Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

www.k2pi.net
TÀI LIỆU TOÁN THPT
Năm 2007
T77. Trong Oxy cho các điểm A(0;12); B(10;9); C(8;0); D(-4;7). Gọi T là hình
vuông sao cho mỗi điểm trong bốn điểm trên thuộc một cạnh khác nhau của T. Gọi S
là diện tích của T. Tìm phần dư khi lấy 10S chia 1000.
Năm 2008
T19. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1;2). Đường phân giác trong
 của góc A có phương trình: 2x+y-1= 0, khoảng cách từ C đến  bằng hai lần
khoảng cách từ B đến  . Tìm tọa độ A, C. Biết C nằm trên trục tung.
T28. Cho đường thẳng  : 3x+4y-25=0; M chạy trên  . Trên tia OM lấy N sao cho
OM.ON=1. Chứng minh rằng N chạy trên một đường tròn cố định, viết phương trình
đường tròn đó.
T55. Cho parabol (P): y=  x 2 và đường thẳng:y=-mx-1 (d). Chứng minh rằng khi m
thay đổi thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Hãy tìm quỹ
tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN khim thay đổi.
T60. Cho đường tròn (C): x 2  y2  1. Đường tròn cắt trục tung tại A(0;1) và B(0;-1).
Đường thẳng y=m [(-1đường thẳng qua B, S tại P. Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi.
T93. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm CD; N là điểm di
động trên BC sao cho BN= n ( 0  n  1) và điểm P là điểm nằm trên AB sao cho
DP//MN. Chứng minh rằng đường thẳng PN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố
định.
T124. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng (d1): 3x-y-4=0, (d2): x+y-6=0, (d3):
x+3y-3=0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A, C  (d3), B (d1), D (d2).
T126. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Trên AB,Ac lần lượt lấy M
AM AN
và N sao cho MN tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh:

 1.
MB NC

T128. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng : (d1): x-2y-2=0; (d2):2x+3y-11=0.
Đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1)và (d2) cắt hai tia Ox và Oy lần lượt tại A
1
1
và B. Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho:
nhỏ nhất.

2
OA
OB2
Năm 2009
T7. Trong Oxy cho A(4;1); B(-3;0); C(6;0). Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ABC và tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d): -3x+y=0 sao cho
MA2  2MB2  3MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
T9. Cho A(3;1); B(-1;2) và điểm M di động trên đường thẳng (d): y=x. Đường thẳng
MA, MB cắt trục hoành trục tung lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng đường thẳng
PQ luôn đi qua một điểm cố định.
x2
 y 2  1. Từ điểm M  (C) kẻ
T10. Cho đường tròn (C): x 2  y2  16 và elip (E):
4
hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (E) với T1, T2 là các tiếp điểm. Chứng minh đường thẳng
T1T2 luôn tiếp xúc với một elip cố định.


www.k2pi.net
TÀI LIỆU TOÁN THPT
3
T11. Cho tam giác ABC có A(3;4); B(-1;2) có diện tích S= (đvdt) và trọng tâm tam
4

giác thuộc đường thẳng (d): x-3y+4=0. Tìm C.
T11. Trong Oxy cho parabol (P): y 2 =2px và đường thẳng (d): 2mx-2y-mp=0. Gọi M,
N là các giao điểm của (P) và (d). Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn
tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định.
T14. Trong Oxy cho đường thẳng (  ), điểm M chạy trên (  ). Trên tia OM lấy điểm
N sao cho OM.ON=1. Chứng minh rằng N chạy trên một đường tròn cố định. Viết
phương trình đường tròn đó.
2
2
T15. Trong Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:  x  2008   y  2008  1,
đường thẳng  có phương trình: y=x+1 và cho B(2009, 2010). Trên (T) lấy điểm D
bất kì, trên  lấy C sao cho tam giác BCD cân tại C. Gọi A là tâm của đường tròn
(T). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác ACD.
T15. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d): x-2y+7=0 và tiếp
xúc với (P): y2  2x và có bán kính nhỏ nhất.
T16. Trong Oxy cho tam giác ABC có A(3;2)trực tâm H(1;0) và gốc O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ B, C.
x 2 y2
T17. Trong Oxy cho elip (E):

 1 . Gọi A, B, C là ba điểm bất kì thuộc (E).
16 9
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
T19. Trong Oxy cho hai đường tròn tâm A(1;0) bán kính ra =4, và tâm B(-1;0) bán
kính rb =2. Tìm tập hợp tâm I(x;y) của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn
nói trên. Tập hợp đó gồm những đường gì.
T21. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(1;-5); B(4;-1); C(- 4;-5). Tìm tọa độ tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
T22. Trong Oxy cho đường tròn (C): x 2  y2  20092 . Từ điểm M thuộc (C) ta kẻ hai
trình đường cong tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) (với T1, T2 là các tiếp điểm ). Chứng

minh rằng đường thẳng T1T2 luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. Viết phương
đó.
T24. Trong Oxy cho đường tròn (C): x 2  y2  R 2 (R>0). P là điểm cố định nằm
trong đường tròn (C) ( P không trùng với O). M là điểm di động trên (C). Dựng hình
chữ nhật PMNQ sao cho đỉnh Q cũng thuộc đường tròn (C). Tìm quỹ tích điểm N khi
M di động trên (C).
Năm 2010
T12. Trong mặt phẳng Oxy có đường tròn cố định (C) tâm là gốc tọa độ, bán kính R
và điểm M chạy trên 1 đường thẳng cố định (không cắt (C)) đi qua M 0 (a;b), véc tơ
chỉ phương ( ,  ). Chứng minh rằng: Khi kẻ các tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C), T1,T2
là các tiếp điểm thì đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm
cố định đó.
T13. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;1), B(3;2), C(7;10). Viết phương trình
đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B,C đến  là lớn nhất.


www.k2pi.net
TÀI LIỆU TOÁN THPT
T15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có B(-5;0), C(7;0), bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r  2 13  6 . Tìm tọa độ tâm I của đường
tròn nội tiếp tam giác ABC biết I có tung độ dương.
T16. Trong hệ trục tọa độ vuông góc, cho A(0;3), B(4;3), C(4;0) tìm M  OA,
N AB, P BC, Q OC (M, N, P, Q không trùng với O, A, B, C) sao cho tứ giác
MNPQ có chu vi nhỏ nhất
x 2 y2
T9. Cho hypebol (H): 2  2  1 , đỉnh A thuộc nhánh phải của (H) và tiêu điểm F1
a
3a
thuộc nhánh trái. Một đường tròn di động đi qua A và F1 cắt (H) tại M, N, P (M, N, P
không trùng A). Chứng minh rằng tam giác MNP đều.

(x  30)2 (y  4) 2
T19. Trong Oxy cho elip (E):

 2010 . Gọi R1, R2, R3, R4 lần
30
4
lượt là diện tích của phần giới hạn bởi elip và góc phần tư thứ nhất, thứ 2, thứ 3, thứ
4. Tính R1+R3-R2-R4.
 x 1 t
T20. Trong Oxy cho A(1;4), B(2;1) và đường thẳng d: 
 y  2  t
a, Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB
b, Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d, hãy viết phương trình
các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là lớn nhất.
x2
3
4
T20. Trong Oxy cho elip (E):
 y 2  1 và 3 điểm A(-4; ), B(-3;  ), C(5;0)
5
5
25
1
thuộc (E). M(-2;  ) là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Giả sử N là một điểm
5
bất kì nằm trên (E) và không trùng với các điểm A, B, C. Các đường thẳng qua N lần
lượt song song với các đường MA, MB, MC cắt BC, CA, AB tại L, P, Q. chứng minh
rằng L, P, Q thẳng hàng.
T21. Cho A(3;1), B(-1;2) và điểm M di động trên đường thẳng (d): y=x. Chứng minh
rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

x 2 y2
T21. Cho hypebol (H): 2  2  1 . Một đường tròn thay đổi luôn đi qua tiêu điểm
a
3a
F1(-c;0) và đỉnh A(a;0) cắt (H) tại ba điểm M, N, P (M, N, P không trùng với A). Gọi
G là trọng tâm của tam giác MNP.Chứng minh rằng: NP.GM  MP.GN  MN.GP  0
T25. Trong Oxy cho tam giác ABC có A(0;1), B(-3;-3), C(8;7). Gọi Bx và Cy lần
lượt là tia đối của tia BA và CA.. Tìm tọa độ tâm đường tròn tiếp xúc với BC, Bx,
Cy.
T26. Trong Oxy cho tam giác ABC cân tại A có các cạnh BC, AB lần lượt có
phương trình: x+2y-2=0 và 3x-y+10=0. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC biết M(2;2) thuộc AC.


www.k2pi.net
TÀI LIỆU TOÁN THPT
T31. Trong Oxy cho các điểm A, B, C có tọa độ đều nguyên nằm trên một đường
tròn bán kính R. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các khoảng cách AB, BC, CA
không nhỏ hơn  2R 

1
3

x 2 y2
T33. Trong Oxy cho elip (E):

 1 và đường thẳng (d): y= kx+m là tiếp tuyến
25 16
của (E). Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) với hai đường thẳng x=5 và x=-5. xác
định k để tam giác FMN có diện tích nhỏ nhất với F là tiêu điểm có hoành độ dương.

T34. Trong Oxy cho tam giác ABC có B(-1;0); C(1;0). A thay đổi. Gọi H, G lần lượt
là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K của
HG thuộc trục hoành.
T35. Trong Oxy cho parabol (P): y= x 2 , trên (P) lấy 2 điểm A,B. Tìm trên (P) điểm
M sao cho tổng diện tích hai hình phẳng giới hạn bởi các đoạn AM, BM và (P) là nhỏ
nhất.
Năm 2011
T12. Trong Oxy cho tam giác ABC có A(-1;5); B(-3;-10); C(7;-1). Trên các cạnh
BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm I, J, K. Xác định tọa độ I, J, K sao cho chu vi tam
giác IJK đạt giá trị nhỏ nhất.
4
T13. Trong Oxy cho tam giác ABC có A(0; ); B(-1;0); C(1;0). Gọi (P) là tập hợp
3
những điểm M trong mặt phẳng có khoảng cách đến BC bằng trung bình nhân
khoảng cách đến AB và AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tìm
tất cả hệ số góc của những đường thẳng đi qua I và có đúng ba điểm chung với (P).
x 2 y2

 30. Biết tam giác ABC có ba đỉnh nằm
T14. Trong Oxy cho hypebol (H):
4
4
trên (H). Chứng minh rằng trực tâm K của tam giác ABC cũng thuộc (H).
T20. Trong Oxy cho 3 điểm: A(1;2); B(9;-4); C(5;5)
a, Tìm tọa độ M trên AB và điểm N trên AC sao cho MN//BC và AM=CN
b, Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại E, F
sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
x 2 y2
T24. Cho elip (E): 2  2  1 (a, b>0). Gọi F1, F2 là các tiêu điểm. M chạy trên elip
a

b
(E). Phân giác của góc  F1MF2 cắt F1F2 tại N, H là hình chiếu của của N lên MF1.
Chứng minh rằng MH không đổi.
x 2 y2
T26. Cho elip (E): 2  2  1 (a, b>0). Gọi A1, A2 là hai đỉnh trên trục lớn và M là
a
b
điểm di động trên (E). Gọi H là trực tâm của tam giác MA1A2 và K đối xứng với H
qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất , thứ ba. Tìm tập hợp các điểm K.
T27. Trong Oxy cho parabol (P): y2  2px ( p>0) và đường thẳng (d) đi qua tiêu
điểm F cắt (P) tại hai điểm M1, M2. Hãy xác định vị trí của (d) để tam giác OM1M2 có
chu vi nhỏ nhất.


www.k2pi.net
TÀI LIỆU TOÁN THPT
T29. Cho elip (E) cố định tâm O. Một góc vuông xOy quay quanh O hai cạnh Ox và
Oy của nó và luôn cắt (E) tại A, B. Chứng minh rằng AB luôn tiếp xúc với một
đường tròn cố định.