GIAO AN DAY THEM TOAN 8

Chuyên đề bồi dưỡng lớp 8

Buæi 1 : «n tËp Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
I.Lý thuyÕt:
1. (A+B)2 = A2 +2AB + B2
2. (A-B)2= A2- 2AB + B2
3. A2- B2 = ( A+B) ( A-B)
4. (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A-B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3+ B3= (A+B)( A2- AB + B2)
7. A3- B3= (A-B)( A2+ AB + B2)
II.Bµi tËp:
Bµi tËp1:
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 1 - 3.12.x + 3.1.x2 - x3 = (1 - x)3 = A
Víi x = 6 ⇒A = (1 - 6)3 = (-5)3 = -125.
b) 8 - 12x +6x2 - x3 = 23 - 3.22.x + 3.2.x2 - x3 = (2 - x)3 = B
Víi x = 12
⇒ B = (2 - 12)3 = (-10)3 = - 1000.
Bµi tËp 16.(sgk/11)
a/ x2 +2x+1 = (x+1)2
b/ 9x2 + y2+6xy
= (3x)2 +2.3x.y +y2 = (3x+y)2
c/ x2 - x+
=(x-

1
1
1
= x2 - 2. x + ( ) 2
4
2

2

1 2
)
2

Bµi tËp 18.(sgk/11)
a/ x2 +6xy +9y2 = (x2 +3y)2
b/ x2- 10xy +25y2 = (x-5y)2.
Bµi 21 Sgk-12:
a) 9x2 - 6x + 1
= (3x)2 - 2. 3x . 1 + 12
= (3x - 1)2.
b) (2x + 3y)2 + 2. (2x + 3y) + 1
= [(2x + 3y) + 1] 2
= (2x + 3y + 1)2.
Bµi 23 Sgk-12:
a) VP = (a - b)2 + 4ab
= a2 - 2ab + b2 + 4ab
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 = VT.
b) VP = (a + b)2 - 4ab


Chuyờn bi dng lp 8

= a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2
= (a - b)2 = VT.
Bài 33 (Sgk-16):

a) (2 + xy)2 = 22 + 2.2. xy + (xy)2
= 4 + 4xy + x2y2.
b) (5 - 3x)2 = 52 - 2.5.3x + (3x)2
= 25 - 30x + 9x2.
c) (5 - x2) (5 + x2)
= 52 - ( x 2 )
= 25 - x4.

2

a) Có: (x - 3)2 0 với x
(x - 3)2 + 1 1 với x hay
x2 - 6x + 10 > 0 với x.
b) 4x - x2 - 5
= - (x2 - 4x + 5)
= - (x2 - 2. x. 2 + 4 + 1)
= - [(x - 2)2 + 1]
Có (x - 2)2 với x
- [(x - 2)2 + 1] < 0 với mọi x.
hay 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x.
Buổi 2: ôn tập đờng trung bình của tam giác
của hình thang
I.Lý thuyết:
1.Định lí:Đờng trung bình của tam giác
Định lí1:Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác
và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ
ba.
Định nghĩa:Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác.
II.Bài tập:

HS vẽ hình


Chuyờn bi dng lp 8
C

B
1

1

2

D

A

- Ta chứng minh BC//AD
- Chỉ ra hai góc so le trong bằng nhau
Ta có BCD cân => B1 = D1
ả =D
ả => B
à =D
ả => BC//AD
Mà D
1
2
1
2
Vậy ABCD là hình thang

HS vẽ hình
D

B

2
1

A

C

ABC vuông cân tại A=> Cà1 =450
BCD vuông cân tại B=> Cả 2 =450
=> Cà =900 , mà ậ=900 =>AB//CD
=> ABDC là hình thang vuông
Nhóm khác nhận xét
Bài tập 24:(sgk/80)
. Kẻ AP, CK, BQ
20
vuông góc với xy. 12
Hình thang ACQB
có: AC = CB;
CK // AP // BQ
nên PK = KQ.
CK là trung bình của hình thang APQB.
-

B

C

A

x

P

Q

K

CK =
=

1
(AP + BQ)
2

1
(12 + 20) = 16(cm)
2


Chuyờn bi dng lp 8

Bài 21(sgk/80)
ABC (B = 900).
Phân giác AD của góc A.
GT M, N , I lần lợt là trung

điểm của AD ; AC ; DC.
a) Tứ giác BMNI là hình gì ?
KL b) Nếu  = 580 thì các góc
của tứ giác BMNI bằng
bao nhiêu ?
Giải:
a) + Tứ giác BMNI là hình thang cân vì:
+ Theo hình vẽ ta có: MN là đờng trung bình của tam giác
ADC MN // DC hay MN // BI (vì B, I, D, C thẳng hàng).
BMNI là hình thang .
+ ABC (B = 900) ; BN là trung tuyến BN =

AC
2

(1).

ADC có MI là đờng trung bình (vì AM = MD ; DI = IC) MI =
AC
2

(2).

(1) (2) có BN = MI (=

AC
).
2

BMNI là hình thang cân. (hình thang có 2 đờng chéo bằng

nhau).
b) ABD (B = 900) có BAD =

580
2

= 290. ADB = 900 - 290 =

610.
MBD = 610 (vì BMD cân tại M).
Do đó NID = MBD = 610 (theo đ/n ht cân).
BMN = MNI = 1800 - 610 = 1190.
Buổi 3 : ôn tập về Những hằng đẳng thức đáng nhớ
I.Lý thuyết:
1. (A+B)2 = A2 +2AB + B2
2. (A-B)2= A2- 2AB + B2


Chuyờn bi dng lp 8

3. A2- B2 = ( A+B) ( A-B)
4. (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A-B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3+ B3= (A+B)( A2- AB + B2)
7. A3- B3= (A-B)( A2+ AB + B2)
* áp dụng:(skg/13)
3

2

1

1 1
3
2 1
x = x 3 x . + 3.x.
3
3
3 3
1)Tính:a)
1
1
= x3 x2 + x
3
27

3

7 (2x - 2y)3 = x3 - 3. x2. 2y + 3. x (2y)2 - (2y)3 = x3 - 6x2y +
b)
12xy2 - 8y3
II.Bài tập:
Bài tập31:(sgk/14)
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 1 - 3.12.x + 3.1.x2 - x3 = (1 - x)3 = A
Với x = 6 A = (1 - 6)3 = (-5)3 = -125.
b) 8 - 12x +6x2 - x3 = 23 - 3.22.x + 3.2.x2 - x3 = (2 - x)3 = B
Với x = 12
B = (2 - 12)3 = (-10)3 = - 1000.
Bài 43(sgk/17):Rút gọn biểu thức
a/ (a + b)2 - (a - b)2 = [(a + b) + (a - b)] [(a + b) - (a - b)] = 2a

(2b) = 4ab
b/ (a + b)3 - (a - b)3 - 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) - 2b3 = 6a2b
Bài 36 (sgk/17):
a/ x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 với x = 98
(98 + 2)2 = 1002 = 10000
b/ x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3với x = 99 (99 + 1)3 = 1003 =
1000000
B1.Khai triển HĐT
Đại diện các nhóm lên bảng
a.(2x2 + 3y)3
= 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3.
3



b. x 3 =
1
2



1 3 9 2
27
x - x +
x - 27.
8
4
2

c.27x3 + 1 = (3x)3 + 13
= (3x + 1) (9x2 - 3x + 1)
d. 8x3 - y3
= (2x)3 - y3


Chuyờn bi dng lp 8

= (2x - y) [(2x)2 + 2xy + y2]
= (2x - y) (4x2 + 2xy + y2).
Các nhóm khác nhận xét
2. Chứng minh đẳng thức
-HS trả lời

- Một HS đứng tại chỗ biến đổi
VP = .= VT
HS theo dõi GV phân tích để đa ra kết quả .
HS tính : a+ b+ c =
x-y+ y-z + z-x = 0
Vậy: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=
3(x-y)(y-z)(z-x)
Buổi 4 : ôn tập Hình bình hành - Hình chữ nhật
I.Lý thuyết:
*Định nghĩa:
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
*Định lí:
+Trong hình bình hành:
a.Các cạnh đối bằng nhau.
b.Các góc đối bằng nhau.
c.Hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng.

*Định nghĩa hình chữ nhật:
0
à à à à
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. A=B=C=D=90
Tính chất hình chữ nhật:
Trong hình chữ nhật, hai đờng chéo bằng nhau và cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đờng.
II.Bài tập:
Bài 47(sgk/93):
A

B
1

H

K


Chuyờn bi dng lp 8

1
D
GT
KL

C
ABCD là hình bình hành
AH DB, CK DB
OH = OK

a) AHCK là hình bình hành.
b) A; O : C thẳng hàng

Chứng minh:
a)Theo đầu bài ta có:
AH DB
CK DB
AH // CK (1)
Xét AHD và CKB có :
H = K = 900
AD = CB ( tính chất hình bình hành)
D1 = B1 (so le trong của AD // BC)
AHD = CKB (cạnh huyền góc nhọn)
AH = CK ( Hai cạnh tơng ứng) (2)
Từ (1), (2) AHCK là hình bình hành.
b)- O là trung điểm của HK mà AHCK là hình bình hành
( Theo chứng minh câu a).
O cũng là trung điểm của đờng chéo AC (theo tính chất
hình bình hành)
A; O ;C thẳng hàng.
Bài 48(sgk/93):
GT Tứ giác ABCD
AE = EB ;
BF = FC
CG = GD ;
DH = HA
KL Tứ giác E FGH
là hình gì ?
Vì sao?

Chun đề bồi dưỡng lớp 8

Chøng minh:
Theo ®µu bµi:
H ; E ; F ; G lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AD; AB; CB ; CD ⇒ ®o¹n
th¼ng HE lµ ®êng trung b×nh cđa ∆ ADB.
§o¹n th¼ng FG lµ ®êng trung b×nh cđa
∆ DBC.
1
DB
2
1
GF // DB vµ GF = DB
2

⇒ HE // DB vµ HE =

⇒ HE // GF ( // DB ) vµ HE = GF
(=

DB
)
2

⇒ Tø gi¸c FEHG lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi 64(sgk/100):
Cho h×nh
thang
GT ABCD C¸c tia

c¸cgãc
A,B,C,D
c¾t nhau
nh h×nh vÏ.
KL
CMR:
Chøng
minh:
Tứ giác EFGH có 3 góc vuông nên là HCN
EFGH là HBH (EF //= AC)
AC ⊥ BD , EF // AC
=>EF ⊥ BD, EH // BD =>EF ⊥ EH
Vậy EFGH là HCN
Bài 63(sgk/100):
Ve õthêm
BH ⊥ DC ( H ∈ DC )

=>Tứ giác ABHD
là HCN
=>AB = DH = 10 cm
=>CH = DC - DH
= 15 - 10 = 5 cm Vậy x = 12
Bi 5 : «n tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư


Chuyờn bi dng lp 8

Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành
nhân tử?
Trả lời: Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến

đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và
đa thức khác.
Câu hỏi 2: Trong các cách biến đổi đa thức sau đây,
cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Tại sao
những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa
thức thành nhân tử?
2x2 + 5x 3 = x(2x + 5) 3
(1)



3
x

2x2 + 5x 3 = x 2 x + 5

(2)

5
3

2x2 + 5x 3 = 2 x 2 + x

(3)

2x2 + 5x 3 = (2x 1)(x + 3)

(4)

2

2

1
2

2x2 + 5x 3 = 2 x (x + 3)
(5)
Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa
thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là
phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức cha đợc
biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa
thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân
tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đợ biến đổi
thành một tích của một đơn thức và một biểu thức
không phải là đa thức.
Câu hỏi : Những phơng pháp nào thờng dùng để phân
tích đa thức thành nhân tử?
Trả lời: Ba phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức
thành nhân tử là: Phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng hằng đẳng thức và phơng pháp nhóm
nhiều hạng tử.

1. PHơNG PHáP ĐặT NHâN Tử CHUNG
Câu hỏi : Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử
chung là gì? Phơng pháp này dựa trên tính chất nào của
phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn

giản cho phơng pháp này hay không?


Chuyờn bi dng lp 8

Trả lời: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử
chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành một tích của
nhân tử chung đó với một đa thức khác.
Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng các đa thức.
Một công thức đơn giản cho pp này là: AB + AC = A(B +
C)
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x2 + 12xy ;
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) ; c) 14x 2(3y 2) +
35x(3y 2) +28y(2 3y)
Trả lời:
a) 3x2 + 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y)
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1) (5x 2)
c) 14x2(3y 2) + 35x(3y 2) +28y(2 3y) = 14x2(3y2) +
35x(3y2) 28y(3y 2)
= (3y 2) (14x2 + 35x 28y).
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 5x - 20y ; b, 5x( x - 1 ) - 3x( x - 1 ) ; c, x( x + y ) - 5x 5y.
Trả lời:
a, 5x - 20y = 5 ( x - 4y ) ;
b, 5x ( x - 1 ) - 3x ( x - 1 ) = x
(x-1)(5-2)
= 3x ( x - 1 )

c, x ( x + y ) - 5x - 5y = x( x+ y ) - ( 5x + 5y )
= x( x + y ) - 5 ( x + y ).
=(x+y)(x-5)
Bài3
Tình giá trị của các biểu thức sau:
a, x2 + xy + x tại x = 77 và y = 22 ;
b, x( x - y ) +y( y - x ) tại x = 53 và x = 3;
Trả lời:
a, x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ) = 77 ( 77 + 22 + 1 ) = 77 .
100 = 7700.
b,x( x - y ) +y ( y - x ) = x ( x - y ) - y( x - y )
=(x-y)(x-y)
= ( x - y )2


Chuyờn bi dng lp 8

Thay x = 53 , y = 3 ta có ( x - y )2 = ( 53 - 3 )2 = 2500
Bài 4
Chứng minh rằng: n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) luôn chia hết
cho 6 với mọi số nguyên n
Bài giải.
Ta có
n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) = n ( n + 1 )( n + 2 ) M6
vớ mọi n Z. (Vì đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp V)
Bài tập tự giải:
Bài 1.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung
a, 3x ( x - a ) + 4a ( a - x ) .
b, 2x ( x + 1 ) - x - 1
c, x2 ( y2 + z ) + y3 + yz

d, 3x2 ( x + 1 ) - 5x ( x + 1 )2 + 4 ( x + 1 )
Bài 1.2 . Đánh dấu x vào câu trả lời đúng nhất
Khi rút gọn biểu thức: ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 ) - x ( x - 1 )( x
+1)
Các bạn Tuấn, Bình, Hơng thực hiện nh sau:
Tuấn: ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 ) - x ( x - 1 )( x + 1 )
= x3 - 1 - x ( x2 - 1 ) = x3 - 1 - x3 + x = x - 1 .
Bình: ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 ) - x ( x - 1 )( x + 1 )
= x3 + x2 + x - x2 - x - 1 - ( x2 - x ) ( x + 1 )
= x3 - 1 - ( x3 + x2 -x2 - x ) = x3 - 1 - x3 + x = x - 1
Hơng: ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 ) - x ( x - 1 )( x + 1 )
2
= ( x - 1 ) x + x + 1 x ( x + 1 )
= ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 - x2 - x )
=(x-1).1=x-1
Bạn nào thực hiện đúng:

A.

Tuấn

C.

H-

ơng
B.
Bình
D. B Cả
ba bạn

2 . PHơNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC
Câu hỏi: Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng
đẳng thức là gì?


Chuyờn bi dng lp 8

Trả lời: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào
đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn
đa thức này thành một tích các đa thức
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 4x + 4 ;
b) 8x3 + 27y3 ;
c) 9x2 (x y)2
Trả lời:
a)
x2 4x + 4 = (x 2)2
b)
8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 (2x)(3y)
+ (3y)2]
= (2x + 3y) (4x2 6xy + 9y2)
c)
9x2 (x y)2 = (3x)2 (x y)2 = [ 3x (x y)] [3x + (x y)]
= (3x x + y) (3x + x y) = (2x + y) (4x y)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 9x2 + 6xy + y2 ; b, 4x2 - 25 ; c, x6 - y6 ; d, ( 3x + 1 )2 (x +1 )2
trả lời:
a, 9x2 + 6xy + y2 = ( 3x )2 + 2 . 3x. y + y2
= ( 3x + y )2

b, 4x2 - 25 = (2x )2 - 52 = ( 2x - 5 )( 2x + 5 ).
c, x6 - y6 = ( x2 )3 - ( y2 )3 = ( x2 - y2 ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
= ( x + y) ( x - y ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
Bài 3
Tìm x, biết:
a, x3 - 0,25x = 0 ; b, x2 - 10x = - 25.
Trả lời:
a, x3 - 0,25x = 0 x ( x2 - 0,25 ) = 0 x ( x - 0,5)( x +
0,5 ) = 0
x=0
Hoặc x - 0,5 = 0 x = 0,5.
Hoặc x + 0,5 = 0 x = 0,5.
b, x2 - 10x = - 25 x2 - 10 x + 25 = 0
( x - 5 )2 = 0.
x=5.
Bài tập tự giải:


Chun đề bồi dưỡng lớp 8

Bµi 1.2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư b»ng c¸ch dïng h»ng
®¼ng thøc:
a, x2 + x + y2 + y + 2xy
b, - x2 + 5x + 2xy - 5y - y2
c, x2 - y2 + 2x + 1
d, x2 + 2xz - y2 + 2ty + z2 - t2

Bi 6 : «n tËp H×nh thoi - H×nh vu«ng
I.Lý thut:
*§Þnh nghÜa h×nh thoi.

+H×nh thoi lµ tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau.
*§Þnh lÝ h×nh thoi.
+Trong h×nh thoi.
-Hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
- Hai ®êng chÐo lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa c¸c gãc cđa h×nh
thoi.
*§Þnh nghÜa h×nh vu«ng.
+H×nh vu«ng lµ tø gi¸c cã bèn gãc vu«ng vµ cã bèn c¹nh b»ng
nhau.
II.Bµi tËp:
Bài tập 84 (sgk/109):
A
a) Tứ giác AEDF
F
là HBH
E
(theo đònh nghóa)
B
C
b) Khi D là giao điểm Dcủa tia phân giác  với cạnh BC,
thì AEDF là hình thoi.
c) ∆ABC vuông tại A thì: hình bình hành AEDF là hình chữ
nhật.
Bài 87(sgk/110):
a) Tập hợp các HCN là tập hợp con của tập hợp các
HBH, Hình thang.
b) Tập
hợp
µ = 900hình thoi là tập hợp con của tập hợp
Δ ABC

cã các
A
các
HBH,
Hình thang.
MB
= MC
c) Giao
GT
M vµcủa
E ®/xtập
quahợp các HCN và tập hợp các Hình thoi
là tập hợp các hình vuông.
D
Bài
DA89
= (sgk/110):
DB
a.CMR:E ®/x víi
qua AB.
b.AEMC vµ
AEBM lµ h×nh
g×?
KL c.BC = 4cm ;
CAEBM = ?


Chuyờn bi dng lp 8

a.Tacó:DM = DE (gt) (1) mặt khắc DM là đờng trung bình của

ABC nên DM//AC mà AC AB DM AB (2)
Từ (1) và (2) C E và M đ/x nhau qua AB.
b.Tứ giác AEMC là h.b.h vì;
DM =

1
AC ; DM // AC (CM câu a)
2

EM = AC ; EM //AC (vì EM = 2DM)

Vậy AEMC là h.b.h.
*AEBM là hình thoi vì.
AB và EM cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng và AB EM.
c.Chu vi của tứ giác AEBM là:
C = 4 . BM = 4 .

BC
2

C = 2. BC = 8 cm
0
ã
d.Để AEBM là hình vuông thì AMB=90
AM BC mặt khác AM là trung tuyến.Vậy ABC phải là
hình vuông cân tại A
Học sinh vẽ hình
- HS trình bày :
Ta có PQ là đờng trung bình của BED => PQ = BD/2
Tơng tự : MN = BD/2 ; NP = CE/2; MQ = CE/2 mà BD = CE =>

PQ = MN = NP = MQ => MNPQ là hình thoi.
b. QPN = BAC ( Góc có cạnh tơng ứng song song )
Gọi MP cắt AB tại R
=> ARM = QPM ( đồng vị )
MNPQ là hình thoi => PM là phân giác=> QPM = QPN/2
=> ARM = QPM= QPN/2= BAC/2
Mặt khác AF là phân giác => BAF = BAC/2
Vậy ARM= BAF => AF//MR => MP//AF.


Chuyờn bi dng lp 8

c. MNPQ là hình thoi => NQ MP
nhng AF//MP=>NQAF tức IKAF
AIK có AF là đờng cao, là phân giác =>AIK là tam giác cân.

Buổi 7 : ôn tập phân tích đa thức thành nhân tử
1. PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.
Câu hỏi : Nội dung của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
là gì?
Trả lời: Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách
thích hợp để có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng
đợc hằng đẳng thức đáng nhớ .
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
x2 2xy + 5x 10y ; b) x (2x 3y) 6y2 + 4xy ; c) 8x3 +
4x2 y3 y2
Trả lời:
a) x2 2xy + 5x 10y = (x2 2xy) + (5x 10y) = x(x 2y)
+ 5(x 2y)

= (x 2y) (x + 5)
b)
x (2x 3y) 6y2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy 6y2) = x(2x
3y) + 2y(2x 3y) =
= (2x 3y) (x + 2y)
3
2
3
c) 8x + 4x y y2 = (8x3 y3) + (4x2 y2) = (2x)3 y3 +
(2x)2 y2
= (2x y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + (2x y) (2x + y)
= (2x y)(4x2+ 2xy + y2) + (2x y) (2x +y)
= (2x y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,5x - 5y + ax - ay ;
b, a3 - a2x - ay + xy ;
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz;
Trả lời:
a,5x - 5y + ax - ay = (5x - 5y ) + ( ax - ay)
= 5( x - y ) + a ( x - y ).


Chuyờn bi dng lp 8

= ( x - y ) ( 5 + a );
b, a3 - a2x - ay + xy = (a 3 - a2x ) - ( ay - xy ) = a 2 ( a - x ) y(a-x)
=(a-x)
2
(a - 1 )

= ( a - x )(
a+1)(a-1)
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz
= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) +
xyz
= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz
= xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z )
= ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ).
Bài tập tự giải:
Bài 1. 3 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng
cách nhóm hạng tử:
a, x4 - x3 - x + 1.
b, x2y + xy2 - x - y
c, ax2 + ay - bx2 - by
d, 8xy3 - 5xyz - 24y2 + 15z
2. PHâN TíCH BằNG CáCH PHốI HợP NHIềU PH ơNG
PHáP
Câu hỏi : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử,
chỉ đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể dùng
phối hợp các phơng pháp đó?
Trả lời: Có thể và nên dùng phối hợp các phơng pháp đã
biết
Bài 1 :
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) a3 a2b ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y a3b3y
Trả lời: :
a) a3 a2b ab2 + b3 = a2 (a b) b2 (a b) = (a b) (a2
b2)
= (a b)(a b)(a + b) = (a b)2(a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)

(c2 4c + 16)
c) 27x3y a3b3y = y(27 a3b3) = y([33 (ab)3]


Chuyờn bi dng lp 8

= y(3 ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 ab) (9 + 3ab +
a2b2)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x3 - x + 3x2 y + 3x y2 +y3 - y ;
b, 5 x2 - 10 xy + 5y2 - 20 z2
Trả lời:
a, x3 - x + 3x2 y + 3x y2 +y3 - y = ( x3 + 3x2 y + 3x y2
+y3 ) - ( x + y )
= ( x + y )3 - ( x + y )
= ( x + y ) ( x + y ) 1
=(x+y)(x+y-1)(x+y+
2

1)
b, 5 x2 - 10 xy + 5y2 - 20 z2 = 5 ( x2 - 2xy + y2 - 4z2 )
2
2
= 5 ( x 2xy + y

)

4z 2

= 5 ( x y ) 4z = 5 ( x - y - 2z ) ( x - y + 2z )
3. PHơNG PHáP TáCH HạNG Tử, THêM BớT CùNG MộT
HạNG Tử
Câu hỏi : Ngoài 3 phơng pháp thờng dùng nêu trên, có phơng pháp nào khác cũng đợc dùng để phân tích đa thức
thành nhân tử không?
Trả lời: Còn có các phơng pháp khác nh: phơng pháp tách
một hạng tử thành nhiều hạng tử, phơng pháp thêm bớt
cùng một hạng tử.
Bài 1 : Phân tích thành nhân tử
a) 2x2 3x + 1 ;
b) y4 + 64
Lời giải :
a)
2x2 3x + 1 = 2x2 2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1) = (x
1) (2x 1)
b)
y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 16y2 = (y2 + 8)2 (4y)2
= (y2 + 8 4y) (y2 + 8 + 4y)
Bài 2 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x2 + 5x - 6 ; b, 2x2 + 3x - 5
Trả lời:
2

2


Chuyờn bi dng lp 8

a, x2 + 5x - 6 = x2 - x + 6x - 6

= ( x2 - x ) + ( 6x - 6 )
=x(x-1)+6(x-1)
=(x-1)(x+6)
2
b, 2x + 3x - 5 = 2x 2 - 2x + 5x - 5 = ( 2x 2 - 2x ) + ( 5x 5)
= 2x ( x - 1 ) + 5 ( x - 1 )
= ( x - 1 ) ( 2x + 5 )
Bài 3
Tìm x, biết:
a, 5x ( x - 1 ) = x - 1 ; b,
2 ( x + 5 ) - x 2 - 5x = 0
Trả lời:
a, 5x ( x - 1 ) = x - 1 5x ( x - 1 ) - ( x - 1 ) = 0
( x - 1 ) ( 5x - 1 ) = 0
(x-1)=0 x=1
Hoặc ( 5x - 1 ) = 0 x = 1/5.
Bài tập tự giải:
Bài 5.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách
thêm bớt cùng một hạng tử
a, x8 + x4 + 1
b, x 8 + 3x4 + 4
4 . VậN DụNG PHâN TíCH ĐA THứC THàNH NHâN Tử
Để LàM CáC DạNG TOáN
Câu hỏi: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể
có ích cho việc giải một số loại toán nào?
Trả lời: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có
ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa
thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2(x + 3) x(x + 3) = 0 ; b) x3 + 27 + (x + 3) (x 9) =

0 ; c) x2 + 5x = 6
Trả lời:
a) Vì 2 (x + 3) x(x + 3) = (x + 3) (2 x) nên phơng
trình đã cho trở thành
(x + 3)(2 x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2 x = 0, tức là x =
3 ; x = 2
phơng trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 3


Chuyờn bi dng lp 8

b) Ta có x3 + 27 + (x + 3)(x 9) = (x + 3)(x2 3x + 9) + (x
+ 3)(x 9)
= (x + 3)(x2 3x + 9 + x 9) = (x + 3)(x2 2x) = x(x + 3)(x
2)
Do đó phơng trình đã trở thành x (x + 3)(x 2) = 0. Vì
vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x 2 = 0 tức là phơng trình có 3
nghiệm: x = 0 ; x = 3 ; x = 2
c)
Phơng trình đã cho chuyển đợc thành x2 + 5x 6 = 0.
Vì x2 + 5x 6 =
x2 x + 6x 6 = x(x 1) + 6(x 1) = (x 1)(X + 6) nên phơng trình đã cho trở thành (x 1)(x + 6) = 0. Do đó x 1
= 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = 6
Bài 2 : Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách
phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) ;
b) (x2 5x + 6) : (x
3) ; c) (x3 + x2 + 4):(x +2) Trả lời:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 +
1) nên

(x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) =
x2 + 1
b) Vì x2 5x + 6 = x2 3x 2x + 6 = x(x 3) 2(x 3) = (x
3)(x 2) nên
(x2 5x + 6) : (x 3) = (x 3)(x 2) : (x 3) = x 2
c) Ta có x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 x2 + 4 = x2 (x + 2) (x2 4)
= x2 (x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2)(x2 x + 2)
Do đó (x3 + x2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x 2 x + 2) : (x + 2)
= x2 x + 2
Bài 3 : Rút gọn các phân thức
a)

( x y (2 x 3)
y 2 xy

;

2 x 2 + xy y 2
b) 2
2 x 3 xy + y 2

;

2 x 2 3x + 1
c) 2
x + x2

Trả lời:
a)

( x y (2 x 3) ( x y )(2 x 3) ( x y )(2 x 3) 2 x 3 3 2 x
=
=
=
=
y ( y x)
y( x y)
y
y
y 2 xy

2
2
2 x 2 + xy y 2
2 x + 2 xy xy y
2 x ( x + y ) y ( x + y ) ( x + y )( 2 x y ) ( x + y )
=
=
=
b) 2
2 =
2
2
2 x ( x y ) y ( x y ) ( x y )( 2 x y ) ( x y )
2 x 3 xy + y
2 x 2 xy xy + y
2
2 x 2 3 x + 1 2 x 2 x x + 1 2 x( x 1) ( x 1) ( x 1)(2 x 1) 2 x 1
=
=

=
c) 2
= 2
.
x+2
x x + 2 x 2 x( x 1) + 2( x 1) ( x 1)( x + 2)
x + x2


Chuyờn bi dng lp 8

BàI TậP NâNG CAO.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 6x2 + 11x + 6
b, Hớng dẫn giải:
x3 + 6x2 + 11x + 6 = x3 + x2 + 5x2 + 5x + 6x + 6
= ( x3 + x2) + ( 5x2 + 5x ) + ( 6x + 6 )
= x2 ( x + 1 ) 5x ( x + 1 ) + 6 ( x + 1 )
= ( x + 1 ) ( x2+ 5x + 6 )
= ( x + 1 ) ( x2 + 2x + 3x + 6 )
2
= ( x + 1 ) ( x + 2x

)

+

(

3x + 6 )

= ( x + 1 ) x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )
=(x+1)(x+2)(x+3)
Bài tập học sinh tự giải
Bài 2: Tìm x biết:
a, x3 - 5x2 + 8x - 4 = 0;
b, (x2 + x ) ( x2 + x + 1 ) = 6
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 6x2 + 13x - 42.

Buổi 8 : Ôn tập các phép toán về phân thức đại số
I- Nhắc lại các kiến thức cơ bản
1. Đ/N hai phân thức bằng nhau
2. TC cơ bản của phân thức
3. Rút gọn phân thức
*Các bớc qui đồng mẫu thức nhiều phân thức:


Chuyờn bi dng lp 8

+Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm nh
sau.
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức
chung.
- Tìm nhân tử phụ của mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng
ứng.
II. Bài tập
Bài11(sgk/40):
12 x 3 y 2 6 xy 2 .2 x 2 2 x 2

=
=
.a
18 xy 5 6 xy 2 .3 y 3 3 y 3
3

15 x( x + 5)
5 x( x + 5).3( x + 5) 2
=
.b
20 x 2 ( x + 5)
5 x.( x + 5).4 x

3( x + 5) 2
=
4x

Bài112(sgk/40):
3 x 2 12 + 12 3( x 2 4 x + 4)
=
=
x4 8x
x ( x 3 8)
3( x 2 4 x + 4)
= x x3 2 3
( )

7 x 2 + 14 x + 7 7( x 2 + 2 x + 1)
=
.b

3x 2 + 3x
3x ( x + 1)
2
7( x + 1)
7( x + 1)
=
=
3 x( x + 1)
3x

3( x 2) 2
3( x 2)
=
=
2
x( x 2)( x + 2 + 4) x ( x 2 + 2 x + 4)

Bài 10(SBT):
:CM đẳng thức sau
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2
=
:a. Ta có vế trái bằng
2 x 2 + xy y 2
2x y
y ( x 2 + 2 xy + y 2 )
y( x + y) 2
=
2 x 2 + xy y 2
2 x 2 + 2 xy xy y 2

=

y ( x + y)2
yx + y 2
=
= VP PCMĐ<=
( x + y )(2 x y ) 2 x y

Bài19(sgk/43):Qui đồng mẫu thức.
b. x2 +1 vaứ
MTC = x2-1

x4
x2 1


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 8
( x 2 + 1)( x 2 − 1)
=
x +1 =
x2 −1
x3
;
c. 3
x − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 y 2
2

x4 −1
x4
; 2

x2 −1
x −1
x
− xy

MTC = y(x - y)3
*

x3
x3
=
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 ( x − y )3

x3 . y
x3 y
=
( x − y )3 . y y ( x − y )3
x
x
−x
* 2
=
=
y − xy y ( y − x) y ( x − y )
=

− x( x − y ) 2
− x( x − y ) 2
=
y ( x − y )( x − y ) 2

y ( x − y )3

=

Bµi25 (sgk/47):
a)

5
3
x
+
+ 3
2
2
2 x y 5 xy
y

25 y 2 + 6 xy + 10 x 3
10 x 2 y 3
3x + 5
25 − x
3x + 5
25 − x
c) 2
+
=
+
x − 5 x 25 − 5 x x( x − 5) 5(5 − x )
3x + 5
x − 25 5(3 x + 5) + x( x − 25)

=
+
=
x( x − 5) 5( x − 5)
5 x( x − 5)
=

=

15 x + 25 + x 2 − 25 x x 2 − 10 x + 25
=
5 x( x − 5)
5 x( x − 5)

( x − 5) 2
x−5
=
=
5 x( x − 5)
5x

Bµi26(sgk/47):
Thêi gian xóc 5000cm3®Çu tiªn lµ:
5000
(ngµy).PhÇn viÖc cßn l¹i lµ:
x

11600 - 5000 = 6600 (m3)
N¨ng suÊt lµm viÖc ë phÇn viÖc cßn l¹i lµ: x + 25 ( m3/ngµy)
Thêi gian lµm nèt phÇn viÖc cßn l¹i lµ:

6600
(ngµy).
x+25

Thêi gian lµm viÖc ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc:
Ta cã:

500 6600
+
(ngµy)
x x+25


Chuyờn bi dng lp 8
5000 6600 5000(x+25)+6600x
+
=
x
x+25
x(x+25)
11600x+125000
=
x(x+25)
5000 6600
+
Với x = 250 biểu thức
có gia trị bằng
x
x+25
5000 6600

+
= 44 (ngày)
250 250+25

Buổi 9 : Ôn tập các phép toán về phân thức đại số
I.Lý thuyết:
*Quy tắc phép nhân các phân thức đạisố
+Muốn nhân hai phân thức,ta nhân các tử thức với nhau,các
mẫu thức với nhau.
A C A.C
= =
B D B.D

*Quy tắc phép chia các phân thức đại số.
A
C
A
cho phân thức khác 0,ta nhân
B
D
B
C
với phân thức nghịch đảo của
D
A C A D
C
: = . , với 0.
B D B C
D

+ Muốn chia phân thức

II.Bài tập:
Bài39(sgk/52):
a.
=

5x+10 4-2x 5 ( x+2 ) .2 ( 2-x )
.
=
4x-8 x+2
4 ( x-2 ) ( x+2 )
5 ( 2-x ) -5 ( x-2 ) 5
=
=2 ( x-2 ) 2 ( x-2 )
2

x 2 -36 3 ( x+6 ) ( x-6 ) .3
.
=
b.
2x+10 6-x 2 ( x+5 ) ( 6-x )

=

-3 ( x+6 ) ( 6-x ) 3(x+6)
=2 ( x+5 ) ( 6-x )
2(x+5)

4y 2 3x 2 4y 2 3x 2

3y
.
=c. 4 . ữ=4
11x 8y 11x 8y
22x 2

Bài43(sgk/54):
b. ( x 2 -25) :

2x+10 x 2 -25 2x+10
=
:
=
3x-7
1
3x-7


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 8
x 2 -25 3x-7 ( x-5 ) ( x+5 ) . ( 3x-7 )
.
=
1 2x+10
2(x+5)
=

( x-5) ( 3x-7 )

2
x +x

3x+3
x 2 +x
5x-5
:
= 2
.
c. 2
5x -10x+5 5x-5 5x -10x+5 3x+3
x ( x+1) .5 ( x-1)
x
=
=
2
5 ( x-1) .3 ( x+1) 3 ( x-1)
2

Bµi40(sgk/52):
*¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi.
x-1  2
x3 
.  x +x+1+
÷
x 
x-1 
=

( x-1) ( x 2 +x+1) ( x-1) .x 3
+
x
x ( x-1)

x 3 -1 x 3 x 3 -1+x 3 2x 3 -1
+ =
=
=
x
x
x
x

*Kh«ng ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi.
x-1  2
x3 
.  x +x+1+
÷
x 
x-1 

2
x-1  ( x +x+1) ( x-1) x 3 

÷
.
+
=
x 
x-1
x-1 ÷



3
3
3
x-1 x -1+x 2x -1
=
= .
x
x-1
x

Bµi 34(Sgk-50):
4 x + 13

x − 48

4 x + 13

x − 48

a) 5 x( x − 7) − 5 x(7 − x)
5 x − 35

= 5 x ( x − 7) + 5 x ( x − 7) = 5 x ( x − 7)
5( x − 7)

1

= 5 x ( x − 7) = x .
1
25 x − 15

−
2
x − 5x
25 x 2 − 1
1
25 x − 15
= x(1 − 5 x) + 1 − 25 x 2
1
25 x − 15
= x(1 − 5 x) + (1 − 5 x)(1 + 5 x)

b)


Chuyờn bi dng lp 8
1 + 5 x + 25 x 2 15 x
=
x (1 5 x)(1 + 5 x)

=

(1 5 x ) 2
x(1 5 x)(1 + 5 x )

=

1 5x
.
x(1 + 5 x )

+ HS làm bài tập, 4 HS lên bảng trình bày.
1) =

18 y 3 .15 x 2
6
= 2
4
3
25 x .9 y
5x

3) =

(2 x) 2
9( x + 2)

x 1

2) = 6.( x 5)
4) = 1.

Bài 43(Sgk-54):

5 x 10
: ( 2 x 4)
x2 + 7
5( x 2)
1
5
= x 2 + 7 . 2( x 2) = 3( x + 1)

a)

x2 + x
3x + 3
:
2
5 x 10 x + 5 5 x 5
x ( x + 1) 5( x 1)
x
= 5( x 1) 2 . 3( x + 1) = 3( x + 1)

c)

Bài 44(Sgk-54):
x2 + 2x
x2 4
.Q = 2
x 1
x x
2
x 4 x2 + 2x
:
Q= 2
x x x 1
x2
Q= 2
x

Buổi 10 : Ôn tập Đa giác. Đa giác đều

Diện tích hình chữ nhật
*HS1: + Phát biểu ba tính chất của diện tích đa giác.
+ Chữa bài 12 (c,d) (Sbt-127).
Bài 12:
c) Chiều dài và chiều rộng đều tăng 4 lần thì diện tích tăng
16 lần.
a' = 4a
;
b' = 4b
S' = a'. b' = 4a. 4b = 16 ab = 16 S