De 2_HSG9-Co dap an_Bui Pham Phong

Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1. (1,5 điểm)
Đơn giản biểu thức: A =
3
21139

Câu 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng:
555
3
5
5
25
9
25
3
25
1
5
27
5
32
+=
Câu 3. (3 điểm)
Giải hệ phơng trình:

+=
=
2
2
2
84
xxy
yxy
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
( )
3
2 2 2 2
4 6 1 0x y x y x+ + + + + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
Câu 5. (2 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2
1
1
1
1
1
1

222
=
+
+
+
+
+
cba
Chứng minh rằng (ab + bc + ca )
2
+ 6a
2
b
2
c
2


3
Câu 6. ( 8 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên các cạnh AD và CD lần lợt lấy các điểm
M và N sao cho MBN = 45
0
, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng tỏ 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
...........................Hết...........................
22212
Mã ký hiệu

Đ02T-08-HSG9
Câu 1. (1,5 điểm)
A =
3
21139

=
3
3
)23(

=
23

Câu 2 (3 đ ) Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:
( )
( )
3
2
5
2
55
3
5
3
5
5
331
5
)3(2

+
=

(1)
Đặt
ba
==
55
5;3
(1)
3
2
2
3
3
12
b
aa
b
a
+
=



( )
( ) ( )
3
2
3

3
3 5 2
6
1
2
2 . 1
a a
a
a b a a
b b
+

= = +


5(2-a
3
) = (1+a a
2
)
3
(2) do b
5
= 5
Ta có (1+a- a
2
) = 1+3(a-a
2
)+3(a-a
2

)
2
+3(a-a
2
)
2
+(a-a
2
)
3

= 1+3a-3a
2
+3(a
2
-2a
3
+a
4
)+a
3
-3a
2
.a
2
+3a.a
4
-a
6
= 1+3a-3a

2
+3a
2
-6a
3
+3a
4
+a
3
-3a
4
+3a
5
-a
6
= 1+3a-5a
3
+3a
5
-a
5
.a
= 1+3a-5a
3
+3.3-3a (do
33
5
5
==
aa

)
= 10-5a
3
= 5(2-a
3
)
Vậy (2) đã đợc chứng minh

đẳng thức đợc chứngminh
Câu 3. (3 điểm)





+=
=
2
2
2
84
xxy
yxy
Từ (1)

22808
22

yyy
(3)

Từ (2)
yxxy ,2

cùng dấu
Dễ thấy (x
0
,y
0
) là nghiệm của hệ đã cho,
thì (-x
0
, -y
0
) cũng là nghiệm của hệ. Vì x, y

0 (do (2))
Xét x>0, y>0
Từ (2) ta có
22
2
2

+
=
x
x
y

Thật vậy : từ
( )

xx

,02
2

0222
2
+
xx

xx 222
2
+


22
2
2

+
x
x
(do x>0) (4)
Vậy
22

y
, kết hợp với (3)
22
=

y
Khi đó xảy ra dấu = ở (4)
2
=
x
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
(1)
(2)
Mã ký hiệu
HD02T-08-HSG9
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
(x, y) =

( ) ( )
22;2;22;2

Câu 4. (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
( )
3
2 2 2 2
4 6 1 0x y x y x+ + + + + =
(1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
Từ (1)
( )
3
2 2 2 2 2
3 6 1x y x y x x + + + =

( )
( )
2
2
3 6 3 2 3 1 2 2x x x= + + + = + +
(do ....)
Vậy
3 3
2 2 0S S S S+ +
( )

( )
2
1 2 2 0S S S + +
Chỉ ra
2
2 2 0,S S S+ +
Do đó
1 0 1S S

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 1
2 2
1
1
0
1
x
x
y
x y
=
=




=
+ =

Câu 5. (2 điểm)
- Chứng minh 3(x
2
+y
2
+z
2
)

(x+y+z)
2
(*)
- Từ giả thiết
2
1
1
1
1
1
1
222
=
+
+
+
+
+
cba

Ta có a

2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
+2a
2
b
2
c
2
= 1
Sử dụng (*) với ab = x, bc = y, ca = z ta có:
(ab+bc+ca)
2

3(a
2
b
2
+b
2
c
2

+c
2
a
2
) = 3(1-2a
2
b
2
c
2
)
Vậy (ab+bc+ca)
2
+ 6a
2
b
2
c
2


3
Dấu = xảy ra khi a = b = c và
2
1
=
a
Câu 6. (8 điểm) a) (2,5 đ)
Ta có EBN = ECN ()

tứ giác BCNE nội tiếp ()

BCN + BEN = 180
0
mà BCN = 90
0


BEN = 90
0
Tơng tự FBM = FAM = 45
0

tứ giác ABFM nội tiếp

BFM = 90
0
ta có MEN = MFN = 90
0

4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MN
b) (2,5 đ)
Xét BMN có NE và MF là 2 đờng cao

H là trực tâm

BI

MN
Ta có tứ giác ABFM nội tiếp (c/m trên)

ABM = AFM ( 2 góc cùng
0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0.5 đ
0,5 đ
chắn cung AM) (1)
Tơng tự tứ giác BEHF nội tiếp

EFH = EBH ( 2 góc nội tiếp cùng
chắn cung EH) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABM = MBI

Chỉ ra BAM = BIM


AB = BI = a
c). (3 đ)
Ta có BAM = BIM

AM =
IM
Tơng tự INB = CNB

CN = IN
Do đó AM + CN = IM + IN

MD + AM + CN + DN = MN + MD + DN

2a = MN + MD + DN
Đặt DM = x và DN = y

MN =
22
yx
+


S
MDN
=
2
xy

Bài toán đa về xác định x và y thỏa mãn:
x + y +
ayx 2
22
=+
sao cho x, y lớn nhất
Ta có
xyyx 2
+
(do x; y > 0)

xyyx 2
22
+
)22(222
22
+=++++=
xyxyxyyxyxa
)22(
22
2
=
+

a
a
xy
)223(2)22(
222

=
aaxy

( )
223
2
2
=
a
xy
S
MDN
Vậy
( ) ( )
22223
2
===
ayxaS
MDN
Vậy DM = DN =
( )
22

a
thì MDN có diện tích lớn nhất
Và
( )
223
2
=

aMaxS
MDN

Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Hình vẽ sai không chấm
- Hình vẽ phải khớp với bài làm mới cho điểm
- Trong phần bài toán hình các kết luận phải có đủ lí do, nếu thiếu thì trừ
điểm tùy theo nội dung.
- Thiếu 1 kí tự (dấu góc, dấu cung, ) thì châm trớc, thiếu từ 2 đến 3 kí
tự thì trừ nửa số điểm của câu đó, nếu thiếu nhiều hơn 3 kí tự thì không
chấm câu đó.
- Tổng điểm toàn bài là 20 điểm.
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

h
E
m
F
C
B
A
D
n
I