường tròn tâm A bán kính AB
1. Cho hình bình hành ABCD có A
cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường
thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:

a. DE = DK
b. Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,
B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ OO’
b. Năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. Năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài toán 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định:
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi
chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên
đường kính ấy (C khác O). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông
góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.
13/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của đường tròn đi
qua ba điểm A, E, F với AB.
Nối K với F
µ ( cùng bằng nửa số đo

Ta có Fµ = A

E

M

1

cung KE)
µ ( cùng phụ với ·
Fµ2 = A
MBA )
⇒ Fµ = Fµ
1

F

1 2

O

2

K C

A

⇒ K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên
suy ra K cố định.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở
ngoài đường tròn (O) ta vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn. Lấy điểm D
nằm giữa B và C. Qua D vẽ
một đường thẳng vuông góc
với OD cắt AB, AC lần lượt
tại E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đường
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
Chứng minh:
Ta có :

B

B
E
O

A
D
C

F

·

EBO
= 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
·
EDO
= 900 (GT)

⇒ Hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ Tứ giác EBOD nội tiếp đường tròn
·
·
⇒ BEO
(1) (cùng chắn cung OB)
= BDO
Chứng minh tương tự ta có : Tứ giác ODCF nội tiếp đường tròn
·
·
⇒ OFC
(2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
= BDO
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ OFC
= BEO
⇒ Tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn (Tứ giác có góc trong một đỉnh bằng
góc ngoài tại đỉnh đối diện)
14/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm O cố định.
c. Bài tập:
1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC
không chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O 2) đi qua I và tiếp
xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2).
a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao
cho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi
qua một điểm cố định khác A.
Bài toán 3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.
a. Phương pháp: Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không
đổi....
b. Ví dụ: Định lý Ptoleme.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
Chứng minh:
Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh:
AC. BD = AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
·
·
Lấy E ∈ BD sao cho BAC
= EAD
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
AD DE
=

⇒
AC BC

B
A
E

O

⇒ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)
BE AB
D
=
⇒
CD AC
⇒ BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)
c. Bài tập
15/26

C


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

1.Sử dụng Định lý Ptoleme để chứng minh ( Định lý Carnot)
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp
một tam giác nhọn đến bacạnh của tam giác bằng tổng bán kính của đường tròn

ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.
2. Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường
thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E.
a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh:
·
·
và BE = CD.
BAE
= OAC
c. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng
minh G là trọng tâm của ∆ ABC.
Bài toán 4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
a. Các bước giải bài toán quỹ tích:
Bước1: Chứng minh phần thuận
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H
+ Giới hạn quỹ tích
Bước 2: chứng minh phần đảo
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
Bước 3: Kết luận
B
A
b. Ví dụ :
Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đường thẳng xy quay quanh O cắt
hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và
N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK =
DM. Gọi H là hình chiếu của K trên xy.
Tìm quỹ tích điểm H.

N
O
H
M
1

D

1

2

l
2

K
C
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có tứ giác MHKD và tứ giác NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)

¶ =H
¶ = 450 và N
¶ =H
¶ = 450
⇒M

1
1
2
2
·
⇒ DHC
= 90o
Vậy H nằm trên đường tròn đường kính DC
16/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Giới hạn:
Vì đường thẳng xy quay quanh O nhưng phải cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính
CD nằm trong hình vuông.
Phần đảo:
Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD.
Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.
Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thật vậy,

·
·
Vì DHC
= 900 ;DOC
= 900 ; nên tứ giác HOCD nội tiếp
·

·
⇒ DHM
= DCO
= 450
·
·
·
Mặt khác DKM
= 450 nên DHM
= DKM

·
⇒ Tứ giác HKDM nội tiếp ⇒ KHM
= 900
⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
tròn này nằm trong hình vuông.
Bài toán 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC. Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của AD
Tứ giác AEDF có :

A

·
·
AED
+ AFD
= 900 + 90 0 = 180 0

a

⇒ Tứ giác AEDF nội tiếp (O; OA)
Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF

E

·
Đặt BAC
=a

O
F

M

Ta có :

1·
·
·
EOM
= EOF
= BAC

=a
2

B

(quan hệ góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
17/26

D

C


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

·
Xét ∆ MOE có OME
= 900 .
⇒ EM = OE. sin a
⇒ EF = 2 OE. sin a
⇒ EF = AD. sin a (*) ( vì AD = 2OE)
a/ Do a không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ AD ⊥
BC ⇔ D là hình chiếu của A trên BC.
b/ Vì D ∈ BC và AB < AC nên AD ≤ AC
Từ (*) ⇒ EF lớn nhất
⇔ AD lớn nhất ⇔ D trùng với C.
3.4. Ứng dụng vào công tác giảng dạy.
- Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tổng hai góc đối diện
của một tứ giác bằng 180o mới kết luận là tứ giác nội tiếp . Phát huy được tính
độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phương pháp chứng minh

tứ giác nội tiếp đã được hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải
khác nhau cho một bài toán hình học.
- Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và nhận
biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứng
minh hình học có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp:
3.4.1.Ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng
minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về
diện tích các hình, …
Ví dụ : Từ kết quả của ví dụ ( ở bài toán 4) ta có thể dùng tứ giác HCNK
nội tiếp để giải bài toán tiếp theo :
Giữ nguyên giả thiết và bổ xung thêm M là giao điểm của IK với AB.
Kết luận chứng minh SAMN ≤

1
SABC (với SAMN, SABC thứ tự là ký hiệu diện
2

tích tam giác AMN và tam giác ABC ).
Ta có thể phân tích giải tiếp như sau (hình vẽ ở ví dụ của bài toán 4)
·
·
Tứ giác HNCK nội tiếp => ANM
= KHC
= 450 => ∆AMN là tam giác vuông

cân tại A => AM = AN (1)
Lại chứng minh được ∆AKN = ∆AKH (g.c.g) => AN = AH (2)
Từ (1) và (2) => AM = AN =AH
Do đó SAMN =

1
1
1
AM . AN = AH2 còn SABC = AB . AC
2
2
2

Xét ∆ABC vuông tại A có :
1
1
1
AB 2 + AC 2 2. AB. AC
2
1
=
+
=
≥
=
=
AH 2 AB 2 AC 2
AB 2 . AC 2
AB 2 . AC 2 AB. AC S ABC
18/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Hay:

1
1
1
≥
⇔ SAMN ≤ SABC ( đpcm)
2
2.S AMN S ABC

3.4.2.Ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng
song song, cặp đường thẳng vuông góc:
Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Dường thẳng
AO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là B và C (ABthẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm là D và E (ADĐường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CE tại F. M là giao điểm thứ hai của
FB với đường tròn (O). Chứng minh DM vuông góc với AC.
Chứng minh:
·
Ta có BEC
= 900
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
⇒ BEF
= 900 (hai góc kề bù)

M

·
·
·

Mà BAF
= 900 ⇒ BAF
+ BEF
= 1800

A

B
O

⇒ Tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.

·
·
⇒ AFB
= AEB

C

D

» )
(hai góc nội tiếp cùng chắn AB

E

·
·
Trong đường tròn (O) có BMD
= AEB

F

» )
(hai góc nội tiếp cùng chắn BD

là cặp góc so le trong ⇒ AF PMD
·
·
⇒ AFB
= BMD
Lại có: AF ⊥ AC (giả thiết) ⇒ DM ⊥ AC
3.4.3. Ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng
minh nhiều A1, A2, A3, … An cùng thuộc một đường tròn :
Bước 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nội
tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ).
Bước 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A 1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo
thành một tứ giác nội tiếp.
Cứ tiếp tục chứng minh như trên, cuối cùng nhận xét các đường tròn ngoại
tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A 1, A2, A3. Do đó các đường tròn đó
phải trùng nhau => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc một đường tròn.

19/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực
của AB và AC gặp nhau ở I. Trung trực của AE cắt hai trung trực kia ở F, K.
Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

Phân tích :
K
Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K
1
2
cùng nằm trên một đường tròn (1)
A
C
⇔ Chứng minh 2 tứ giác nội tiếp AKIE
và AKIF (có 3 điểm chung là A, K , I)
(2)

1
2

F
B

H

I

E

µ = 900 )
Thật vậy, từ giả thiết => I∈ BC và IB =IC ( A
Vì IK là trung trực của AC, KF là trung trực của AE

·
·

·
⇒ KA = KC = KE => KAI
(cùng bằng KCE
)
= KEI
¶ =K
¶ = Iµ = Iµ
⇒ Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có K
1
2
1
2
(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đường trung trực )

¶ = Iµ => tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4)
hay K
1
1

(4)

Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm
Chú ý : Ở ví dụ này kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Hình vẽ trên là
ứng với điểm E thuộc đoạn HC còn 2 trường hợp nữa là E thuộc đoạn HB và E
nằm ngoài đoạn BC chứng minh tương tự.
3.4.4. Bài tập:
1. Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm tròn cung ABC. Vẽ
MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn
nhất.
2. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp

tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B,C là hai tiếp điểm). Kẻ đường thẳng đi qua
hai điểm A và O cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và O). BB’, CC’ là hai
đường kính của đường tròn (O). Gọi K là giao điểm thứ hai của AB’ với đường
tròn(O). Chứng minh:
a) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) AE.AF=AB’.AK.
c) BC' PC'B .
d) Tam giác FB’C’ là tam giác cân.
3. Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm M nằm giữa A và B. Qua M kẻ tia
Mx ⊥AB, trên Mx lấy điểm C và D sao cho MC=MA và MD=MB. Vẽ đường
20/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

tròn (O1) đường kính AC và đường tròn (O2) đường kính BD. Hai đường tròn
này cắt nhau tại điểm N (khác điểm M). Chứng minh:
a) Ba điểm A, N, D thẳng hàng và ba điểm B,N, C thẳng hàng.
b) D là trực tâm của tam giác ABC.
c) Khi M chuyển động trên đoạn AB thì đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định.
4. Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A.
Qua A vẽ đường thẳng d ⊥AC. Gọi M là một điểm thuộc đường tròn (O) sao cho
MBDB cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh:
a) Tứ giác ABMD là tứ giác nội tiếp.
b) Tích CM.CD không đổi khi M chuyển động trên đường tròn (O)
c) Tứ giác AKND là hình thang.
d) Khi M chuyển động trên đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác
MAC chuyển động trên đường tròn cố định.

5. Trên đường tròn (O) đường kính AB=2R, lấy điểm M sao cho AM=R và
N là một điểm bất kì trên cung nhỏ BM (N khác M,B). Gọi I là giao điểm của
AN và BM, H là hình chiếu của I trên AB.
a) Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh HI là phân giác của góc MHN.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN luôn đi qua 2 điểm cố
định.
d) Xác định vị trí của điểm N trên cung nhỏ BM để chu vi tứ giác AMNB
đạt giá trị lớn nhất.

21/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Lê Minh Khuê
(1949)

PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết quả đã đạt được khi áp dụng vào thực tiễn
Sau nhiều nỗ lực, cố gắng ,tìm tòi và không ngừng đổi mới, tôi nhận thấy
Quêhình
Thanh Hóa
không khí và thái độ của học sinh trong giờ học toán, đặc biệt là học toán
đã thay đổi đáng kể:
Kết quả các mặt cụ thể như sau:
Là cây bút nữ chuyên
viết truyện ngắn

Đầu năm

Lớp

9A5

Sĩ
số

44

Cuối năm

Thời
Số lượng

gian
Các nội dung
khảo sát
Không thích học
Toán
Bình thường
Thích
Không làm bài
tập
Làm bài tập qua
loa, đối phó
Làm bài tập

Tỉ lệ ( %)

Số lượng

Tỉ lệ ( %)
Giải thưởng

24

54,55

4

9,09

15
5
20

34,09
11,36
45,46

10
30
0

22,73
68,18
0Hoàn cảnh ra
đời (1971)

14

31,81

5

10

22,73

39

11,36
Nhan đề
88,64

* Nhận xét:
- Việc làm bài tập và học bài ở nhà của các em đã tiến bộ rõ rệt:
+ Nhiều em đã biết cách chứng minh hình.
+ Nhiều em đã nắm lý thuyết hình, đặc biệt là các kiến thức cũng như
phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp .
+ Phương pháp chứng minh hình của các em gắn gọn, lập luận chứng
minh rất chắc chắn.
* Trong giờ học trên lớp:
Các em tích cực, hào hứng và chăm chú hơn. Không còn tình trạng học
sinh ngủ trong giờ học, các em đã tự tìm được các cách chứng minh của riêng
mình, không còn lệ thuộc vào cách giải trong sách giải bài tập hay đáp án trong
đề cương ôn tập.
* Kết quả cuối năm về môn học:
Lớp
9A5

TS

TB

HS

(%)

G

%

KH

%

TB

%

Y

%

K

100%

15

34,09

19

43,18

10

22,73

0

0

0

44

Phân loại (%)

22/26

%


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

Nhận xét:
Như vậy, so sánh kết quả khảo sát đầu năm với kết quả cuối năm học thì

bộ môn Hình học lớp 9A5 – một lớp học đại trà, cũng đã có sự tiến bộ rõ rệt: từ
một lớp không có 2 học sinh giỏi và số học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ 10/44, sau
khi thực hiện đề tài Phương pháp tứ giác nội tiếp nói riêng và có thể áp dụng
cho các giờ học hình khác nói chung thì số học sinh xếp loại yếu, kém không
còn, số học sinh xếp loại trung bình trở lên đạt 100%, đặc biệt là đã nâng cao
được chất lượng mũi nhọn ( 15 học sinh giỏi và 27 học sinh khá)
2. Kết luận:
Từ việc nghiên cứu đề tài: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” tôi rút ra kết
luận sau:
- Đổi mới phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực cho học sinh là
một việc làm cần thiết và phải được thực hiện trong suốt quá trình dạy - học. Để
học sinh có hứng thú trong giờ học và yêu thích môn văn thì giáo viên cần có
“nghệ thuật” thu hút các em vào bài giảng. Không chỉ bằng kiến thức, kĩ năng,
nghiệp vụ sư phạm mà người giáo viên còn phải là người bạn, người đồng hành
cùng các em trong quá trình giảng dạy để nắm bắt được tâm tư, tình cảm, sở
thích của các em . Thầy cô không nên quá tiết kiệm lời ngợi khen, động viên khi
các em phát biểu ý kiến xây dựng bài hay khi các em có những cách chứng minh
hay, lí luận chắc chắn, …
- Từng bước hình thành và củng cố phương pháp học tập bộ môn cho học
sinh. Khi dạy học, cần hướng dẫn kĩ cho học sinh cả kĩ năng vẽ hình, kĩ năng
chứng minh,…
- Cần thiết rèn luyện kĩ năng vẽ hình, kĩ năng phân tích đi từ kết luận về
giả thiết của bài toán cho học sinh dự thi học sinh giỏi các cấp, còn các kĩ năng
khác thì rèn luyện cho mọi đối tượng.
- Kiến thức và các kĩ năng có thể cung cấp, củng cố vào các buổi học
thêm, song song với chương trình học tập buổi sáng.
- Đặc biệt, vào giai đoạn ôn luyện cho học sinh thi chuyển cấp đạt kết quả,
giáo viên nên có thao tác hệ thống lại tất cả các kĩ năng, và ra hệ thống bài tập
rèn luyện theo từng dạng bài tập, cho học sinh rèn luyện thành thạo kĩ năng và
nắm vững kiến thức để có thể tự tin khi chứng minh hình.

3. Khuyến nghị
Qua việc nghiên cứu và thực hiện đề tài: “Phương pháp tứ giác nội tiếp”,
tôi xin đề xuất một số ý kiến như sau:
* Đối với giáo viên:
- Cần chấp hành nghiêm chỉnh chủ trương về đổi mới phương pháp dạy
học của Bộ giáo dục.
- Chấp hành tốt sự chỉ đạo của Sở giáo dục, của Phòng giáo dục và của
nhà trường. Thực hiện đúng qui chế chuyên môn. Bản thân không ngừng học hỏi
23/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

kinh nghiệm trong giảng dạy để có phương pháp tối ưu phù hợp với trình độ học
sinh ở địa phương.
- Trong quá trình giảng dạy phải nắm vững trình độ của học sinh để đưa ra
phương pháp giảng dạy phù hợp, linh hoạt, tạo hứng thú cho học sinh và phát
huy tính chủ động sáng tạo của các em.
- Tránh tạo áp lực không cần thiết đối với các em trong các giờ học, giáo
viên cần nghiêm túc song cũng không thể thiếu sự cởi mở, chân thành. Luôn gần
gũi và thân thiện với học sinh, dạy bảo các em nhiệt tình, tâm huyết. Gặp vấn đề
khó, cần phải gợi mở, khuyến khích, động viên các em.
- Trong mỗi giờ học cần sử dụng đa phương pháp, đa phương tiện, làm
tròn vai trò dẫn dắt của người thầy để phát huy tối đa tính chủ động, tích cực
sáng tạo của học sinh, lôi cuốn học sinh vào bài giảng.
* Đối với học sinh:
- Phải có sự chuẩn bị tốt bài ở nhà theo định hướng của thầy, phần chuẩn
bị phải thật cụ thể, chi tiết.
- Trong giờ học cần tuyệt đối nghiêm túc, kết hợp các giác quan: mắt
nhìn, tai nghe, óc suy ngẫm phán đoán, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài,

tự giác và sáng tạo trong qua trình thảo luận nhóm dưới sự hướng dẫn của thầy.
- Phải nắm chắc kiến thức sau mỗi bài học và áp dụng vào làm các bài tập
để khắc sâu kiến thức.
- Phải có thái độ tôn trọng thầy cô, bạn bè, tôn trọng môn học.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đã áp dụng qua
những năm giảng dạy. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, chia sẻ và giúp đỡ
nhiều hơn nữa của Phòng giáo dục, Ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên
môn và của các đồng nghiệp để tôi hoàn thiện bản thân mình và tự tin hơn trong
giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Phương Trung, ngày 20 tháng4 năm2017
Tác giả sáng kiến

Phạm Thị Minh Hằng
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
24/26


Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp

25/26