Khai thác một số yếu tố của phép biện chứng duy vật trong dạy học hình học 9 góp phần bồi dưỡng thế giới quan khoa học cho HS

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC CƯỜNG

KHAI THÁC MỘT SỐ YẾU TỐ
CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT TRONG
DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 9 GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC CƯỜNG

KHAI THÁC MỘT SỐ YẾU TỐ
CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT TRONG
DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 9 GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC CHO HỌC SINH
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi cũng
xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, 16 tháng 4 năm 2017
Tác giả Luận văn

Trần Đức Cường

i


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Bùi Thị Hạnh Lâm, người
thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán, Khoa Sau Đại
học, Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các giáo viên tổ Toán, học sinh
khối 9, trường THCS Hoa Hồng Bạch huyện Đông Hưng, tỉnh Thái Bình đã
giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực nghiệm.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm
khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.
Tác giả Luận văn

Trần Đức Cường

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii
MỤC LỤC ......................................................................................................... iii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT........................................................................ iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3
3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu .......................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu.................................................. 3
7. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 5
1.1. Một số vấn đề về cặp phạm trù trong triết học DVBC ................................. 5
1.1.1. Định nghĩa về phạm trù và phạm trù triết học ........................................... 5
1.1.2. Bản chất của phạm trù ............................................................................... 6
1.1.3. Một số cặp phạm trù cơ bản của triết học DVBC ..................................... 7
1.2. Khái quát về TGQKH ................................................................................. 24
1.2.1. Khái quát về thế giới quan ....................................................................... 24
1.2.2. TGQKH ................................................................................................... 25
1.3. Khái quát về mục tiêu của môn Toán ở trường phổ thông ......................... 27
1.3.1. Trang bị tri thức, kỹ năng vận dụng toán học ......................................... 27
1.3.2. Phát triển năng lực trí tuệ ........................................................................ 28

1.3.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học.... 28
1.4. Đặc điểm nhận thức của HS THCS ............................................................ 29
1.4.1. Vài nét về đặc điểm sinh lý lứa tuổi THCS ............................................. 29
1.4.2. Đặc điểm hoạt động học tập của HS THCS ............................................ 29

iii


1.4.3. Sự phát triển trí tuệ của HS THCS .......................................................... 30
1.5. Thực trạng việc bồi dưỡng TGQKH cho HS lớp 9 thông qua dạy Hình học ... 31
1.5.1. Khảo sát thực trạng .................................................................................... 31
1.5.2. Kết quả ..................................................................................................... 32
1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 37
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG THẾ GIỚI
QUAN KHOA HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CẶP
PHẠM TRÙ TRIẾT HỌC DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC LỚP 9 .......................................................................................... 39
2.1. Khai thác, mở rộng, khắc sâu, bồi dưỡng tri thức toán học cho HS .......... 39
2.2. Bồi dưỡng một số thao tác tư duy cơ bản, kỹ năng suy luận lôgic cho HS ...... 54
2.3. Giúp HS biết giải một số bài toán khó qua phép quy lạ về quen; rèn luyện
khả năng đánh giá; cung cấp lịch sử hình thành một số kiến thức trong một số
điều kiện, bối cảnh cụ thể .................................................................................. 64
2.4. Rèn luyện khả năng hoạt động thực tiễn cho HS........................................... 77
2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 87
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................... 88
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 88
3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 88
3.3. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 88
3.4. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................. 89
3.5. Kết quả thực nghiệm................................................................................... 91

3.5.1. Đánh giá định lượng ................................................................................ 91
3.5.2. Đánh giá định tính ................................................................................... 93
3.6. Kết luận chương 3....................................................................................... 94
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 96
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

DVBC

: Duy vật biện chứng

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

TGKQ

: Thế giới khách quan

THCS

: Trung học cơ sở

XHCN

: Xã hội chủ nghĩa

TGQKH

Thế giới quan khoa học

iv


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đảng và Nhà nước ta luôn nhận thức rõ vai trò quan trọng của Giáo dục
và Đào tạo đối với sự nghiệp cách mạng của dân tộc nói chung, sự phát triển
Kinh tế - Xã hội, quốc phòng an ninh của đất nước nói riêng. Trải qua quá trình
lịch sử lãnh đạo đất nước, Đảng, Nhà nước luôn có những quan điểm, chủ
trương cụ thể toàn diện, phù hợp với thực trạng và yêu cầu nhiệm vụ phát triển
đất nước ở từng giai đoạn, tuy nhiên quan điểm xuyên suốt đối với Giáo dục Đào tạo là phát triển toàn diện con người Việt Nam về tri thức, đạo đức, sức
khỏe, thẩm mĩ, chính trị tư tưởng đáp ứng yêu cầu nhiệm vụ xây dựng và bảo
vệ tổ quốc Việt Nam Xã hội chủ nghĩa. Quán triệt sự lãnh đạo của Đảng và
Nhà nước, ngành GD&ĐT luôn cụ thể hóa vào từng nội dung, lĩnh vực, từng
môn học, hoạt động giáo dục đào tạo ở từng bậc học để đảm bảo mục tiêu,
đúng quan điểm lãnh đạo của Đảng và Nhà nước.

Đối với môn Toán ở bậc học phổ thông, mục tiêu khái quát môn học là:
Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học; Phát triển
năng lực trí tuệ; Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động
khoa học; Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Trong mục tiêu về giáo dục chính trị tư tưởng có mục tiêu về Bồi dưỡng
TGQKH (thế giới quan DVBC).
Bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho HS lớp 9 là rất cần thiết bởi:
Xét về thực hiện mục tiêu giáo dục: Việc giáo dục TGQKH cho HS là một
trong những mục tiêu của dạy học môn Toán trong trường phổ thông, tuy nhiên ở
mỗi lớp học, cấp học theo đặc điểm phát triển nhận thức, tâm sinh lý của từng độ
tuổi mà có yêu cầu cao, thấp và sự tường minh ở mức độ khác nhau.

1


Xét về khả năng và đặc điểm nhận thức: Đối với HS lớp 9 cuối cấp
THCS (15-16 tuổi) là giai đoạn phát triển mạnh mẽ về thể chất và nhận thức,
khao khát tìm hiểu những cái mới và thích độc lập hành động để thể hiện cái tôi
(thế giới quan cá nhân) trước tập thể. Vì vậy có thể nói đây là giai đoạn thích
hợp nhất để bắt đầu tăng cường bồi dưỡng TGQKH cho các em.
Về yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực tương lai để xây dựng và bảo vệ tổ
quốc Việt Nam XHCN: Thế hệ HS cuối cấp THCS bắt đầu bước vào tuổi thanh
niên, đây là lực lượng rất quan trọng đối với sự nghiệp cách mạng của dân tộc,
là nguồn lực, là chủ thể tương lai gần của đất nước, của dân tộc. Bồi dưỡng
TGQKH để đảm bảo từng bước biến những tri thức khoa học mà người học
tiếp thu được thành giá trị niềm tin, lý tưởng, lập trường khoa học, cách mạng
hình thành những phẩm chất chính trị, đạo đức, phương pháp tu dưỡng rèn
luyện, hình thành quan điểm sống, học tập, lao động, chiến đấu của HS trong
tương lai đáp ứng yêu cầu sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa, xây dựng
và bảo vệ tổ quốc Việt Nam XHCN.

Hơn nữa, hiện nay toàn ngành giáo dục và đào tạo đang tích cực thực
hiện Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 BCH trung ương khóa XI về Đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, với mục tiêu phát triển toàn diện phẩm chất
và năng lực người học đáp ứng yêu cầu nguồn nhân lực phục vụ công nghiệp
hóa, hiện đại hóa đất nước thì việc bồi dưỡng TGQKH cho HS thông qua các
môn học tiếp tục đặt ra những yêu cầu cao hơn, cụ thể hơn. Tuy nhiên, trong
thực tiễn dạy học môn Toán ở trường THCS đa số GV chưa quan tâm đúng
mức tới việc bồi dưỡng TGQKH cho HS; nhận thức, kỹ năng của GV về bồi
dưỡng TGQKH cho HS thông qua dạy học toán còn rất hạn chế.
Từ những lí do trên đề tài được lựa chọn là: "Khai thác một số yếu tố
của phép biện chứng duy vật trong dạy học hình học 9 góp phần bồi dưỡng
TGQKH cho HS".

2


2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về các cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật,
về nội dung Hình học lớp 9, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng
TGQKH cho HS THCS thông qua dạy Hình học lớp 9.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm và tổ chức dạy học một
cách hợp lí thì có thể hình thành và phát triển TGQKH cho HS, góp phần thực
hiện mục tiêu dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi chỉ tập trung vào bồi dưỡng
cho HS TGQKH thông qua việc giúp cho HS thấy được mối liên hệ giữa 4 cặp
phạm trù (Cái chung - Cái riêng; Nguyên nhân - Kết quả; Nội dung - Hình
thức; Bản chất - Hiện tượng) thông qua dạy học hình học lớp 9.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu về các yếu tố của các cặp phạm trù cơ bản trong triết
học DVBC, TGQKH, đặc điểm nhận thức của học sinh THCS.
5.2. Nghiên cứu thực trạng dạy học Hình học và bồi dưỡng TGQKH cho
HS ở trường THCS.
5.3. Đề xuất một số biện pháp sư phạm để bồi dưỡng TGQKH cho HS.
5.4. Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi của các biện
pháp đề ra.
6. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu
6.1. Đối tượng nghiên cứu: Cách thức khai thác một số cặp phạm trù nhằm bồi
dưỡng TGQKH cho HS THCS thông qua dạy Hình học lớp 9.
6.2. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, sách giáo
khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới
các yếu tố của phép biện chứng duy vật, lí luận dạy học môn Toán, về nội dung
Hình học lớp 9.

3


7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Điều tra, quan sát, dự giờ và phỏng vấn GV, HS để tìm hiểu thực trạng
dạy học Hình học lớp 9 và bồi dưỡng TGQKH cho HS THCS.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả và khả thi
của một số biện pháp sư phạm đã đề xuất.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
gồm 3 chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng TGQKH cho HS thông
qua khai thác các cặp phạm trù triết học DVBC trong dạy Hình học lớp 9”.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

4


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề về cặp phạm trù trong triết học DVBC
1.1.1. Định nghĩa về phạm trù và phạm trù triết học
“Phạm trù là những khái niệm rộng nhất phản ánh những mặt, những
thuộc tính, những mối liên hệ chung, cơ bản nhất của các sự vật và hiện tượng
thuộc một lĩnh vực nhất định” [8, tr.l00].
“Phạm trù triết học là những khái niệm chung nhất, rộng nhất phản ánh
những mặt, những mối liên hệ cơ bản và phổ biến nhất của toàn bộ thế giới
hiện thực bao gồm cả tự nhiên, xã hội và tư duy” [8, tr.l00].
Phạm trù triết học khác phạm trù của các khoa học khác ở chỗ, nó mang
tính quy định về thế giới quan và tính quy định về phương pháp luận. Phạm trù
triết học là công cụ của nhận thức, đánh dấu trình độ nhận thức của con người.
Các phạm trù của phép biện chứng duy vật như "vật chất", "ý thức", "vận
động", "đứng im", "mâu thuẫn", "số lượng", "chất lượng", "nguyên nhân", "kết
quả", v.v... là những khái niệm chung nhất phản ánh những mặt, những thuộc
tính, những mối liên hệ cơ bản và phổ biến nhất không phải chỉ của một lĩnh
vực nhất định nào đó của hiện thực, mà của toàn bộ thế giới hiện thực, bao gồm
cả tự nhiên, xã hội và tư duy. Mọi sự vật, hiện tượng đều có nguyên nhân xuất
hiện, đều có quá trình vận động, biến đổi, đều có mâu thuẫn, có nội dung và
hình thức, v.v... Nghĩa là đều có những mặt, những thuộc tính, những mối liên

hệ được phản ánh trong các phạm trù của phép biện chứng duy vật.
Ví dụ, phạm trù “vật chất”, “ý thức”, “vận động”, “đứng im”, v.v... phản
ánh những mối liên hệ phổ biến không chỉ của tự nhiên mà cả xã hội, tư duy
của con người.

5


1.1.2. Bản chất của phạm trù
Theo triết học DVBC, các phạm trù không có sẵn trong nhận thức của
bản thân con người một cách bẩm sinh, tiên nghiệm như Cantơ quan niệm,
cũng không tồn tại sẵn ở bên ngoài và độc lập với ý thức của con người như
quan niệm của những người duy thực, mà được hình thành trong quá trình hoạt
động nhận thức và thực tiễn của con người. Mỗi phạm trù xuất hiện đều là kết
quả của quá trình nhận thức trước đó, đồng thời lại là bậc thang cho quá trình
nhận thức tiếp theo của con người để tiến gần đến nhận thức đầy đủ hơn bản
chất của sự vật. V.I.Lênin viết: “Trước con người, có màng lưới những hiện
tượng tự nhiên. Con người bản năng, con người man rợ, không tự tách khỏi
giới tự nhiên. Người có ý thức tự tách khỏi tự nhiên, những phạm trù là những
giai đoạn của sự tách khỏi đó, tức là sự nhận thức thế giới, chúng là những
điểm nút của màng lưới, giúp ta nhận thức và nắm vững được màng lưới”.
Các phạm trù được hình thành bằng con đường khái quát hóa, trừu tượng
hóa những thuộc tính, những mối liên hệ vốn có bên trong của bản thân sự vật.
Vì vậy nội dung của nó mang tính khách quan, bị thế giới khách quan quy định,
mặc dù hình thức thể hiện của nó là chủ quan. V.I.Lênin viết: “Những khái
niệm của con người là chủ quan trong tính trừu tượng của chúng, trong sự tách
rời của chúng, nhưng là khách quan trong chỉnh thể, trong quá trình, trong kết
cuộc, trong khuynh hướng, trong nguồn gốc”. Các phạm trù là kết quả của quá
trình nhận thức của con người, là hình ảnh chủ quan của thế giới khách quan.
Thế giới khách quan không chỉ tồn tại độc lập với ý thức của con người, mà

còn luôn vận động, phát triển, chuyển hóa lẫn nhau. Mặt khác, khả năng nhận
thức của con người cũng thay đổi ở mỗi giai đoạn lịch sử. Do vậy các phạm trù
phản ánh thế giới khách quan cũng phải vận động và phát triển. Không như
vậy, các phạm trù không thể phản ánh đúng đắn và đầy đủ hiện thực khách
quan được. Vì vậy, hệ thống phạm trù của phép biện chứng duy vật không phải
là một hệ thống đóng kín, bất biến, mà nó thường xuyên được bổ sung bằng
những phạm trù mới cùng với sự phát triển của thực tiễn và của nhận thức khoa
học. Phạm trù có các tính chất sau:

6


Tính khách quan: Mặc dù phạm trù là kết quả của tư duy, song nội dung
mà nó phản ánh là khách quan, do hiện thực khách quan mà nó phản ánh quy
định. Nghĩa là phạm trù khách quan về nguồn gốc, về cơ sở, nội dung, còn hình
thức thể hiện của phạm trù là chủ quan.
Tính biện chứng: Thể hiện ở chỗ, nội dung mà phạm trù phản ánh luôn
vận động, phát triển cho nên các phạm trù cũng luôn vận động, thay đổi không
đứng im. Các phạm trù có thể thâm nhập, chuyển hoá lẫn nhau. Tính biện
chứng của bản thân sự vật, hiện tượng mà phạm trù phản ánh quy định biện
chứng của phạm trù. Điều này cho chúng ta thấy rằng, cần phải vận dụng, sử
dụng phạm trù hết sức linh hoạt, uyển chuyển, mềm dẻo, biện chứng.
1.1.3. Một số cặp phạm trù cơ bản của triết học DVBC
1.1.3.1. Cái riêng và cái chung
Khái niệm cái riêng và cái chung “Cái riêng là phạm trù triết học dùng
để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá trình nhất định” [8, tr.l03].
Trong Toán học, một bài toán cụ thể, một khái niệm hay một định lý là
một cái riêng.
“Cái chung là một phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những thuộc
tính, những yếu tố... tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật hiện tượng” [8, tr.l03]. Một số ví

dụ về cái chung trong toán học là những định lý, khái niệm chung, phương
pháp giải toán mang tính tổng quát. Cụ thể:
Khi dạy chương I Hình học lớp 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông,
việc tính toán độ dài các cạnh, đường cao, phân giác, trung tuyến, số đo góc
trong tam giác vuông, tam giác thường, có thể thấy cặp phạm trù cái chung, cái
riêng và mối quan hệ giữa chúng thể hiện như sau:
Ví dụ 1: Cho  ABC vuông ở A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH.
a) Tính BC, AH.

7


b) Tính góc B, góc C.
c) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE, AE.
Giải:
a)

- Tính được BC = 5cm
- Áp dụng hệ thức: b.c = ah
ta có: AB.AC=BC.AH
thay số có 3.4 = AH.5
nên AH = 2,4cm
Hình 1.1

b) Tính được sinB =

4
 0,8 nên góc B  530 Do đó : góc C  370
5

c) Theo tính chất đường phân giác ta có:
Theo tính chất tỉ lệ thức ta có:
thay số :

EB AB

EC AC

EB AB
EB  EC AB  AC



EC AC
EC
AC

5
7
  EC = 20 cm. Tính được EB = 15 cm
EC 4
7
7

Để tính EC ta xét tam giác vuông AHE có AH đã biết; ta tính được HE (do
tính được BH và BE) nên sử dụng hệ thức Pitago ta tính được AE.
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AB = 30cm, BC
=50 cm.
a) Tính độ dài cạnh AC?
b) Tính góc B, góc C.

c) Tính độ dài đường cao, phân giác, trung tuyến của tam giác ABC tại
các đỉnh A, B,C?
Ta thấy, giả thiết của ví dụ 2 không khác so với Ví dụ 1, kết luận có rộng
hơn so với ví dụ 1.

8


a) Sử dụng định lý Pitago tính được

C

AC =40 cm;
b) tương tự VD 1

50
E

4
N

c) Sử dụng hệ thức lượng tính được độ

H

dài đường cao AH = 24 cm;
Tương tự ý c ví dụ 1 tính được EB
=

M

30

A

150
40
cm; AM=
cm; AN=15cm
7
3

B

Hình 1.2

Từ đó tính được AE, AM, AN.
Tính độ dài các đường trung tuyến khá đơn giản.
Ví dụ 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AC = 40 cm, độ dài
đường cao AH =24 cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC?
b) Tính độ dài đường cao, phân giác, trung tuyến còn lại của tam giác
ABC?
(Giả thiết bài toán có khác một chút so với 2 bài toán trên, tuy nhiên sau
khi tính được cạnh AB hoặc BC thì việc giải bài toán đúng như ví dụ 2)
Các bài toán trên đều là trường hợp riêng (cái riêng) của bài toán tổng
quát tính độ dài các cạnh, các đường cao, phân giác, trung tuyến của tam giác
vuông biết độ dài 2 cạnh (cái chung) (1*). Do vậy các bài toán dạng này đều có
chung một phương pháp giải đó là:
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính các cạnh chưa biết,
đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác đó

- Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác, định lý Pitago và
tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông để tính độ
dài các đường trung tuyến
- Sử dụng tính chất đường phân giác, định lý Pitago để tính độ dài các
đường phân giác của tam giác.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, ACB  400 .

9


a) Tính độ dài BC?
b) Tính độ dài đường cao, phân giác, trung tuyến của tam giác ABC?
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 5 cm, trung tuyến
BM=4cm.
a) Tính độ dài AB, AC?
b) Tính độ dài đường cao, phân giác, trung tuyến của tam giác ABC?
Ví dụ 6:
a) Trong tam giác ABC có AB = 12cm, B  400 , C  300 , kẻ đường cao
AH. Hãy tính độ dài AH, HC, AC, BC và các đường cao, phân giác, trung
tuyến của tam giác ABC.
b) Trong tam giác ABC có BC = 12cm, B  400 , C  300 , kẻ đường cao
AH. Hãy tính độ dài AH, HC, AC, BC và các đường cao, phân giác, trung
tuyến của tam giác ABC.
Ta thấy các bài toán trên có dạng khác nhau và có nhiều điểm khác so
với 3 ví dụ đầu, tuy nhiên ta nhận thấy khi tính toán độ dài các đoạn, đều có thể
ghép vào những tam giác vuông, sử dụng hệ thức lượng và đưa được về dạng
bài toán (1*) hoặc vận dụng cách làm của bài toán (1*). Do vậy chúng có
phương pháp giải chung.
Quan hệ biện chứng giữa cái riêng và cái chung: Theo triết học DVBC:
Cái riêng, cái chung đều tồn tại khách quan không phụ thuộc vào ý muốn

chủ quan của con người.
Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng.
Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưa đến cái chung, vì bất cứ cái
riêng nào cũng tồn tại trong mối liên hệ với các cái riêng khác. Giữa những cái
riêng ấy bao giờ cũng có những cái chung giống nhau.
Cái chung là một bộ phận của cái riêng, cái riêng không gia nhập hết vào
cái chung. Do đó, cái riêng phong phú hơn cái chung. Tuy nhiên, cái chung sâu
sắc hơn cái riêng.

10


Cái riêng và cái chung có thể chuyển hoá lẫn nhau trong quá trình phát
triển của sự vật. Bởi lẽ, cái mới không bao giờ xuất hiện đầy đủ ngay mà ban
đầu xuất hiện dưới dạng cái riêng.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a. Chứng minh
rằng: a2= b2+c2 - 2bc.cos BAC .
- Trường hợp góc A nhọn, Kẻ đường cao
A

CH, H thuộc cạnh AB, gọi AH = x, HB = y.
b

Trong tam giác BHC vuông ở H, theo định

x
H

c
y

lý Pitago có:
C

a2 = CH2 + y2 (1)
Tương tự trong tam giác AHC vuông ở H có:

a

B

Hình 1.3

CH2 = b2 - x2, thay vào (1) có: a2 = b2 - x2 + y2 (2)
Mà y = c- x, thay vào (2) có: a2 = b2 + c2 - 2cx
Do x = b. cos BAC nên: a2 = b2 + c2 - 2bc.cos BAC .
- Trường hợp góc A tù chứng minh tương tự cũng có kết quả trên.
- Trường hợp góc A vuông là hiển nhiên đúng.
Qua ví dụ 7, ta thấy hệ thức Pitago là hệ thức căn bản thể hiện mối quan
hệ 3 cạnh của 1 tam giác vuông, đó là cái chung của tất cả những cái riêng là
các tam giác vuông với mọi kích thước. Tuy nhiên khi chứng minh được hệ
thức a2 = b2 + c2 - 2bc.cos BAC trong tam giác bất kỳ - Định lý hàm số cosin
(cái chung) khi đó hệ thức Pitago lại trở thành một trường hợp cụ thể (cái
riêng) của hệ thức mới. Rõ ràng cái cũ ban đầu thường là cái chung, nhưng sau
đó qua nhận thức của con người phát triển lên, nhiều yếu tố không còn phù hợp
trong điều kiện mới nữa nên mất dần và trở thành cái riêng đồng thời cái chung
mới ra đời.
Toán học nói chung và hình học nói riêng là một trong những lĩnh vực
đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng. Sự sắp xếp chương
trình Toán học nói chung là dẫn dắt HS từ những trường hợp riêng rồi khái quát

11


dần lên những cái chung như từ tam giác vuông, đều, cân đến tam giác thường,
tứ giác, đa giác, đa diện... khi làm bài tập HS phải vận dụng những khái niệm
chung những định lý chung vào các trường hợp riêng cụ thể cho từng bài.
Theo GS.TS Nguyễn Cảnh Toàn, các phát minh lý thuyết có tầm cỡ
trong lĩnh vực Toán học luôn luôn là một sự mở rộng từ một cái riêng đã biết
đến một hay nhiều cái chung trước đó chưa ai biết mà cái riêng đã biết chỉ là
một trường hợp đặc biệt. Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một
trường hợp riêng trước đó chưa ai biết của một cái chung đã biết.
Việc tập suy diễn từ cái chung đến cái riêng của HS hằng ngày vẫn làm
qua các bài tập thì hãn hữu lắm thì mới có một kết quả mới trước đó chưa ai
biết nhưng tầm quan trọng của nó thì nhỏ bé vì tính khái quát của nó thấp. Để
có tập mở rộng như ta đã biết ta phải xem xét mối quan hệ giữa cái chung và
cái riêng. Tập nhìn một cái riêng theo nhiều góc độ khác nhau là một điều rất
quan trọng đối với việc rèn luyện góc sáng tạo toán học vì mỗi góc độ lại gợi ra
một hướng mở rộng cái riêng đó. Tìm ra được một cái nhìn mới độc đáo về một
cái riêng nào đó vốn đã có nhiều cách nhìn thông dụng có thể là mầm mống của
một phát minh toán học. Một cái chung khi đem đặc biệt hóa từng bộ phận
khác nhau bằng những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau. Vì
vậy khi nói đến cái chung thì hình dung đó là một tổng thể có nhiều bộ phận và
mỗi bộ phận đó có những quan hệ. Vì vậy nhìn một cái riêng theo nhiều quan
điểm khác nhau thường trước hết là nhìn từng bộ phận từng quan hệ đó theo
nhiều cách khác nhau sau đó tổ hợp lại các cách nhìn từng bộ phận từng quan
hệ đó theo nhiều cách khác nhau về cái riêng đã cho. GS.TS Nguyễn Cảnh
Toàn đã đưa ra quy trình mở rộng một vấn đề theo 9 bước trên cơ sở vận dụng
cặp phạm trù Cái chung - Cái riêng. Tuy nhiên trong khuôn khổ đề tài, giới hạn
chương trình hình học 9 và đặc điểm nhận thức HS, đề tài không đề cập sâu về

vấn đề này.

12


Một số kết luận về mặt phương pháp luận:
Cái chung chỉ tồn tại trong những cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu
hiện sự tồn tại của mình. Do đó muốn phát hiện cái chung cần xuất phát từ
nhiều cái riêng, thông qua việc nghiên cứu nhiều cái riêng cụ thể.
Vì cái chung là cái sâu sắc cái bản chất chi phối cái riêng nên trước khi
nghiên cứu cụ thể cái riêng nào đó cần nắm bắt cái chung trước để khỏi mất
phương hướng, không nên tuyệt đối hoá cái chung (rơi vào giáo điều, dập
khuôn, kinh viện tả khuynh); cũng không nên tuyệt đối hoá cái riêng (rơi vào
xét lại, chủ nghĩa kinh viện hữu khuynh).
Khi vận dụng cái chung vào cái riêng thì phải xuất phát, căn cứ từ cái
riêng cái riêng cần được cá biệt hóa cho thích hợp.
Trong hoạt động thực tiễn, cần nắm được cái chung là chìa khoá giải
quyết cái riêng, vì cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hóa lẫn nhau nên
cần tạo điều kiện cho cái đơn nhất có lợi cho con người dần trở thành cái chung
và ngược lại để cái chung không có lợi trở thành cái đơn nhất.
1.1.3.2. Nguyên nhân và kết quả
Khái niệm nguyên nhân và kết quả: “Nguyên nhân là phạm trù triết
học dùng để chỉ sự tác động qua lại giữa các mặt, các bộ phận, các thuộc
tính trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau gây ra một sự biến đổi
nhất định” [8, tr.l05].
“Kết quả là phạm trù triết học dùng để chỉ những biến đổi xuất hiện do
nguyên nhân tạo ra” [8, tr.l05]. Trong toán học, giả thiết của một bài toán
chính là nguyên nhân, kết luận hay điều phải chứng minh của một bài toán
chính là kết quả.
Ví dụ 8: Từ một điể m A ngoài (O:R). Vẽ hai tiế p tuyế n (B,C là tiế p

điể m), và một cát tuyế n ADE đế n (O) ADphẳ ng bờ OA. Go ̣i I là trung điể m của DE. Chứng minh : năm điể m A, B, I, C,
O cùng thuô ̣c một đường tròn.

13


Trong bài tập trến ta có nguyên
B

nhân là: A ngoài (O); AB, AC là tiếp
tuyến của (O) lần lượt tại B, C; ADE
là cát tuyến của (O); AD
E

I
A

.

D

O

trung điểm của DE, là cái được cho
trước. 5 điểm O, I, A, B, C nằm trên

C

Hình 1.4

một đường tròn chính là kết quả.

Nguyên nhân nêu trên sinh ra kết quả theo một trong những con đường
(chứng minh bài toán) như sau: Do I là trung điể m DE=> OI_|_DE (quan hệ
đường kính và dây cung) => OIA =900
Do AB và AC là tiế p tuyế n của (O) nên OBA=OCA =900. Dẫn đế n 5 điể m
O, I, B, A, C cùng nằ m trên một đường tròn.
Qua VD 8, ta thấy một nguyên nhân (Giả thiết) ta thấy còn có kết quả
khác như AB2 = AI2-DE2/4 = AO2 - OB2... tức là một nguyên nhân có thể sinh
ra nhiều kết quả khác nhau tuỳ thuộc vào điều kiện cụ thể. Mặt khác nếu nhìn
Giả thiết bài toán dước góc độ nhiều nguyên nhân (mỗi yếu tố đã cho là một
nguyên nhân) thì rõ ràng một kết quả được sinh bởi nhiều nguyên nhân.
Triết học DVBC cho rằng, mối liên hệ nhân quả có các tính chất:
Tính khách quan: Thể hiện ở chỗ, mối liên hệ nhân quả là vốn có của sự
vật, không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người. Dù con người có
biết hay không thì giữa các yếu tố trong một sự vật, hoặc giữa các sự vật vẫn
liên hệ, tác động để gây ra những biến đổi nhất định.
Tỉnh phổ biển: Thể hiện ở chỗ, mọi sự vật, hiện tượng trong tự nhiên, xã
hội, tư duy đều có mối liên hệ nhân quả. Không có hiện tượng nào không có
nguyên nhân của nó.
Tính tất yếu: Thể hiện ở chỗ, cùng một nguyên nhân như nhau, trong
những điều kiện như nhau thì kết quả gây ra phải như nhau. Nghĩa là nguyên
nhân tác động trong những điều kiện càng ít khác nhau thì kết quả do chúng
gây ra càng giống nhau.

14

Quan hệ biện chứng giữa nguyên nhân và kết quả: Nguyên nhân là cái
sinh ra kết quả, nên nguyên nhân luôn có trước kết quả về mặt thời gian. Muốn
phân biệt nguyên nhân và kết quả thì phải tìm ở quan hệ sản sinh, tức là cái nào
sinh ra cái nào.
Ví dụ 9: Thêm vào giả thiế t ví dụ 8 yếu tố sau: Qua D kẻ đường thẳ ng
song song với AB cắ t BC và BE lầ n lươ ̣t ta ̣i M và N .Chứng minh : MD=MN.
B

Lúc này rõ ràng giả thiết
(nguyên nhân) có sự thay đổi là thêm
điều kiện DN//AB. Do đó kết quả (Kết

N

M I
A

.

D

luận) có sự thay đổi theo.

E

O
C

Hình 1.5
Từ các yếu tố của nguyên nhân cũ (theo VD 8) ta có một kết quả là 5

điể m A,B,O,I,C cùng thuô ̣c 1 đường tròn => BCI=BAI (2 góc nô ̣i tiế p cùng
chắ n cung BI).
Do N//AB nên BAI=EDN (2 góc ở vi tri
̣ ́ đồ ng vi)̣ => BCI=EDN
=> Tứ giác IMDC nô ̣i tiế p (2 góc nội tiế p cùng chắn 1 cung)
=> BCD=MID (2góc nô ̣i tiế p cùng chắ n cung DM)
Mà BCD=BED (2 góc nô ̣i tiế p cùng chắ n cung BD)
=> MID=BED => MI//BE
Trong tam giác DEN có MI//NE , I là trung điể m của DE=> MD=MN.
Trong bài toán trên, rõ ràng để tìm được kết quả ta phải đi từ nguyên
nhân, xuất phát từ nguyên nhân và phân tích nó. Mặt khác so với ví dụ 8 thì ở
ví dụ 9 nguyên nhân có sự thay đổi dẫn đến kết quả mới mà chắc chắn với
nguyên nhân ở ví dụ 8 không thể sinh ra được.
Trong những điều kiện nhất định, nguyên nhân và kết quả có thể chuyển
hoá lẫn nhau. Nghĩa là cái trong quan hệ này được coi là nguyên nhân thì trong
quan hệ khác có thể là kết quả.

15


Ví dụ10: Từ 1 điể m A ngoài (O:R). Vẽ 2 tiế p tuyế n (B,C là tiế p điể m) và
1 cát tuyế n ADE đế n (O) ADĐường thẳng qua D song song với AB cắ t BC ta ̣i M và cắ t (O) ta ̣i H, EM cắ t
(O) ta ̣i K. Chứng tỏ: 3 điểm A,K,H thẳ ng hàng.
Ta thấy giả thiết bài toán của ví
B

dụ 10 bao hàm toàn bộ giả thiết bài
T

toán ví dụ 9 và đương nhiên kết quả
của ví dụ 9 (MD=MN) hoàn toàn có

NH E

K M

I
.O

D
A

thể chứng minh được trong bài toán
này. Vì vậy với giả thiết mới:

Hình 1.6

C

DN cắt (O) tại H, EM cắt (O) tại K, gọi T là giao điểm của EK với AB
ta dễ chứng minh được T là trung điểm của AB.
Xét tam giác TBK và tam giác TEB
Ta có : BTE là góc chung, TBK=TEB (góc ta ̣o bởi tia tiế p tuyế n và dây
và góc nô ̣i tiế p cùng chắ n cung BK).
TB

TE

=

=> tam giác TBK đồng dạng với tam giác TEB (g-g) =>
mà
TK TB

TB=TA
=>

TA TE
=
.
TK TA

Xét  TKA và  TAE có TAE chung và

TA TE
=
=>  TKA
TK TA

 TAE

(c-g-c)

=> TKA=TAE . Mà TAE=HDE (do AB//HD); HDE=EKH (2 góc nô ̣i tiế p
cùng chắ n cung HE ) => TKA=EKH . Từ đó dễ chứng minh được 3 điể m H,K,A
thẳ ng hàng.
Xâu chuỗi các bài toán ở ví dụ 8, 9, 10 ta thấy kết quả của bài toán này
có thể làm giả thiết (nguyên nhân) cho bài toán kia (nguyên nhân, kết quả có
thể chuyển hóa lẫn nhau trong chuỗi những bài toán). Điều quan trọng hơn,
trước kết quả của bài toán ta phải tiếp tục tư duy điều chỉnh, bổ sung giả

thiết để có được bài toán mới sâu sắc hơn, hay hơn (kết quả tác động trở lại
nguyên nhân) hoặc thúc đẩy nguyên nhân tác động theo hướng tích cực,
hoặc ngược lại.

16


Một vài kết luận về mặt phương pháp luận:
Trong nhận thức và hoạt động thực tiễn cần tôn trọng tính khách quan
của mối liên lhệ nhân quả. Không được lấy ý muốn chủ quan thay cho quan hệ
nhân quả.
Muốn cho hiện tượng nào đó xuất hiện cần tạo ra những nguyên nhân
cùng những điều kiện cho những nguyên nhân đó phát huy tác dụng. Ngược lại,
muốn cho hiện tượng nào đó mất đi thì phải làm mất nguyên nhân tồn tại của
nó cũng như những điều kiện để các nguyên nhân ấy phát huy tác dụng.
Phải biết xác định đúng nguyên nhân để giải quyết vấn đề nảy sinh vì các
nguyên nhân có vai trò không như nhau.
Kết quả có thể tác động trở lại nguyên nhân. Do đó, trong hoạt động thực
tiễn cần khai thác, tận dụng những kết quả đã đạt được để thúc đẩy nguyên
nhân tác động theo hướng tích cực phục vụ cho con người.
1.1.3.3. Nội dung và hình thức
Khái niệm nội dung và hình thức: “Nội dung là phạm trù triết học chỉ
tổng hợp tất cả các mặt, các yếu tố, các quá trình tạo nên sự vật”, [8, tr.l10].
“Hình thức là phạm trù triết học chỉ phương thức tồn tại và phát triển của
sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự
vật” [8, tr.110]. Ví dụ nội dung của một định lý được phát biểu dưới hai hình
thức ngôn ngữ và kí hiệu toán học.
Ví dụ 11: Nội dung vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
được phát biểu dưới 2 hình thức, cách thứ nhất: Cho đường tròn (O,R) và
đường thẳng a.

Nếu khoảng cách từ tâm (O) đến đường thẳng a lớn hơn bán kính R thì
đường tròn (O,R) và đường thẳng a không có điểm chung.
Nếu khoảng cách từ tâm (O) đến đường thẳng a bằng bán kính R thì
đường tròn (O,R) và đường thẳng a tiếp xúc nhau.
Nếu khoảng cách từ tâm (O) đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính R thì
đường tròn (O,R) và đường thẳng a cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

17


Cách phát biểu thứ hai: dưới dạng kí hiệu: cho (O,R) và đường thẳng a,
gọi d là khoảng cách từ O đến a
Nếu d > R thì đường tròn (O,R) và đường thẳng a không có điểm chung.
Nếu d = R thì đường tròn (O,R) và đường thẳng a chỉ có 1 điểm chung.
Nếu d< R thì đường tròn (O,R) và đường thẳng a có 2 điểm chung phân biệt.
Mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức: Giữa nội dung và
hình thức có sự thống nhất hữu cơ với nhau Không có hình thức nào không
chứa nội dung, cũng như không có nội dung nào lại không tồn tại trong một
hình thức nhất định. Nội dung nào sẽ có hình thức tương ứng đó. Sự thống nhất
giữa nội dung và hình thức còn thể hiện ở chỗ, các yếu tố tạo thành sự vật vừa
góp phần tạo nên nội dung vừa tham gia tạo nên hình thức. Vì vậy, nội dung,
hình thức không tách rời mà gắn bó chặt chẽ với nhau.
Nội dung giữ vai trò quyết định hình thức trong quá trình vận động, phát
triển của sự vật. Trong quan hệ thống nhất giữa nội dung và hình thức thì nội
dung quyết định hình thức. Nội dung biến đổi nhanh, hình thức thường biến đổi
chậm hơn nội dung. Do vậy, hình thức khi ấy sẽ trở nên lạc hậu so với nội dung
và kìm hãm nội dung phát triển. Hình thức sẽ phải thay đổi cho phù hợp với nội
dung. Khi nội dung thay đổi thì sớm hay muộn hình thức cũng thay đổi theo.
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE, cùng một nội dung
chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp, nếu hình thức bài là xác định tâm và bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác BED thì hình thức này làm nội dung trở nên khó
khăn. Nhưng nếu hình thức bài cho là chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp trong một
đường tròn, tìm tâm và bán kính thì ta dễ dàng giải hơn bằng cách sau:
Xét tứ giác BEDC có
BDC  90 = BEC  90
0

Hình 1.7
0

E

nên tứ giác BEDC nội tiếp

A
D

đường tròn. Việc xác định tâm và bán
kính không khó.

B

18

C