Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

INTHAVICHIT PADAPHET

XẤP XỈ NGHIỆM CHO
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

INTHAVICHIT PADAPHET

XẤP XỈ NGHIỆM CHO
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lâm Thùy Dương

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực,
không trùng lặp với bất kỳ đề tài nào khác. Các tài liệu trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Padaphet Inthavichit

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn đã được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm thuộc
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Lâm Thùy Dương.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa Toán trường Đại học Sư phạm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lâm Thùy Dương
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong Bộ
môn Giải tích đã cho em những ý kiến đóng góp quý báu và tạo mọi điều
kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả

Padaphet Inthavichit

ii

Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Bất

đẳng

thức biến phân trong không gian

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . .

10

1.2.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn . . . . . . .

21

2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1. Phương pháp lặp Krasnoselskij-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2. Phương pháp lặp trên tập điểm bất động chung của họ các ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

23


2.2. Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2. Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

iv


MỞ ĐẦU
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều
được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi các nhà toán học Italia
là Stampacchia và Hartman. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này
liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên
có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức
biến phân đã có những bước phát triển mạnh và thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến
phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất kiểu đơn
điệu, Cohen G. [8] đã nghiên cứu phương pháp bài toán phụ, B. Martinet
[14] nghiên cứu phương pháp điểm gần kề,. . . Những phương pháp này cho
được kết quả hội tụ trên cơ sở đưa ra các giả thiết khác nhau về tính đơn
điệu. Lions J. L và Stampacchia G. [13] sử dụng phép chiếu PC : H → C
đề xuất phương pháp điểm bất động để xấp xỉ nghiệm. Tuy nhiên, trong
ứng dụng, toán tử chiếu PC làm cho việc tính toán các dãy lặp gặp nhiều
khó khăn do tính phức tạp của tập con lồi đóng C. Do đó để tránh phải
sử dụng phép chiếu Yamada I. [27] đã đề xuất phương pháp đường dốc
nhất lai ghép (Hybrid Steepest Descent method), bằng cách thay phép

chiếu PC bằng ánh xạ không giãn T : H → H , để giải bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Các thuật toán do
Yamada đề xuất khá hiệu quả và đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên
cứu, rồi mở rộng cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, như là Xu
H. K, Kim T. H, Zeng L. C, Yao J. C , ...
Bên cạnh đó, ta biết rằng bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói
chung, thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh. Một trong những phương pháp
được sử dụng rộng rãi là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Phương pháp
này được Tikhonov A. N. đề xuất vào năm 1963. Trên ý tưởng hiệu chỉnh
đó, đã có nhiều hướng mở rộng cho lớp các bài toán bất đẳng thức biến
phân loại đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach.
1


Trong nước có một số nhóm nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng
thức biến phân và một số bài toán liên quan như là: nhóm nghiên cứu
thuộc Viện Công nghệ Thông tin của GS. TS. Nguyễn Bường [3], [4],
nhóm nghiên cứu thuộc Viện Toán học của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu,
nhóm nghiên cứu thuộc Đại học Thái Nguyên của PGS. TS. Nguyễn Thị
Thu Thủy [23].
Trong phạm vi luận văn này chúng tôi nghiên cứu một phương pháp để
xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung
của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Phương pháp này được đề xuất bởi GS. TS. Nguyễn Bường và TS. Lâm
Thùy Dương [3].

2


Chương 1

Bất

đẳng

thức biến phân trong

không gian Hilbert
1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số
thực R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ ·, · : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x, y = y, x , ∀ x, y ∈ X;
(ii) x + y, z = x, z + y, z , ∀ x, y, z ∈ X;
(iii) λx, y = λ x, y , ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R;
(iv) x, x > 0, ∀ x = 0;

x, x = 0 ⇔ x = 0.

Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là không
gian tiền Hilbert.
Chuẩn của phần tử x ∈ X, kí hiệu x và được xác định:
x, x

x =

(1.1)

Không gian tiền Hilbert đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn xác định bởi
(1.1) được gọi là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.1. Không gian n chiều Rn với tích vô hướng xác định bởi:
n

x, y =

ξk ηk ,
k=1

3


trong đó x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn và y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn , là một không
gian Hilbert.
∞

2

Ví dụ 1.2. Không gian l =

x = (x1 , x2 , ...) :

|xi |2 < ∞

tất cả các

i=1

dãy số thực, với tích vô hướng xác định bởi:
∞

x, y =

xi yi ,
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ...), y = (y1 , y2 , ...) thuộc l2 , là một không gian
Hilbert.
2

L
gồm tất cả các hàm liên tục trên [a, b] với
Ví dụ 1.3. Không gian C[a,b]

các phép toán tuyến tính thông thường và với tích vô hướng:
b

f (x) · g(x)dx.

f, g =
a
2

L
trong đó f, g ∈ C[a,b]
, là không gian Hilbert.

1.1.2. Một số khái niệm liên quan
• Cho C là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn X.
(i) C được gọi là bị chặn, nếu ∃M > 0 sao cho
x ≤ M, ∀x ∈ C.

(1.2)

(ii) C được gọi là lồi, nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1, ta có:
λx + (1 − λ)y ∈ C.

(1.3)

(iii) C được gọi là compact, nếu mỗi dãy {xn } ⊂ C đều chứa dãy con
{xnk } hội tụ tới một điểm thuộc C.
Nhận xét 1.1. Mỗi tập con đóng, bị chặn C của một không gian Hilbert
là compact yếu, tức là mỗi dãy bị chặn trong C có thể trích ra một dãy
con hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này.
4


• Dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ X gọi là hội tụ mạnh tới phần tử
x ∈ X nếu xn − x → 0 khi n → ∞
Mệnh đề 1.1. Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ mạnh tới x ∈ X thì:
(i) Mỗi dãy con {xnk } ⊂ {xn } cũng hội tụ tới x;
(ii) Mỗi dãy { xn − ξ } là bị chặn, với ξ ∈ X.
• Dãy {xn } ⊂ X được gọi là đủ (hay Cauchy), nếu với mọi ε > 0, tồn
tại n0 (ε) sao cho xm − xn < ε , với mọi m ≥ n0 (ε) và n ≥ n0 (ε).
Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một phần tử x ∈ X thì
không gian X được gọi là không gian đủ.
Cho X và Y là hai không gian Hilbert. Khi viết A : X → Y có nghĩa
A là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi viết A : X → 2Y nghĩa là A là ánh
xạ đa trị từ X vào Y .
• Cho X và Y là hai không gian Hilbert. Ánh xạ A : X → Y được gọi
là:

(i) liên tục tại x0 ∈ X , nếu với mỗi dãy {xn } ⊆ X sao cho khi xn → x0
thì A(xn ) → A(x0 ) .
(ii) liên tục Lipschitz, nếu tồn tại L ≥ 0 sao cho:
A(x) − A(y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X.

(1.4)

(iii) bị chặn, nếu nó biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập bị
chặn trong Y .
(iv) d-compact, nếu dãy {xn } bị chặn trong X sao cho dãy {A(xn )−xn }
hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk } cũng hội tụ mạnh.
Một ánh xạ xác định trên tập X và lấy giá trị là số (thực hay phức,
tùy theo X là thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X.
•

Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là tuyến tính nếu
5


(i) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ X,
(ii) ϕ(αx) = αϕ(x), ∀α ∈ R, x ∈ X.
•

Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là bị chặn, nếu tồn tại M > 0 sao

cho:
|ϕ(x)| ≤ M x , ∀ x ∈ X.

(1.5)

Giá trị M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức (1.5) được gọi là chuẩn
của ϕ và kí hiệu là ϕ .
Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X được gọi là
không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X, kí hiệu
là X ∗ .
•

Dãy {xn } ⊂ X gọi là hội tụ yếu tới x ∈ X (viết là xn

x) nếu

ϕ, xn → ϕ, x với ϕ ∈ X ∗ .
Mệnh đề 1.2. Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy { xn }
là bị chặn.
•

Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là lồi, nếu:
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀ x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] .

(1.6)

Nếu dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y, thì phiếm hàm ϕ được gọi
là lồi chặt.
Nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ : [0, +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ ( x − y )

(1.7)

với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1], thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi đều và hàm
γ(t) được gọi là môđun lồi của ϕ.

Nếu γ(t) = ct2 , với c là hằng số dương, thì phiếm hàm ϕ được gọi là
lồi mạnh.
•

Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X,

nếu với mỗi dãy {xn } ⊂ X sao cho xn → x0 ta có:
ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞

6

(1.8)


Nếu xn ⊂ X hội tụ yếu tới x0 ∈ X và ϕ(x0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(xn ) thì ϕ
được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ X.
•

Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là khả vi theo hướng h tại một

điểm x ∈ X nếu giới hạn
lim

n→∞

ϕ(x + th) − ϕ(x)
= V (x, h)
h

(1.9)

tồn tại với mọi h ∈ X.
Nếu giới hạn (1.9) tuyến tính liên tục theo h, tức là:
V (x; h) = ϕ (x).h,
thì ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ X và ϕ (x) gọi là đạo hàm
Gâteaux của ϕ tại x.

1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
1.2.1. Phát biểu bài toán
Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng của H
và F : C → H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân
cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.10)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.10) được gọi là tập nghiệm
của bài toán và kí hiệu là V IP (F, C).
Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) có mối quan hệ mật
thiết với một số bài toán khác như là: bài toán quy hoạch lồi, bài toán bù
phi tuyến và bài toán điểm bất động.
• Bài toán quy hoạch lồi
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và f : C → R là một
phiếm hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:
7


Tìm x∗ ∈ C sao cho:

f (x∗ ) = min {f (x)/x ∈ C} .

(1.11)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch lồi và
bất đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.3. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và f : C → R là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi
đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.11) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của
bài toán (1.10), với f (x) = F (x).
• Bài toán bù phi tuyến
Trước khi phát biểu bài toán bù phi tuyến chúng ta cần nhắc lại một
vài khái niệm sau:
Một tập C của không gian Hilbert H được gọi là nón nếu, với mọi
x ∈ C và hằng số λ > 0 ta có λx ∈ C . Một nón được gọi là nón lồi nếu
nó là một tập lồi.
Như vậy, một tập lồi C là một nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất
sau:
(i) λC ⊆ C;
(ii) C + C ⊆ C.
Cho C là một nón lồi trong không gian Hilbert H và H : C → H là
một ánh xạ liên tục. Bài toán bù phi tuyến của ánh xạ đơn trị được phát
biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
F (x∗ ), x∗ = 0,

(1.12)

trong đó F (x∗ ) ∈ C ∗ , với C ∗ là nón đối ngẫu của C được định nghĩa là:
C ∗ = {x ∈ H : x, y ≥ 0, ∀y ∈ C} .

Ta có mệnh đề sau:

8


Mệnh đề 1.4. (xem [11]) Nếu C là một nón lồi đóng trong không gian
Hilbert H thì bài toán (1.12) tương đương với bài toán (1.10).
• Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài toán tìm điểm bất động của ánh
xạ đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
x∗ = T (x∗ ).

(1.13)

Trong trường hợp T : X → 2X là một ánh xạ đa trị thì bài toán điểm
bất động được phát biểu:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
x∗ ∈ T (x∗ ).
Tập hợp những điểm x∗ ∈ X thỏa mãn (1.13) được gọi là tập điểm bất
động của T và ký hiệu là F ix(T ).
Ví dụ 1.4. Cho X = R và T (x) = x2 + 5x + 4
Ta có T (−2) = −2. Do đó F ix(T ) = {2}.
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động
với bất đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.5. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ
F xác định bởi
F (x) := x − T (x), ∀x ∈ C

thì bài toán điểm bất động (1.13) tương đương với bài toán bất đẳng thức
biến phân cổ điển (1.10).

9


1.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân
Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.10) phụ
thuộc vào ánh xạ F và miền ràng buộc C. Định lý sau cho ta biết điều
kiện tồn tại nghiệm của bài toán (1.10) trong không gian Hilbert.
Định lý 1.5. (xem [11]) Cho C là một tập lồi, compact của không gian
Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó, tồn tại
x∗ ∈ C sao cho:
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Giả sử rằng, C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
H. Kí hiệu

R=

{u : u ≤ R} là hình cầu đóng tâm O ∈ H, bán kính

R. Khi đó, CR = C ∩

R

là một tập lồi compact. Theo Định lý 1.5, ta

có:
xR ∈ CR : F (xR ), x − xR ≥ 0, ∀x ∈ CR .
Định lý tiếp theo sau đây là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm

của bài toán (1.10).
Định lý 1.6. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng và khác rỗng của
không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trên
C. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân
x∗ ∈ C : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
là tồn tại R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân
xR ∈ CR : F (xR ), x − xR ≥ 0, ∀x ∈ CR
thỏa mãn điều kiện xR < R.
Hệ quả 1.7. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng và khác rỗng của
không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C và
thỏa mãn điều kiện:
10


∃x0 ∈ C : lim

x →∞

F (x) − F (x0 ), x − x0
= +∞, ∀x ∈ C.
x − x0

Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Thông thường nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không
phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất
của nghiệm. Ta giả sử rằng x và x là hai nghiệm khác nhau của bài toán
(1.10). Khi đó ta có:

x ∈ C : F (x ), x − x ≥ 0, ∀x ∈ C,
và
x ∈ C : F (x ), x − x

≥ 0, ∀x ∈ C.

Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x thì
F (x ), x − x ≥ 0
và trong bất đẳng thức thứ hai ta chọn x = x thì
F (x ), x − x

≥ 0.

Cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức trên, ta được:
F (x ) − F (x ), x − x

≤ 0.

Do đó điều kiện đủ để bài toán (1.10) có nghiệm duy nhất là:
F (x ) − F (x ), x − x

> 0, ∀x , x ∈ C, x = x .

(1.14)

Điều kiện (1.14) kéo theo tính duy nhất cho nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân (1.10). Điều kiện đó được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.

11

1.2.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân
Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng
thức biến phân cổ điển trong không gian Hilbert. Trong phần này chúng
ta sẽ trình bày một số phương pháp để tìm nghiệm cho bài toán đó. Trước
hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.(xem [1])
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác
rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H.
• Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y), x − y ≥ 0.

(1.15)

Nếu dấu "=" xảy ra khi x = y thì ánh xạ F được gọi là đơn điệu chặt.
Nếu với mọi x, y ∈ C, ánh xạ F thỏa mãn:
F (y), x − y ≥ 0 kéo theo F (x), x − y ≥ 0,
thì ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C.
• Ánh xạ F được gọi là a - đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một
hằng số a > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y), x − y ≥ a x − y

2

.

(1.16)

• Ánh xạ F được gọi là α - ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại
một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

F (x) − F (y), x − y ≥ α F (x) − F (y)

2

.

(1.17)

• Ánh xạ F được gọi là L - liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một
hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
F (x) − F (y) ≤ L x − y .
Nếu L < 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ co trên C.

12

(1.18)


Nếu L = 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn trên C, tức là
ánh xạ F thỏa mãn:
F (x) − F (y) ≤ x − y ,

(1.19)

với mọi x, y ∈ C.
Như vậy, ánh xạ co và ánh xạ không giãn là các trường hợp riêng của
ánh xạ liên tục Lipschitz, do đó là các ánh xạ liên tục. Và dễ dàng thấy
rằng, nếu ánh xạ F là ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là một ánh xạ
đơn điệu và liên tục Lipschitz.
• Ánh xạ F được gọi là λ - giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C, tồn tại

một hằng số 0 ≤ λ < 1 sao cho
F (x) − F (y)

2

≤ x−y

2

(I − F )(x) − (I − F )(y)

+λ

2

, (1.20)

ở đây, I là ánh xạ đồng nhất trên H.
Khi λ = 0 thì F là ánh xạ không giãn, tức là ánh xạ 0 - giả co chặt là
ánh xạ không giãn.
Như vậy, lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn và
lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng của lớp ánh xạ co.
Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến
phân cổ điển (1.10) trong không gian Hilbert.
• Phương pháp điểm bất động
Với mỗi x ∈ H sẽ tồn tại duy nhất một điểm thuộc y ∈ C sao cho
x−y ≤ x−η

(1.21)

với mọi η ∈ C. Phần tử y thỏa mãn (1.21) được gọi là hình chiếu của x
lên C và kí hiệu là y = PC (x).
Chú ý rằng PC (x) = x, với mọi x ∈ C và ánh xạ PC : H → C được gọi
là phép chiếu mêtric từ H vào C. Ta có bổ đề sau.

13


Bổ đề 1.1. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H. Với mỗi x ∈ H và y ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức
y − x, η − y ≥ 0 ∀η ∈ C

(1.22)

khi và chỉ khi y = PC (x).
Từ Bổ đề 1.1 suy ra
x − PC (x), PC (x) − η ≥ 0 ∀x ∈ H, η ∈ C
và
x−η

2

≥ x − PC (x)

2

+ η − PC (x)

2

∀x ∈ H, η ∈ C.

Bổ đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.10) và bài toán
điểm bất động.
Bổ đề 1.2. (xem [13]) x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ
điển (1.10) nếu và chỉ nếu thỏa mãn
x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ ))

(1.23)

ở đây λ > 0 là một hằng số.
Từ Bổ đề 1.2 dễ dàng thấy rằng, sử dụng phép chiếu mêtric đã thiết
lập được sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán
điểm bất động. Dựa vào kết quả này, năm 1967 Lions J. L. và Stampacchia
G. [13] đã đề xuất: "Phương pháp điểm bất động", để xác định nghiệm
cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10). Với phương pháp này dãy lặp
được xác định như sau:
x0 ∈ C,

xn+1 = PC (xn − λF (xn )),

n = 0, 1, 2, · · ·

(1.24)

Ở đây họ đã chứng minh được dãy lặp {xn } xác định bởi (1.24) hội tụ
mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.10).
Năm 2011, Bnouhachem A. và các cộng sự (xem [2]) cũng đề xuất một
phương pháp để tìm nghiệm cho bài toán (1.10). Họ xây dựng dãy lặp xác
định như sau:

x0 ∈ C,

xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )),
14

n = 0, 1, 2, · · ·

(1.25)


và chứng minh được dãy lặp (1.25) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗
của bài toán (1.10).
Cần lưu ý ở đây, các dãy lặp (1.24) và (1.25) hội tụ mạnh tới nghiệm
duy nhất x∗ của bài toán (1.10) với điều kiện ánh xạ F đơn điệu mạnh
và liên tục Lipschitz.
• Phương pháp đạo hàm tăng cường (Extragradient)
Như đã biết, phương pháp điểm bất động chỉ hội tụ khi ánh xạ F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Để khắc phục việc này, người ta đã
áp dụng mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường, được đề xuất bởi
Korpelevich G. M. [12], để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển (1.10) và đã chứng minh được rằng phương pháp này hội tụ khi ánh
xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giả đơn điệu (xem [19], [20]).
Với phương pháp này dãy lặp được xác định theo công thức sau:
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λF (xn )),
xn+1 = PC (xn − λF (yn )),

(1.26)
n = 0, 1, 2, · · ·

trong đó λ ∈ (0; 1/L), với L là hằng số liên tục Lipschitz. Họ đã chứng
minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi
(1.26) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.10).
Năm 2006, cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường, Nadezhkina N.
và Takahashi W. [18] đã đề xuất một phương pháp mới để tìm nghiệm
chung cho bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán điểm bất động
của một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Kết quả đó được
trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.8. (xem [18]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H, F : C → H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lipschitz trên C. Giả sử T : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho
F ix(T )

V I(F, C) = ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn }
15


xác định bởi:
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λn F (xn )),

(1.27)

xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )),

n = 0, 1, 2, · · ·

trong đó, λn ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1/L) và {αn } ⊂ [c, d], với c, d ∈ (0, 1).
Khi đó, các dãy lặp {xn } và {yn } hội tụ yếu tới x∗ ∈ F ix(T )

V I(F, C),

với
x∗ = lim PF ix(T )
n→∞

V I(F,C) (xn ).

Cùng với kết quả của Nadezhkina N. và Takahashi W., năm 2006 Zeng
L. C. và Yao J. C. [30] cũng có một kết quả khác. Kết quả đó được trình
bày trong định lý sau.
Định lý 1.9. (xem [30]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H. Giả sử F : C → H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên
tục Lipschitz trên C. T : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho
F ix(T )

V I(F, C) = ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn } và {yn }

xác định bởi:
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λn F (xn )),

(1.28)

xn+1 = αn x0 + (1 − αn )T PC (xn − λn F (yn )), n = 0, 1, 2, · · ·
trong đó các dãy số {λn } và {αn } thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)
(ii)

{λn L} ⊂ (0, 1 − δ) với δ ∈ (0, 1);
{αn } ⊂ (0, 1),

∞
n=0 αn

= ∞ và limn→∞ αn = 0.

Khi đó, các dãy {xn } và {yn } hội tụ mạnh tới phần tử PF ix(T )

V I(F,C) (x0 ),

với điều kiện
lim xn − xn+1 = 0.

n→∞

• Phương pháp nguyên lý bài toán phụ
Phương pháp nguyên lý bài toán phụ được Cohen G. [8] giới thiệu lần
đầu tiên vào năm 1980 khi nghiên cứu các bài toán tối ưu. Năm 1988,
16


Cohen G. [9] vận dụng phương pháp nguyên lý bài toán phụ để xác định
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó
trước hết chúng ta trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ tổng
quát.
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và J
là một phiếm hàm lồi trên H.
Giả thiết Λ
Ta nói rằng phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ nếu với mọi dãy
{uk }k∈N ⊂ C sao cho uk → +∞ thì J(uk ) → +∞.

Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ nếu C là một tập bị
chặn. Ta kí hiệu J (u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm J tại u. Ta
xét bài toán tối ưu sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho
J(u∗ ) = min J(u)
u∈C

(1.29)

ở đây, J là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.29) được trình bày trong Bổ đề sau:
Bổ đề 1.3. (xem [8]) Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ thì bài toán
(1.29) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗ . Hơn nữa, nghiệm u∗ là duy nhất nếu
J đơn điệu mạnh.
Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux. Với mỗi
v ∈ C và > 0 xác định một phiếm hàm sau:
G : u → ϕ(u) +

J (v) − ϕ (v), u .

(1.30)

Khi đó, G (v) = J (v). Do đó, nếu v ∈ C là nghiệm của bài toán (1.29)
thì v là nghiệm của bài toán:
min{ϕ(u) +
u∈C

J (v) − ϕ (v), u }.

Từ đó dẫn đến thuật toán sau:

Cho { n }n∈N là một dãy số thực dương.

17

(1.31)


Thuật toán cơ bản.
(i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý
(ii) Tại bước k = n, biết

n

0

và u0 ∈ C;

và un , giải bài toán phụ sau:

min{ϕ(u) +

nJ

u∈C

(un ) − ϕ (un ), u }.

(1.32)

Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.32).

(iii) Dừng, nếu un+1 − un nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Sự tồn tại nghiệm của các bài toán (1.29) và (1.32) được trình bày
trong định lý sau:
Định lý 1.10. (xem [8]) Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ;
(ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J là một ánh xạ
L-liên tục Lipschitz trên C;
(iii) ϕ là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ là ánh xạ b-đơn
điệu mạnh và B-liên tục Lipschitz trên C.
Khi đó, bài toán (1.29) tồn tại nghiệm u∗ và bài toán (1.32) có duy nhất
nghiệm un+1 , với mọi n ∈ N.
Giả sử, nếu

n

thỏa mãn điều kiện
α<

n

<

2b
,
L+β

với α, β > 0

(1.33)

thì dãy {J(un )} giảm nghiêm ngặt (trừ khi un = u∗ , ∀n ∈ N) và hội tụ
tới J(u∗ ). Hơn thế nữa, mọi điểm tụ yếu của dãy {un } là nghiệm của bài
toán (1.29).
Nếu giả thiết thêm rằng
(iv) J là một ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C,
thì dãy {un } hội tụ mạnh tới u∗ và u∗ là nghiệm duy nhất của bài toán
(1.29). Và ta có:
un+1 − u∗ ≤

1
a

B
n

18

+L

un+1 − un .

(1.34)


Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10), Cohen G.
[9] đã tiến hành như sau:
Lấy tùy ý u0 ∈ C và

0

> 0, xét bài toán phụ:

min{ϕ(u) +
u∈C

0 F (u0 )

− ϕ (u0 ), u }.

(1.35)

Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.35).
Thay u0 và

0

bởi u1 và

1

để tìm u2 . Tiếp tục quá trình đó dẫn đến

thuật toán sau:
• Thuật toán
(i) Tại bước n = 0, bắt đầu với u0 và

0;

(ii) Tại bước thứ n, giải bài toán phụ:

min{ϕ(u) +
u∈C

n F (un )

− ϕ (un ), u };

(1.36)

Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.36).
(iii) Dừng, nếu un+1 − un nhỏ hơn một sai số cho trước, nếu không
đạt mức độ đó ta thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Chú ý 1.1. Tại mỗi bước lặp của thuật toán trên, un là nghiệm duy nhất
của bất đẳng thức biến phân:
Fn (un ), u − un ≥ 0 ∀u ∈ C,
ở đây, Fn là xấp xỉ của F , với
Fn (u) =

n F (un )

+ ϕ (u) − ϕ (un ) ∀u ∈ C.

Ta có định lý sau:
Định lý 1.11. (xem [9]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng khác rỗng của H. Giả sử rằng ánh xạ F : C −→ H thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) F là ánh xạ liên tục trên C;
(ii) F là ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C.
Khi đó, bài toán (1.10) có duy nhất nghiệm u∗ . Nếu giả thiết thêm rằng:
19