De thi hsg toan 9 cap huyen
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.94 KB, 4 trang )
PHÒNG GD& ĐT YÊN THÀNH
TRƯỜNG THCS Liên - Lý
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Môn :Toán 9
(Thời gian làm bài 120 phút )
2x + x - 1 2 x x + x − x 2 x − 1
:
+
1
x
1+ x x
x−x
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A =
2
.
3
c) Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao?
Bài 2: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:
(
)
a) 2 a − b <
(
1
<2
b
b− c
)
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 và c >0.
b) Biểu thức B =
2014 2 2014
1 + 2014 +
+
2015 2 2015
2
có giá trị là một số nguyên.
Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình
a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3
b) 4x + 1 − 3x − 2 =
x+ 3
.
5
Bài 4( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy
điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
1.Chứng minh :
1
1
1
+
=
2
2
AM
AK
AB 2
2.Biếtsố đo =450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tính số đo =?
3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P
∈ IK, Q ∈ AK, R ∈ AI). Xác định vị trí điểm O để OP 2 + OQ 2 + OR 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
………………………..Hết…………………………..
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 (2.5đ)
a) Rút gọn biểu thức (1 điểm)
1
4
x 1− x
2 x −1
:
1 − x 1 − x + x 2 x − 1
0.25
- Nêu đúng điều kiện: x >0, x ≠ 1, x ≠
- Rút gọn đến A =
(
)(
(
)
)
0.5
x
- Rút gọn được kq: A =
0.5
1− x + x
b) - Đưa về được pt: 2 x − 1 x − 2 = 0
1
- Giải được x = , x = 4
4
(
)(
)
0.25
0.25
0.25
- Kết luận: Giá trị x cần tìm là: x = 4( TMĐK)
c) - Vì x > 0, Nên ta có A = x +
1
1
−1
x
1
x+
− 1 > 1 (vì x ≠ 1) nên
x
Mà
x+
1
1
x
0.5
−1 < 1
0.25
- Vậy A không có giá trị lớn nhất.
Bài 2 (2 điểm)
(
)
a) Chứng minh rằng 2 a − b <
(
1
<2
b
)
b − c biết a; b; c là ba số thực thoả mãn
điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (1 điểm).
Ta có: a = b + 1⇒ a − b = 1⇒ a > b( 1) .
b + 1= c + 2 ⇒ b − c = 1⇒ b > c > 0( 2) . (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.
Mặt khác a − b = 1⇒
(
⇒2
)
a− b <
(
a− b
)(
)
a + b = 1⇒ a − b =
1
.
b
0.5
Chứng minh tương tự cho trường hợp:
(
1
1
<
(Vì a >b>0)
a+ b 2 b
)
0.25
)
b− c .
0.25
)
0.25
b) Biến đổi đưa về được bình phương của 1 biểu thức trong căn
0.5
Vậy 2 a − b <
(
(
1
<2
b
1
<2
b
b − c (đpcm).
2
B=
2014
2014
2015 −
+
2015
2015
Bài 3 (2điểm) Giải phương trình
B = 2015
0.25
a) x2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x2 + 2x − 3 (1) (1.0 điểm)
( x − 1) ( x − 2) ≥ 0
x + 3 ≥ 0
⇔ x≥ 2
Điều kiện
x
−
2
≥
0
( x − 1) ( x + 3) ≥ 0
(1) ⇔
( 1) ⇔
⇔
(
( x − 1) ( x − 2) +
x− 2
(
)(
x − 1− 1
)
x+ 3= x− 2+
(
x − 1− 1 − x + 3
)
( x − 1) ( x + 3) ( 1)
0.5
x − 1− 1 = 0
x − 1 − 1= 0
x−1= 1
x− 2 − x+ 3 = 0⇔
⇔
⇔ x=2
x − 2 − x + 3 = 0 x − 2 = x − 3
)
0.5
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b) 4x + 1 − 3x − 2 =
( 1) ⇔
⇔
(
x+ 3
2
(1). (1.0 điểm). Điều kiện x ≥ .
5
3
)(
4x + 1 − 3x − 2 .
4x + 1 + 3x − 2
(Vì x ≥
4x + 1− 3x + 2
x+ 3
=
5
4x + 1 + 3x − 2
5
4x + 1 + 3x − 2
4x + 1− 3x + 2
x+ 3
=
⇔
5
4x + 1 + 3x − 2
) = x+ 3⇔
x+ 3
x+ 3
=
⇔ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 (2)
5
4x + 1 + 3x − 2
0.5
2
nên x + 3 > 0).
3
Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2.
Bài 4 (3.5 điểm)
a)Ta cã
A
∆ABM = ∆ADI ⇒ AM = AI (1)
0.5
B
Q
Trong tam gi¸c AIK vu«ng t¹i A ta cã:
1
1
1
+
=
(2) . vµ AB = AD
2
2
AI
AK
AD 2
1
1
1
+
=
Tõ (1) vµ (2) ⇒
2
2
AM
AK
AB 2
1.5
R
M
O
H
I
P
D
N
C
K
b)KÎ AH vu«ng gãc víi MN ( H ∈ MN ) . Do CM + CN =7 vµ CN- CM=1cm
⇒ CN=4cm; CM= 3cm, MN = 5 cm
Ta cã ∆AMN = ∆AIN ⇒ AH = AD ⇒ IN = MN
∆AMH = ∆AID ⇒ ID = MH mµ ID = BM ⇒ MH = BM
Ta l¹i cã : DN + BM = MN = 5 vµ CM+MB = CN + ND ⇒ CN- CM = MB- ND
=1
⇒ DN =2cm; BM =3cm; BC = AD = AH = 6 cm
-Tan AMH =
=> = …. Hay = ….
Tõ gi¶ thiÕt ta cã AQOR lµ h×nh ch÷ nhËt
OP 2 + OQ 2 + OR 2 = OA 2 + OP 2 ≥
(OA + OP) 2 AP 2 AD 2
≥
≥
2
2
2
OP 2 + OQ 2 + OR 2 nhá nhÊt khi O lµ trung ®iÓm cña AD.
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
2. Điểm toàn bài không được làm tròn.
