Tích chập tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------

MAI MINH LONG

TÍCH CHẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

HÀ NỘI - 2016


Mục lục
Mục lục...................................................................................................2
Lời cảm ơn..............................................................................................4
Lời cam đoan..........................................................................................5
Mở đầu....................................................................................................6
Một số kí hiệu dùng trong luận văn...................................................10
1. Một số kiến thức cơ sở.............................................................12
1.1 Phép biến đổi Fourier.......................................................................12
1.1.1 Định nghĩa...................................................................................12
1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier.........................13
1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine....................................17
1.2.1 Định nghĩa..................................................................................17
1.2.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.....18
1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.................................................22

1.3.1 Định nghĩa..................................................................................22
1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev.................................23
1.3.3 Tích chập Kontorovich-Lebedev..................................................23
1.4 Một số ứng dụng..............................................................................23
1.4.1 Phương trình vi phân.................................................................23
1.4.2 Phương trình đạo hàm riêng.....................................................25
Kết luận chương 1.............................................................................29
2. Tích chập suy rộng Fourier.............................................................30
2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine.............................30
2.2 Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine..............38
2.3 Một số ứng dụng.............................................................................45
Kết luận chương 2..............................................................................53

2


3. Tích chập suy rộng Kontorovich - Lebedev.................................54
3.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev ngược.............................54

3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hoán.......................68
3.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev không giao hoán.............69
3.4. Ứng dụng........................................................................................70
3.4.1 Hệ phương trình tích phân tổng quát dạng chập.......................70
3.4.2 Các ví dụ minh họa....................................................................74
Kết luận chương 3............................................................................82
Kết luận.....................................................................................83
Tài liệu tham khảo...............................................................................84

3

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.Nguyễn Xuân
Thảo, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá
trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các
thầy giáo, cô giáo của Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp
đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên kịp
thời để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 26 tháng 09 năm 2016
Học viên
Mai Minh Long.

4


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo. Tôi cũng xin cam đoan rằng
luận văn này không trùng với các đề tài, luận văn đã công bố và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Mai Minh Long.

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giải
tích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lại đây.
Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong
nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toán
với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toán của vật lý - toán. Các
phép biến đổi tích phân là những công cụ có hiệu lực để chuyển các toán tử vi
phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về toán tử đại số và đồng thời
đưa các hệ phương trình vi phân, tích phân về hệ phương trình đại số tuyến tính
quen thuộc. Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng
rãi nhất và ra đời sớm nhất đó là các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier
cosine, Fourier sine.
Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một
hướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập
của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Các tích
chập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Fourier F của hai hàm f và g được xác định như sau [3,5]
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
F
2π

f (x − y)g(y)dy, x ∈ R.
−∞

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F (f ∗ g)(y) = (F f )(y).(F g)(y), ∀ y ∈ R, ∀ f, g ∈ L1 (R).
F

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc của hai hàm f
và g được xác định như sau [5]
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
Fc
2π

f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy, x > 0.
0

6


Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y).(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ).
Fc

Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert,
Hankel và Stieltjes.
Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trong
đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân
tham gia. Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng chúng
vào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bài
toán thực tế.

Năm 1951, I.N.Sneddon [11] đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên
đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2π

f (t)[g(|x − t|) − g(x + t)]dt, x > 0.
0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ).
1

Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời. Đó là tích chập
với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được khám phá bởi
V.Y.Ya.
Sau đó, năm 1967, V.A.Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích
chập với hàm trọng γ(y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn
đẳng thức nhân tử hóa sau

K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y).

Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây
dựng và nghiên cứu.
Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S.B.Yakubovich đã đưa ra một
số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn
7

như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập đối với phép
biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H.
Vào năm 1998, V.A.Kakichev và N.X.Thảo đã đưa ra phương pháp mới
kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kì K1 , K2 , K3
với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ

K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 g)(y).

Từ ý tưởng của bài báo này trong những năm trở lại đây N.X.Thảo và
N.M.Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng
và đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine. Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier
cosine và Fourier sine được xác định bởi
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
3
2π

f (t)[sign(t − x)g(|t − x|) + g(t + x)]dt, x > 0.

(0.1)

0

Khi f và g là các hàm thuộc L1 (R+) thì tích chập (f ∗ g) cũng thuộc vào

3

L1 (R+)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fs g)(y), ∀y > 0.

(0.2)

3

Tích chập suy rộng với hàm trọng γ1 (y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier
cosine và Fourier sine được xác định bởi
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
3
2 2π
γ1

f (t)[g(|x + t − 1|) + g(|x − t + 1|) + g(x + t + 1) − g(|x − t − 1|)]dt
0

, ∀x > 0.

(0.3)
γ1

Khi f và g là các hàm thuộc L1 (R+ ) thì tích chập (f ∗ g) cũng thuộc vào

3

L1 (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
γ1

Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0.
3

(0.4)

Xây dựng và nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng
thực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập và
8


phương trình vi, tích phân. Vì vậy, tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn
là "Tích chập tích phân và ứng dụng". Cụ thể luận văn nghiên cứu tích chập và
tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng chúng vào giải phương trình và
hệ phương trình tích phân dạng chập.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và
ứng dụng chúng để giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân
dạng chập.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và
ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập.
4. Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giải

tích hàm.
• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V.A.Kakichev,

N.X.Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của N.X.Thảo, N.M.Khoa để tìm hiểu,
nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, luận văn gồm ba chương:
• Chương 1. Một số kiến thức cơ sở

Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier,
Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và một số ví dụ áp dụng các
phép biến đổi này trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng.
• Chương 2. Tích chập suy rộng Fourier

Trình bày định nghĩa và các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộng
đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine và
9


ứng dụng.
• Chương 3. Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev

Trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích chập suy rộng mà đẳng
thức nhân tử hóa có biến đổi Kontorovich-Lebedev, ứng dụng của tích chập này.
6. Kết quả đạt được
Luận văn đã trình bày làm rõ các vấn đề sau:
• Các biến đổi tích phân Fourier, Kontorovich - Lebedev, Kontorovich -

Lebedev ngược và các tính chất, ứng dụng.
• Các tích chập đối với các phép biến đổi Fourier, Kontorovich - Lebedev,

các đẳng thức và ứng dụng.
• Các tích chập suy rộng của các phép biến đổi Fourier, Kontorovich -

Lebedev, Kontorovich - Lebedev ngược và ứng dụng.
• Mở ra các hướng nghiên cứu mới về đa chập và ứng dụng của tích chập

Kontorovich - Lebedev trong các bài toán toán lý.
Luận văn này đã được báo cáo tại Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa
Hà Nội.

10


Một số kí hiệu dùng trong luận văn
• R+ là tập các số thực dương.
• L1 (R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

|f (x)|dx < +∞.
−∞

• L1 (R+ ) là tập các hàm f xác định trên R+ sao cho:
+∞

|f (x)|dx < +∞.
0

• L(R,ex ) là tập các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

ex |f (x)|dx < +∞.
−∞

• L(R+ ,ex ) là tập các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

ex |f (x)|dx < +∞.
0

11


Chương 1
Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, tôi sẽ trình bày một số kiến thức về các phép biến
đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi KontorovichLebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi này và ứng dụng của chúng
trong việc giải phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.
1.1. Phép biến đổi Fourier
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1: Cho f ∈ L1 (R), hàm F (f ) xác định bởi
ˆ
1
(F f )(y) = f (y) = √
2π

+∞

e−iyx f (x)dc, y ∈ R.

(1.1.1)

−∞

được gọi là biến đổi Fourier của f .
Định nghĩa 1.1.2: (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F (y) ∈ L1 (R) thì hàm
F −1 {F (y)} xác định bởi
F

−1

1
{F (y)}(x) = f (x) = √
2π

+∞

eiyx F (y)dy, x ∈ R.
−∞

được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm F .
Ví dụ 1.1.1: Tìm biến đổi Fourier của hàm exp(−ax2 ), a > 0.
Giải:
Theo định nghĩa ta có

ˆ
1

f (y) = (F f )(y) = √
2π

1
=√
2π

+∞

2

e−iyx−ax dx
−∞

+∞

exp[−a(x +
−∞

1
y2
√
=
exp(− )
4a
2π

iy 2 y 2
) − ]dx
2a

4a

+∞
−∞

Ở đây ta đã sử dụng phép đổi biến t = x+
+∞

1 − y2
e 4a .
2π

2

e−at dt = √

2

e−at dt =
−∞

12

iy
2a

và sử dụng công thức

π
, a > 0.

a

(1.1.2)


Nhận xét: Nếu a =

1
2

y2

x2

x2

th`ı F {e− 2 }(y) = e− 2 tức là hàm e− 2 và biến đổi

Fourier của nó có dạng giống nhau (hàm có tính chất như vậy được gọi là tự
nghịch đảo qua phép biến đổi Fourier).
Ví dụ 1.1.2: Tìm biến đổi Fourier của hàm
g(x) = e−a|x| , a > 0.

Giải:
Theo định nghĩa ta có
1
g(y) = (F g)(y) = √
2π

+∞

ˆ

e−a|x|−iyx dx
−∞

0

1
=√
e−(a+iy)x dx +
2π −∞
1
1
1
=√
+
2π a + iy a − iy
=

+∞

e(a−iy)x dx
0

2
a
.
π (a2 + y 2 )

Ở đây ta đã sử dụng công thức
+∞

1
λ

e−λx dx = , λ > 0.
0

1.1.2. Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier
Tính chất 1: Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính.
Chứng minh: ∀f, g ∈ L1 (R) và ∀λ, µ ∈ R, ta có
1
F [λ.f + µ.g](y) = √
2π
λ
=√
2π

+∞

e−iyx [λf (x) + µg(x)]dx
−∞
+∞
−iyx

e
−∞

µ

f (x)dx + √
2π

= λ(F f )(y) + µ(F g)(y).

Tính chất 2: ∀a ∈ R, ta có
F {f (x + a)}(y) = eiya F {f (x)}(y).

13

+∞

e−iyx g(x)dx
−∞


Chứng minh: Theo định nghĩa ta có
1
F {f (x + a)}(y) = √
2π
1
=√
2π
iya

=e

iya

=e

+∞

e−iyx f (x + a)dx
−∞
+∞

e−iy(ξ−a) f (ξ)dξ, ξ = x + a
−∞
+∞

1
√
2π

e−iyξ f (ξ)dξ
−∞

F {f (x)}(y).

Tính chất 3: ∀a = 0, đặt fa (x) = f (ax). Khi đó, ta có
y
1
(F f )( ).
|a|
a

(F fa )(y) =

Chứng minh: Ta có

1
(F fa )(y) = √
2π

+∞

e−iyx f (ax)dx
−∞
+∞

iyξ
1 1
√
=
e− a f (ξ)dξ, ξ = ax
|a| 2π −∞
1
y
=
(F f )( ).
|a|
a

Tính chất 4: Nếu F (y) = (F f )(y), G(y) = (F g)(y) thì
+∞

+∞

F (y)g(y)eiyx dy =
−∞

f (t)G(t − x)dt.
−∞

Chứng minh: Ta có
+∞

+∞

F (y)g(y)eiyx dy =
−∞

−∞
+∞

=
−∞
+∞

1
g(y)eiyx dy √
2π
1
f (t)dt √
2π

+∞

e−iyt f (t)dt
−∞

+∞

e−iy(t−x) g(y)dt
−∞

f (t)G(t − x)dt.

=
−∞

Nhận xét: Trường hợp đặc biệt khi x = 0, ta có
+∞

+∞

F (y)g(y)dy =
−∞

f (t)G(t)dt.
−∞

14


Tính chất 5: Nếu f (x) khả vi liên tục từng khúc và khả tích tuyệt đối thì
ˆ

(i) f (y) = (F f )(y) bị chặn,
ˆ

(ii) f (y) = (F f )(y) liên tục ∀y ∈ R.
Chứng minh: Theo định nghĩa, ta có
+∞

ˆ

1
|f (y)| ≤ √
2π

|e−iyx ||f (x)|dx
−∞
+∞

1
=√
2π

|f (x)|dx < +∞.
−∞

Khẳng định (i) được chứng minh.
Để chứng minh (ii), ta có
ˆ

+∞

ˆ

1
|f (y + h) = f (y)| ≤ √
2π

−ihx

|e

− 1||f (x)|dx ≤

−∞
ˆ

2
π

+∞

|f (x)|dx.
−∞

ˆ

Do lim |e−ihx − 1| = 0 ∀x ∈ R nên lim |f (y + h) − f (y)| = 0.
h→0

h→0

ˆ

Điều này chứng tỏ f (y) liên tục ∀y ∈ R.
Tính chất 6: (Bổ đề Riemann - Lebesgue) Nếu f (y) ∈ L1 (R) thì
ˆ

lim |f (y)| = 0.

|y|→0

Chứng minh: Từ e−iyx = −e−iyx−iπ , ta có
ˆ
1
f (y) = √
2π

1
= −√
2π
1
= −√
2π

+∞

e−iyx f (x)dx
−∞
+∞

π

e−y(x+ y ) f (x)dx

−∞
+∞

π
y

e−iyx f (x − )dx.
−∞

Do đó
ˆ

f (y) =
=

1 1
√ {
2 2π
1 1
√
2 2π

+∞

+∞

e−iyx f (x)dx −
−∞
+∞

−∞

π
y

e−iyx [f (x) − f (x − )]dx.
−∞

15

π
y

e−iyx f (x − )dx}


Suy ra
+∞

ˆ

1
|f (y)| ≤ √
2 2π

|f (x) − f (x −
−∞

ˆ

1
lim
lim |f (y)| ≤ √
|y|→∞
2 2π |y|→∞

π
)|dx,
y

+∞

|f (x) − f (x −
−∞

π
)|dx = 0.
y

Tính chất 7: Cho f ∈ L1 (R) và thỏa mãn các điều kiện:
(i) f (x) khả vi liên tục và f ∈ L1 (R),
(ii) f (x) → 0 khi |x| → ∞.
Khi đó

ˆ

ˆ

f (y) = (iy)f (y).

Chứng minh: Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
ˆ

1
f (y) = √
2π

+∞

e−iyx f (x)dx
−∞

1
iy
= √ [f (x)e−iyx ]|+∞
−∞ + √
2π
2π

+∞

+∞

e−iyx f (x)dx
−∞

−∞

ˆ

= (iy)f (y).

Tổng quát: Nếu f khả vi liên tục cấp n và f (k) (x) → 0 khi x → ∞ với
k = 1, 2, ..., n − 1 thì
F {f (x) (x)}(y) = (iy)n {F f }(y).

Do đó, ta có
ˆ

|f (y)| =

|F {f (n) (x)}|
.
|y|n
ˆ

Vậy nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 (R) thì f (y) hội tụ về 0 càng
nhanh khi |y| → ∞.
Định nghĩa 1.1.3: Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi
Fourier kí hiệu là (f ∗ g) và được xác định bởi
F

1
(f ∗ g) = √
F
2π

+∞

f (x − t)g(t)dt.

−∞

16

(1.1.3)


Tính chất 8: (Định lí tích chập)
Cho f, g ∈ L1 (R). Khi đó, tích chập (1.1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử
hóa
F (f ∗ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R.
F

(1.1.4)

Chứng minh: Ta có
1
F (f ∗ g)(y) = √
F
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

+∞
−iyx

e
−∞
+∞

+∞

1
{√
2π

f (x − t)g(t)dt}dx
−∞

1
2π

+∞

e−iyx g(t)dt √
−∞
+∞

1
2π

e−iy(x−t) f (x − t)d(x − t)
−∞
+∞

e−iyt g(t)dt √

−∞

e−iyk f (k)dk, (k = x − t)
−∞

= (F f )(y)(F g)(y).

Chú ý 1.1.1: Kết quả của định lí trên còn được viết dưới dạng
ˆ
1
ˆ
F −1 {f (y)g(y)}(x) = √
2π

+∞

f (x − t)g(t)dt.

(1.1.5)

−∞

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1: Cho f ∈ L1 (R+ ), hàm Fc (f ) xác định bởi
ˆ

2
π

f (y) = (Fc f )(y) =

+∞

f (x)cosyxdx.

(1.2.1)

0

được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f .
Ta có công thức biến đổi ngược là
ˆ

f (x) = (Fc f )(x) =

2
π

+∞ ˆ

f (y)cosxydy.
0

Định nghĩa 1.2.2: Cho f ∈ L1 (R+ ), hàm Fs (f ) xác định bởi
ˆ

f (y) = (Fs f )(y) =

2

π

17

+∞

f (x) sin yxdx.
0

(1.2.2)


được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f .
Ta có công thức biến đổi ngược là
ˆ

2
π

f (x) = (Fs f )(x) =

+∞ ˆ

f (y)sinxydy.
0

Hệ quả 1.2.1:
• Nếu f(x) là hàm chẵn thì (F f )(y) = (Fc f )(y), ∀y > 0.
• Nếu f(x) là hàm lẻ thì (F f )(y) = −i(Fs f )(y), ∀y > 0.

Ví dụ 1.2.1: Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm
f (x) = e−ax , a > 0.

Giải: Theo định nghĩa ta có

=
=

0
+∞

2
π

1
2

1
1
2
(
+
)
π a − iy a + iy

[e−(a−iy)x + e−(a+iy)x ]dx
0

a
2

( 2
).
π a + y2

2
π

(Fs f )(y) =
1
=
2i

=

e−ax cosyxdx

1
2

=

=

+∞

2
π

(Fc f )(y) =

1
2i

+∞

e−ax sin yxdx
0

2
π

+∞

[e−(a−iy)x + e−(a+iy)x ]dx
0

2
1
1
(
+
)
π a − iy a + iy
2
y
).
( 2
π a + y2

1.2.2. Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier

sine
18


Tính chất 1: Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toán
tử tuyến tính.
Chứng minh: ∀f, g ∈ L1 (R+ ) và ∀λ, µ ∈ R, ta có
Fc [λ.f (x) + µ.g(x)] =

+∞

2
π

[λ.f (x) + µ.g(x)]cosyxdx
0

2
π

=λ

+∞

f (x)cosyxdx + µ
0

2
π

+∞

g(x)cosyxdx
0

= λ(Fc f )(y) + µ(Fc g)(y),

hay
Fc [λ.f (x) + µ.g(x)] = λFc (f ) + µFc (g).

Chứng minh tương tự cho phép biến đổi Fourier sine.
Tính chất 2: Với a > 0, đặt fa (x) = f (ax). Khi đó, ta có
y
1
(Fc fa )(y) = (Fc f )( ),
a
a
1
y
(Fs fa )(y) = (Fs f )( ).
a
a

Chứng minh: Ta có
+∞

2
π

(Fc fa )(y) =

f (ax)cosyxdx
0

1
=
a

2
π

1
a

2
π

=

+∞

y
f (ax)cos( ax)d(ax)
a

+∞

y
f (t)cos( t)dt, t = ax
a

0

0

1
y
= (Fc f )( ).
a
a

Đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
19


Định nghĩa 1.2.3: Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai
hàm f và g được xác định bởi
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2π

f (t)[g(x + t) + g(|x − t|)]dt, x > 0

(1.2.3)

0

Tính chất 3: (Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine)
Cho f, g ∈ L1 (R+ ). Khi đó, tích chập (1.2.3) cũng thuộc L1 (R+ ) và thỏa
mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0.
1

(1.2.4)

Chứng minh: Từ định nghĩa ta có
+∞
0

1
|(f ∗ g)(x)|dx = √
Fc
2π
1
≤√
2π

+∞

+∞

|f (t)g(x + t)| + g(|x − t|)dtdx
0

0
+∞

+∞

+∞

|f (t)|{
0

|g(x + t)dx| + g(|x − t|)|dx}dt.
0

0

(1.2.5)
Đổi biến số u = x − t, ta được
+∞

+∞

|g(|x − t|)|dx =

|g(u)|du.
−t
t

0

+∞

|g(u)|du +

=
0

|g(u)|du.

(1.2.6)

0

Đổi biến số u = x + t, ta được
+∞

+∞

|g(x + t)|dx =
0

|g(u)|du.

(1.2.7)

t

Từ (1.2.5), (1.2.6) và (1.2.7), ta thu được
+∞

|(f ∗ g)(x)|dx ≤
Fc

0

2
π

+∞

+∞

|f (t)|dt
0

|g(u)|du < +∞.
0

Vậy (f ∗ g) ∈ L1 (R+ ).
Fc

Tiếp tục ta chứng minh đẳng thức (1.2.4).
20

(1.2.8)


Ta có
(Fc f )(y)(Fc g)(y)
2
π

=

2
π

=
=

1
π

+∞

2
π

f (u)cos(yu)du
0
+∞

f (u){
0
+∞

1
2

2
π

+∞

g(v)cos(yv)dv
0

+∞

g(v)[cosy(u + v) + cos(y)v − u]dv}du
0

+∞

0

+∞

1
π

f (u)g(v)cosy(u + v)dvdu +
0

+∞

f (u)g(v)cosy(v − u)dvdu.
0

0

Đổi biến t = u + v, ta có
+∞

+∞

+∞

f (u)g(v)cosy(u + v)dvdu =
0

+∞

g(|u − t|)cosytdtdu

f (u)

0

0

u
+∞

=

+∞

g(|u − t|)cosytdtdu

f (u)
0

0

+∞

−

u

g(u − t) cos ytdtdu.

f (u)
0

0

(1.2.9)
Đổi biến t = v − u ta có
+∞

+∞

+∞

f (u)g(v)cosy(v − u)dvdu =
0

+∞

g(u + t)cosytdtdu

f (u)

0

−u
+∞

0
+∞

=

g(u + t)cosytdtdu

f (u)
0

0
−u

+∞

−

g(u + t)cosytdtdu. (1.2.10)

f (u)
0

0

Mặt khác ta có

+∞

0

g(u + t)cosytdtdu −

f (u)
0

+∞

u

g(u − t)cosytdtdu = 0. (1.2.11)

f (u)

−u

0

0

Từ (1.2.9), (1.2.10) và (1.2.11) ta nhận được
(Fc f )(y)(Fc g)(y) =
=

1
π

+∞

+∞

[g(u + t) + g(|u − t|)]cosytdtdu

f (u)
0

2
π

0
+∞
0

1
√
2π

+∞

f (u)[g(u + t) + g(|u − t|)du]cosytdt
0

= Fc (f ∗ g)(y).
Fc

21

Định nghĩa: Cho f, g ∈ L1 (R+ ).Tích chập với hàm trọng η(y) = sin y của
hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định như
sau:
+∞

η
1
(f ∗ g)(x) = √
Fs
2 2π

f (x)[g(x + t + t) + sign(x − t + t)g(|x − t + 1|)+
0

sign(x + t − 1)g(|x + t − 1|) + sign(x − t − 1)g(|x − t − 1|)]dt, x > 0.

(1.2.12)

Tích chập (1.2.12) thuộc không gian L1 (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa:
η

Fs (f ∗ g)(y) = η(y)(Fs f )(y)(Fs g)(y), y > 0.
Fs

(1.2.13)

1.3 Phép biến đổi Kontorovich - Lebedev
1.3.1 Định nghĩa

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (K) với hàm f được định nghĩa như
sau:
+∞

(Kf )(x) =

Kix (t)f (t)dt,

(1.3.1)

0

với nhân là hàm Macdonal Kix (t) :
+∞

e−t cos hu cos(xu)du, x ≥ 0, t > 0.

Kix (t) =
0

Nhận xét: từ (1.3.2), ta có |Kit (x)| ≤ K0 (x). Do đó,
|(Kf )(x)| ≤

+∞
|f (x)|
0

|Kit (x)|dx ≤

+∞

|f (x)|K0 (x)dx.
0

Mà dựa vào một số công thức bên ngoài ta có
K0 (x)˜ − log x/2 khi x → 0+ ,

K0 (x)˜(

π 1 −x
) 2 e khi x → +∞.
2x

22

(1.3.2)


Mà f (x) ∈ L1 (R+ ) nên tích phân (1.3.1) hội tụ.
1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich - Lebedev
Phép biến đổi Kontorovich - Lebedev ngược (K −1 ) của một hàm được xác
định như sau:
(K

−1

2
f )(x) = 2
π

+∞

x sin h(πx)Kix (t)f (t)dx, x > 0.

(1.3.3)

0

1.3.3 Tích chập Kontorovich-Lebedev
Cho f, g ∈ L1 (R+ ). Tích chập đối với phép biến đổi tích phân KontorovichLebedev (1.3.3) của hai hàm f và g , kí hiệu (f ∗ g) được xác định bởi công thức
K

sau
(f ∗ g)(x) =
K

1
2π

+∞

+∞

exp −
0

0

1
2

xu xv uv
+
+
v
u
x

f (u)g(v)dudv, x > 0.

(1.3.4)
Tích chập (1.3.4) thuộc không gian L1 (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa sau
K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y), ∀y > 0.
K

(1.3.5)

Để ý rằng tất cả các tích chập trình bày ở trên đều có một đặc điểm chung
là đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích
phân tham gia. Do đó, ít nhiều làm ảnh hưởng đến tính ứng dụng của nó. Ở
Chương 2 và Chương 3 sẽ trình bày các tích chập suy rộng với các phép biến
đổi tích phân và các ứng dụng của chúng.
1.4 Một số ứng dụng
1.4.1. Phương trình vi phân
Ví dụ 1.4: Áp dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi phân thường
bậc n với hệ số hằng

Ly (x) = f (x),

với L là toán tử vi phân bậc n

L = an Dn + an−2 Dn−1 + ..... + a1 D + a0 ,

23

(1.4.1)


trong đó an , an−1 , .....a1 , a0 là các hằng số, D ≡

d
dx

và f (x) là hàm cho trước.

Giải: Áp dụng biến đổi Fourier cho hai vế của (1.4.1) ta được
[an (ik)n + an−1 (ik)n−1 + .... + a1 (ik) + a0 ](F y)(k) = (F f )(k).

Phương trình trên được viết gọn lại là

P (ik)(F y)(k) = (F f )(k),

trong đó
n

ar z r .

P (z) =
r=0

Khi đó

(F y)(k) =

(F f )(k)
= (F f )(k)Q(k),
P (ik)

với Q(k) =

(1.4.2)

1
.
P (ik)

Áp dụng công thức (1.1.5) cho (1.4.2) ta có
1
y(x) = F −1 {(F f )(k).Q(k)} = √
2π

+∞

f (t)q(x − t)dt,

(1.4.3)

−∞

trong đó q(x) hoàn toàn xác định bởi q(x) = F −1 {Q(k)}.
Ví dụ 1.4.2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân

d2 u
− 2 + a2 u = f (x), − ∞ < x < +∞,
dx

(1.4.4)

(trong đó f (x) là hàm cho trước) bằng phương pháp biến đổi Fourier.
Giải: Áp dụng biến đổi Fourier vào hai vế của (1.4.4) ta được
ˆ

ˆ

ˆ

−(ik)2 u(k) + a2 u(k) = f (k)

24


ˆ

f (k)
=> u(k) = 2
.
k + a2
ˆ

Áp dụng biến đổi Fourier ngược và công thức (1.1.5) ta được

u(x) = F

−1

+∞

1
=√
2π

ˆ

u(k)

f (t)g(x − t)dt,
−∞

trong đó
g(x) = F −1

k2

1
+ a2

=

1
a

π −a|x|

e
.
2

Vậy phương trình (1.4.4) có nghiệm
u(x) =

1
2a

+∞

f (t)e−|x−t| dt.

(1.4.5)

−∞

1.4.2 Phương trình đạo hàm riêng
Ví dụ 1.4.3: Xét phương trình truyền nhiệt sau
∂ 2u
∂d
(x, t) =
(x, t).
∂t
∂x2

(1.4.6)

Hãy tìm nghiệm của phương trình trên với điều kiện về nhiệt độ ban đầu

t = 0,

(1.4.7)

u(x, 0) = u0 (x)

và thỏa mãn các điều kiện
(i) u, ux , uxx liên tục, khả tích trên R theo biến x, ∀t ≥ 0 cố định,
(ii) ∀T > 0, ∃ϕ ∈ L1 (R) sao cho |ut (x, t)| ≤ ϕ(x), ∀t ∈ [0; T ], ∀x.
Giải: Biến đổi Fourier vế trái của (1.4.6) như là một hàm theo biến x (xem
t là tham số), ta có
1
√
2π

+∞
−ikx

ut (x, t)e
−∞

∂ 1
√
dx =
∂t 2π

25

+∞

u(x, t)e−ikx dx
−∞

ˆ

= u(k, t).