MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
HỒ SỸ HÙNG- GV TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NGUYỄN THỊ KIM DUYÊN- GV TRƯỜNG HUỲNH THÚC KHÁNG
Có thể khẳng định rằng các bài toán về bất đẳng thức và cực trị luôn là những bài toán khó
và luôn chiếm vị trí quan trọng trong các bài thi . Hiện nay nguồn tài liệu về bất đẳng thức là hết
sức phong phú, đa dạng, tuy nhiên việc xử lí nguồn tài liệu đó một cách có hiệu quả là một điều rất
khó khăn đối với cả giáo viên và học sinh. Trong khuôn khổ của bài viết này chúng tôi muốn trao
đổi với bạn bè đồng nghiệp một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp nhằm đưa
ra một cách nhìn nhiều chiều về các bài toán bất đẳng thức và cực trị.
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Nội dung phương pháp
Phương pháp này chủ yếu sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng
minh về những kết quả đúng đã biết.
2. Ví dụ áp dụng
Để khai thác sâu hơn các bài tập dạng này, chúng ta cần có một số bất đẳng thức công cụ sau:
a) Cho a, b, c là các số thực bất kì, ta có:
a 2  b 2  2ab

2(a 2  b 2 )  a  b

2

ab

  ab
 2 
2

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

3(a 2  b 2  c 2 )  a  b  c 

2

a  b  c2  3(ab  bc  ca)
Các bất đẳng thức trên hết sức đơn giản, tuy nhiên rất nhiều bài toán được xây dựng từ các bất
đẳng thức này. Chẳng hạn chúng ta có các ví dụ sau:
là các số thực không âm thoả mãn x  y  1 . Chứng minh rằng

Ví dụ 1. Cho x, y
x 2 y 2 (x2  y 2 ) 

1
.
32





1
1x y
CM. Ta có x y ( x  y )  xy. 2 xy.( x 2  y 2 )  

2
2 2 
2



2

2

2

2

 2 xy  x 2  y 2 


2



2

1
x  y 6  1 . Dấu  xẩy ra khi x  y  1 .
32
32
2

Ví dụ 2. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn xy  yz  zx  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  5 x 2  16 y 2  27 z 2 .
Lời giải. P  2 x 2  18 z 2  3x 2  12 y 2  4 y 2  9 z 2  12 xz  12 xy  12 yz  12 .

1


x  2 y

1 1

 1 1

 x; y; z   1; ;  hoặc x; y; z     1; ; 
Dấu  xẩy ra khi  x  3z
2 3
 2 3

 xy  yz  zx  1




Ví dụ 3. Tìm số thực T lớn nhất thoả mãn a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  T a  b  c  d  e
mọi a, b, c, d , e là các số thực không âm sao cho a  b  c  d  e .
Lời giải. Đặt
Ta có a 2  b 2 



2

với

ab  cd e  X .

a  b2
2

c  d  e  X 2
X2
; c2  d 2  e2 
3
3
2
2



 a2  b2  c2  d 2  e2 

5X 2

6

5
X.
6

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schatrz ta có:
a  b  2(a  b)  2 X ; c  d  e  3(c  d  e)  3 X
 ( a  b  c  d  e)2 

Từ (1) và (2) suy ra



a 2  b2  c2  d 2  e2
a b c d  e

Vậy giá trị lớn nhất có thể của T là







2

30

6 2 3



2







2

2 3 X

30

6 2 3



2

(2)

.

khi 2a  2b  3c  3d  3e.

Cho a, b, c là các số thực đôi một phân biệt:

b)

+) Đặt S k 

ak
bk
ck


thì: S 0  S1  0;
(a  b)( a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)

S 2  1; S 3  a  b  c; S 4  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca .

+)

1  ab 1  bc 1  bc 1  ca 1  ca 1  ab


 1 .
ab bc
bc ca
ca a b

+)

ab bc bc ca ca ab


 1 .
a b bc bc c a ca a b

+)

ab
bc
ca


 1 .
(b  c)(c  a) (c  a )( a  b) (a  b)(b  c)

Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

1  a 2b 2

a  b 

2



1  b 2c 2

b  c 

2



1  c2a2

c  a 

2



3
.
2

Chứng minh. Ta có
1  ab 1  bc 1  bc 1  ca 1  ca 1  ab

 1  ab   1  bc   1  ca 


1

 
 
 
a b bc bc ca c a a b
 a b   bc   c a 
2

2

2

1  ab 1  bc 1  bc 1  ca 1  ca 1  ab
 1  ab   1  bc   1  ca 


)2

 
 
  2(
a b bc bc c a c a a b
 a b   bc   c a 
2

2

2

2


cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

a

2

 1
1
1  9
 b2  c2 


 .
2
2
2 






a


b
b

c
c

a

 4



Chứng minh. Ta có
ab bc ca
a  b b  c b  c c  a c  a a  b



 
 
  2
2
a b bc ca
a  b b  c b  c c  a c  a a  b
2

2

2



VT 


a2  b2



a2  b2

a  b 

2

b2  c2





b2  c2

b  c 

2

c2  a2

a  b 2 b  c 2 c  a 2





c2  a2

c  a 

2

c2





5
.
2
a2



b2

a  b 2 b  c 2 c  a 2

ab

bc
ca
9
5


 .
2
(b  c)(c  a ) (c  a )( a  b) (a  b)(b  c) 4
2

Vấn đề thảo luận và nghiên cứu: Sử dụng các đẳng thức trên để xây dựng các bất đẳng thức mới.
Bài tập
1. Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực sao cho a  x  b  y  c  z  0 và a  b  c  x  y  z . Chứng
minh ay  bx  ac  xz .
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh
b 
c 
a 
a 2   1  b 2   1  c 2   1  0 .
c 
a 
b 

3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 8x 2  6 y 2  16 z 2  15 xy  14 xz  76 yz  0 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P 

x  2y
.
5 y  6z

II. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
1.Bất đẳng thức giữa đại lượng trung bình cộng và trung bình nhân
(AM- GM)
a) Nội dung bất đẳng thức
Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số thực không âm, ta có

a1  a 2  ...  a n n
 a1 a 2 ...a n
n

Dấu  xẩy ra khi a1  a 2  ...  a n
b) Các hệ quả
Hệ quả 1. Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số thực không âm, ta có
a1n  a2n  ...  ann  na1a2 ...an

Hệ quả 2. Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số thực dương, ta có

3




a1  a 2  ...  a n  1

 a1



1

1
 ... 
a2
an


  n 2 .


c) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a  b  1 .
Chứng minh a 2  b 2 

1 1 9
  .
a b 2

2

a  b
Chứng minh. VT 

2

3

3

a  b2 .
2

a  b   1  1  3
4


ab
2
2(a  b) 2(a  b) a  b
2

1
1
9
.
3 .
2(a  b) 2(a  b)
2
1
2

Dấu  xẩy ra khi a  b  .
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a 3  b 3  c 3  3abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  a 2  b 2  c 2 .
Lời giải.
Tacó
a 3  b 3  c 3  3abc  1  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca)  1  P 
1
P  a  b  c 

abc

2

1
 ab  bc  ca
abc

2



a  b  c   3  P  1 .
3
1
1
P


2
2(a  b  c) 2(a  b  c)
2
2
2



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi chẳng hạn tại a  1; b  c  0 .
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

1

1

.
2
2
abc
a b c
2

Lời giải. Áp dụng BĐT AM- GM ta có
ab  bc  ca  33 a 2 b 2 c 2
1  a  b  c  33 abc  abc 
P

P



1
 ab  bc  ca  33 abc
3

3

abc  9abc

1
9

2

2
ab  bc  ca
a b c
2

1
1
1
7



2
2
ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca
a b c
2

9
7

 30 .
a  b  c  2ab  2bc  2ca a  b  c 2
3
2

2

2

4


1
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại a  b  c  .
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 21ab  2bc  8ca  12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

1 2 3
 
a b c
1
3

4
5

Lời giải. Nét đặc trưng của bài toán này là ở chổ dấu đẳng thức xẩy ra khi a  ; b  ; c 
a



3
. Đặt
2

6
5

4
1
4
3


x; b  y; c  z .  P 
2x 2 y 2z
3
5
2

1
1
1
1
1
1
1 15
1

 ... 

 ... 

 ... 
 15 6 5 4 .
2x 2x
2x 2 y
2 y 2z

2z 2 x y z

Mặt khác ta có
15  7 xy  3 yz  5 zx  xy  ...  xy  yz  ..  yz  zx  ...  zx  1515 x12 y 10 z 8

 x12 y 10 z 8  1  x 6 y 5 z 4  1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

15
1
4
3
khi a  ; b  ; c  .
2
3
5
2

Ví dụ 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x 3  y 3  z 3  3. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P  3( xy  yz  zx)  xyz .
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:
x 3  1  1  3 x  x 3  2  3x .
Tương tự y 3  2  3 y; z 3  2  3z .
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra x  y  z  3 .
Ta có
3  3xyz  x 3  y 3  z 3  3xyz  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx)
 3( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx )
 1  xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx

 P  3( xy  yz  zx)  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1
 ( x  y  z) 2  1  9  1  8

Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 khi x  y  z  1 .
2) Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
a) Nội dung bất đẳng thức
Cho hai dãy số thực a1 , a 2 ,...a n và b1 , b2 ,...bn , ta có

a1b1  a2b2  ...  an bn 2 

a

2
1



 a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2


5


Dấu  xẩy ra khi
Nhân

xét:

a
a1 a 2


 ...  n .
b1 b2
bn

Trong

trường

a1b1  a2 b2  ...  an bn 

a



2
1

hợp

hai



dãy

và

a1 , a 2 ,...a n

 a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2



không

b1 , b2 ,...bn

âm

thì

b) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

1
1
1
.
 3
 3
a (b  c) b (c  a) c (a  b)
3

Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz cho hai dãy
1
1
1
, 3

, 3
a (b  c) b (c  a) c (a  b)
3

a(b  c) , b(c  a) , c(a  b)

ta có

2

1 1 1
   
2

ab  bc  ca 
ab  bc  ca 3
a b c

P



2(ab  bc  ca ) 2(ab  bc  ca )
2
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
Ví dụ 2. Cho

3

khi a  b  c  1 .
2

là các số thực dương thoả mãn

a, b, c

a  b  c  1. Chứng

minh

a2 b2 c2


 3(a 2  b 2  c 2 ) .
b
c
a

Chứng minh. Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có:





2

a2 b2 c2
a2  b2  c2



 2
.
b
c
a a b  b2c  c 2a

a



2

 b2  c2
 3(a 2  b 2  c 2 )
Bây giờ ta chứng minh 2
2
2
a bb cc a
2

 a(a  b) 2  b(b  c) 2  c(c  a) 2  0 là điều cần chứng minh.

Ví dụ 3. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn x 2  y 2  z 2  2 . Chứng minh x  y  z  2  xyz .
Chứng minh. Ta có x  y  z  2  xyz  x(1  yz )  y  z  2 .
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: x(1  yz )  y  z 
Bây giờ ta chứng minh

x

2



x

2



 ( y  z ) 2 1  (1  yz ) 2





 ( y  z ) 2 1  (1  yz ) 2  2

 2(1  yz )(2  2 yz  y 2 z 2 )  4  y 3 z 3  y 2 z 2 .

Điều này hiển nhiên đúng vì 2  y 2  z 2  2 yz .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu x, y, z   1;1 thoả mãn điều kiện x  y  z  xyz  0 thì
x  1  y  1  z  1  3.

Chứng minh.
6


x yz 0

Nếu

thì

áp

dụng

BĐT

Cauchy-

Schwarz

ta

có:

x  1  y  1  z  1  3( x  y  z  3)  3.

Nếu x  y  z  0  xyz  0 . Không mất tổng quát giả sử z  0 . Từ đây suy ra x, y  0;1 . Áp dụng
BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
x  1  y  1  z  1  2x  2 y  4  z  1 .

Ta chứng minh

2x  2 y  4  z  1  3



2( x  y )
2  2x  2 y  4



z
1 z 1



 z ( xy  1)
2  2x  2 y  4



z
1 z 1

 2 xy  2(1  xy ) z  1  2 x  2 y  4

 2 xy  2(1  xy )

(1  x)(1  y)
 1  2x  2 y  4
1  xy

 xy  (1  x)(1  y )(1  xy )  1 

x y
2

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
xy  (1  x)(1  y )(1  xy )  x xy 2  1  x 1  xy  y  xy 2  1  xy  y
 1  1

x y
.
2

thực

dương

thoả

thực

lớn

Bài tập
a, b, c là các số
a
b
c


 1.
1 b  c 1 c  a 1 a  b

1.Cho

2.

Cho

a, b, c

là

các

số

hơn

1

mãn

sao

abc  1 .

cho

Chứng

minh

rằng

1 1 1
   2. Chứng
x y z

minh

x  y  z  x 1  y 1  z 1 .

Vấn đề thảo luận: Nêu các định hướng giúp học sinh phát hiện lời giải khi đứng trước các bài toán
bất đẳng thức, cực trị có sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.
III. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1. Nội dung phương pháp
Trong phương pháp này chúng ta sử dụng một số tính chất hình học sau:
+) Cho 3 điểm A, B, C thì AB  BC  AC . Dấu  xẩy ra khi B nằm trên đoạn AC .
+) Cho n điểm A1 , A2 ,..., An thì A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An
+) Cho n vec tơ u1 , u 2 ,...,u n thì u1  u 2  ...  u n  u1  u 2  ...  u n .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có

x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2 (2.2)
7


Lời giải.
Ta có (2.2)  ( x 



Đặt u   x 



Khi đó: | u |

1 2
3 2
1
3 2
y)  (
y)  ( x  z)2  (
z )  y 2  yz  z 2
2
2
2
2


1
3 
1
3 
y;
y  ; v    x  z;
z
2
2 
2
2




x 2  xy  y 2 ;| v | x 2  xz  z 2

1
1
3
3 
u  v   y  z;
y
z  ;| u  v | y 2  yz  z 2
2 2
2 
2

| u |  | v || u  v | x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng

a 2  2b2
b2  2c 2
c 2  2a 2


 3
ab
bc
ca

Chứng minh.

Ta có

a 2  2b 2
b 2  2c 2
c 2  2a 2
1
2
1 2
1
2


 3
 2  2 2 
 2  3
2
2
ab
bc
ca
b
a
c
b
a
c

1

1 2 

1 2
2
; v   ;
; w   ;

b
a
c
b
a
c







Đặt u   ;

a 2  2b2
b2  2c 2
c 2  2a 2
Khi đó: | u |
;| v |
;| w |
ab
bc
ca
2

1 1 1 2
2
2
1 1 1
uvw   ;


 ;| u  v  w | 3      3
a
b
c
a
b
c
a b c



Vì ab  bc  ca  abc 

1 1 1
  1
a b c

Do đó:

a 2  2b2
b 2  2c 2
c 2  2a 2
| u |  | v |  | w || u  v  w |



 3
ab
bc
ca
Dấu  xẩy ra khi a  b  c  3 .
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( x)  x 2  x  1  x 2  x  1

Lời giải.
Tập xác định D  R
8


2

2
2
1  3
1  3


Ta có f ( x)    x    
  x  

2  2 
2  2 




1 3
1 3
); v  ( x  ; )
2 2
2 2

Đặt u  ( x  ;
Khi đó: | u |

x 2  x  1;| v | x 2  x  1; u  v  (1; 3);| u  v | 2

Do | u |  | v || u  v | f ( x)  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của f (x) là 2 khi x  0 .
IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ
1. Cơ sở phương pháp
+) Mọi số thực a   1;1 đều tồn tại số thực x để a  sin x hoặc a  cos x .
+) Mọi số thực a đều tồn tại số thực x để a  tan x hoặc a  cot x .
+) Mọi số thực x, y thoả mãn x 2  y 2  1 đều tồn tại số thực  để x  sin  ; y  cos .
+) Mọi số thực x, y, z thoả mãn x  y  z  xyz đều tồn tại tam giác ABC sao cho
x  tan A; y  tan B; z  tan C . Nếu x, y, z dương thì tam giác ABC nhọn.
+) Mọi số thực x, y, z thoả mãn xy  yz  zx  1 đều tồn tại tam giác ABC sao cho
x  cot A; y  cot B; z  cot C .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho a,b,c  (0;1) và ab+bc+ca=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 
Lời giải.Đặt a  tan



2

, b  tan


2

a
b
c


2
2
1 a
1 b
1 c2

, c  tan


2


. Do a,b,c  0;1 nên có thể chọn  ,  ,   (0; )
2

Ta có:
ab  bc  ca  1
 tan


2

.tan



 tan

2
    


2

.tan







 tan .tan  1
2
2
2

tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 

  ,  ,  là ba cạnh của một tam giác, suy ra

Khi đó:
2T 

2.tan
1  tan


2 
2



2

2.tan
1  tan

Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có:


2 
2



2

2.tan
1  tan


2  tan   tan   tan 
2



2

tan   tan   tan   3 3

Dấu bằng xẩy ra khi      hay a=b=c.
9


Vậy giá trị nhỏ nhất của T là

3 3
khi a=b=c.
2

Ví dụ 2. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc +a+c=b
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa biểu thức T 

2
2
3
 2

 2
a 1 b 1 c 1
2

Lời giải.
Đặt a  tan  , c  tan  , ta có : b 
  


2

ac
 tan(   ) . Vì a,b,c > 0 nên có thể xem   0,   0 và
1  ac

, khi đó:
2
2
3


2
2
1 a
1 b
1 c2
 2cos2  2 cos2 (   )  3 cos2 

P

 cos2 - cos2(   )  cos2 
 2sin  .sin(2   )  3 - 3sin 2 
2

10
1
1
10


  3sin   sin( 2     cos2 (2   ) 
3
3
3
3




a 



2   
cos(2   )  0



2 , suy ra: b 
Dấu "=" xẩy ra khi 



1

sin   3 sin( 2   )
sin   1

c 
3


10
P là
.
3

2
4
2
. Vậy giá trị lớn nhất của
4
2

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có
ac
1 a2 1 c2



ab

1  a2 1  b2



bc
1 b2 1 c2

.

Chứng minh. Đặt a  tan  ; b  tan  ; c  tan  .
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
sin(   )  sin(   )  sin(    ) .

Nhưng vì sin(   )  sin(       )  sin(   ) cos(   )  sin(   ) cos(   )
 sin(   )  sin(   )  sin(    ) .

Bài tập
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab  bc  ca  1 . Chứng minh

1.
2a
1 a

2



2b
1 b

2



2c
1 c

2



9
.
4

10


2. Chứng minh rằng trong bốn số dương bất kì luôn chọn được hai số a, b sao cho
0

a b
 2 3.
1  a  b  2ab

V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
1. Ý nghĩa của phương pháp.
Sự xuất hiện của đạo hàm đã làm cho việc khảo sát tính đơn điệu của hàm số trở nên đơn giản hơn,
đồng thời đạo hàm cũng giúp cho chúng ta khảo sát cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Thông thường các bài tập về bất đẳng thức, cực trị có sử dụng đạo hàm thường được đặt dưới các

dạng sau:
+) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  f (x) .
+) Cho quan hệ giữa hai đại lượng a, b và yêu cầu chứng minh quan hệ giữa hai đại lượng
f (a), f (b) , với f (x) là hàm số đơn điệu trên miền nào đó.
+) Cho biểu thức điều kiện của các biến x, y, z,... và yêu cầu chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm
cực trị. Đây là dạng bài toán tiêu biểu và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi đại học trong
những năm gần đây. Dạng toán này thường được phân làm các cấp độ như sau:
-

Thế được biến này theo biến kia và khảo sát hàm.

-

Đặt ngay được ẩn phụ và khảo sát hàm

-

Sử dụng một số phép đánh giá về bất đẳng thức (thông thường là các bất đẳng thức cổ điển),
đặt ẩn phụ và khảo sát hàm.
2. Ví dụ áp dụng
b

a

1 
1 


Ví dụ 1. Cho a  b  0 . Chứng minh rằng  2 a  a    2 b  b  .
2 

2 



Chứng minh. Bất đẳng thức đã cho tương đương

1  4   1  4 
a b

b a











ln 1  4 a
ln 1  4 b

.
a
b

Bây giờ nhờ đạo hàm chúng ta chứng minh được hàm số f ( x) 





ln 1  4 x
nghịch biến trên 0; 
x

và với giả thiết của bài toán ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a  b  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
sau:
a) P  ab 

1
ab

b) Q  a 2  b 2 

1 1

a b

Lời giải. Rõ ràng ở câu a) chúng ta có thể đặt ẩn phụ t  ab và chú ý rằng với giả thiết của bài toán
1
4

thì 0  t  .
Khi đó khảo sát hàm f (t )  t 

1

 1
trên  0;  sẽ cho kết quả.
t
 4

11


Đối với câu b) thì ngay lập tức chúng ta chưa tìm thấy ẩn phụ, do đó phải đánh giá như sau:
Q  2ab 

2
ab

1
2

và lại tiếp tục đặt t  ab , với chú ý rằng 0  t  .

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  3
thì 7( xy  yz  zx)  12  9 xyz .
Chứng minh. Đặt f ( x, y, z )  7( xy  yz  zx)  9 xyz  12
Không mất tổng quát ta có thể giả sử x  y  z .
 x2  y2 x2  y2 
;
;z


2
2




Ta chứng minh f ( x, y, z )  f 

Sau đó chứng minh f (t; t; 3  2t 2 )  0 nhờ đạo hàm.
Bài tập
1. Cho hai số x, y thoả mãn: x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x2 – xy + y2.
2. Cho x2 + y2 – xy = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
A = x4 + y4 – x2y2.
3. Cho hai số dương x, y thoả x + y = 1. Tìm GTNN của A 

x
y

.
1 x
1 y

VI. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI
1. Nội dung phương pháp
+) Nếu tồn tại số thực  sao cho af ( )  0 thì tam thức f ( x)  ax2  bx  c có hai nghiệm phân
biệt x1 , x 2 thoả mãn x1    x 2 .
+) Nếu phương trình bậc hai

ax 2  bx  c  0 có nghiệm thì   0 .

+) Nếu tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c có   0 thì af(x)  0 với mọi x  R .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , và các số thực x, y, z . Chứng minh rằng

x 2  y 2  z 2  2 xy cos A  2 yz cos B  2 zx cosC .
Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương x 2  y 2  z 2  (2 xy cos A  2 yz cos B  2 zx cosC )  0
 f ( x)  x 2  2( y cos A  z cosC ) x  y 2  z 2  2 yz cos B  0

Bây giờ chúng ta chỉ ra   0 là điều cần chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a, b là hai số thực thoả mãn a 2  b 2  1 . Chứng minh
ac  bd  12  a 2  b 2  1c 2  d 2  1 với mọi số thực c, d .
Chứng minh.
Nếu a 2  b 2  1 thì ta có ngay điều cần chứng minh.
Nếu a 2  b 2  1 thì xét tam thức bậc hai f ( x)  a 2  b 2  1x 2  2(ac  bd  1) x  c 2  d 2  1

12


Có a 2  b 2  1 f (1)  0 nên theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì tam thức f (x) có
nghiệm hay   0 là điều cần chứng minh.
VII. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Nội dung phương pháp
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên miền K chúng ta tìm điều kiện để
phương trình f ( x)  y có nghiệm trên K .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 

x 2  2x  3
x2  2

x 2  2x  3
Lời giải. Gọi y là một giá trị của biểu thức
x2  2

x 2  2x  3
 y có nghiệm
x2  2

 phương trình

 phương trình ( y  1) x 2  2 x  2 y  3  0 có nghiệm

- Nếu y  1  x 

1
2

- Nếu y  1 thì phương trình có nghiệm khi 1  ( y  1)(2 y  3)  0


1
 y  2.
2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 , giá trị nhỏ nhất là

1
.
2

Ví dụ 2. Cho x, y là các số thực thoả mãn x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức P 

x  y 1

.
2x  y  3

Lời giải. Đặt x  sin  ; y  cos .
Gọi P là một giá trị của biểu thức
 phương trình

sin   cos  1
2 sin   cos  3

sin   cos  1
 P có nghiệm
2 sin   cos  3

 phương trình (2P  1) sin   ( P  1) cos  1  3P có nghiệm
 2P  1  P  1  1  3P 
2

Vậy PMA·X 

2

2

1 2
1 2
.
P
2
2

1 2
1 2
.
; PMIN 
2
2

Ví dụ 3. Cho các số thực x, y thoả mãn x  3 x  1  3 y  2  y .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x  y .

13


Lời giải. Gọi P là một giá trị của biểu thức x  y khi và chỉ khi hệ phương trình
 x  y  P
có nghiệm. Bằng cách đặt ẩn phụ a  x  1; b 

3( x  1  y  2 )  P

PMax  9  3 15 ; Pmin 

y  2 ta có

9  3 21
.
2

* Trên đây là một số phương pháp chung nhất do hai Thầy Cô biên soạn. Các bạn nếu cần
các phương pháp cụ thể hãy liên hệ với chúng tôi.

14