phuongtrinhmonge ampere

1

PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT
KAHLER

Xét một đa tạp compact Kahler n-chiều

w=

M

trang bị dạng cơ bản:

i
å hkj dzk Ù d z j
2 k, j
.

(h )
kj

Theo định nghĩa của một đa tạp Kahler

dw= 0

dương và
dVn =

1 n
w
n!

. Dạng thể tích liên kết với metric Hec-mit được cho bởi

Ta sẽ nghiên cứu phương trình Monge-Ampere:

( ω + dd ϕ )
c

j

trong đó

là một ma trận Hec-mit xác định

là hàm chưa biết sao cho

không âm cho trước

f ∈ L1 ( M )

n

= f ωn

(3.1)

ω + dd cϕ

là dạng

( 1,1)

không âm. Một hàm

được chuẩn hóa bởi điều kiện:

ò f w = òw
n

M

n

M

.

do định lý Stokes. Sự chuẩn hóa này cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm.
f

Khi

là hàm trơn, dương phương trình (3.1) có ý nghĩa hình học như sau:


2

f wn

Cho dạng thể tích

trên

M

ta cần tìm một mê tric Kahler (được biểu diễn bởi

w+ dd cj

dạng cơ bản

) sinh ra dạng thể tích này. Hơn nữa, ta có phương trình (3.1)

phát sinh khi cho một dạng (1,1) đóng

t

biểu diễn lớp Chern của M (trong hình học

vi phân các lớp Chern có thể được biểu diễn như là các đa thức trong các hệ số của
một dạng độ cong) và ta muốn tìm một dạng Kahler
dạng độ cong Ricci của

w'

w'

) và

w'

t = Ricci (w') t
sao cho
( là

thuộc cùng một lớp Chern với

t

. E. Calabi phỏng

đoán rằng điều này có thể xảy ra. Ông cũng đã chứng minh được tính duy nhất của

w'

,

tương đương với kết quả 2 nghiệm của (3.1) sai khác nhau một hằng số. Phỏng đoán
của Calabi đã được chứng minh bởi S.T Yau trong định lý sau.
Định lý Yau. Cho

lớp Holder

f > 0, f ∈ C k ( M ) , k ≥ 3

C k +1,α ( M )

với bất kì

0 ≤α ≤1

, khi đó tồn tại một nghiệm của (3.1) thuộc

.

( X , r ), ( Y , d )

(Cho
liên tục

f : X ®Y

là các không gian mê tric, một hàm

a-

Holder

nếu tồn tại các hằng số thực không âm C, α, sao cho

d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ C ( ρ ( x, y ) )

Lipschitz. Nếu

a =0

Lớp Holder

được gọi là

α

x, y Î X

với mọi

. Nếu

a =1

f

ta nói

thỏa điều kiện

thì f là hàm bị chặn.

C k ,α ( Ω )

trong đó

W

là một tập con mở của X và

k³ 0

là một số

nguyên bao gồm các hàm trên Ω có đạo hàm đến cấp k và có các đạo hàm riêng cấp k
là liên tục

a-

Holder với 0 < α ≤ 1.)


3

Trong chương này ta sẽ mở rộng phần tồn tại nghiệm của kết quả này.
1.1. Mở đầu
M

Ta sẽ làm việc với một đa tạp compact Kahler

òw =1

với một dạng cơ bản

n

thiết

M

.

p

. Kí hiệu

là chuẩn trong

wj = w+ dd cj
thể viết:

và gọi hàm liên tục
w-

(hoặc nói vắn tắt là hàm
PSH ( ω )

là hàm

w

là hàm

p ∈ [ 1, ∞ ]

w

và giả

. Để ngắn gọn ta có

- đa điều hòa dưới nếu

đđhd). Tập tất cả các hàm

w

-đa điều hòa dưới kí

.

Nếu trong một tập con mở
j

với

j

wj ³ 0

hiệu là

Lp ( M )

w

M

tồn tại một hàm thế vị

v

v = dd cj

thỏa mãn

thì với

v +j

-đa điều hòa dưới, hàm

là một hàm đa điều hòa dưới. Do đó, các

tính chất của hàm đa điều hòa dưới như Bổ đề Hartog hoặc định lý nói rằng sự hội tụ

yếu dẫn đến sự hội tụ trong
Với tập Borel

EÌ M

p
Lloc

cũng đúng với hàm

w

-đa điều hòa dưới.

ta có thể định nghĩa dung lượng:




capω ( E ) = sup  ∫ ωϕn : ϕ ∈ PSH ( ω ) ,0 ≤ ϕ ≤ 1
E


Ta xét hai phủ mở hữu hạn

trong mỗi tập giả lồi ngặt

Vs

{ Vs } , { V 's } , s = 1, 2,...N

tồn tại

vs ∈ PSH ( Vs )

với

của

M

dd c vs = w

.

sao cho

và

V 's Ì Vs

vs = 0

trên

và

¶Vs

. Cho


4

KÌ M

một tập compact

ta định nghĩa

K s = K ÇV 's

cap 'ω ( K ) = ∑ cap ( K s , Vs )
s

sánh được với
đối của

K

, trong đó

. Ta sẽ chứng minh rằng
cap ( K ,V )

capω ( K )

so

kí hiệu dung lượng tương

đối với V . Ta biết:

n


n
cap ( K ,V ) := sup  ∫ ( dd cu ) , u ∈ PSH ( V ) , u ≤ 0, u ≤ −1 trên K  = ∫ ( dd cu K* ,V )
K
 K

u*K ,V

u K ,V

ở đây

là chính quy hóa nửa liên tục trên của

s

Với

có thể tìm

trên

V 's

cố địnhđặt

j s = u K s ,Vs - vs

ψ s ∈ PSH ( ω ) ∩ C

δ

với cùng

nơi khác trên
lân cận của

M

Ks

(M)

cho tất cả các

sao cho

s

. Chú ý rằng hàm này là

ys = 0

χs

. Lấy

j s³ - 1

w

trên

bên ngoài

bằng

Ks

và

j s =0

trên

¶Vs

Vs

và

max ( δϕs − δ ,ψ s )

trên

-đa điều hòa dưới và bằng

∫

Ks

n

(

δωϕ s + ( 1 − δ ) ω  ≥ δ n ∫ ωϕns = δ n ∫ dd cu *K s ,Vs
Ks

Ks

Do đó:
capω ( K ) ≥ capω ( K s ) ≥ δ n cap ( K s ,Vs )

Theo định nghĩa:

capω ( K ) ≤ ( C1 + 1)

n

∑ cap ( K ,V )
s

s

s

)

. Ta

j s £ - 3d< 0, d<

Vs

n

1
2

,

và bằng 0

dj s - d

. Vì vậy:

n
∫ ωχ s =

Ks

∞

. Khi đó

.

= δ n cap ( K s ,Vs )

trên một


5

trong đó

C1

chọn sao cho

vs ³ - C1

với bất kì

s

. Thật vậy, giả sử

ϕ ∈ PSH ( ω )

với

- 1
. Khi đó:

( C1 + 1) ∫ ωϕn ≤ ( C1 + 1) ∑ ∫ ωϕn ≤ ∑ cap ( K s ,Vs )
s
s
−n

−n

K

Ks

Như vậy bất đẳng thức trên đúng. Cuối cùng ta được:
δn
n
cap 'ω ( K ) ≤ capω ( K ) ≤ ( C1 + 1) cap 'ω ( K )
N
j

j

Một dãy
nếu với bất kì

các hàm xác định trong
t >0

j →∞

với

δ >0

j

được gọi là hội tụ theo dung lượng đến

:
lim capω

Bổ đề 1.1.1. Nếu

M

ϕ ∈ PSH ( ω )

và

γ

( { ϕ − ϕ ≥ t} ) = 0

là dạng

j

( 1,1)

cho trước ta có thể tìm một hàm trơn

dd cψ ≥ γ − δω

trên

Bổ đề 1.1.2. Giả sử

M

liên tục trên

ψ

thỏa mãn

M

sao cho

dd cϕ ≥ γ

ϕ <ψ < ϕ + δ

và

.

g ∈ L1 ( M )

và

ϕ ,ψ ∈ PSH ( ω )

thỏa mãn:

ωϕn ≥ gω n , ωψn ≥ gω n

thì

(3.2)

.

ωϕk ∧ ωψn −k ≥ gω n
Chứng minh. Mệnh đề có tính địa phương nên nó tương đương với:
Với mọi

u, v ∈ PSH ( B ) ∩ C ( B ) B

( là một quả cầu trong

£n

) thỏa mãn:

thì


6

( dd u )

n

c

( dd u ) ∧ ( dd v )
c

ta có

k

c

n−k

n

≥ gdV

, trong đó

g ∈ L1 ( B )

.

g >0

u, v

Với hàm trơn

≥ gdV , ( dd c v ) ≥ gdV

và

thì bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ma trận quen
A ® log det1/ n A

biết được suy ra từ tính lõm của ánh xạ

xác định trên tập các ma trận

u, v Î C1,1

Hecmit xác định dương. Nếu

dd c u, dd c v

thì

có thể ước lượng từng điểm hầu

khắp nơi và vì thế mệnh đề cũng đúng trong trường hợp này. Tiếp theo ta sẽ chứng

minh mệnh đề với

trên

B

g ∈ L2 ( B )

g

và tiến đến

fj →u

cho

trong

gj

. Cho

L2 ( B )

hj → v

và

đều trên

Ta có thể tìm

∂B

là một dãy các hàm đa điều hòa dưới, dương
f j , hj

. Cố định hai dãy

các hàm trơn trên

∂B

sao

.

u j , v j ∈ PSH ( B ) ∩ C1,1 ( B )

thỏa mãn bài toán Dirichlet với phương

trình Monge-Ampere:

( dd u )

( dd v )
c

n

= g j dV , u j = f j

trên ∂B

n

= g j dV , v j = h j

trên ∂B

j

c

j

uj

Do

vj

và

lần lượt tiến đều đến

và khẳng định đối với hàm thuộc lớp

( dd u ) ∧ ( dd v )
c

k

c

u

và

C1,1
n−k

v

. Do đó ta có thể áp dụng định lý hội tụ

dẫn đến:

= lim ( dd cu j ) ∧ ( dd cv j )
k

j →∞

≥ lim g j dV = gdV
j →∞

n−k


7

gj ­ g

Trong trường hợp tổng quát ta lấy dãy tăng

với

g j ∈ L2 ( B )

và lặp lại chứng

minh trên để giải bài toán Dirichlet thích hợp. Bây giờ sự hội tụ của dãy xấp xỉ là
không đều, nhưng dãy là giảm dựa vào nguyên lý so sánh. Vì thế định lí hội tụ vẫn
được áp dụng trong trường hợp này.
1.2. Nguyên lý so sánh
Bây giờ ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh cho toán tử Monge-Ampere trên đa
tạp compact Kahler.
Định lý. Nếu

ϕ

y
và

là

ω

M

-đa điều hòa dưới trên

Ω = { ϕ <ψ }

thì với

ta có:

∫ ωψ ≤ ∫ ωϕ
n

n

Ω

Ω

ϕ, ψ
Chứng minh. Đầu tiên giả sử

ϕt = max ( ϕ + t ,ψ ) , t > 0

và biên của

. Khi đó gần với

¶W

Ω

là trơn. Đặt:

ϕt = ϕ + t

ta có

. Định nghĩa dòng

(đóng):
k −1
n
Tt = ∑  ÷( dd cϕt ) ∧ ω n−k
k =1  k 
n

và đặt

T = limt ®0 Tt

. Do Định lý Stokes:

∫ ωϕ = ∫ dd ϕ
n

c

t

Ω

t

∧ Tt + ω n =

Ω

=

Vì

ϕt ↓ ψ

trong

Ω

c

khi

t →0

Ω

t

n

∧ Tt + ∫ ω n

= ∫ ωϕn
Ω

ta áp dụng định lý hội tụ:

ωϕnt → ωϕn
c

Do đó đối với hàm thử

c

∂Ω

∫ d ϕ ∧ T + ∫ω

∂Ω

∫dϕ

trong

Ω

mà

trong

0 ≤ χ ≤1

Ω

ta được

Ω


8

ò cw

n
y

W

= lim ò cwjnt £ liminf ò wjnt
t ®0

t ®0

W

W

Vì thế:

òw

n
y

W

£ lim inf ò wjnt = ò wjn
t®0

W

W

,
y

j

và ta hoàn thành chứng minh với trường hợp hàm trơn. Bây giờ giả sử

và

là liên

tục và chúng thỏa mãn giả thiết bổ sung:
dd cϕ ≥ ( δ − 1) ω , dd cψ ≥ ( δ − 1) ω

với

δ >0

nào đó. Sau đó, áp dụng Bổ đề 1.1.1, ta có thể tìm hai dãy hàm
ψj

ϕj

hòa dưới
t >0

của

(3.3)

và

lần lượt hội tụ đều đến

và số nguyên dương

Ω ( t, j )

j0

sao cho

ϕ

và

ψ

. Cho một tập compact

K ⊂ Ω ( t , j ) = { ϕ j < ψ j − t} ⊂ Ω

với

ω

-đa điều

K ⊂Ω

j > j0

ta tìm

và biên

là trơn (sử dụng định lý Sard).
f :¡ n ®¡

m

(Định lý Sard: Cho

là hàm thuộc lớp

f

và X là tập các điểm tới hạn của
f

có hạng nhỏ hơn

m

( là tập các điểm

Ck

xÎ ¡

k ³ max{n - m +1,1}

với
n

tại đó ma trận Jacobi của

f (X )

). Khi đó ảnh

có độ đo Lebesgue bằng 0 trong

¡

m

.
M,N

Tổng quát kết quả cũng đúng cho các ánh xạ giữa các đa tạp khả vi
f :N ®M

chiều lần lượt là m,n. Tập các điểm tới hạn của một hàm

thuộc lớp

có
Ck

bao


9

df : TN ® TM

gồm các điểm tại đó vi phân
k ≥ max{n − m + 1,1}

có hạng nhỏ hơn m. Nếu

f (X )

thì ảnh

(như là tập con của tập có độ đo 0).

Áp dụng phần đâu tiên của chứng minh và định lý hội tụ ta được:

∫ ωψ ≤ lim inf ∫
n

j →∞

K

Vét cạn

Ω

Ω( t , j )

ωψn j ≤ lim inf
j →∞

∫

Ω( t , j )

ωϕn j ≤ ∫ ωϕn
Ω

bởi các tập compact ta được bất đẳng thức mong muốn trong trường

hợp này. Việc còn lại là thoát khỏi giả thiết bổ sung. Chú ý rằng với
các hàm

ω

y

j

- đa điều hòa dưới

định tập compact

,

K ⊂ Ω = { ϕ <ψ }

tj

các hàm

và xét

d> 0

ty

và

và

thỏa (3.3) với

t ∈ ( 0,1)

t ∈ ( 0,1)

d> 0

cố định và

nào đó. Cố

như sau:

δ

K ⊂ Ω ( δ , t ) = ϕ < ψ − 
t


.

Do chứng minh trên và định lý hội tụ ta có:

∫ω

n
ψ

≤ lim inf

K

t →1

∫

Ω( δ , t )

ωtψn ≤ liminf
t →1

∫

Ω( δ , t )

ωtnϕ ≤ ∫ ωϕn
Ω

Một lần nữa để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần xét một dãy vét cạn các tập con
compact của

W

.

1.3. Ước lượng

L¥

Xét một họ các hàm:


10

F ( A, h ) = { f ∈ L1 ( M ) : f ≥ 0, ∫ f ω n = 1,

∫ fω

M

F ( x) =

trong đó

Ax
h ( x −1/n )

, với

A>0

n

≤ F ( capω ( E ) )

E

E ⊂ M}

với bất kì tập Borel

h:¡
và hàm chấp nhận được

+

→ [ 1, ∞ )

.

Mục đích chính của ta là chứng minh tồn tại nghiệm liên tục của phương trình

(3.1) với

f ∈ F ( A, h )

Bổ đề 1.3.1.Cho

{ ϕ − S <ψ }
h

ϕ

. Đầu tiên ta chứng minh một số giả thiết bổ sung:

ψ

và

là các hàm

w

-đa điều hòa dưới trên

là khác rỗng. Giả sử rằng với một số dương

A

M

0£ y £ C

với

và

và một hàm chấp nhận được

thỏa mãn bất đẳng thức sau:
F ( x) =

n
∫ ωϕ ≤ F ( capω ( K ) )

K

với tập compact tùy ý

K

, với
. Khi đó với

D <1

Ax
h ( x −1/n ) A > 0
,

(3.4)

ta có:

D ≤ κ ( a ( S + D) )

,

trong đó:
a ( s ) := capω ( U ( s ) ) , U ( s ) := { ϕ − s < ψ }

,

 ∞ −1 −1/ n

κ ( s ) = c ( n ) A ( 1 + C )  ∫ x h ( x ) dx + h −1/ n ( s −1/ n ) 
 s−1/ n


1/ n

Chứng minh. Với

s ∈ [ S , S + D]

, đặt:

.


11

b( s) =

∫ ωϕ

n

U ( s)

Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức:
t n a ( s ) ≤ b ( s + t + Ct )

Thật vậy, lấy

ρ ∈ PSH ( ω )

t <1, 0 < t <

với

S +D- s
C +1

- 1£ r £ 0

với

và đặt:

V ( s ) := { ϕ − s − t − Ct < t ρ + ( 1 − t ) ψ }

Ta kiểm tra được rằng

(3.5)

U ( s ) ⊂ V ( s ) ⊂ U ( s + t + Ct )

.

. Bây giờ ta có thể áp dụng

nguyên lý so sánh thu được:
tn

∫

U ( s)

≤
ρ

∫ ( tω + ( 1 − t ) ω )
ρ

V ( s)

∫ ωϕ ≤ ∫
n

V ( s)

Lấy cận trên đúng của

ωρn ≤

U ( s +t + Ct )

n

ψ

ωϕn = b ( s + t + Ct )

ta được (3.5).

Tiếp theo ta định nghĩa một dãy tăng

s0 , s1 ,..., sN

, đặt

s0 := S

và



s j := sup  s : a ( s ) ≤ lim + da ( t ) 
t → s j −1


j = 1, 2,.., N

với

, ở đây

d

là số cố định sao cho

1< d < 2

. Khi đó dãy này tăng và

a ( s j ) ≥ da (s j − 2 )

(3.6)

Nhận xét rằng nếu

ý ta có

a ( s ) ≥ da ( s j − 2 )

a ( s j −1 ) < da ( s j −2 )

s > s j −1

s j −1

thì do định nghĩa của
sj

. Đặc biệt, điều này đúng cho

.

với mọi

tùy


12

Số nguyên

N

được chọn là số lớn nhất thỏa mãn

sN £ S + D

. Khi đó:

a ( S + D ) ≤ lim+ da ( t )
t → sN

(Ngược lại ta có

rằng với

sN +1 £ S + D

t ∈ ( sN , S + D )

). Từ bất đẳng thức cuối cùng, giả thiết và (3.5) dẫn đến

ta có:

(

n

−1/ n
 S + D−t 
−1

÷ a ( t ) ≤ b ( S + D ) ≤ Aa ( S + D ) h  a ( S + D ) 

 1+ C 

(

≤ Ada ( t ) h −1  a ( S + D ) 

−1/ n

)

)

Do đó:
S + D − sN ≤ ( Ad )

Bây giờ ta ước lượng
t :=

s- s'
1+C

sN - S

1/ n

. Xét hai số

(

(1 + C )h −1/ n  a ( S + D ) 

S
−1/ n

sao cho

(3.7)
a ( s ) ≤ da ( s ' )

. Khi đó theo giả thiết và (3.5) ta có:

(

a ( s ' ) ≤ t − n b ( s ) ≤ At − n a ( s ) h −1  a ( s ) 

−1/ n

) ≤ Adt

−n

(

a ( s ') h −1  a ( s ) 

Do đó:
t ≤ ( Ad )

trong đó

)

h1 ( x ) :=  h ( x −1/ n ) 

−1/ n

1/ n

h1 ( a ( s ) )

s' → s +j

s ® s-j +1

. Cho

,

và

t j := s j +1 − s j ≤ (1 + C ) ( Ad )

ta được:
1/ n

(

h1 a ( s j +1 )

)

.

−1/ n

)

và đặt


13

Sử dụng bất đẳng thức này, (3.6) và tính tăng của hàm

h2 ( x ) := h1 ( d x ) = h −1/ n ( d − x / n )

ta

có ước lượng như sau:
N −1

∑t
j =0

j

≤ (1 + C ) ( Ad )

1/ n

≤ (1 + C ) ( Ad )

1/ n

N −1

∑ h ( log a ( s ) )
j =0

≤ 2(1 + C ) ( Ad )

2

d

j +1

 N −1 logd a( s j +2 )

 ∑ ∫ h2 ( x ) dx + 2h2 ( log d a ( sN ) ) 
 j =0 log d a( s j )




1/ n

 log d a( S + D )


h2 ( x ) dx + h2 ( log d a ( S + D ) ) 
 ∫
 logd a( S )


y = d - x/n

Đổi biến

suy ra:
log d a ( S + D )

∫

log d a( S )

n
=
ln d

 a ( S ) 

∫

h2 ( x ) dx =

log d a ( S + D )

∫

log d a ( S )

(

)

h d − x /n 



−1/ n

dx

−1/ n

 a ( S + D ) 

−1

( h ( y ) ) 1/ n y  dy


−1/ n

Cuối cùng ta có:
sN − S ≤ 2 ( Ad )

sN − S ≤ ( Ad )

1/ n


n
(1 + C ) 
 ln d


1/ n


2n
(1 + C ) 
 ln d


 a ( S ) 

−1/ n

∫

 a ( S + D ) 

∞

∫

 a ( S + D ) 

(

 yh1/ n ( y ) 
−1/ n

−1

dy +  h a ( S + D )


 yh1/ n ( y ) 
−1/ n

−1

dy + 2  h a ( S + D )


(

−1/ n

)




−1/ n

)

−1/ n









−1/ n






(3.8)
Từ (3.7) và (3.8) ta có:

D < c (n) ( Ad )

1/ n


∞
−1/ n 
−1
−1/ n

1/ n






(1 + C )
yh ( y )  dy + h a ( S + D )

 
 a S + D∫  −1/ n 
 ( ) 
W

(

)


14

Hệ quả 1.3.2. Họ các hàm

w

ωϕn ∈ F ( A, h )

-đa điều hòa dưới sao cho

và

max M ϕ = 0

bị chặn đều.
Chứng minh. Với hàm
biểu diễn của

ϕ

w

j

-đa điều hòa dưới

M

với

M

theo định nghĩa của hàm Green trên
0 = max j £

C0

ta có

chỉ phụ thuộc vào

M

òj w + C

D wj ³ - n

ta có:

n

0

M

,

. Sử dụng (3.2) thu được:

capω ( U ( ϕ , j ) ) ≤ C1 / j , U ( ϕ , j ) := { ϕ < − j}

trong đó

C1

. Vì thế, sử dụng

,
y =0

j

không phụ thuộc trên

. Bây giờ ta áp dụng Bổ đề 1.3.1 với

và

chọn S sao cho:
κ ( C1 / S ) < 1

và kết luận rằng

U ( ϕ , S + 1)

j

phải rỗng với

tùy ý và từ đó ta có điều phải chứng

minh.
j

Bổ đề 1.3.3.Nếu dãy

(

ϕ := lim sup ϕ j
j →∞

)

wjn j = f j wn

j

là bị chặn đều và

fj - f

, với

*

thỏa phương trình (3.1).

Chứng minh. Ta giới thiệu một vài hàm phụ trợ:

(
)
= ( lim ↑ F )

*

ϕkl = max ϕ j ,ψ k = lim ↑ ϕkl ,
k ≤ j ≤l

Fkl = min f j , Gk
k ≤ j ≤l

l →∞

*

l →∞

kl

1

< 2-

j- 1

thì

là


15

Vì về địa phương

w

được biểu diễn bởi

dd c v

, trong đó

v

là hàm đa điều hòa dưới, ta

có:

( ω + dd ϕ )
c

n

kl

≥ Fklω n

Do đó, theo định lý hội tụ:
Gk ω n ≤ lim ( ω + dd cϕkl ) = ( ω + dd cψ k )
n

n

l →∞

Chú ý rằng

j = lim k ®¥ ¯ y k

(3.9)

, vì thế ta có thể áp dụng định lý hội tụ một lần nữa

( ω + dd ψ )
c

n

k

f − Gk

Từ giả thiết ta có

L1 ( M )

≤

1
2k

, nên

→ ωϕn

(3.10)

Gk ® f

trong

L1 ( M )

. Vì vậy áp dụng (3.9)

và(3.10) ta được:
wjn ³ f wn

òw

n

Khi đó tích phân trên

M

cả hai dòng trong bất đẳng thức trên bằng

M

cuối cùng ta

được
wjn = f wn

Định lý 1.3.4. Nếu

h

là chấp nhận được và

1∈ F ( A, h )

một nghiệm liên tục của (3.1). Hơn nữa, tồn tại

a ( A, h ) > 0

wjn = f wn , max j = 0
M

với

f ∈ F ( A, h )

thỏa mãn

ϕ ≥ −a ( A, h )

.

thì với bất kì

,

f ∈ F ( A, h )

tồn tại

sao cho nghiệm tùy ý của

16

f

Chứng minh. Đầu tiên giả sử

bị chặn. Sau đó ta lấy:

f j ∈ C ∞ ( M ) , 0 < f j < N , ∫ f jω n = 1
M

fj

và

L1

hội tụ trong

ta tìm nghiệm

w

f

đến

. Do

1∈ F ( A, h )

ta có

f j ∈ F ( NA, h )

. Áp dụng định lý Yau

- đa điều hòa dưới của:
wjn j = f j wn , max j j = 0
M

j

Theo hệ quả của Bổ đề 1.3.1

và kết luận rằng

ϕ = ( limsup ϕ j )

f j =tjg j

xây dựng

Do

f ∈ L1 ( M )

, trong đó

j

là bị chặn đều, cho phép ta sử dụng Bổ đề 1.3.2

*

f

thỏa mãn (3.1). Đối với trường hợp

g j = min ( f , j )

lim t j = 1

và vì thế với

tổng quát ta

òf w

n

j

tj >0

và

được chọn sao cho

j

j ®¥

ta có

.

đủ lớn

f j ∈ F ( 2 A, h )

=1

M

. Vì vậy nghiệm

.
w

-

đa điều hòa dưới của:
wjn j = f j wn , max j j = 0
M

bị chặn đều. Một lần nữa, bổ đề 1.3.3 nói rằng

.

ϕ = ( lim sup ϕ j )

*

thỏa mãn:

wjn = f wn

.
Cận đều đối với chuẩn sup của các nghiệm được suy ra từ hệ quả của bổ đề 3.3.2.
Định nghĩa:


Lψ ( c0 ) =  f ∈ L1 ( M ) : f ≥ 0, ∫ f ω n = 1, ∫ψ ( f ) ω n ≤ c0 

M
Ω


W


17

và nhắc lại ký hiệu:
ψ h ( t ) = t ( log ( 1 + t ) ) h ( log ( 1 + t ) )
n

với

h

,

là hàm chấp nhận được nào đó.

Định lý 1.3.5.Với hàm chấp nhận được tùy ý
c0 > 0

tồn tại

A>0

h

h ( x) ≤ ( 1+ x) , k > 0
k

,thỏa mãn

sao cho:
Lψ h ( c0 ) ⊂ F ( A, h )

Chứng minh. Cố định

f ∈ Lψ h ( c0 )

.

và một compact

KÌ M

. Xét cơ sở

∫

d, N

và số

như trong phần mở đầu chương. Ta có thể giả sử rằng

bất đẳng thức sau thu được bởi sử dụng các tính chất của

∫

K

F ( x) =

ở đây

, và

h

Ks

f ωn ≤

Vs

, tập

∫ fω

K1

n

. Các

, bổ đề 1.7.2 và (3.1).

N

f ω n ≤ ∑ ∫ f ω n ≤ N ∫ f ω n ≤ A0 F ( cap ( K1 ,V1 ) ) ≤ AF ( capω ( K ) ) ,
s =1 K s

K1

Ax
h ( x −1/n ) W

.

Kết hợp hai kết quả cuối cùng ta được hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.6.Với hàm chấp nhận được tùy ý

h

và

f ∈ Lψ h ( c0 )

wjn = f wn , - C £ j £ 0
,
trong đó

C

phụ thuộc

h

và

c0

.

Ks

ta có thể giải được:


18

1.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm

Sự duy nhất nghiệm (sai khác một hằng số) của phương trình Monge-Ampere
trên đa tạp compact Kahler đã được chứng minh bởi Calabi trong trường hợp dữ liệu

trơn. Kết quả này cũng đúng thỏa với giả thiết dữ liệu thuộc
F ( A, h )

lượng ổn định mà ta sắp chứng minh. Cố định

F ( A, h )

với hàm

đó. Từ Định lý 1.3.4 suy ra rằng tồn tại một hằng số ký hiệu bởi
f ∈ F ( A, h )

tùy ý, nghiệm

w

h

. Nó suy ra từ ước

chấp nhận được nào

a ( A, h )

sao cho với

j

- đa điều hòa dưới

của:

wjn = f wn , max j = 0
M

thỏa mãn

ϕ ≥ −a ( A, h )

k A,h

. Ta ký hiệu

là hàm

,
k

trong bổ đề 1.3.1 với

C = a ( 3 A, h )

. Vì

vậy:
 ∞


κ A,h ( s ) = c ( n ) A1/ n ( 1 + a ( 3 A, h ) )  ∫ x −1h −1/ n ( x ) dx + h −1/ n ( s −1/ n ) 
 s −1/ n


Bổ đề 1.4.1.Cho

ϕ

và

ψ

là các hàm

ω

- đa điều hòa trên

M

với

0 ≤ ϕ ≤ C −1

wyn = g wn

.
Khi đó:
capω ( { ψ + 2 s < ϕ} ) ≤ C n s − n

Chứng minh. Ký hiệu:

E ( s ) = { ψ + s < ϕ}

và

{

∫ϕ
ψ
+ s<

gω n
}

a := capω ( E ( 2 s ) )

.

và cho:


19

Lấy

ρ ∈ PSH ( ω )

- 1£ r £ 0

với

và đặt


s
s


V := ψ < ρ +  1 − ÷ϕ − s 
C
 C



. Khi đó:

E ( 2s ) ⊂ V ⊂ E ( s )
s
Theo nguyên lý so sánh với
sn
Cn

ta có:
n

s
s 


ω ≤ ∫  ωρ + 1 − ÷ωϕ ÷
∫
C
 C 
E( 2 s)
V
n
ρ

≤ ∫ ωψn ≤
V

Lấy cận trên đúng trên

ρ

∫

gω n

E( s)

ta được:
sn
a ≤ ∫ gω n
n
C
E( s )

Chứng minh xong.

f

Định lý 1.4.2. Xét hai hàm
1∈ F ( A, h )

g

và

thuộc

F ( A, h )

h

với

là hàm chấp nhận được nào đó

và các nghiệm tương ứng của:
wjn = f wn , wyn = g wn

,
được chuẩn hóa bởi:
max ( ϕ −ψ ) = max ( ψ − ϕ )
M

M

1/ n

Đặt

3
q = q ( n) =  ÷
2

¡

g

và định nghĩa một hàm
γ ( t) =

( 2a ( 3 A, h ) )

tăng trên
n

( a ( 3 A, h ) + 1)

n

q − 1 −1
κ A, h ( t )
3

+

bởi:

20

(trong đó

κ A−1,h ( t )

ký hiệu hàm ngược của

κ A, h ( t )

). Khi đó, bất đẳng thức

f − g 1 ≤ γ ( t ) t n +3

suy ra:
ϕ −ψ

với

t < t0

(

t0 > 0

∞

≤ ( 4a ( 3 A, h ) + 2 ) t

g

) phụ thuộc vào

Chứng minh. Đặt

.

a = a ( 3 A, h )

. Ta giả sử rằng:
{

∫ ( f + g) ω
ψ ϕ
<

n

≤1

}

(3.11)
vì nếu ngược lại, ta có thể đổi vai trò của
t0 < ( q − 1) / 2

Ek

là tập hợp

sao cho

{ψ

γ ( t0 ) t0n +3 < 1/ 3

< ϕ − kat}

ϕ

và

ψ

lim γ ( t ) = 0

. Do

t →0

. Bây giờ ta sẽ làm việc với

ta cố định
t < t0

cố định. Ký hiệu

và đặt:

C0 = ò gwn
E2

Khi đó do (3.11) và các giả thiết ta có:

∫ gω

E0

Định nghĩa hàm

ω

n

=

1
1
2
( f + g ) + ( g − f ) ω n ≤ ( 1 + γ ( t0 ) t0n +3 ) ≤
∫
2 E0
2
3

- đa điều hòa dưới

ρ

như là nghiệm của:

wrn = g1wn , max r = 0
M

,

(3.12)


21

trong đó

∫gω
1

n

g1 = ( 3 / 2 ) g

=1

M

(

c0 ³ 0

trên

E0

và

g1

bằng hằng số

c0 ³ 0

nơi khác, với

c0

chọn sao cho

có là do (3.12). Do:

∫ g ω ≤ ∫ ( 3 / 2 ) g + 1 ω
n

n

1

E

và

1 ∈ F ( a, h )

r

nghiệm

thuộc

E

F ( 3 A, h )

và vì thế:
r³ -a

Bằng cách cộng cùng một hằng số vào

ϕ

và

ψ

(không ảnh hưởng đến giả thiết cũng

như kết luận) ta có thể giả sử rằng:
- a£ j £ 0

Ta có hai bao hàm thức:
E2 ⊂ E := { ψ < ( 1 − t ) ϕ + t ρ − at } ⊂ E0

Ký hiệu

G

{ f < ( 1 − t ) g}
2

là tập hợp

thức sau thỏa trên

. Từ Bổ đề 3.1.2 ta biết rằng với

k£ n

bất đẳng

E0 \ G

n
n
k
ωtnρ +( 1−t ) ϕ = ∑  ÷( 1 − t ) t n − kωϕk ∧ ωρn −k
k =0  k 

≥ ( 1 − t ) ( 1 − t 2 )


1/ n

n

n
+ qt  gω n ≥ ( 1 − t ) ( 1 − t 2 ) + qt  gω n

n

 t

≥ 1 + t ( q − 1) − t  gω ≥ 1 + ( q − 1)  gω n ,
 2

2 n

n

Trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ
Từ giả thiết ta có:

t < t0 < ( q − 1) / 2

(3.13)


22

t 2 ∫ gω n ≤ ∫ ( g − f ) ω n ≤ γ ( t ) t n + 3
G

G

Do đó:

∫ gω

n

≤ γ ( t ) t n +1

G

(3.14)
Các bất đẳng thức nhận được bằng cách áp dụng, theo thứ tự công thức (3.13), nguyên
lý so sánh, và công thức (3.14):
 t

n
n
n
n
n +1
1 + 2 ( q − 1)  ∫ gω ≤ ∫ ωt ρ +( 1−t ) ϕ ≤ ∫ gω ≤ ∫ gω + γ ( t ) t
E \G
E
E
E \G
Từ (3.15) ta có:

q −1

gω n ≤ γ ( t ) t n
∫
2 E \G
Vì vậy:

q −1
q −1
C0 − γ ( t ) t n+1 ) ≤
 ∫ gω n − ∫ gω n ÷ ≤ γ ( t ) t n
(
÷
2
2  E2
G

và do đó:

2 
3
n
C0 ≤  t +
γ ( t) tn
÷γ ( t ) t ≤
q −1
 q −1 
Ta cũng có từ Bổ đề 1.4.1

( a + 1) gω n
capω ( E4 ) ≤
n

( 2at ) E∫
n

2

Do hai ước lượng cuối cùng ta được:
capω ( E4 ) ≤ ( 2ta )

−n

( a + 1)

n

C0 ≤ ( a + 1)

n

( 2a )

−n

3
γ ( t)
q −1

(3.15)


23

Giả sử

E ' = { ψ < ϕ − ( 4a + 2 ) t }

nghĩa của

γ

khác rỗng. Theo Bổ đề 1.3.1, ước lượng trên và định

ta có:
2t ≤ κ F ( capω ( E4 ) ) ≤ κ F
E'

Điều này mâu thuẩn. Vì vậy

( ( a + 1) ) ( 2a )
n

−n

3
γ ( t ) = t,
q −1

rỗng và dẫn đến ước lượng mong muốn:

max ( ψ − ϕ ) = max ( ϕ −ψ ) ≤ ( 4a + 2 ) t W
.

Từ Định lý 1.4.2 ta suy ra rằng với

f ∈ F ( A, h )

h

với

chấp nhận được nghiệm của

max ϕ = 0
M

(3.1), chuẩn hóa bởi
Hệ quả 1.4.3. Nếu

ϕ1

và

là duy nhất.

ϕ2

thỏa mãn:

ωϕn1 = f ω n = ωϕn2

đối với

f ∈ F ( A, h )

, với

h

là hàm chấp nhận được nào đó, thì

ϕ1 − ϕ2 = const

Ví dụ. Từ Định lý 1.4.2 ta sẽ đưa ra một ước lượng rõ ràng với

ψ h ( t ) = t log 2 n ( 1 + t )

và do đó

. Khi đó

κ A,h
. Hàm

tính được là
κ A,h ( t ) = const. ( At )

γ ( t ) = Ct n

h ( x ) = xn

.

với

C

1/ n

A

phụ thuộc . Vì vậy, do Định lý 3.4.2, các nghiệm

điều hòa dưới được chuẩn hóa của phương trình:
ωϕn = f ω n , ωψn = gω n

w

- đa


24

với

f , g ∈ Lψ h ( c0 )

thỏa mãn:

ϕ −ψ

với

c

phụ thuộc vào

∞

≤c f −g

1/ ( 2 n + 3)
1

,

c0

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, NXB Đại học
Sư phạm Hà Nội.
Tiếng Anh
1.

Kolodziej

(2005),

The

complex

Monge

–

Ampère

PluripotentialTheory, Memoirs of Amer.Math.Soc, (840).

Equation

and