Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10

GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: HÌNH HỌC
I – VECTƠ.
1. Cho  ABC đều tâm O. Gọi M là một điểm tuỳ ý bên trong  ABC. Hạ MD, ME, MF tương
3
ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng MD  ME  MF  MO .
2
HD: Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB, BC, CA. Suy ra các tam giác
..?... là các tam giác đều. Áp dụng T/c trung điểm, tính chất hình bình hành. Suy ra điều phải
chứng minh.
2. Cho  ABC đều và M là một điểm thay đổi nhưng luôn nằm trong tam giác ABC. Gọi A’,
B’, C’ là các điểm đối xứng của M lần lượt qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng khi M thay
đổi trọng tâm  A’B’C’ vẫn cố định.
HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  0 . Ta chứng minh u.a  0, u.b  0 với a, b khác 0 và
không cùng phương.
Gọi G là trọng tâm của  ABC. Chứng minh rằng. GA '  GB '  GC '  0 . Đặt
GA  GB  GC  u .
3. Cho  ABC và  A’B’C’ có cùng trọng tâm G. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các
tam giác  ABC’,  A’BC,  AB’C. Chứng minh rằng G là trọng tâm của  G1G2G3.
HD: Áp dụng AA '  BB '  CC '  0 .
4. Các đường thẳng song song với nhau đi qua 3 đỉnh A, B, C của  ABC cho trước cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A’, B’ , C’. Chứng minh rằng ba trọng tâm của ba
tam giác  A’BC,  AB’C,  ABC’ thẳng hàng.
5. Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của  ABD. I là điểm trên GC sao cho IC = 3IG.
Chứng minh rằng MA  MB  MC  MD  4MI .

6. Từ điểm M ở bên trong tam giác nhọn ABC dựng các vectơ MA ', MB ', MC ' lần lượt vuông
góc với BC, CA, AB. và MA’ = a, MB’ = b, MC’ = c. Chứng minh rằng M là trọng tâm của
 A’B’C’.
HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  0 . Ta chứng minh u.a  0, u.b  0 với a, b khác 0 và
không cùng phương.
7. Cho  ABC . Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của 
ABC và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của các cạnh. Chứng minh rằng.
a) OA  OB  OC  3OG  OH .
b) HA  HB  HC  2HO  3HG .
c) OH  2OI .
8. Cho  ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường thẳng song song với A, B, C cắt
đường tròn ngoại tiếp tịa A’, B’ , C’. Chứng minh rằng trực tâm các tam giác  ABC’,
AB’C,  A’BC thẳng hàng.
9. Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đường phân giác trong của các góc A, B, C kéo
dài lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tại A’, B’ , C’ . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp 
ABC. Chứng minh rằng OI  OA '  OB '  OC ' .
10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). Điểm H được gọi là trực tâm của tứ
giác ABCD nếu OH  OA  OB  OC  OD . Gọi H1, H2, H3, H4 lần lượt là trọng tâm của
các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng bốn đường tròn tâm H1, H2, H3, H4
bán kính R cắt nhau tại 1 điểm chính là trực tâm H của tứ giác ABCD.
11. Cho  ABC đều. P là một điểm thuộc cạnh AB. Các điểm Q, R tương ứng là hình chiếu
vuông góc của P lên AC, BC. Chứng minh rằng trung tuyến PM của  PQR đi qua trọng tâm
G của  ABC.
www.k2pi.net

Page 1


GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

12. Cho  ABC. Đường tròn nội tiếp  ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC tại M, N. Vẽ đường
trung bình DE ( DE // AB) của tam giác . Đường phân giác góc B cắt DE tại P. Chứng minh
rằng M, N, P thẳng hàng.
13. Cho  ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp  ABC tiếp xúc với cạnh BC ở D. Gọi J, K lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC, AD. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
14. Cho  ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d không đi qua G cắt GA, GB, GC lần lượt tại
GA GB GC
A’ , B’, C’ . Chứng minh rằng


 0.
GA ' GB ' GC '
15. Cho  ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của A qua B. Trên cạnh AC lấy điểm K
2
sao cho AK = AC. Chứng minh rằng I, G, K thẳng hàng.
5
16. Cho  ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CH.
Một đường thẳng d di động luôn song song với AB cắt AC ở M, cắt BC ở N. Dựng hình chữ
nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng
minh I, J, K thẳng hàng.
17. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng các trung
điểm của các đường chéo của hai tứ giác ABKI và CDIK là 4 đỉnh của một hình bình hành
hoặc 4 điểm thẳng hàng.
18. Cho  ABC. Hai điểm M, N lần lượt lấy trên hai cạnh AB, AC sao cho
MB  kMA , NC  hNA với h + k = - 1. Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
19. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P . Gọi I là điểm đối xứng của C

qua P. Đường thẳng song song với BC và đi qua I cắt đường thẳng AB tại E. Đường thẳng
song song với AB đi qua I cắt AD tại F. Chứng minh rằng P, E, F thẳng hàng.
20. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AB, CD cắt nhau tại E, các cạnh đối diện AD, BC
cắt nhau tại F. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, EF. Chứng minh M,
N, P thẳng hàng.
21. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại M, đường thẳng qua B
song song với AD cắt AC tại N. Chứng minh MN // DC.
22. Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’. Từ một điểm O bất kì đặt
OM  AA ', ON  BB ', OP  CC ', OQ  DD ' . Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
23. Cho tứ giác MNPQ. Gọi A là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ. Chứng minh rằng
nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì
tứ giác MNPQ là hình thang hoặc hình bình hành.
24. Từ điểm P trên cạnh BC của  ABC cho trước ta vẽ PN // AB và PM // AC. Xác định vị trí
của P sao cho MN có độ dài ngắn nhất.
25. Cho  ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng aIA  bIB  cIC  0 .
26. Cho  ABC không vuông và có trực tâm H. Chứng minh
tan A.HA  tan B.HB  tan C.HC  0 .
HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  0 . Ta chứng minh u.a  0, u.b  0 với a, b khác 0 và
không cùng phương.
27. Cho  ABC có , BM, CK lần lượt là 3 đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh
a(b  c) AN  b(c  a)MB  c(a  b)CK  0 .
28. Cho  ABC. Đường tròn nội tiếp  ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’,
B’ , C’. Chứng minh a AA '  bBB '  cCC '  0 .
29. Các điểm A’, B’ ,C’ lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng
minh rằng a2 GA '  b2 GB '  c2 GC '  0 .

www.k2pi.net

Page 2

GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

30. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC nhọn. Chứng minh rằng
sin 2 AOA
.  sin 2B.OB  sin 2C.OC  0 .
31. Cho  ABC. Dựng về phía ngoài các tam giác đều ABC’, A’BC, AB’C. Gọi A1, B1, C1 lần
lượt là các điểm sao cho AB’A1C’ , BA’B1C’ , CA’A1B’ là các hình bình hành. Chứng minh
rằng AA1  BB1  CC1  0 .
a
b
c
32. Cho  ABC không vuông. H là trực tâm. Chứng minh
HA 
HB 
HC  0 .
cos A
cos B
cos C
HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  0 . Ta chứng minh u.a  0, u.b  0 với a, b khác 0 và
không cùng phương.
33. M là một điểm tuỳ ý trong  ABC. Chứng minh. SMBC .MA  SMAC .MB  SMAB .MC  0 .
II – TÍCH VÔ HƯỚNG.
1. (BT_367_1/08) Với 4 điểm A,B, C,D bất kỳ. Chứng minh rằng AC  BD  AB2 + CD2 =
AD2 + BC2.
2. (BT_367_1/08) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DA và tia CB lần lượt lấy hai

điểm E, F sao cho DF = CE = CD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH = CB.
Chứng minh rằng AE  FH.
3. (BT_367_1/08) Cho đường tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đồng thời ngoại tiếp
đường tròn (O’) có các tiếp điểm M, N, P, Q lần lượt với các cạnh DA, AB, BC, CD. Chứng
minh rằng MP  NQ.
4. (BT_367_1/08) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC. D là trung điểm của cạnh AB
còn E là trọng tâm của  ACD. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì OE  CD.
5. (BT_367_1/08) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có hai đường chéo cắt nhau tại I.
Hạ IP, IQ lần lượt vuông góc với AD và BC. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của AB ,
CD . Chứng minh rằng PQ  MN.
6. (BT_367_1/08) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Các tam giác OAD và OBC lần lượt có trực tâm H và K. Chứng
minh rằng HK  MN.
1
7. Cho  ABC. Chứng minh rằng AB AC   AB 2  AC 2  BC 2  .
2
8. Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng hai lần
tổng các bình phương hai cạnh liên tiếp.
IA2 IB 2 IC 2


 1.
9. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của  ABC. Chứng minh rằng.
bc
ca
ab
HD: aIA  bIB  cIC  0 . Bình phương hai vế.
10. Cho  ABC .Trên cạnh AB lấy điểm M. Chứng minh rằng
c2 .CM 2  a2 AM 2  b2 .BM 2  (a 2  b2  c2 ) AM .BM .
11. Cho  ABC. Tìm điểm M sao cho MA2  MB2  MC 2 nhỏ nhất.

HD: MA  MB  MC  3MG . Bình phương hai vế.
12. Cho  ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn.
Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC2 = 6R2.
13. Cho  ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giả sử I, J là
trung điểm của HA và IJ. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
a) Chứng minh OH và IJ có cùng trung điểm.
b) Chứng minh AH2 = 4R2 – a2.
c) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có MA2 + MB2 + MC2 – (MH2 + 2MO2) không đổi.
d) Chứng minh rằng OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2).
14. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM  CM. Chứng minh rằng.
www.k2pi.net

Page 3


GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

a) b2 + c2 = 5a2.
b) 2(cotB + cotC) = cotA.
1
c) cot A ≥ .( Với  ABC nhọn).
3
2
BH
CH
HD: Chứng minh cot B  cot C  . Kẻ đường cao AH. cot B 

, cot C 
3
AH
AH
4
d) cosA ≥ .
5
15. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của đỉnh B lên đường chéo AC, M
và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh BM  MN.
16. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, BC,
AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB  CD.
17. Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của cnạh AB, G là trọng tâm của
 ADC. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì OG  CD.
18. Cho hai hình vuông ABCD và BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài.
Chứng minh rằng trung tuyến BE của  ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của
 BNC.
19. Cho  ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên
AM BN CP
ba cạnh AB, BC, CA sao cho
. Chứng minh AN  PM và AN = PM.


AB BC CA
20. Cho  ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của cạnh BC và D là hình chiếu vuông góc của H
lên cạnh AC và M là trung điểm của HD. Chứng minh AM  BD.
21. Từ một điểm P trong một đường tròn ta kẻ hai dây cung APB và CPD vuông góc với nhau tại
P. Chứng minh rằng đường chéo của hình chữ nhật APCQ vuông góc với BD.
22. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và có I, J lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Gọi H và K lần lượt là các trực tâm của các  ABO, CDO. Chứng minh HK  IJ.
23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường chéo cắt nhau tại M. Qua trung

điểm P của cạnh AB kẻ đường thẳng PM. Qua trung điểm Q của cạnh AB kẻ đường thẳng
QM. Chứng minh rằng nếu PM  CD thì QM  AD.
24. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK  AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD.
a) Chứng minh BMN  900 .
b) Tìm điều kiện của hình chữ nhật để  BMN vuông cân.
25. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc với nhau và nội tiếp trong một đường tròn.
Nối trung điểm M của dây AB với giao điểm S của các đường chéo. Chứng minh MS  CD.
26. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R). Chứng minh rằng nếu AB2 + CD2 = 4R2
thì hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau.
27. Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc AB , BC sao cho AM = BN. Chứng
minh rằng CM  DN.
1
1
28. Cho  ABC đều. Lấy các điểm M, N thoả mãn BM  BC , AN  AB . Gọi I là giao điểm
3
3
của AM và CN. Chứng minh rằng BI  IC.
1
1
29. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F là hai điểm được xác định bởi BE  BC , CF   CD .
3
2
Đường thẳng AE cắt BF tại I. Chứng minh rằng AI  IC.
1
30. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là sao cho AF  AD . Xác
3
định vị trí của điểm M trên đường thẳng BC sao cho EF  FM.

www.k2pi.net

Page 4


GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

31. Cho  ABC cân tại Anội tiếp đường tròn tâm O. D là trung điểm của AB. E là trọng tâm của
 ADC. Chứng minh rằng OE  CD.
32. Cho  ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I. B’ là điểm đối
xứng của B qua O . (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q . Trên BA, BC lấy các điểm K,
L sao cho BK = CQ, BL = AP. Chứng minh rằng B’I  KL.
33. Cho  ABC. Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Trên các tia
BA, CA lấy các điểm E, F sao cho EB = BC = CF. Chứng minh OI  EF.
34. Cho  ABC vuông cân tại C. Hãy dựng đoạn thẳn CC’ vuông góc với trung tuyến AA’. Hãy
BC '
tìm tỷ số
.
C'A
35. Cho  ABC. Gọi I là tâm đường tròn sao cho PA/(I) + a2 = PB/(I) + b2 = PC/(I) + c2. Chứng minh
I là trực tâm của  ABC.
36. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B. Gọi M là trung điểm của AB. Các đường
cao AH, BK của các tam giác AMD, BMC cắt nhau tại N. Chứng minh MN  CD.
III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
1. (BT_363_9/07) Cho  ABC vuông tại A với AB < AC, BC = 2 + 2 3 và bán kính đường
tròn nội tiếp r = 1. Tính góc B, C
1
HD: S = p.r AB = BC , B = 600, C = 300.

2
2. (BT_365 _11/07) Cho điểm M cố định nằm trên đoạn thảng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng
bờ AB vẽ các tia Ax , By vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh M thay đổi cắt hai tia Ax,
By lần lượt tại C,D Xác định vị trí C, D để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
MA.MB
HD: Đặt AMC  BDM   , SMCD 
. Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu thức.
2sin  .cos
3. (BT_365 _11/07) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A vẽ
hai tia vuông góc với nhau, chúng cắt (O;R) và (O’;R’) theo thứ tự tại B, C. Xác định vị trí
các tia đó để  ABC có diện tích lớn nhất.
HD: Đặt AOD  O ' AE   , S ABC  R.R '.2sin  .cos . Áp dụng BĐT Cauchy .
4. (BT_365 _11/07) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh BC = 1 và AB = 3. Trên cạnh AB lấy
điểm N sao cho 0,2 <  < 1. Đường trung trực của DN lần lượt cắt AD, DC ở E,F. Chứng
2 3
minh rằng S EFD 
.
9
1
HD: Đặt EFD  ADN   , S EFD 
. Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu thức.
8sin  .cos3
5 3
5. (Olympic 95-05) Cho  ABC thoả mãn 3 cos A  3(cos B  cos C ) 
. Chứng minh rằng
2
 ABC cân tại A và A = 1200.
HD: Áp dụng BĐT ( x.e1  ye2  ze3 )2  0 .
6. (Olympic 06) Cho  ABC . Chứng minh rằng  ABC đều khi và chỉ khi

a  b  c  ma2  mb2  mc2 .
HD: Nếu  ABC đều  đpcm.
3
Chiều ngược lại. a  2(mb2  mc2 )  ma2 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky.
2
a3  b3  c3  abc
 4R2 .
7. (Olympic 06) Cho  ABC. Chứng minh rằng
abc
www.k2pi.net

Page 5


GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

HD: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC. Ta có BĐT
2

(a  b)OC  (b  c)OA  (c  a)OB   0


8. (Olympic 06) Cho  ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng.
HD: Công thức Heroong. S2 > 0.

13

1
 a 2  b2  c 2  4abc 
27
2

1 4
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc ≥   (ab  bc  ca) . và 3(ab +bc + ca) ≤ (a
9 9
+ b + c)2.
9. Cho  ABC thoả mãn cot A + cot C = 2 cotB. Chứng minh rằng B ≤ 600.
10. Cho  ABC và  x, y, z R . Chứng minh rằng:
1
a) yzcosA + xzcosB + xycosC ≤ (x2 +y2 + z2).
2
5 3
b) 3 cos A  3(cos B  cos C ) 
.
2
c) 2(cos A  cos B)  cos C  2 .
1
d) yz cos 2 A  xzcos2 B  zxcos2C   ( x 2  y 2  z 2 ) .
2
1
e) yz sin 2 A  xz sin 2 B  xysin 2 C  ( x  y  z ) 2
4
ab
ac
bc
11. Cho  ABC. Chứng minh rằng



 4p .
p c p b p a
HD: Đặt x = a +b – c, y = b+ c – a, z = a + c – b.
1
1
1
p
 2
 2

12. Cho  ABC. Chứng minh rằng 2
.
a  bc b  ca c  ab abc
HD: Áp dụng BĐT Cauchy ở mẫu. Sau đó áp dụng cho tử.
13. Cho  ABC và các số thực x, y, z sao cho ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng.
a) xy + yz + zx ≤ 0.
b) cxy + bzx + ayz ≤ 0.
HD: Rút một ẩn chuyển về tam thức bậc hai có a < 0,  < 0.
14. Cho  ABC. Chứng minh rằng (1 + b + c – bc)cosA + (1 + a + c – ac)cosB + (1 + a + b –
ab)cosC ≤ 3.
HD: Chuyển về BĐT theo cạnh.
15. Cho  ABC . Chứng minh rằng.
1 1 1
3
a)   
.
a b c
2 Rr
HD: Công thức tính diện tích .

1
1
1
1


 2.
b)
2
2
2
( p  a)
( p  b)
( p  c)
r
2
2
2
HD: BĐT x + y + z ≥ xy + yz + zx.
1
16. Cho  ABC có trọng tâm G. Chứng minh GA2  GB 2  GC 2  (a 2  b2  c 2 ) .
3
HD: GA  GB  GC  0 . Bình phương hai vế.
3
Từ bài toán này ta có thể chứng minh ma2  mb2  mc2  (a 2  b2  c 2 ) .
4

www.k2pi.net

Page 6

GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

17. Cho  ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là một điểm trên cung nhỏ BC . Chứng
minh MA = MB + MC.
0

HD: Phép quay QB60 .
18. Cho  ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng.
a) MA2 + MB2 + MC2 ≥ MA.GA + MB.GB + MC.GC ≥ GA2 + GB2 + GC2 .
HD: | a || b | a.b . và BĐT a2 + b2 ≥ 2ab.
9
b) Chứng minh rằng. ma  mb  mc  R .
2
1
1
1
2


 .
ma mb mc R
HD: Thay điểm M bởi tâm đường tròn ngoại tiếp.
1
1

3
19. Cho  ABC . Chứng minh rằng B = 600 khi và chỉ khi
.


ab bc abc
sin A
20. Chứng minh rằng  ABC cân tại A khi và chỉ khi
 2.
sin B.sin C
HD: Áp dụng ĐL sin.
21. Cho  ABC. Chứng minh rằng
a) a2 + b2 + c2 ≥ 4 3S .
HD: Áp dụng Công thức Hê – rông. Áp dụng BĐT Cauchy (p –a), (p –b) ,(p –c) và
4 2
p  a 2  b2  c 2 .
3
b) cotA + cotB + cotC ≥ 3 .

3
3
(a + b + c).
c . Chứng minh rằng ma + mb + mc =
2
2
HD: GT  a2 + b2 = 2c2.
23. Cho  ABC .
a
a) Chứng minh rằng b + c ≥  3la .
2

2
HD: la 
bcp( p  a) . Áp dụng BĐT Cauchy bc ≤ ? , 3( p  a). p ≤ ?.
bc
3
(a  b  c) .
b) Chứng minh rằng la  lb  lc 
2
r 1
24. Cho  ABC. Chứng minh rằng  .
R 2
r (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)
HD: Công thức tính diện tích  
. Áp dụng BĐT
R
2abc
Cauchy (a + b – c)(a –b + c)(- a + b +c ) ≤ abc.
25. Cho  ABC. Chứng minh rằng.
a) a + b + c ≤ 3 3R .
abc
HD: Áp dụng CT tính diện tích và BĐT Cauchy R =
≥?
4 p( p  a)( p  b)( p  c)
22. Cho  ABC có mc =

b) sinA + sinB + sinC ≤

3 3
.
2

HD: Định lí sin.
26. Hãy nội tiếp trong một đường tròn cho trước một tam giác có diện tích lớn nhất.
www.k2pi.net

Page 7


GV: Trần Đình Hiền

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

abc
3 3R 2
.
 ...... 
4R
4
27. Hãy ngoại tiếp một đường tròn cho trước một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
p2
HD: pr  S  ?  ...... 
.
3 3
S
AB. AC
28. a) Cho  ABC và  A’B’C’ có BAC  B ' A ' C ' . Chứng minh rằng. ABC 
S A ' B ' C ' A ' B '. A ' C '
b) Cho  ABC có diện tích S. Gọi M là một điểm trong tam giác . AM, BM, CM theo thứ tự

1
cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng SA’B’C’ ≤ S .
4
c) Cho  ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là một điểm trong tam giác Các đường
thẳng AM, BM, CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng
S ABC
MA.MB.MC

S A ' B ' C ' MA '.MB '.MC '
d) Cho  ABC có diện tích S và có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần
1
lượt tại A’,B’,C’ . Chứng minh rằng SA’B’C’ ≤ S .
4
e) Cho  ABC có diện tích S và có 3 đường phân giác trong của các góc A, B, C cắt ba cạnh
1
BC, CA, AB lần lượt tại A’,B’,C’ . Chứng minh rằng SA’B’C’ ≤ S .
4
f) Cho  ABC có diện tích S và có 3 đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C cắt ba cạnh BC, CA,
1
AB lần lượt tại A’,B’,C’ . Chứng minh rằng SA’B’C’ ≤ S .
4

HD: S 

29. Cho  ABC có

c mb

 1 . Chứng minh rằng. 2cot A  cot B  cot C .
b mc

ha
2r
.

la
R
m
bc
31. Cho  ABC . Chứng minh rằng a 
.
la
2 bc
1
1
1
1
1
 2 2 2  2.
32. Cho  ABC. Chứng minh rằng
2 Rr a
b
c
4r
33. Cho  ABC có trung tuyến BM cắt trung tuyến CN tại G. Giả sử tứ giác ANGM nội tiếp
được đường tròn. Chứng minh rằng cos2A + 2sinB.sinC.cosA = 1.
1  cos B
2a  c

34. Cho  ABC có

. Chứng minh rằng  ABC cân.
sin B
4a 2  c 2
30. Cho  ABC chứng minh rằng.

35. Cho  ABC có a4 = b4 + c4. Chứng minh rằng  ABC có ba góc nhọn và 2sin2A = tanB.tanC.
36. Cho  ABC có cotB + cotC = 2cotA. Chứng minh rằng A ≤ 600.
37. Cho  ABC. Chứng minh rằng.
a) p( p  a)  ma .
HD: Bất đẳng thức Cauchy.
b) ma.mb.mc ≥ p.S
c) la ≤ ma.
38. Cho  ABC. Chứng minh rằng.
www.k2pi.net

Page 8


GV: Trần Đình Hiền
a) ama ≤

-

Trường THPT Đặng Thúc Hứa

a 2  b2  c2

.
2 3
HD: Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến và BĐT Cauchy.

a
b
c
b)


2 3.
ma mb mc
1 1 1
39. Cho  ABC. Chứng minh rằng A = 1200    .
b c la
40. Cho  ABC . Chứng minh rằng ha + hb + hc ≥ 9r.
HD: Công thức tính diện tích và BĐT Cauchy.
41. Cho  ABC. Chứng minh rằng.
a) la ≤ p( p  a) .
ha hb hc
2r
.
   33
la lb lc
R
HD: BĐT Cauchy.
42. Cho  ABC. Chứng minh rằng
1
bc
a) 2
.

a  bc 4abc
1

1
1
1
b) 2
.
 2
 2

a  bc b  ca c  ab 4Rr
1 1 1
3
43. Cho  ABC. Chứng minh rằng   
.
a b c
2 Rr
44. (Olimpic 03_10) Cho  ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với đường phân giác AD
CM 3
và

5  2 5 . Tính góc A.
AD 2
1
c. AC  bAB
HD: CM  AB  AC , AD 
. CM . AD  0  AB  2 AC suy ra  AMC cân
2
bc
CM 2
tại A. Tính AD2 = ? và CM2 = ?. Tính tỉ số
. Suy ra A = 720.

2
AD
45. (Olimpic 03_10) Chứng minh rằng   ABC nhọn ta có
b
c
a
 a
 b
 c


 c 

 a 

 b   27abc .

 cos B cos A
 cos C cos B
 cos A cos C

HD: Chuyển về theo cạnh a, b, c. Đặt x = b2 + a2 – c2,y = c2 + a2 – b2,z = c2 + b2 – a2,
46. (Olimpic 03_10) Cho  ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp  ABC có các cạnh tương ứng
abc
a,b, c. Chứng minh rằng IA.IB.IC 
.
3 3
HD: Chứng minh. a.IA  b.IB  c.IC  0 . Bình phương vô hướng

b)

www.k2pi.net

Page 9