Các bài toán về tiếp tuyến

Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
" Biết phải mà cho là sai đó là sai. Biết sai mà cho là sai đó là phải". (Lão Tử)
Viết PTTT tại điểm thuộc đồ thị
1. Cho hàm số
1
2
2 xy x +=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Cho hàm số
1 1
3 2
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;
6
B C

ữ

.
3. Cho hàm số
= +
3
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm (0;2). (ĐH DL Đông Đô B00)
4. Viết PTTT của đồ thị hàm số
2
( 2)( 1) xy x = +

tại các điểm có hoành độ bằng -2 và 1. (ĐH BK83-84)
5. Cho hàm số
= +
3
3 1y x x
, có đồ thị (C). Cho điểm A(x
0
;y
0
) thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A, tìm hoành độ B theo x
0
(ĐH Thơng Mại-00)
6. Cho hàm số
=
2
(3 )y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm uốn. (ĐH Thái NguyênG00)
7. Cho hàm số
3 2
2 3 12 1y x x x= + - -
, có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01)
8. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= - +
. Viết PTTT tại giao điểm của (C) với trục hoành. (CĐ Y Tế Nam Định 01)
9. Cho
2
(3 )y x x= -

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm uốn của nó và tìm toạ độ các giao điểm của
tiếp tuyến này với tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực đại và điểm cực tiểu của nó. (ĐH Thăng Long D01)
10. Cho hàm số
4 2
2y x x= - +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm
A( 2;0).
(ĐH Thái Nguyên D01)
11. Cho
=
4 2
2 3y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. (ĐH Đà Nẵng97)
12. Cho
= + +
2
2 1y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
13. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành.
14. Cho hàm số
2

1
2
x x
y
x
+ -
=
+
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm
0
1x =
. (CĐSP Cần Thơ A01)
15. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;
2
A C

ữ

.
16. Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
3
1;
2
R C

ữ

.
17. Viết PTTT của đồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x

=
+
tại các giao điểm của đồ thị với trục hoành. (ĐH BK76)
18. Cho hàm số
2
2
2
1
x
x x
y
x
+ +
=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. (ĐHTH83-84)
19. Cho hàm số
+
=
+
2
1
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
20. Cho hàm số
= +
3 2
1y x mx m

. Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi
giá trị của m. (ĐH AN A00)
21. Cho hàm số
3 2
3y x x mx= + +
, có đồ thị
(C )
m
. Viết PTTT của
(C )
m
tại điểm uốn của nó. CMR tiếp
tuyến đó đi qua điểm M(1;0) khi và chỉ khi m=4. (ĐH Thăng Long A01)
22. Cho hàm số
= +
3
3 3 2y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
. CMR tiếp tuyến với
(C )
m
tại điểm uốn luôn đi qua
một điểm cố định.
" Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc". Ngạn ngữ Gioócđani
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
" Giá trị đích thực của một ngời là ở nhân cách chứ không ở của cải". (Balaxkiơ)

23. Cho hàm số
3 2
3y x x mx= + +
, có đồ thị
( )
C
m
. Viết PTTT của
( )
C
m
tại điểm uốn. Chứng minh rằng
tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0) khi và chỉ khi m = 4.
24. Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + + ; giả sử rằng a > 0. Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số trên thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
(Với trờng hợp a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ có hệ số góc lớn nhất).
25. Cho hàm số
1
3
1
3
y x x= +
, có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất. (HV QHQT 0102)
26. Cho hàm số
= + +
3 2
3 3 1y x x x

, có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số
góc lớn nhất.
27. Cho hàm số
3 2
3 9 5y x x x= + +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
28. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
, có đồ thị (C).
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
b. Chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất. (ĐHDL Duy Tân 0102)
29. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 2y mx mx m x= + +
, trong đó m là tham số thực. (Viện ĐH Mở Hà Nội 0102)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
b. Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn.
c. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
30. Cho hàm số
= +
3 2
2 3 1y x x
, có đồ thị (C). Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá
trị nhỏ nhất. (ĐH Ngoại Ngữ CB00)
31. Cho hàm số
3 2

2 3 2 1y x mx m= + +
, trong đó m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
b. Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.
c. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2). (ĐH Ngoại ngữ 0001)
32. Cho hàm số
1
3 2
2 3
3
y x x x= +
, có đồ thị (C). viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn và
chứng minh rằng (d) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (ĐH B04)
33. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C)
a. Viết PTTT của (C) tại điểm
M(1;0)
.
b. CMR tiếp tuyến tại M có hệ só góc lớn nhất so với mọi tiếp tuyến khác của (C). (ĐH Nông Nghiệp I-97)
34. Cho hàm số
= + +
4 2
2 2 1y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
.

a. CMR
(C )
m
luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
b. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. (ĐH Huế 98)
35. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C);
a. Giả sử A là điểm trên (C) có hoành độ a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A.
b. Xác định a để (d) đi qua điểm M(1;0). Chứng tỏ rằng có hai giá trị của a thoả mãn điều kiện của bài toán và
hai tiếp tuyến tơng ứng là vuông góc với nhau.
36. Cho hai hàm số
1
2x
y =
và
2
2
x
y =
. Viết PTTT với các đồ thị của hai hàm số tại các giao điểm của
chúng. Tìm góc tạo thành giữa hai tiếp tuyến trên.

" Cơ sở của bất kỳ một nền giáo dục nào cũng là lòng tin vào thầy giáo".
D. I. Men-đê-lê-ep.
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
" Học tập là một nghĩa vụ". V.I. Lê-Nin
37. Cho
2 3
2
x
y
x
-
=
-
, có đồ thị (C). Tìm các điểm có toạ độ nguyên của (C) và viết PTTT tại các điểm đó.
(ĐH
CSNDII 01)
38. Cho
4
1
1
y x
x
= + +
-
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm
0
2x =
. (CĐ BC Marketing A01)

39. Cho
2
1
x x
y
x
- +
=
+
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) và Ox. (CĐSP KonTum05)
40. Cho hàm số
+
=

2
2
2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tọa độ tại
hai điểm A, B và tam giác OAB vuông cân tại O.
41. Cho hàm số
=
+
1
1
y x
x
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các cặp điểm trên (C) mà các tiếp tuyến tại đó song

song với nhau. (ĐH Huế A00)
42. Cho hàm số
= + +

1
1
1
y x
x
, có đồ thị (C). Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp
tuyến tại điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. (ĐH QGHNA00)
43. Cho hàm số
+
=

2
2 3
2
x x m
y
x
, có đồ thị
(C )
m
. Gọi A là giao điểm của
(C )
m
và trục Oy. Viết PTTT của
(C )
m

tại điểm A. (ĐH GTVT-96)
44. Cho hàm số
+ +
=
+
2
2
1
x mx m
y
x
, có đồ thị
(C )
m
. Xác định m để
(C )
m
cắt Ox tại hai điểm phân biệt mà
tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. (ĐH Y93).
45. Cho hàm số
+
=

2
8x mx
y
x m
. Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại
hai điểm đó vuông góc với nhau. (ĐH CSND G00)
46. Cho hàm số

2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
+ -
=
+
, có đồ thị (C). CMR tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi. (HV QY-2001)
47. Cho hàm số
+
=
3
1x
y
x
, có đồ thị (C). Tìm tất cả PTTT của (C) biết mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng
với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích bằng
1
2
. (ĐH KTQD A00)
"Dẫu có bạc vàng vài trăm lạng
Chẳng bằng kinh sử một vài pho"
Lê Quý Đôn
Viết PTTT biết nó đi qua điểm
0 0 0
( ; )M x y
1. Cho hàm số

3
3 1y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
2
; 1
3
M

ữ

và
(0;6)N
.
2. Cho hàm số
= +
3
3 1y x x
. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm

ữ

-2
A ;3 .
3
(ĐH SP Quy Nhơn-D99)
3. Cho
= +
3 2
2 3 1y x x
, có đồ thị (C). Qua điểm A(0;-1) viết các PTTT với (C). (ĐH DL Đông Đô-A00)

4. Cho hàm số
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
( )
2; 4N
.
5. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(-1;2). (ĐH DL Phơng Đông D01)
" Sách là ngời bạn tốt nhất của tuổi già đồng thời là ngời chỉ dẫn tốt nhất của tuổi trẻ". X Mai-ơ
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
"Việc quan trọng nhất cho cuộc đời là việc lựa chọn nghề nghiệp của mình". Pascal
16. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(0;3)? Viết PTTT đó.
(ĐH DL Kĩ Thuật Công Nghệ-
D2001)
8. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) từ điểm M(1;0). (ĐH AN D,G00)
23. Cho hàm số
3
3 2 (C)y x x= - + -

. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm A(-2;0). (CĐSP Hà Nam-05)
6. Cho hàm số
3
2 5y x x= + +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
( )
1; 4P
.
25. Cho
3 2
2 3 5y x x= + -
, có đồ thị (C). CMR từ điểm A(1;-4) có ba tiếp tuyến với (C). (PV BCTT-01)
21. Cho
3 2
3 4y x x= - +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(2;0). (CĐSP Mẫu Giáo TW3-04)
22. Cho hàm số
3 2
3 4x x+ +
. Viết PTTT của (C) đi qua điểm A(0;-1). (CĐ Kinh Tế Kĩ ThuậtI-A04)
7. Cho hàm số
=
3
3 4y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó đi qua M(1;3). (ĐH Tây Nguyên
A,B00)
9. Cho hàm số
2
1
3

2 3 2 1y x x x= +
, có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M đi qua gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01-02)
28. Cho hàm số
( )
3 2 2
3 3 1y x mx m x m= + +
, m là tham số.
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6).
18. Cho hàm số
3 2
2 3 5y x x= +
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng từ điểm
( )
1; 4A
có ba tiếp tuyến với
(C). 19. Cho hàm số
1
4 2
2 1
2
y x x= +
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng qua điểm
( )
0;1M
có ba tiếp tuyến
của đồ thị (C). Viết phơng trình các tiếp tuyến đó.
20. Cho hàm số

3 2
3y x x=
, tìm trên đờng thẳng x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến
đồ thị (C) của hàm số.
21. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
, có đồ thị (C). Tìm các điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một
tiếp tuyến với (C).
22. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Xác định các giao điểm của (C) với trục hoành.
b. Viết PTTT kẻ đến đồ thị (C) từ
23
; 2
9
A

ữ

c
*
. Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
8. Cho
1 3
4 2
3
2 2

y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
( )
3
2
0;T
. (ĐH CSND-A00).
3. Cho hàm số
=
1 1
4 2
2 2
y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) đi qua gốc tọa độ. (ĐH Kiến Trúc HN 99)
7. Cho hàm số
2 5
2
x
x
y


= , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
( )
2;0Q
.
4. Cho
+
=

2

2
x
y
x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(-6;5). (Ngoại Thơng CS2-D99)
24. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
-
, có đồ thị (C). Xác định a để từ điểm A(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho
hai tiếp tuyến tơng ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. (ĐHSP TP.HCM-A01)
_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức
Nguyễn Đức Thụy *** *** *** Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao
điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị đó.

1. Cho hàm số
+
=

2
4 5
2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết (C) của (C) biết nó đi qua điểm A(1;1). (ĐH Đà Lạt
D99)
2. Cho hàm số
+ +
=
+
2
2 2
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). CMR có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;0) và vuông góc với
nhau. (Dợc HN 99)
20. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y

x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). CMR không có tiếp
tuyến nào của (C) đi qua I.
13. Cho hàm số
2
3 6
1
x x
y
x
- +
=
-
, có đồ thị (C). Từ gốc toạ độ có thể vẽ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Tìm
toạ độ các tiếp điểm (nếu có). (ĐH Thái Nguyên A,B01)
14. Cho hàm số
2
1x x
y
x
- +
=
. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(2;-1). (CĐSP Bà Rịa
Vũng Tàu A01)
18. Cho
2
1

1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C).
19. Cho hàm số
1
y x
x
= +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm M(-1;7)
27. Cho hàm số
1
2
1
y x
x
= + +
+
, có đồ thị (C).
a. CMR với mọi 2a -ạ và 1a -ạ từ điểm A(a;0) luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C).
b. Với giá trị nào của a thì hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau. (CĐSP Quảng Bình 05)
10. Cho hàm số
+
=

2

1
x mx m
y
x
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ
thị
(C )
m
kẻ từ O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00)
12. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
lny x x=
đi qua điểm M(2;1). (ĐH XD 01)
26. Cho hàm số
2
x mx m
y
x
- +
=
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ
đến
(C )
m
hai tiếp tuyến khác nhau. (CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long-A,B05)

_______________________________________________________________________________________
Written by Thụy Nguyễn Đức