Bài toán kiểm định mã và phân bậc ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Đình Hân

BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC
NGÔN NGỮ THEO ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Đình Hân

BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC
NGÔN NGỮ THEO ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 62.48.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Đỗ Long Vân
2. PGS.TS. Phan Trung Huy

Hà Nội - 2012

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả tôi trình bày trong luận án là hoàn toàn mới,
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình khoa học của ai khác.
Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đều được sự đồng ý của
đồng tác giả trước khi đưa vào luận án.

Hà Nội, ngày 16 tháng 8 năm 2012

Nguyễn Đình Hân


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đỗ Long Vân và
PGS.TS. Phan Trung Huy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới hai thầy,
trong suốt thời gian qua đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tác giả hoàn
thiện được luận án này.
Tác giả chân thành cảm ơn các thành viên của Seminar “Toán rời rạc và
Tổ hợp”, Viện Toán học về những nhận xét và ý kiến trao đổi rất hữu ích,
góp phần nâng cao chất lượng trình bày của luận án.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng
và Tin học, và Viện Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể
các bạn đồng nghiệp tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội về sự giúp đỡ
chân tình, vô tư mà tác giả nhận được trong quá trình thực hiện luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Hưng Yên, gia đình, các thầy cô giáo và các bạn đồng
nghiệp Khoa Công nghệ Thông tin, Phòng Quản lý Khoa học và Đối ngoại
trong thời gian vừa qua đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và không ngừng

ủng hộ tác giả.


MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ

1

MỞ ĐẦU

2

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ

8

1.1 Nửa nhóm và vị nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Từ và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Otomat và ngôn ngữ chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Otomat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Ngôn ngữ chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4 Mã của các từ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1

Mã và các tính chất đại số của mã . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2

Độ trễ giải mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.3

Tiêu chuẩn kiểm định mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5 Mã luân phiên và mã của các từ định biên . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.1

Mã luân phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.2

Mã của các từ định biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6 Mã của các từ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.1

Từ và ngôn ngữ từ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.2

ω-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.3

Z-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2 KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ MÃ MỞ RỘNG
2.1 Thuật toán kiểm định mã và ♦-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

2.1.1

Tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cải tiến . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.2

Thuật toán kiểm định mã trên vị nhóm . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.3

Thuật toán kiểm định ♦-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2 Thuật toán kiểm định ω-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.1

Thủ tục kiểm định ω-mã trên ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.2

Thuật toán kiểm định ω-mã trên vị nhóm . . . . . . . . . . . .

44

2.2.3

Thuật toán kiểm định ω-mã trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3 Thuật toán kiểm định Z-mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3.1

Thủ tục kiểm định Z-mã trên ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . .

51

2.3.2

Thuật toán kiểm định Z-mã trên vị nhóm . . . . . . . . . . . .

57

2.3.3

Thuật toán kiểm định Z-mã trên đồ thị . . . . . . . . . . . . .

61


ii

MỤC LỤC

3 ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG CỦA NGÔN NGỮ
3.1 Tính chất không nhập nhằng của ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Tích không nhập nhằng và mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Xác định độ không nhập nhằng kiểu 1 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.1
3.1.2.2

66
66
67
69

Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu 1 . . . .
Thuật toán xác định độ không nhập nhằng kiểu 1 . . .

69
72

Xác định độ không nhập nhằng kiểu 2 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.1 Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu 2 . . . .
3.1.3.2 Thuật toán xác định độ không nhập nhằng kiểu 2 . . .

74
74
79

3.2 Phân bậc ngôn ngữ theo tính không nhập nhằng . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Phân bậc kiểu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phân bậc kiểu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81
81
83

3.3 Độ trễ giải mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Độ trễ giải mã và độ không nhập nhằng . . . . . . . . . . . . .

83
83

3.1.3

3.3.2

Xác định độ trễ giải mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.1 Thủ tục xác định độ trễ giải mã cho ngôn ngữ . . . . .
3.3.2.2 Thuật toán tìm độ trễ giải mã cho ngôn ngữ chính quy

84
84
90

3.3.3

Thuật toán xác định độ trễ giải mã của ♦-mã . . . . . . . . . .

92

4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG
4.1 Hệ mật đa trị và nhập nhằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
94

4.2 Bài toán tương ứng Post và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Bài toán tương ứng Post trên lớp ngôn ngữ từ định biên . . . . 97
4.2.2 Kỹ thuật bẫy cửa sập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

KẾT LUẬN

104

TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

109


DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ
1.1 Một overlap của hai từ liên hợp x và y . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2 Một X-phân tích của từ w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khởi đầu một phân tích kép của từ w . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
17

2.1 Một hướng cải tiến tiêu chuẩn kiểm định mã Sardinas-Patterson . . . .

27

2.2 Các ngôn ngữ X của Ví dụ 2.6 và 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1 Minh họa một trường hợp tính toán các tập Ui , Vi+1 . . . . . . . . . . .

69

4.1 Cấu trúc điều khiển B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Từ tuyệt mật w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Bảng nhân bí mật B × B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98
98
99

4.3 Chi tiết cấu trúc từ tuyệt mật w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Bảng kê xác suất tìm được nghiệm của bài toán . . . . . . . . . . . . . 102


MỞ ĐẦU
Mã có vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực như xử lý thông tin, nén dữ liệu, truyền
thông và mật mã. Đặc biệt, theo sự tiến bộ của khoa học máy tính, nhu cầu sử dụng
mã trong biểu diễn, bảo mật thông tin ngày càng cấp thiết về thực tiễn, đòi hỏi những
công trình nghiên cứu cả chiều sâu và chiều rộng. Trong số đó phải kể đến các bài toán
trong lĩnh vực của lý thuyết mã và ứng dụng.
Ta biết rằng khái niệm mã khởi nguồn từ lý thuyết thông tin do Shannon đề xuất
năm 1949. Trong khuôn khổ lý thuyết này, sự phát triển của lý thuyết mã dẫn tới các
nghiên cứu về mã có độ dài cố định liên quan đến các bài toán phát hiện lỗi và sửa
lỗi trong truyền thông dữ liệu. Đến năm 1955, Sch¨
utzenberger đề xuất hướng nghiên
cứu về mã có độ dài biến đổi sử dụng các phương pháp tổ hợp và đại số. Từ đó, nhiều

công trình nghiên cứu đã nảy sinh, phát triển và nhận được những kết quả phong phú,
lý thú trong cả lý thuyết và ứng dụng. Lý thuyết mã ngày nay là một bộ phận không
thể thiếu của khoa học máy tính, công nghệ thông tin và truyền thông..., có liên hệ
chặt chẽ với các lý thuyết tổ hợp trên từ, lý thuyết otomat, ngôn ngữ hình thức và lý
thuyết nửa nhóm. Bài toán kiểm định mã và bài toán nghiên cứu các đặc tính của mã
hay các ngôn ngữ hình thức trong mối quan hệ với mã là những bài toán được nhiều
nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vì vai trò sâu sắc và rất cơ bản của chúng trong sự
phát triển của lý thuyết mã nói riêng, của ngôn ngữ hình thức và lý thuyết biểu diễn
thông tin nói chung.
Khái niệm mã được xem xét trong luận án là mã có độ dài biến đổi. Ta có thể hình
dung một mã là một ngôn ngữ của các từ hữu hạn sao cho tích ghép của các từ của
nó có thể được “giải mã” một cách duy nhất. Tích ghép có hai dạng: trường hợp của
mã là tích ghép hữu hạn và trường hợp của ω-mã, Z-mã là tích ghép vô hạn. Từ đó
có thể thấy rằng bài toán kiểm định một ngôn ngữ cho trước có là mã (ω-mã, Z-mã)
không, là bài toán rất cơ bản của lý thuyết mã.
Sử dụng phương pháp tổ hợp trên từ để kiểm tra một ngôn ngữ cho trước có thỏa
mãn định nghĩa của mã không, Sardinas và Patterson (1953) đã đưa ra một tiêu chuẩn
kiểm định mã, còn gọi là tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cho lớp ngôn ngữ tổng quát.
Ta để ý rằng, trong lĩnh vực của Toán học, tiêu chuẩn Sardinas-Patterson được xem
là câu trả lời cho bài toán đặt ra. Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu sâu trong các lĩnh vực
của Tin học, Tổ hợp, Tính toán... lại đòi hỏi tính kiến thiết với các thuật toán chi tiết.
Về nguyên tắc, theo phương pháp của Sardinas và Patterson, các thuật toán như vậy
chỉ có thể nhận được khi số cấu hình tổ hợp cần kiểm tra là hữu hạn. Đây là trường
hợp của các ngôn ngữ đoán nhận được, hoặc tương đương là các ngôn ngữ chính quy.
Thuật toán kiểm định mã hiệu quả cho lớp ngôn ngữ chính quy hữu hạn đã được đề


MỞ ĐẦU

3

xuất bởi Rodeh (1982) với độ phức tạp thời gian là O(nm), ở đó n là tổng số từ mã
của ngôn ngữ và m là tổng độ dài của chúng. Đối với lớp ngôn ngữ chính quy tổng
quát, để thiết lập thuật toán, ta phải kết hợp với chúng các công cụ otomat hoặc vị
nhóm hữu hạn. Khi đó ngôn ngữ đầu vào được giả thiết là đoán nhận được bởi một
otomat hữu hạn hoặc thỏa bởi một đồng cấu đại số. Nếu đầu vào cho bởi một otomat
hữu hạn, thuật toán kiểm định mã tốt nhất được biết là của Robert (1996) có độ phức
tạp thời gian là O(n2 ), với n là tổng số trạng thái và số cung của otomat đó. Trường
hợp đầu vào là một đồng cấu đại số thì thuật toán là chưa được biết và câu hỏi tất
yếu (câu hỏi 1) là: Có tồn tại một thuật toán hiệu quả kiểm định mã không?
Câu hỏi tương tự (câu hỏi 2) cũng được nêu ra khi ta xem xét bài toán kiểm định
ω-mã. Đối với Z-mã thì cho đến nay, ta mới biết đến tiêu chuẩn toán học kiểu SardinasPatterson của nhóm tác giả Đỗ Long Vân, Nguyễn Hương Lâm và Phan Trung Huy
(1993), còn sự tồn tại một thuật toán kiểm định Z-mã thì chưa được biết. Mặt khác,
với các hình thức mã mở rộng, chẳng hạn một số mã mới cũng được nhóm nghiên cứu
của tác giả phát triển gần đây như mã luân phiên và ♦-mã, thì câu hỏi (câu hỏi 3) là:
Thuật toán kiểm định mã có thể mở rộng, hoặc cải biên để áp dụng cho Z-mã và các
mã này không?
Từ những vấn đề và câu hỏi được đặt ra như trên, hướng nghiên cứu cải tiến thuật
toán kiểm định mã và mã mở rộng là rất cần thiết và có ý nghĩa thời sự. Do đó, mục
tiêu thứ nhất của luận án là, dựa trên các thành tựu của đại số, lý thuyết otomat và
lý thuyết đồ thị, thiết lập các thuật toán kiểm định mới, chất lượng tốt hơn cho mã và
các thuật toán kiểm định cho các lớp mã khác gồm ♦-mã, ω-mã và Z-mã.
Đối với vấn đề kiểm định mã đặt ra trong câu hỏi 1, nếu tiếp cận theo phương pháp
kinh điển của Sardinas và Patterson thì theo tính chất đoán nhận ngôn ngữ bởi một
đồng cấu đại số, ta sẽ nhận được một thuật toán cỡ hàm mũ vì trong thủ tục tính
toán, ta không tránh khỏi việc phải xem xét tất cả các tập con của vị nhóm hữu hạn
đoán nhận ngôn ngữ đầu vào. Trong luận án, nhờ một kỹ thuật loang dần trong lý
thuyết đồ thị, chúng tôi chứng minh một kết quả quan trọng cho phép nhận được một
tiêu chuẩn mới cải tiến từ tiêu chuẩn Sardinas-Patterson để kiểm định mã. Từ đó cho
phép giảm số bước tính toán của thủ tục xuống cỡ tuyến tính theo kích thước của vị

nhóm đã cho. Kết quả nhận được là một thuật toán có độ phức tạp về mặt thời gian
là một đa thức bậc hai hiệu quả, trả lời khẳng định cho câu hỏi đặt ra.
Liên quan đến câu hỏi 2, năm 1986, Staiger đã đề xuất một tiêu chuẩn đại số cho
việc kiểm định ω-mã trên cơ sở của tiêu chuẩn Sardinas-Patterson. Từ kết quả này,
Augros và Litovsky (1999) đã phát triển một thuật toán dựa trên otomat hữu hạn để
kiểm định một ngôn ngữ chính quy có là ω-mã không với độ phức tạp thời gian là
O(n3 ), n là kích thước của vị nhóm các phép chuyển dịch của otomat tối tiểu đoán
nhận ngôn ngữ đó. Với vị nhóm hữu hạn bất kỳ thỏa ngôn ngữ đầu vào (vị nhóm các
phép chuyển dịch nói trên chỉ là một trường hợp riêng), chúng tôi đề xuất một tiêu


4

MỞ ĐẦU

chuẩn mới kiểm định ω-mã và dựa trên đồ thị hữu hạn có tô màu cung, thiết lập một
thuật toán kiểm định ω-mã có độ phức tạp thời gian chỉ là O(n2 ), với n là kích thước
của vị nhóm đã cho. Chúng tôi cũng mở rộng các kết quả nói trên, thiết lập các thuật
toán mới, hiệu quả kiểm định ♦-mã và Z-mã, để trả lời câu hỏi 3.
Một bài toán cơ bản của ngôn ngữ hình thức có liên quan đến lý thuyết mã là bài
toán nghiên cứu dựa trên đặc điểm phân tích không nhập nhằng của một từ thành dãy
các từ đặc biệt thuộc một ngôn ngữ đã cho, mà mã là một trường hợp riêng. Từ đó,
tính không nhập nhằng trở thành một đối tượng được nghiên cứu trong mối liên hệ
với lý thuyết mã. Vì đặc tính không nhập nhằng liên quan đến phương pháp biểu diễn
thông tin một cách duy nhất nên bài toán nghiên cứu về phân tích không nhập nhằng
sẽ đưa đến một hướng nghiên cứu mở rộng của lý thuyết mã.
Khái niệm không nhập nhằng xuất hiện khá thường xuyên trong lý thuyết khoa
học máy tính. Chẳng hạn otomat không nhập nhằng, văn phạm không nhập nhằng hay
các phép toán không nhập nhằng trên ngôn ngữ. Khi đó, không nhập nhằng thể hiện
tính duy nhất của quan hệ tồn tại một đường đi trong otomat, một dẫn xuất trong

văn phạm hay một phân tích của từ thuộc ngôn ngữ. Định nghĩa của mã ngụ ý mã là
không nhập nhằng. Chi tiết hơn, ta biết rằng một mã X tùy ý là không nhập nhằng.
Nghĩa là bất kỳ một thông điệp nào được mã hóa thành các từ của X sẽ được giải mã
theo một cách duy nhất. Tuy nhiên, tính duy nhất không đảm bảo việc giải mã được
thực hiện dễ dàng. Ví dụ, nếu các chữ cái x, y, z trong một thông điệp được mã hóa
lần lượt thành các từ b, ba, aa của X, thì việc giải mã không thể quyết định thông điệp
baaa . . . khởi đầu bởi b hay ba. Điều này phản ánh khía cạnh nhập nhằng của mã, liên
quan đến độ trễ giải mã là một loại độ khó của quá trình giải mã được đề xuất bởi
Gilbert và Moore (1959).
Biểu diễn mã thực chất là biểu diễn thông tin một cách duy nhất. Thật ngạc nhiên,
trong khi các nghiên cứu về tính không nhập nhằng và độ trễ giải mã của mã khá sôi
động, có nhiều kết quả được thiết lập và ứng dụng mạnh mẽ trong lĩnh vực mật mã,
biểu diễn tri thức và nhiều lĩnh vực khác, thì tính không nhập nhằng của ngôn ngữ nói
chung không là mã chưa được nghiên cứu. Các vấn đề và câu hỏi được đưa ra sau đây
cho thấy tính cấp thiết phải có các nghiên cứu về chủ đề này.
Thứ nhất, phân lớp mã là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết mã.
Chẳng hạn, liên quan đến cấu trúc tạo dựng của mã, mã prefix có thể được xây dựng
một cách đơn giản, còn cấu trúc của mã tổng quát vẫn còn là vấn đề mở. Phân lớp mã
theo độ trễ giải mã cho phép ta mở rộng những khái niệm của mã prefix (có độ trễ 0)
cho trường hợp mã tổng quát. Tuy nhiên phân bậc này bỏ qua các lớp ngôn ngữ không
là mã, tạo ra một khoảng trống trong nghiên cứu lý thuyết mã hóa thông tin và ứng
dụng. Từ đó, phát sinh một câu hỏi (câu hỏi 4) là: Có tồn tại một phân bậc mịn của
toàn bộ các ngôn ngữ theo tính không nhập nhằng không?
Hai là, trong lĩnh vực mật mã, nguyên lý chung là không có hệ mật tồn tại lâu dài


MỞ ĐẦU

5

trước sự tấn công, do đó luôn có nhu cầu thiết lập các hệ mật mới. Trong các hệ mật,
mã là đối tượng bị tấn công. Khi đó, câu hỏi (câu hỏi 5) được đặt ra là: Nếu ta sử dụng
ngôn ngữ không phải là mã thì có nâng cao được hiệu quả an toàn chống tấn công cho
các hệ mật không?
Nghiên cứu sâu về tính không nhập nhằng của ngôn ngữ còn đặt ra nhiệm vụ phải
thiết lập các thuật toán tính toán các loại độ đo nhập nhằng và không nhập nhằng đã
được đề cập, ở đây là độ trễ giải mã và độ không nhập nhằng của ngôn ngữ. Mặc dù
các tiêu chuẩn cho một ngôn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn đã được đưa ra bởi nhiều
tác giả, chẳng hạn của Vũ Thành Nam (2007) cho mã và Devolder và các tác giả khác
(1994) cho ω-mã, thuật toán hiệu quả tính độ trễ giải mã vẫn chưa được biết. Hơn
nữa, thiết lập các thuật toán tính độ trễ giải mã cho các lớp mã mới, thuật toán tính
độ không nhập nhằng của ngôn ngữ theo hai kiểu khác nhau, mối quan hệ giữa chúng
và mối quan hệ của chúng với độ trễ giải mã là những vấn đề hoàn toàn mới.
Vì vậy, mục tiêu thứ hai của luận án là nghiên cứu những lớp ngôn ngữ gần mã
thông qua nghiên cứu về độ không nhập nhằng của ngôn ngữ xem như một yếu tố phản
ánh sự “gần nhau” của một ngôn ngữ với một mã, và thiết lập phân bậc ngôn ngữ dựa
trên độ không nhập nhằng của chúng.
Cuối cùng nhưng không kém quan trọng, mục tiêu thứ ba của luận án là, từ những
kết quả được thiết lập mới trong luận án, đề xuất một số sơ đồ ứng dụng.
Các kết quả nhận được của luận án đã trả lời khẳng định các câu hỏi 4 và 5, đồng
thời giải quyết các nhiệm vụ nghiên cứu về tính không nhập nhằng được đặt ra ở phần
trên. Cụ thể, đặc trưng ranh giới của sự nhập nhằng và không nhập nhằng của một
ngôn ngữ bởi độ không nhập nhằng và phân lớp ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng
này, chúng tôi nhận được một phân bậc vô hạn rất mịn của toàn bộ các ngôn ngữ.
Trong đó, mã thuộc lớp ngôn ngữ đặc biệt nằm trong phân bậc này. Đây là một bức
tranh tổng thể về lý thuyết, khởi đầu cho các nghiên cứu nhằm phát hiện những tính
chất mới của các lớp mã và ngôn ngữ gần mã. Hai độ đo không nhập nhằng khác nhau
được đề xuất cho ngôn ngữ và những kết quả đã thiết lập cho thấy khả năng có thể
ứng dụng những lớp ngôn ngữ không là mã cho mã hóa thông tin. Khi đó, độ không
nhập nhằng k của ngôn ngữ được sử dụng, với 0 ≤ k ≤ ∞, đóng vai trò là một độ khó

mới liên quan đến quá trình giải mã. Việc xác định đúng giá trị k sẽ gây khó khăn cho
đối phương khi thực hiện thám mã.
Bằng việc sử dụng các phương pháp và công cụ đại số, tổ hợp trên từ, các phương
pháp truyền thống của lý thuyết otomat hữu hạn và đồ thị, các kết quả chính của luận
án được trình bày chi tiết trong các chương, từ Chương 2 đến Chương 4 của luận án
với cấu trúc như sau.
Chương 1 được dành cho việc trình bày các khái niệm cần thiết làm cơ sở lý thuyết
thiết lập các kết quả mới ở các chương sau.


6

MỞ ĐẦU

Chương 2 chứa đựng các kết quả liên quan tới kiểm định mã và mã mở rộng. Mở
đầu là một tiêu chuẩn mới kiểm định mã mà thực chất là tiêu chuẩn Sardinas-Patterson
cải tiến được đề xuất và chứng minh. Trên cơ sở tiêu chuẩn này, bốn thuật toán kiểm
định có cùng độ phức tạp thời gian O(n2 ) được thiết lập, với n là kích thước của vị
nhóm thỏa ngôn ngữ đầu vào. Cụ thể đó là:
− Thuật toán 2.2 kiểm định mã cho trường hợp ngôn ngữ chính quy, trên cơ sở của
Định lý 2.1.
− Thuật toán 2.3 kiểm định ♦-mã cho trường hợp ♦-ngôn ngữ chính quy, trên cơ
sở của Định lý 2.4.
− Thuật toán 2.4 kiểm định ω-mã cho trường hợp ngôn ngữ chính quy, trên cơ sở
của các Định lý 2.6 và 2.7.
− Thuật toán 2.5 kiểm định Z-mã cho trường hợp ngôn ngữ chính quy, trên cơ sở
của các Định lý 2.11, 2.12 và 2.13.
Thuật toán 2.2 nhận được nhờ sử dụng phương pháp đại số kết hợp với một cấu
trúc dữ liệu đặc biệt kiểu stack trên vị nhóm hữu hạn. Thuật toán 2.3 có phương pháp
tiếp cận tương tự ngoại trừ một số tính chất đại số mở rộng được thiết lập cho lớp

♦-ngôn ngữ. Đối với ω-mã và Z-mã, để có các Thuật toán 2.4 và 2.5, phương pháp đại
số kết hợp với phương pháp đồ thị được giới thiệu. Ở đó các kỹ thuật được trình bày
chi tiết gồm kỹ thuật chuyển biểu diễn đại số của bài toán sang biểu diễn đồ thị và kỹ
thuật kiểm định chu trình đặc biệt trên đồ thị hữu hạn có tô màu cung. Các điều kiện
tương đương cho các bài toán được chứng minh đầy đủ cùng với độ phức tạp thời gian
của từng bước thực hiện được tính toán chi tiết.
Chương 3 trình bày các khái niệm và kết quả mới làm rõ một khoảng trống trong
nghiên cứu lý thuyết mã hóa thông tin và ứng dụng. Đó là lớp các ngôn ngữ rất lớn đặc
trưng bởi độ không nhập nhằng, nằm giữa lớp mã và lớp ngôn ngữ được định nghĩa
bởi tích không nhập nhằng. Các đặc trưng tổ hợp và đại số của ngôn ngữ lần lượt được
thiết lập làm cơ sở đề xuất các thuật toán xác định các độ đo nhập nhằng và không
nhập nhằng của chúng. Trong một số trường hợp đặc biệt, ta còn sử dụng công cụ
otomat hữu hạn kết hợp với ngôn ngữ để diễn tả các thuật toán. Ngoài hai phân bậc
ngôn ngữ theo hai kiểu độ không nhập nhằng, các kết quả chính được thiết lập là:
− Thuật toán 3.1 xác định độ không nhập nhằng kiểu 1 cho lớp ngôn ngữ chính
quy, trên cơ sở của Định lý 3.1.
− Thuật toán dựa trên otomat hữu hạn xác định độ không nhập nhằng kiểu 2 cho
lớp ngôn ngữ chính quy, trên cơ sở của các Định lý 3.2 và 3.3.
− Thuật toán dựa trên otomat hữu hạn xác định độ trễ giải mã cho mã thuộc lớp
ngôn ngữ chính quy, trên cơ sở của các Định lý 3.4 và 3.5.


MỞ ĐẦU

7

− Thuật toán tổ hợp xác định độ trễ giải mã cho ♦-mã thuộc lớp ♦-ngôn ngữ chính
quy, trên cơ sở của các Định lý 3.6 và 3.7.
Thuật toán 3.1 là thuật toán kiểu Sardinas-Patterson cải tiến mà ta thiết lập trong
Chương 2. Độ phức tạp thời gian của nó là O(n2 ). Các thuật toán còn lại đều có độ

phức tạp thời gian cỡ hàm mũ theo n, với n là kích thước của vị nhóm thỏa ngôn ngữ
đầu vào. Đây là đánh giá thô theo tính chất đoán nhận ngôn ngữ bởi một đồng cấu
đại số. Các thuật toán hiệu quả hơn sẽ được xem xét như một hướng nghiên cứu tiếp
theo của luận án.
Chương 4 dành cho việc trình bày một số sơ đồ ứng dụng. Kết quả cụ thể như sau:
− Đối với lớp ngôn ngữ k-không nhập nhằng kiểu 1, đề xuất một hệ mật có tính
đa trị và nhập nhằng sử dụng các ngôn ngữ có độ nhập nhằng cao.
− Đối với lớp ngôn ngữ từ định biên, đề xuất một sơ đồ bảo mật và một hướng
nghiên cứu mở rộng để xây dựng các hệ mật mới dựa trên bẫy cửa sập là một
dẫn xuất của bài toán không quyết định được PCP.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong các công trình 1 - 16 (xem
Danh mục các công trình đã công bố, hoặc đã qua phản biện và đã được chấp nhận
đăng của luận án) và đã được trình bày tại:
− Seminar “Toán rời rạc và Tổ hợp”, Phòng Cơ sở Toán học của Tin học, Viện Toán
học.
− Seminar khoa học, Bộ môn Toán Tin, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội.
− Hội thảo quốc gia lần thứ XII “Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin
và truyền thông”, Biên Hòa, 5 - 6/8/2009.
− Hội thảo quốc gia lần thứ XIII “Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin
và truyền thông”, Hưng Yên, 19 - 20/8/2010.
− Hội nghị toàn quốc lần thứ III về Ứng dụng toán học, Hà Nội, 23 - 25/12/2010.
− Hội thảo quốc gia lần thứ XIV “Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin
và truyền thông”, Cần Thơ, 7 - 8/10/2011.
− Hội thảo quốc tế IEEE-RIVF 2012, Thành phố Hồ Chí Minh, 27/2 - 1/3/2012.
− Hội thảo quốc tế ACIIDS 2012, Kaohsiung, Taiwan, 19 - 21/3/2012.


Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ

Trong chương này, chỉ những khái niệm cơ bản liên quan được sử dụng trong luận án
mới được đề cập. Nội dung kiến thức về đại số, ngôn ngữ và mã của các từ hữu hạn
trình bày trong các mục, từ Mục 1.1 đến Mục 1.4, được tham khảo và trích dẫn từ
các tài liệu [4; 5; 6; 7; 9; 13; 16; 18; 21; 27; 28]. Bên cạnh đó, luận án còn giới thiệu
một số lớp mã dựa trên các hình thức tích mới có tính thời sự làm cơ sở để thiết lập
các thuật toán mới, hiệu quả cho các lớp mã này trong các chương tiếp theo. Nội dung
kiến thức về mã luân phiên và mã của các từ định biên trình bày trong Mục 1.5 là
một hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết mã, được đề xuất gần đây trong các công
trình [14; 15; 23; 35; 36; 37; 38]. Kiến thức về ngôn ngữ và mã của các từ vô hạn xem
như một sự mở rộng các khái niệm trong lý thuyết mã truyền thống cho trường hợp
vô hạn, được tổng hợp từ các tài liệu [3; 10; 11; 13; 19; 20; 24; 29; 31; 32; 33; 34], là
nội dung của Mục 1.6.
Trong luận án, tập các số tự nhiên được ký hiệu là N. Lực lượng của một tập hợp
X được ký hiệu là Card(X). Các bảng chữ đều được giả thiết là hữu hạn nếu không
nói gì khác.

1.1

Nửa nhóm và vị nhóm

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S là một tập hợp được trang bị một phép toán hai
ngôi kết hợp, nếu không nói gì thêm ta sẽ ký hiệu theo lối nhân. Một nửa nhóm con
(t.ư. nhóm con) T của S là một tập con của S cùng với phép toán cảm sinh làm cho T
trở thành nửa nhóm (t.ư. nhóm). Nửa nhóm S là một vị nhóm nếu S có đơn vị. Đơn
vị của vị nhóm S là duy nhất và được ký hiệu là 1S . Một vị nhóm con của vị nhóm S
là một nửa nhóm con có chứa đơn vị của S.
Ví dụ 1.1

M = {0, 1} là vị nhóm nhân với phần tử đơn vị là 1.

Ví dụ 1.2

Với vị nhóm M bất kỳ, ta trang bị cấu trúc vị nhóm cho tập tất cả các

tập con P(M) của M bằng cách định nghĩa, với X, Y ⊂ M,
XY = {x.y | x ∈ X, y ∈ Y }.
Phần tử đơn vị là {1}.


1.2 Từ và ngôn ngữ

9

Ví dụ 1.3 Từ các vị nhóm M, N ta có vị nhóm M × N là tích trực tiếp của M và
N, M (n) là tích trực tiếp của n lần vị nhóm M.
Cho các nửa nhóm (vị nhóm) S và T . Ánh xạ ϕ : S → T được gọi là một đồng cấu
nửa nhóm (t.ư. vị nhóm) nếu với mọi a, b ∈ S,
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
(t.ư. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) và ϕ(1S ) = 1T với 1S là đơn vị của S, 1T là đơn vị của T ).
Đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu (t.ư. toàn cấu, đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (t.ư.
toàn ánh, song ánh). Một đồng cấu từ vị nhóm S vào chính nó thì được gọi là một tự
đồng cấu.
Cho M là một vị nhóm. Với x, y ∈ M, ta có
x−1 y = {z ∈ M | x.z = y} và xy −1 = {z ∈ M | x = z.y}.
Với S, T ⊆ M, ta định nghĩa các phép cắt trái, phải của S bởi T
T −1 S = {u ∈ M | ∃t ∈ T : t.u ∈ S} và ST −1 = {u ∈ M | ∃t ∈ T : u.t ∈ S}.
Ta có tính chất cơ bản sau đây
Tính chất 1.1

Cho M là một vị nhóm, P, K ⊆ M, P = K ∗ và m ∈ M. Khi đó

P −1(m−1 K) = (m.P )−1 K.
Chứng minh. Chứng minh P −1 (m−1 K) ⊆ (m.P )−1 K. Ta có
w ∈ P −1(m−1 K) ⇔ (∃p ∈ P, k ∈ K : w = p−1 (m−1 k) ⇔ k = m.p.w).
Vì vậy w = (m.p)−1 k ∈ (m.P )−1 K.
Chứng minh (m.P )−1 K ⊆ P −1(m−1 K). Ta có
w ∈ (m.P )−1 K ⇔ (∃p ∈ P, k ∈ K : w = (m.p)−1 k ⇔ k = m.p.w).
Vì vậy w = p−1 (m−1 k) ∈ P −1 (m−1 K).

1.2

Từ và ngôn ngữ

Cho A là một bảng chữ. Một từ w trên bảng chữ A là một dãy hữu hạn các phần tử
của A
w = (a1 , a2 , . . . , an ), ai ∈ A.
Tập tất cả các từ trên bảng chữ A được ký hiệu là A∗ và được trang bị phép nhân
(tích) ghép có tính chất kết hợp
(a1 , a2 , . . . , an )(b1 , b2 , . . . , bm ) = (a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bm ).


10

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ

Vì vậy, để thuận tiện ta viết
w = a1 a2 · · · an
thay cho w = (a1 , a2 , . . . , an ). Một phần tử a ∈ A được gọi là một chữ cái. Từ rỗng

được ký hiệu là ε đóng vai trò là phần tử đơn vị trong phép nhân ghép. Do đó, tập A∗
có cấu trúc vị nhóm và A∗ được gọi là vị nhóm tự do trên A. Tập tất cả các từ khác
rỗng trên A được ký hiệu là A+ . Ta có A+ = A∗ − {ε}.
Độ dài |w| của từ w = a1 a2 · · · an với ai ∈ A là n. Quy ước |ε| = 0. Ánh xạ w → |w|
là một đồng cấu từ A∗ đến vị nhóm cộng N. Với n ≥ 0, ta ký hiệu
Avà
A≤n = {w ∈ A∗ | |w| ≤ n}
Đặc biệt, A<0 = ∅ và A≤0 = {ε}.
Một từ w ∈ A∗ là một khúc con của một từ x ∈ A∗ nếu tồn tại u, v ∈ A∗ sao cho
x = uwv. Quan hệ “là một khúc con của” là một quan hệ thứ tự bộ phận trên A∗ . Một
khúc con w của x là khúc con thực sự nếu w = x. Một từ w ∈ A∗ là một khúc đầu
(t.ư. khúc đuôi ) của một từ x ∈ A∗ nếu tồn tại một từ u ∈ A∗ sao cho x = wu (t.ư.
x = uw). Quan hệ “là một khúc đầu của” (t.ư. “là một khúc đuôi của” ) cũng là một
quan hệ thứ tự bộ phận trên A∗ . Ta viết w ≤p x (t.ư. w ≤s x) khi w là một khúc đầu
(t.ư. khúc đuôi) của x và w

w = x). Thứ tự này có tính chất cơ bản sau đây. Nếu có từ x,
w ≤p x, w ≤p x (t.ư. w ≤s x, w ≤s x),
thì w và w so sánh được với nhau, tức là
w ≤p w hoặc w ≤p w (t.ư. w ≤s w hoặc w ≤s w)
Tập con X của A∗ được gọi là tập prefix nếu không có từ nào của X là khúc đầu
thực sự của một từ khác trong X.
Hai từ x, y ∈ A∗ được gọi là liên hợp nếu tồn tại các từ u, v sao cho x = uv, y = vu.
(Xem Hình 1.1) Khi đó ta cũng gọi v là một overlap của x và y.
Một tập con của A∗ được gọi là một ngôn ngữ trên A.
Với một ngôn ngữ X thuộc A∗ , ta ký hiệu X ∗ vị nhóm con sinh bởi X,
X ∗ = {x1 x2 · · · xn | n ≥ 0, xi ∈ X}
Tương tự, ta ký hiệu X + nửa nhóm con sinh bởi X,
X + = {x1 x2 · · · xn | n ≥ 1, xi ∈ X}.

1.2 Từ và ngôn ngữ

11

Hình 1.1 Một overlap của hai từ liên hợp x và y

Ta có
X+ =


X ∗ − {ε}
X ∗

nếu ε ∈
/ X,
nếu ε ∈ X.

Một phân tích của một từ w ∈ A∗ theo các từ của X cho bởi đẳng thức w =
x1 x2 · · · xn , xi ∈ X, i ≥ 1. Khi đó, ta cũng nói w có một X-phân tích. Theo định nghĩa,
mỗi từ w ∈ X ∗ có ít nhất một X-phân tích. Để dễ hình dung, ta thường biểu diễn một
X-phân tích w = x1 x2 · · · xn bằng hình sau.

Hình 1.2 Một X-phân tích của từ w
Cho X, Y ⊆ A∗ là các ngôn ngữ. Tích của X và Y , thương trái, thương phải của
X bởi Y là các ngôn ngữ được định nghĩa ở mục trước với vị nhóm M = A∗ . Với
u, v ∈ M, ta sẽ viết uv thay cho u.v. Khi đó
XY = {xy|x ∈ X, y ∈ Y },
Y −1 X = {w ∈ A∗ | yw ∈ X, y ∈ Y },
XY −1 = {w ∈ A∗ | wy ∈ X, y ∈ Y }.

Ký hiệu u−1 X, Xu−1 được sử dụng khi tập Y chỉ có một phần tử Y = {u}.
Tính chất 1.2
X −1 Z.

Cho X, Y, Z ⊆ A∗ là các ngôn ngữ. Khi đó X −1 (Y ∪ Z) = X −1 Y ∪

Chứng minh. Chứng minh X −1 (Y ∪Z) ⊆ X −1 Y ∪X −1 Z. Với w bất kỳ, w ∈ X −1 (Y ∪Z),
tồn tại x ∈ X sao cho xw ∈ Y ∪ Z. Từ xw ∈ Y hoặc xw ∈ Z ta có w ∈ X −1 Y hoặc
w ∈ X −1 Z. Vậy w ∈ X −1 Y ∪ X −1 Z.
Chứng minh X −1 Y ∪ X −1 Z ⊆ X −1 (Y ∪ Z). Với w bất kỳ, w ∈ X −1 Y ∪ X −1 Z, tồn
tại x ∈ X sao cho xw ∈ Y hoặc xw ∈ Z. Từ xw ∈ Y ∪ Z ta có w ∈ X −1 (Y ∪ Z).


12

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ

Tính chất 1.3
Z −1 X.

Cho X, Y, Z ⊆ A∗ là các ngôn ngữ. Ta có (Y ∪ Z)−1 X = Y −1 X ∪

Chứng minh. Chứng minh (Y ∪Z)−1 X ⊆ Y −1 X∪Z −1 X. Với w bất kỳ, w ∈ (Y ∪Z)−1 X,
tồn tại u ∈ Y ∪ Z sao cho uw ∈ X. Nếu u ∈ Y thì uw ∈ X và w ∈ Y −1 X. Nếu u ∈ Z
thì uw ∈ X và w ∈ Z −1 X. Vậy, w ∈ Z −1 X ∪ Z −1 X.
Chứng minh Y −1 X ∪ Z −1 X ⊆ (Y ∪ Z)−1 X. Với w bất kỳ, w ∈ Y −1 X ∪ Z −1 X. Nếu
w ∈ Y −1 X, thì tồn tại y ∈ Y sao cho yw ∈ X. Nếu w ∈ Z −1 X, thì tồn tại z ∈ Z sao
cho zw ∈ X. Tức là, tồn tại u ∈ Y ∪ Z sao cho uw ∈ X. Vậy, w ∈ (Y ∪ Z)−1 X.

1.3

1.3.1

Otomat và ngôn ngữ chính quy
Otomat

Cho A là một bảng chữ, một otomat trên A là một bộ A = (Q, A, F) gồm một tập
hữu hạn các trạng thái Q và tập các cung F ⊆ Q × A × Q, mỗi cung có dạng (p, a, q)
với p là đỉnh đầu, q là đỉnh cuối và a là nhãn của cung. Ta còn biểu diễn một otomat
với tập trạng thái khởi đầu I ⊆ Q và tập trạng thái kết thúc T ⊆ Q bởi (Q, A, F, I, T )
hoặc ngắn gọn (Q, I, T ) khi A và F cố định.
Otomat A = (Q, A, F) là hữu hạn nếu tập trạng thái Q hữu hạn.
Một đường đi trong otomat A là một dãy c = (f1 , f2 , . . . , fn ) các cung liền nhau
fi = (qi , ai , qi+1 ),

1 ≤ i ≤ n.

Số n được gọi là độ dài của đường đi c. Từ w = a1 a2 · · · an là nhãn của đường c.
Trạng thái q1 là điểm đầu và trạng thái qn+1 là điểm cuối của c. Để thuận tiện khi
tham chiếu đến đường đi c, ta sử dụng ký hiệu
c : q1 −→ qn+1 .
w

Quy ước, với mỗi trạng thái q ∈ Q, có một đường đi độ dài 0, nhãn ε, từ q đến q.
Một đường đi c : i −→ t là đường đi thành công nếu i ∈ I và t ∈ T . Ngôn ngữ đoán
nhận được bởi A, ký hiệu là L(A), được định nghĩa là tập các nhãn của các đường đi
thành công: L(A) = {w ∈ A∗ | ∃c : i −
→ t, i ∈ I, t ∈ T }.
Một otomat A = (Q, I, T ) là đơn định nếu Card(I)=1 và nếu
w

(p, a, q), (p, a, r) ∈ F ⇒ q = r.
Vì vậy, với mỗi p ∈ Q và a ∈ A, có nhiều nhất một trạng thái q ∈ Q sao cho
p −→ q. Với p ∈ Q và a ∈ A, ta định nghĩa

q
nếu (p, a, q) ∈ F,
p.a =
∅
nếu (p, a, q) ∈
/ F.
a


1.3 Otomat và ngôn ngữ chính quy

13

Hàm bộ phận
Q × A −→ Q
định nghĩa như trên được mở rộng cho từ bằng cách đặt, với mọi q ∈ Q,
p.ε = p,
và, với w ∈ A∗ và a ∈ A,
p.wa = (p.w).a.
Hàm định nghĩa như trên được gọi là hàm chuyển của A. Khi đó, với I = {i} ta có
L(A) = {w ∈ A∗ | i.w ∈ T }.

1.3.2

Ngôn ngữ chính quy

Lớp các ngôn ngữ chính quy trên A∗ (trên A+ ) được ký hiệu là RecA∗ (RecA+ ). Ta
biết rằng RecA∗ là lớp các ngôn ngữ sinh bởi các ngôn ngữ {a}, với a là một chữ cái
thuộc A, các phép toán Boole (∪, ∩, −), phép nhân ghép và phép lặp *, và cũng là lớp
các ngôn ngữ đoán nhận được bởi otomat hữu hạn, RecA+ = {L ∈ RecA∗ | L ⊆ A+ }.
Ta có
Mệnh đề 1.1 ([5]) Lớp các ngôn ngữ chính quy trên A∗ đóng đối với phép toán
Boole: phép hợp (∪), phép giao (∩), phép lấy phần bù (−).
Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ chính quy. Ta định nghĩa một otomat hữu hạn đặc
biệt A(X) = (Q, i, T ) như sau. Các trạng thái của A(X) là các tập khác rỗng
u−1 X
với u ∈ A∗ . Trạng thái khởi đầu là X = ε−1 X, và các trạng thái kết thúc có chứa từ
rỗng. Hàm chuyển cho một trạng thái Y = u−1 X và một chữ cái a ∈ A được cho bởi
Y −
→ a−1 Y .
a

Đây là một hàm bộ phận và ta có
L(A(X)) = X.
Ta biết rằng theo [5], otomat A(X) được gọi là otomat tối tiểu của X theo nghĩa
đơn định, có số trạng thái ít nhất mà đoán nhận X.
Cho A = (Q, i, T ) là một otomat đơn định. Ta xem xét tập F của các hàm bộ phận
từ Q đến Q. Các hàm này được viết về phía bên phải: nếu q ∈ Q và m ∈ F khi đó ảnh
của q bởi m được ký hiệu là qm. Hàm hợp được định nghĩa bởi


14

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ
q(mn) = (qm)n.
Khi đó, F lập thành một vị nhóm.

Xét ϕ là một ánh xạ cho tương ứng mỗi từ w ∈ A∗ một hàm bộ phận từ Q đến Q

định nghĩa bởi
qϕ(w) = q.w.
Khi đó, ánh xạ ϕ là một đồng cấu từ A∗ đến vị nhóm F, và vị nhóm ϕ(A∗ ) của F
được gọi là vị nhóm các phép chuyển dịch của otomat A.
Một đồng cấu ϕ từ A∗ đến một vị nhóm M được gọi là thỏa ngôn ngữ X ⊆ A∗ nếu
tồn tại B ⊆ M, B = ϕ(X) sao cho
ϕ−1 (B) = X.
Khi đó, ta cũng nói X thỏa bởi M và X cho bởi một bộ ba (ϕ, M, B).
Cho X, Y ⊆ A∗ là các ngôn ngữ. Ta thiết lập bổ đề kỹ thuật sau đây về tính thỏa
được làm cơ sở xây dựng các thuật toán trên vị nhóm trong các chương tiếp theo.
Bổ đề 1.1

Giả sử h : A∗ → M là một toàn cấu vị nhóm thỏa X và Y và giả sử

X = h−1 (K), Y = h−1 (L), h(X + ) = T với K, L, T ⊆ M. Khi đó
X ∪ Y = h−1 (K ∪ L), X ∩ Y = h−1 (K ∩ L), X − Y = h−1 (K − L),
X −1 Y = h−1 (K −1 L), XY −1 = h−1 (KL−1 ), (X + )−1 Y = h−1 (T −1 L),
Y (X + )−1 = h−1 (LT −1 ).
Chứng minh. Giả sử X = h−1 (K), Y = h−1 (L), K, L ⊆ P , ta chứng minh X ∪ Y =
h−1 (K ∪ L).
Trước hết, ta chứng minh X ∪ Y ⊆ h−1 (K ∪ L). Thật vậy, với mọi w ∈ X ∪ Y , ta
có h(w) ∈ K hoặc h(w) ∈ L. Vậy X ∪ Y ⊆ h−1 (K ∪ L).
Ngược lại, ta chứng minh h−1 (K ∪ L) ⊆ X ∪ Y . Thật vậy, với mọi w ∈ h−1 (K ∪ L),
ta có h(w) ∈ K ∪ L. Nghĩa là w ∈ X ∪ Y . Vậy h−1 (K ∪ L) ⊆ X ∪ Y .
Ta chứng minh tương tự cho các quan hệ X ∩Y = h−1 (K ∩L), X −Y = h−1 (K −L),
X −1 Y = h−1 (K −1 L) và XY −1 = h−1 (KL−1 ).
Từ giả thiết h(X + ) = T và X = h−1 (K) ta có K + = T . Để chứng minh (X + )−1 Y =
h−1 (T −1 L), ta chứng minh (X + )−1 Y ⊆ h−1 (T −1 L) và h−1 (T −1 L) ⊆ (X + )−1 Y .

Trước hết, ta chứng minh (X + )−1 Y ⊆ h−1 (T −1 L). Thật vậy, với mọi w ∈
(X + )−1 Y , tồn tại x1 , x2 , . . . , xn ∈ X, y ∈ Y sao cho x1 x2 · · · xn w = y. Từ đó suy ra
h(x1 ).h(x2 ) · · · h(xn ).h(w) = h(y) ∈ L. Hơn nữa, từ h(xi ) ∈ K suy ra h(w) ∈ (K + )−1 L.
Vậy w ∈ h−1 (T −1 L).
Ngược lại, ta chứng minh h−1 (T −1 L) ⊆ (X + )−1 . Đặt w ∈ h−1 (T −1 L), ta có
h(w) ∈ T −1 L = (K + )−1 L ⇔ ∃α ∈ K + : α.h(w) ∈ L.


1.3 Otomat và ngôn ngữ chính quy

15

Từ α ∈ K + suy ra α = α1 .α2 · · · αp , αi ∈ K, i = 1, . . . , p. Từ giả thiết h là toàn
cấu và X = h−1 (K) suy ra tồn tại xi ∈ X, i = 1, . . . , p sao cho αi = h(xi ). Ta có
α = h(x1 x2 · · · xp ), khi đó α.h(w) = h(x1 x2 · · · xp w). Từ đó suy ra x1 x2 · · · xp w ∈
h−1 (L) = Y và ta có w ∈ (X + )−1 Y .
Chứng minh Y (X + )−1 = h−1 (LT −1 ) tương tự.
Vậy chứng minh được hoàn thành.
Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ. Với w ∈ A∗ , ta định nghĩa tập ngữ cảnh
Context(w) = {(u, v) ∈ A∗ × A∗ | uwv ∈ X}.
Tương đẳng cú pháp của X là một quan hệ tương đương ≡X trên A∗ được định
nghĩa bởi
w ≡X w ⇔ Context(w) = Context(w ).
Tập thương của A∗ / ≡X , theo định nghĩa, là vị nhóm cú pháp của X. Ta ký hiệu
vị nhóm cú pháp của X là MX và ký hiệu ϕX là đồng cấu chính tắc từ A∗ đến MX ,
gọi là đồng cấu cú pháp của X.
Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ, ta có các kết quả sau đây về tính thỏa được theo
ϕX , mối liên hệ giữa vị nhóm cú pháp của X và otomat tối tiểu A(X).
Mệnh đề 1.2 ([5]) Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ và cho ϕ : A∗ → M là một toàn
cấu vị nhóm. Nếu ϕ thỏa X thì tồn tại một đồng cấu ψ từ M đến vị nhóm cú pháp

MX sao cho ϕX = ψ ◦ ϕ.
Mệnh đề 1.3 ([5]) Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ. Vị nhóm cú pháp của X đẳng
cấu với vị nhóm các phép chuyển dịch của otomat tối tiểu A(X).
Định lý sau đây đặc trưng các tính chất của otomat hữu hạn
Định lý 1.1 ([5])

Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ. Các mệnh đề sau đây là tương

đương
(i)

X là chính quy.

(ii)

X đoán nhận được bởi một otomat hữu hạn (hoặc X là đoán nhận được).

(iii)

Otomat tối tiểu A(X) là hữu hạn.

(iv)

Họ các tập
u−1 X,
với u ∈ A∗ , là hữu hạn.

(v)
(vi)

Vị nhóm cú pháp MX là hữu hạn.
X thỏa bởi một đồng cấu từ A∗ đến một vị nhóm hữu hạn M.


16

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ

Nhận xét 1.1 Giả sử X ⊆ A+ thỏa bởi một đồng cấu vị nhóm ϕ : A∗ → M từ A∗
đến một vị nhóm hữu hạn M. Nếu X là ngôn ngữ chính quy, ta có thể chọn M là vị
nhóm các phép chuyển dịch của otomat tối tiểu đoán nhận X, hoặc vị nhóm cú pháp
MX hữu hạn của X. Ta gọi m =Card(MX ) là chỉ số của tương đẳng cú pháp của X,
hay đơn giản, m là chỉ số của X, hoặc X có chỉ số m.
Từ Bổ đề 1.1 và Mệnh đề 1.1, ta có
Hệ quả 1.1

Cho X, Y ⊆ A∗ là các ngôn ngữ chính quy, P là một vị nhóm hữu hạn

và h : A∗ → P là một toàn cấu vị nhóm. Nếu X và Y cùng thỏa bởi h, thì h thỏa tất
cả các ngôn ngữ L ∈ A (X, Y ), với A (X, Y ) là tập tất cả các ngôn ngữ sinh bởi X, Y
nhờ thực hiện một số hữu hạn các phép toán hợp, giao, lấy phần bù, lấy thương trái và
lấy thương phải.
Mệnh đề sau đây được suy từ định nghĩa cho phép ta xây dựng toàn cấu h trong
hệ quả trên.
Mệnh đề 1.4
Cho X, Y ⊆ A∗ là các ngôn ngữ chính quy, f : A∗ → M và g : A∗ →
N là các đồng cấu vị nhóm, f thỏa X và g thỏa Y . Giả sử h : A∗ → P ⊆ M × N là
một toàn cấu vị nhóm cho bởi: ∀a ∈ A∗ , h(a) = (f (a), g(a)) và P là một vị nhóm con
của M × N sinh bởi tập tất cả các phần tử h(a), a ∈ A. Khi đó h thỏa đồng thời X và
Y.

Ví dụ 1.4 Cho ϕ : A∗ → M là một đồng cấu vị nhóm thỏa X, X ⊆ A∗ , A = ∅ và cho
Y = {ε}. Ta xây dựng toàn cấu h thỏa cả X và Y theo một trong hai cách sau.
Cách 1. Cho Z2 = {0, 1} là vị nhóm nhân modulo 2 của các số nguyên với đơn vị 1.
Rõ ràng, Y = {ε} thỏa bởi đồng cấu g : A∗ → Z2 , được định nghĩa bởi: g(ε) = 1 và với
mọi a ∈ A, g(a) = 0. Ta có thể kiểm tra X và Y = {ε} cùng thỏa bởi toàn cấu vị nhóm
h : A∗ → P ⊆ M × Z2 được cho bởi: ∀a ∈ A, h(a) = (ϕ(a), 0), 1P = h(ε) = (1M , 1).
∗
Đặt K = h(A) ∪ 1P = {(h(a), 0) | a ∈ A} ∪ 1P , ta có K = P .
Cách 2. Mở rộng vị nhóm M thành vị nhóm M 1 = M ∪ {1} với 1 ∈
/ M là phần tử
1
1
đơn vị mới của M bởi điều kiện (1.x = x.1 = x, ∀x ∈ M ).
Định nghĩa h : A∗ → M 1 bởi h (a) = ϕ(a), ∀a ∈ A và h (ε) = 1.
Từ h : A∗ → M 1 ta định nghĩa toàn cấu h : A∗ → P = h (A)∗ ⊆ M 1 cho bởi h :
h(a) = h (a), ∀a ∈ A, h(ε) = h (ε) = 1.

1.4
1.4.1

Mã của các từ hữu hạn
Mã và các tính chất đại số của mã

Trong phần này ta xem xét định nghĩa và một số tính chất quan trọng của mã. Trước
hết ta nhắc lại khái niệm tích không nhập nhằng là cơ sở để xây dựng khái niệm mã.


1.4 Mã của các từ hữu hạn

17

Cho A là một bảng chữ và X, Y ⊆ A∗ là các ngôn ngữ. Tích XY là không nhập
nhằng nếu mỗi từ w ∈ XY có duy nhất một phân tích w = xy với x ∈ X, y ∈ Y .
Định nghĩa 1.1
Giả sử A là một bảng chữ hữu hạn. Tập X ⊆ A+ là mã trên A
nếu với mọi n, m ≥ 1 và với mọi x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym ∈ X, nếu có
x1 x2 · · · xn = y1 y2 · · · ym
thì khi đó
n=m

và

xi = yi

với

i = 1, . . . , n.

Cho X ⊆ A∗ là một ngôn ngữ. Từ định nghĩa của mã ta suy ra các tính chất sau
đây.
Tính chất 1.4

X là mã nếu mỗi từ w ∈ A∗ (t.ư. w ∈ X ∗ ) có nhiều nhất (t.ư. chỉ

có duy nhất) một X-phân tích.
Tính chất 1.5
Ví dụ 1.5

X là mã khi và chỉ khi X −1 X ∩ X ∗ (X ∗ )−1 = {ε}.

Ngôn ngữ X = {ab, abb, bb} trên bảng chữ A = {a, b} là mã. Thật vậy,

giả sử X không là mã. Khi đó tồn tại một từ w ∈ X + có độ dài tối tiểu thừa nhận hai
X-phân tích khác nhau,
w = x1 x2 · · · xn = y1 y2 · · · ym

với x1 = y1

(n, m ≥ 1, xi , yj ∈ X). Từ x1 = y1 suy ra x1 là khúc đầu của y1 hoặc ngược lại. Giả
sử x1 là khúc đầu của y1 . Với X như trên, ta có x1 = ab và y1 = abb. Từ đó suy ra
x2 = bb, y2 = bb. Vậy y1 = x1 b, y1 y2 = x1 x2 b. Thực hiện chứng minh quy nạp theo
k ≥ 1, ta có xk+1 = bb và yk+1 = bb. Từ đó suy ra y1 y2 · · · yk+1 = x1 x2 · · · xk+1 b với mọi
k ≥ 1. Điều này có nghĩa là không thể có từ w hữu hạn thừa nhận hai X-phân tích
khác nhau, trái với giả thiết.

Hình 1.3 Khởi đầu một phân tích kép của từ w

Ví dụ 1.6 Cho A = {a, b} và X = {b, abb, abbba, bbba, baabb}. Ngôn ngữ X không là
mã vì tồn tại từ w = abbbabbbaabb, w có hai X-phân tích khác nhau,
w = (abbba)(bbba)(abb) = (abb)(b)(abb)(baabb).


18

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ
Định nghĩa mã theo cách sau đây cho phép ta diễn tả ý nghĩa của thuật ngữ mã.

Mệnh đề 1.5 ([5]) Nếu X ⊂ A∗ là mã thì mỗi đồng cấu β : B ∗ → A∗ cảm sinh
một song ánh từ bảng chữ B đến X là đơn cấu. Ngược lại, nếu tồn tại một đơn cấu
β : B ∗ → A∗ sao cho X = β(B), thì X là mã.

Một đơn cấu β : B ∗ → A∗ với X = β(B) được gọi là một đồng cấu mã đối với X.
Mệnh đề 1.5 trình bày nghĩa gốc của thuật ngữ mã vì các từ của X mã hóa các chữ
cái của bảng chữ B. Thủ tục mã kết hợp một từ bản rõ b1 b2 · · · bn (bi ∈ B) với một từ
mã β(b1 ) · · · β(bn ) bởi sử dụng đồng cấu mã β. Sự kiện β là đơn cấu đảm bảo từ mã
được giải mã theo một cách duy nhất thành từ bản rõ ban đầu.
Từ Mệnh đề 1.5 ta có
Hệ quả 1.2 ([5]) Giả sử α : A∗ → C ∗ là một đơn cấu. Nếu X là mã trên A, thì
α(X) là mã trên C. Nếu Y là mã trên C, thì α−1 (Y ) là mã trên A.
Hệ quả 1.3 ([5])

Nếu X ⊂ A∗ là mã, thì khi đó X n là mã với mọi n > 0.

Ta nhắc lại rằng một vị nhóm con M của A∗ là tự do khi và chỉ khi mọi m ∈ M −{ε}
có duy nhất một phân tích trong X = (M − {ε}) − (M − {ε})2 [18]. Mã X cảm sinh vị
nhóm con tự do M của A∗ được gọi là cơ sở của M. Mối liên hệ giữa mã và vị nhóm
con sinh bởi mã được thiết lập qua các tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.6 ([5]) Giả sử A là một bảng chữ. Khi đó, mỗi vị nhóm con M của A∗
có một tập sinh cực tiểu duy nhất X = (M − {ε}) − (M − {ε})2 .
Ví dụ 1.7

Tập M = {ai , i ∈ N, i = 1} là một vị nhóm con của A∗ với A = {a, b}. Cơ

sở của M là X = {a2 , a3 }. Tuy nhiên, M không phải là vị nhóm con tự do vì a6 ∈ M
có hai phân tích khác nhau trong X, a6 = a2 .a2 .a2 = a3 .a3 .
Mệnh đề 1.7 ([5]) Nếu M là một vị nhóm con tự do của A∗ , thì khi đó tập sinh
cực tiểu của M là mã. Ngược lại, nếu X ⊂ A∗ là mã, thì vị nhóm con X ∗ của A∗ là tự
do có tập sinh cực tiểu X.
Hệ quả 1.4 ([5])
X =Y.

1.4.2

Giả sử X và Y là các mã trên A. Nếu X ∗ = Y ∗ , thì khi đó

Độ trễ giải mã

Khái niệm độ trễ giải mã được giới thiệu nhằm mở rộng các khái niệm của mã prefix
cho trường hợp mã thông thường. Ta biết rằng lớp mã prefix có độ trễ 0, do đó mã có
độ trễ giải mã giới nội là trường hợp tổng quát của mã prefix. Ta nhắc lại rằng ngôn
ngữ X ⊂ A∗ là mã prefix khi và chỉ khi X là mã và X là tập prefix. Khái niệm độ trễ
giải mã được định nghĩa như sau.


1.4 Mã của các từ hữu hạn

19

Định nghĩa 1.2
Giả sử X là một tập con của A+ . Khi đó X được gọi là có độ trễ
giải mã hữu hạn nếu có một số nguyên d ≥ 0 sao cho
∀x, x ∈ X, ∀y ∈ X d , ∀u ∈ A∗ , xyu ∈ x X ∗ ⇒ x = x .

(1.1)

Dễ thấy rằng nếu hệ thức (1.1) thoả mãn với d nào đó thì nó cũng đúng với mọi
d ≥ d. Nếu X có độ trễ giải mã hữu hạn thì số nguyên nhỏ nhất thoả hệ thức (1.1)
được gọi là độ trễ giải mã của X, số nguyên bất kỳ thỏa hệ thức (1.1) được gọi là độ
trễ giải mã yếu của X.
Ví dụ 1.8

Cho A = {a, b}. Khi đó tập X = {ab, abb, baab} có độ trễ giải mã d = 1

và tập Y = {a, ab, b2 } có độ trễ giải mã vô hạn.
Ta có mệnh đề sau đây về mối quan hệ giữa mã và độ trễ giải mã.
Mệnh đề 1.8 ([5])
Ví dụ 1.9
X là mã.

1.4.3

Cho X ⊂ A∗ . Nếu X có độ trễ giải mã hữu hạn thì X là mã.

Cho tập X như trong Ví dụ 1.8. Bằng định nghĩa, ta có thể kiểm tra tập

Tiêu chuẩn kiểm định mã

Thuật toán kiểm định mã là một thuật toán cốt lõi và kinh điển trong lý thuyết mã,
cần thiết cho các nghiên cứu về mã truyền thống và các hình thức mã mới. Trong phần
này, ta nhắc lại thuật toán kinh điển Sardinas-Patterson.
Cho một ngôn ngữ X ⊆ A+ , ta xem xét các tập phần dư Ui kết hợp với X được
định nghĩa đệ quy như sau.
U1 = X −1 X − {ε}
Ui+1 = Ui−1 X ∪ X −1 Ui ,

i ≥ 1.

(1.2)

Định lý cơ bản sau đây của Sardinas và Patterson cung cấp một tiêu chuẩn kiểm
định mã.

Định lý 1.2 ([5])

Tập X ⊆ A+ là mã khi và chỉ khi các tập Ui được định nghĩa

theo công thức (1.2) không chứa từ rỗng.
Đối với lớp ngôn ngữ chính quy, ta có kết quả quan trọng là
Mệnh đề 1.9 ([5])

Nếu X là một ngôn ngữ chính quy, thì tập tất cả các Ui (i ≥ 1)

được định nghĩa theo công thức (1.2) là hữu hạn.
Mệnh đề 1.9 khẳng định Định lý 1.2 cung cấp cho ta một thuật toán kiểm định một
ngôn ngữ chính quy cho trước có là mã không. Tuy nhiên, cho đến nay việc xác định
chính xác độ phức tạp của thuật toán kiểm định mã vẫn còn là vấn đề mở (xem [6]).