Nghiên cứu dao động của tấm composite có tương tác với nền đàn hồi và chất lỏng sử dụng phương pháp phần tử liên tục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 102 trang )
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ................................................................................. 4
DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................... 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ ................................................................. 9
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 12
CHƢƠNG I ........................................................................................................... 18
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................................ 18
I.1. TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ....................................................................... 18
I.2. TẤM TƢƠNG TÁC VỚI CHẤT LỎNG ..................................................... 19
I.3. PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ LIÊN TỤC ..................................................... 20
1.3.1. LỊCH SỬ CỦA PHƢƠNG PHÁP ......................................................... 20
1.3.2 PHƢƠNG PHÁP CHUNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA
KẾT CẤU ....................................................................................................... 21
1.3.3 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ............................................... 22
1.3.4 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN ........................................................ 25
1.3.5 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ LIÊN TỤC (CEM) ................................... 28
CHƢƠNG II .......................................................................................................... 36
TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ................................................. 36
II.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG THUẬT TOÁN ........................... 36
2.1.1. Ứng xử động học của tấm ..................................................................... 36
2.1.2. Mối quan hệ cơ bản giữa các lớp ........................................................... 37
2.1.4. Phân tích dao động của tấm Composite lớp sử dụng phƣơng pháp Phần tử
liên tục ............................................................................................................ 40
2.1.5. Xây dựng ma trận độ cứng động lực K ( ) m .......................................... 44
2.1.6. Cách ghép các ma trận độ cứng động lực .............................................. 44
2.1.7. Vẽ đƣờng cong đáp ứng và tìm tần số dao động tự do ........................... 46
2.1.8. Thuật giải phƣơng pháp CEM ............................................................... 48
II.2. NHỮNG KẾT QUẢ SO SÁNH CỦA TẤM ............................................... 49
2.2.1. Ví dụ 1 .................................................................................................. 49
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
1
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
2.2.2. Ví dụ 2 .................................................................................................. 50
2.2.3. Ví dụ 3 .................................................................................................. 51
2.2.4. Ví dụ 4 .................................................................................................. 53
2.2.5. Ví dụ 5 .................................................................................................. 55
II.3. NHỮNG KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI............... 57
2.3.1. Ảnh hƣởng của a/h tới dao động của tấm Composite (0o/90o/0o) trên nền
đàn hồi ............................................................................................................ 57
2.3.2. Tấm Composite (0o/90o/90o/0o) trên nền đàn hồi ................................... 59
2.3.3. Tấm Composite lệch trục trên nền đàn hồi............................................. 60
2.3.4. Đƣờng cong đáp ứng của tấm Composite lớp trên nền đàn hồi .............. 60
II.4. NHỮNG KẾT QUẢ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM COMPOSITE
ĐÚNG TRỤC VÀ LỆCH TRỤC TRÊN NỀN ĐÀN HỒI WINKLER ............... 62
II.5. ẢNH HƢỞNG CỦA NỀN ĐÀN HỒI VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN KHÁC NHAU
ĐỐI VỚI DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM COMPOSITE TRÊN CÁC NỀN
ĐÀN HỒI KHÔNG THUẦN NHẤT (NON-HOMOGENEOUS) ...................... 65
II.6. KẾT LUẬN CHƢƠNG II ........................................................................... 69
CHƢƠNG III ........................................................................................................ 70
TẤM COMPOSITE LỚP TƢƠNG TÁC CHẤT LỎNG ........................................ 70
III.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG THUẬT TOÁN .......................... 71
3.1.1. Phƣơng trình chuyển động..................................................................... 71
3.1.2. Phƣơng trình chuyển động chất lỏng ..................................................... 71
3.1.3. Mô hình tấm tƣơng tác chất lỏng ........................................................... 73
3.1.4. Phân tích dao động của tấm Composite lớp sử dụng phƣơng pháp Phần tử
liên tục ............................................................................................................ 77
III.2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH TẤM TƢƠNG TÁC CHẤT LỎNG TRONG FEM
(ANSYS 12.0) .................................................................................................... 79
III.3. NHỮNG KẾT QUẢ TẤM TƢƠNG TÁC CHẤT LỎNG .......................... 81
3.3.1. Vật liệu đẳng hƣớng kim loại ................................................................ 81
3.3.2. Vật liệu Composite Carbon-epoxy......................................................... 85
3.3.3. Ảnh hƣởng của số lớp đến tần số dao động tự do của tấm Composite lớp
ngâm trong nƣớc ............................................................................................. 90
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
2
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
3.3.4. Ảnh hƣởng của điều kiện biên và góc đến tần số dao động tự do của tấm
Composite ....................................................................................................... 92
III.4. KẾT LUẬN CHƢƠNG III ........................................................................ 93
KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................ 94
CÁC VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU VÀ PHÁT TRIỂN ...................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 97
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
3
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
a
Chiều dài của tấm
b
Chiều rộng của tấm
Aij
Ma trận độ cứng màng
Dij
Ma trận độ cứng uốn
Bij
Ma trận tƣơng tác màng-uốn-xoắn
E ij
Mô đun đàn hồi kéo, nén
Gij
Mô đun đàn hồi trƣợt
ij
Hệ số Poison của vật liệu
h
Chiều dày tấm
h1
Chiều cao từ tấm đến mặt thoáng chất lỏng
h2
Chiều cao từ tấm đến đáy của bể
u, v, w
Các thành phần chuyển vị theo phƣơng x, y, z
u0, v0, w0
Các thành phần chuyển vị theo phƣơng x, y, z tại mặt phẳng
trung bình của tấm
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
4
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
x , y
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Các thành phần góc xoay theo phƣơng x, y tại các mặt phẳng
trung bình
Qij
Ma trận độ cứng thu gọn trong hệ 1, 2, 3
Qij
Ma trận độ cứng thu gọn trong hệ x, y, z
x , y , xy , xz , yz
Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ x, y, z
x0 , y0 , xy0 , xz0 , yz0
Các thành phần biến dạng tại mặt trung bình của tấm trong hệ
tọa độ x, y, z
Nx , Ny, Nxy
Các lực màng
Mx , My, Mxy
Các mô men uốn và xoắn
Qx, Qy
Các lực cắt
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
5
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
DANH MỤC CÁC BẢNG
Danh mục các bảng
Bảng 2.1. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
Trang
50
SSSS (a/b=1, E1/E2=15, G12/ E2=0.5, G13/ E2=0.5, G23/ E2=0.5, υ12=0.25,
=1600 kg/m3)
Bảng 2.2. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
51
SSSS (a = b = 1m, G12/ E2 = 0.6, G13/ E2 = 0.6, G23/ E2 = 0.5, υ12 = 0.25,
=1600 kg/m3)
Bảng 2.3. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
52
(a/h = 10; E1 = 40E2; E2 = 6.96 GPa; G12 = G13 = 0.6E2; G23 = 0.5E2; υ12 =
0.25; =1600 kg/m3)
Bảng 2.4. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
54
SSSS (a/h=5, E1/E2=open, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5, υ12=0.25,
=1600 kg/m3)
Bảng 2.5. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
56
(a/h =10; E1=40E2; E2=6.96 GPa; G12 = G13 = 0.6E2; G23 = 0.5E2; υ12 = 0.25;
=1600 kg/m3)
Bảng 2.6. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
58
SSSS (a/h=thay đổi, E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5,
υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
6
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Bảng 2.7. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
59
SSSS (0o/90o/90o/0o) (a/h=100, E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/
E2=0.5, υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 2.8. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
60
lệch trục SSSS (a/h=10; E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5,
υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 2.9. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
63
đúng trục SFSF (a/h=10; E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5,
υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 2.10. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
64
đúng trục SFSF (a/h=10; E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5,
υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 2.11. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
65
đúng trục và lệch trục SSSS (a1/b=a2/b=a3/b=1,b/h=10, E1/E2=40, G12/
E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5, υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 2.12. Tần số dao động ( a 2 / h / E2 ) của tấm Composite lớp
67
đúng trục và lệch trục SSSS với các điều kiện biên khác nhau
(a1/b=a2/b=a3/b=1, b/h=10, E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/
E2=0.5, υ12=0.25, =1600 kg/m3)
Bảng 3.1. Bốn tần số đầu tiên a 2 h / D của tấm Mindlin ngâm trong
82
nước với các mực nước khác nhau sử dụng công thức (3.23)
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
7
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Bảng 3.2. Bốn tần số đầu tiên a 2 h / D của tấm Mindlin ngâm trong
83
nước với các mực nước khác nhau sử dụng công thức (3.22)
Bảng 3.3. Thông số đặc tính của vật liệu Composite
85
Bảng 3.4. Hai tần số dao động riêng đầu tiên a 2 h / D * của tấm
86
Composite ngâm trong nước với các mực nước khác nhau
Bảng 3.5. Tần số dao động tự do(Hz) của tấm Composite lớp vật liệu
89
Carbon-epoxy với a/h thay đổi đặt trong nước
Bảng 3.6. Tần số dao động riêng(Hz) của tấm Composite lớp đúng trục với
91
nhiều vật liệu có cấu hình khác nhau đặt trong nước với h1 = h2 = 0.2 m
Bảng 3.7. Tần số số dao động riêng (Hz) của tấm Composite lớp đúng trục
93
vật liệu Boron-epoxy có cấu hình khác nhau đặt trong nước điều kiện biên
khác nhau với h1 = h2 = 0.2 m
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
8
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ
Danh mục các hình vẽ - đồ thị
Trang
Hình 1.1. Dạng của đường cong đáp ứng
35
Hình 2.1. Tấm Composite lớp trên nền đàn hồi
36
Hình 2.2. Tấm trên nền đàn hồi Pasternak
37
Hình 2.3. Điều kiện biên của tấm với hai đầu là SS
41
Hình 2.4. Mô hình ghép 2 phần tử của tấm
45
Hình 2.5. Mô hình tấm trên đàn hồi không thuần nhất
45
Hình 2.6. Tấm Composite trên các nền đàn hồi được ghép lại với nhau và
46
hình ảnh ma trận độ cứng động lực chung được ghép lại bởi các ma trận
thành phần
Hình 2.7. Những trường hợp điều kiện biên khác nhau sẽ đặt vị trí tải
47
trọng khác nhau
Hình 2.8. Những loại tải trọng và đáp ứng của điểm M của tấm
47
Composite
Hình 2.9. Sơ đồ khối của chương trình CEM
48
Hình 2.10. Ảnh hưởng của a/h đối với tấm Composite lớp (0o/90o/0o) trên
59
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
9
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
nền đàn hồi
Hình 2.11. Đường cong đáp ứng của những phương pháp khác nhau đối
61
với tấm Composite lớp SFSF (45o/-45o/45o/-45o) (a=b=1m, h/b=0.1,
K1=15x104 N/m3, tải trọng phân bố)
Hình 2.12. Đường cong đáp ứng của những phương pháp khác nhau đối
61
với tấm Composite lớp SFSF (45o/-45o/45o/-45o) (a=b=1m, h/b=0.1,
K1=15x104 N/m3, tải trọng tập trung)
Hình 2.13. Đường cong đáp ứng của những phương pháp khác nhau đối
62
với tấm Composite lớp SFSF (0o/90o/0o/90o) (a=b=0.254m, h/b=0.1,
K1=15x104 N/m3, tải trọng tập trung)
Hình 2.14. Đường cong đáp ứng của những phương pháp khác nhau đối
68
với tấm Composite lớp SFSF trên nền non-homogeneous (0o/90o/0o/90o)
(a1 = a2 = b = 1m, h/b=0.1, K1(1) = 15x104 N/m3, K1(2) = K2(1) = K2(2) = 0,
tải trọng tập trung)
Hình 2.15. Đường cong đáp ứng của những phương pháp khác nhau đối
68
với tấm non-homogeneous Composite lớp SCSF (45o/-45o/45o/-45o) (a1 =
a2 = b = 1m, h/b=0.1, K1(1) = 15x104 N/m3, K1(2) = K2(1) = K2(2) = 0, tải
trọng tập trung)
Hình 3.1. Tấm tương tác chất lỏng
70
Hình 3.2. Mô hình tấm tương tác chất lỏng với chất lỏng nằm phía trên
74
Hình 3.3. Mô hình tấm được bao xung quanh là tường cứng. (a) Tấm nổi
75
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
10
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
trên mặt nước. (b) Tấm ngập nước
Hình 3.4. Mô hình tấm tương tác chất lỏng được xây dựng bằng ANSYS
80
12.0
Hình 3.5. Mô hình chia lưới của tấm tương tác với chất lỏng
81
Hình 3.6. Tần số dao động tự do của 4 mode tấm đẳng hướng kim loại
84
trong các mực chất lỏng khác nhau dùng công thức(3.20)
Hình 3.7. Mode(1,1) của tấm tương tác chất lỏng
87
Hình 3.8. Mode (1,2) của tấm tương tác chất lỏng
87
Hình 3.9. Tần số dao động tự do của mode (1,1) và mode (1,2) của tấm
88
composite lớp (0o/90o/0o/90o) với các mực nước khác nhau
Hình 3.10. Tần số dao động tự do của mode (1,1) và mode (1,2) của tấm
88
composite lớp (0o/90o/0o/90o) với các mực nước khác nhau
Hình 3.11. Tần số dao động tự do với a/h khác nhau của tấm Composite
90
lớp
Hình 3.12. Tần số dao động tự do của tấm Composite lớp đúng trục của
92
vật liệu Carbon-epoxy và Graphite-epoxy bằng phương pháp CEM và
FEM
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
11
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
MỞ ĐẦU
Dao động của kết cấu composite nói chung và các nghiên cứu về tƣơng tác kết cấu
tấm và vỏ với chất lỏng nói riêng thu hút sự quan tâm đặc biệt trong nhiều lĩnh vực
của công nghiệp và cơ khí. Trong lĩnh vực đóng tàu, các bài toán về dao động trong
lĩnh vực tần số trung bình và cao sẽ đóng vai trò quan trọng xác định thiết kế của
các tàu du lịch có yêu cầu cao về cách âm, giảm rung, giảm ồn và trong thiết kế, chế
tạo các tàu ngầm là kết cấu chuyên làm việc trong miền dao động âm. Đối với
ngành công nghiệp ô tô hiện đại, sự thoải mái về âm thanh trong xe ô tô là một yếu
tố quan trọng đòi hỏi sự nghiên cứu sâu và toàn diện hơn. Trong lĩnh vực hàng
không vũ trụ độ tin cậy của hệ thống máy tính và điện tử ngày càng tinh vi phụ
thuộc rất nhiều vào sự hiểu biết về bài toán động của kết cấu mang các thiết bị này.
Bài toán về tƣơng tác chất lỏng-kết cấu thƣờng gặp trong các nhà máy nhiệt điện và
điện hạt nhân, ống dẫn, bể chứa, tua-bin, xe chở chất lỏng, tàu thủy, hàng không vũ
trụ…
Việc xây dựng mô hình số của tấm làm bằng vật liệu kim loại và composite chịu tải
trọng điều hòa gặp phải nhiều hạn chế trong lý thuyết và thực tế trong miền tần số
trung bình và cao. Mô hình của các tấm mỏng hoặc vỏ mỏng không còn phản ánh
đúng thực tế trong miền tần số âm (20 KHz-200KHz). Do đó, để xây dựng mô hình
tƣơng tác chất lỏng-kết cấu, cần thiết phải xây dựng các mô hình số có tính đến ảnh
hƣởng của lực cắt ngang theo chiều dày và áp dụng đƣợc ở tần số trung bình và cao.
Mục đích của luận văn này là phát triển các mô hình tấm composite trên nền đàn hồi
và tƣơng tác với chất lỏng để đáp ứng đầy đủ các yêu cầu nêu trên. Các mô hình số
này đƣợc xác nhận là hợp lệ trong một dải tần số rộng lên đến khoảng 6000 Hz
trong các ví dụ đã thực hiện, và các kết quả số thu đƣợc hoàn toàn phù hợp với các
lý thuyết của tấm và vỏ dày của Mindlin và Ressner.
VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
12
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Hầu hết các kết cấu cơ khí và công nghiệp đều có thể đƣợc mô hình hóa bằng cách
lắp ghép các kết cấu dầm, tấm và vỏ. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) đƣợc
sử dụng rộng rãi để tính toán dao động của các cơ hệ này. Tuy nhiên, chúng ta thấy
rằng, ngay trong một số các trƣờng hợp của một số kết cấu đƣợc coi là "đơn giản"
đƣợc tạo ra từ sự lắp ghép thuần túy giữa các dầm, tấm hay vỏ tròn xoay, phƣơng
pháp này không phải là phƣơng pháp hiệu quả nhất. Nó đặc biệt thiếu hiệu quả
trong miền tần số trung bình và cao và khi các tính chất cơ học của vật liệu phụ
thuộc nhiều vào tần số .
Cách tiếp cận theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn có hạn chế bởi vì số dạng dao
động đƣợc tính toán chính xác bằng PTHH liên quan trực tiếp đến số bậc tự do của
mô hình, và điều này khiến mô hình xây dựng không thể hiện đúng các ứng xử của
cơ hệ ở tần số cao do lúc này bƣớc sóng tính toán nhỏ hơn hoặc tƣơng đƣơng với
kích thƣớc của phần tử sử dụng. Việc sử dụng bắt buộc một lƣới chia dày hơn trong
trƣờng hợp này bị giới hạn bởi dung lƣợng lƣu trữ của máy tính và tốc độ tính toán.
Khi sử dụng một mô hình ba chiều và một lƣới chia đủ nhỏ, chúng ta có thể mô
hình kết cấu trong miền tần số trung bình nhƣng ta sẽ phải trả giá với chi phí thời
gian tính toán lớn. Ngoài ra, việc này cũng dẫn đến sai số do sự rời rạc hình học.
Một phƣơng pháp khác có thể đƣợc sử dụng là phƣơng pháp phần tử biên. Thật vậy,
các hạn chế và sai số đã đƣợc giảm bớt bởi vì chỉ có biên giới của các kết cấu đƣợc
chia lƣới. Tuy nhiên, mặc dù số lƣợng các phần tử giảm đi nhƣng các mô hình toán
học lại trở nên phức tạp hơn. Ngoài ra, việc sử dụng các chuỗi số trong lời giải và
việc lựa chọn số số hạng hợp lý của chuỗi vẫn gây ra các sai số. Hơn nữa, các vấn
đề gặp phải do việc rời rạc hóa kết cấu trong bài toán động không đƣợc loại bỏ hoàn
toàn.
Hai phƣơng pháp trên cũng đƣợc sử dụng trong mô hình tƣơng tác chất lỏng – kết
cấu. Trong bài toán đặc biệt phức tạp này, các sai số tích lũy liên quan đến việc rời
rạc hóa kết cấu ngày càng tăng trong miền tần số âm. Đối với các kết cấu tấm và vỏ,
Mindlin [1] và Reissner [2] đã chỉ ra rằng ảnh hƣởng của lực cắt ngang và mô men
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
13
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
quán tính tăng lên theo độ dày của kết cấu và theo tần số. Ngoài ra, số lƣợng phần
tử và kích thƣớc mô hình trở nên quá lớn cho mô hình ba chiều của cả chất lỏng và
kết cấu. Đó là lý do tại sao nhiều nghiên cứu mới đã và đang đƣợc tiến hành để
khắc phục những nhƣợc điểm này .
Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
Về mặt khoa học và ứng dụng, nghiên cứu này nhằm mở rộng và phát triển các mô
hình tính toán số và lắp ghép phần tử đã có về dầm, tấm và vỏ tròn xoay bằng cách
xây dựng các mô hình mới về tấm composite chứa chất lỏng và trên nền đàn hồi sử
dụng phƣơng pháp Phần tử liên tục (PTLT) hay phƣơng pháp Ma trận độ cứng động
lực (DSM) và cho phép mở rộng phạm vi tần số khảo sát. Mục đích của Luận văn là
xây dựng các mô hình Phần tử liên tục hoàn chỉnh về tấm composite có tính đến
tƣơng tác với chất lỏng và nền đàn hồi. Nghiên cứu này khác biệt so với các nghiên
cứu trƣớc đây về Phần tử liên tục vì đã khảo sát các mô hình tấm composite trên
nền đàn hồi hai hệ số và tƣơng tác chất lỏng, sử dụng Lý thuyết cắt bậc nhất
(FSDT). Luận văn cũng xây dựng và tiến hành so sánh với các công trình nghiên
cứu trên thế giới. Các kết quả thu đƣợc đã xác nhận tính đúng đắn của mô hình
Phần tử liên tục.
Nghiên cứu này tập trung xây dựng mô hình số một cách có hiệu quả các phần tử
liên tục của tấm làm bằng vật liệu composite. Bƣớc tiếp theo là áp dụng mô hình
này để phát triển các phần tử liên tục của tấm composite có tính đến sự tƣơng tác
với chất lỏng và nền đàn hồi. Các phần tử liên tục này có thể đƣợc sử dụng trên bất
kỳ phần mềm PTLT sẵn có bao gồm các phần mềm ETAPE.
Luận văn góp phần bổ sung và hoàn thiện thƣ viện các phần tử liên tục đƣợc phát
triển bởi Le Sourne [3] cho các hệ vỏ mỏng, Nguyen Manh Cuong [4], cho các tấm
và vỏ dày, Boscolos [5] cho các tấm dày composite đối xứng trực hƣớng, Casimir
[6] cho vành tròn. Về mặt ứng dụng công nghiệp, các phần tử liên tục cho kết cấu
dầm thẳng và cong đã đƣợc giải quyết bởi Casimir [7] và đƣợc sử dụng trong
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
14
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Xƣởng đóng tàu của Hải quân Pháp Cherbourg, trong khi các phần tử liên tục cho
các kết cấu khác đã và đang đƣợc sử dụng trong các phần mềm công nghiệp
VIBAT.
So với phƣơng pháp Phần tử hữu hạn và Phần tử biên , phƣơng pháp Phần tử liên
tục là một cách tiếp cận thú vị và hiệu quả để nghiên cứu dao động của kết cấu. Các
lợi ích chính của phƣơng pháp này là :
- Tránh các hạn chế của việc rời rạc hóa miền kết cấu khảo sát: việc rời rạc hóa chỉ
phụ thuộc vào hình học của kết cấu mà không phụ thuộc vào miền tần số nghiên
cứu.
- Trực tiếp so sánh tính toán với các thí nghiệm và phép đo: chúng ta có thể trực
tiếp thu đƣợc đƣờng cong đáp ứng mà không cần sử dụng phƣơng pháp phân tích
dạng dao động, việc so sánh với các kết quả thực nghiệm là trực tiếp và nhanh
chóng.
- Dễ dàng nâng cấp mô hình để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, ví dụ nhƣ việc
đƣa vào mô hình các tƣơng tác chất lỏng-kết cấu, các gân gia cƣờng hoặc đƣa vào
mô đun Young và mô đun cắt phức để sự khảo sát kết cấu có giảm chấn.
- Cho phép mở rộng phạm vi tần số để khảo sát dao động của kết cấu ở tần số trung
bình và cao.
- Các kết quả thu đƣợc có độ chính xác cao vì dựa trên nghiệm giải tích của hệ
phƣơng trình mô tả kết cấu: các sai số của phƣơng pháp chỉ phụ thuộc vào lý thuyết
sử dụng và số lƣợng dạng dao động khảo sát trong chuỗi Lévy.
- Tiết kiệm dữ liệu lƣu trữ trong máy tính, qua đó gia tăng tốc độ tính toán. Các lợi
ích này có đƣợc nhờ việc kết cấu đƣợc chia lƣới một cách tối thiểu mà vẫn đạt đƣợc
độ chính xác mong muốn.
- Giảm đáng kể số lƣợng các phần tử sử dụng so với phƣơng pháp Phần tử biên.
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
15
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Vì vậy, đề tài: “ Nghiên cứu dao động của tấm composite có tương tác với nền
đàn hồi và chất lỏng sử dụng phương pháp Phần tử liên tục” đƣợc đặt ra nhằm
tìm tần số dao động riêng của tấm Composite trên nền đàn hồi và tƣơng tác chất
lỏng dựa trên phƣơng pháp tìm ma trận độ cứng động lực. Với đề tài này, nó đƣợc
ứng dụng trong thực tế nhƣ tính toán dao động riêng của các bể nuôi thủy sản,
những tấm ván đặt trên nƣớc,...
CÁC CHƢƠNG CỦA LUẬN VĂN
Để giải quyết vấn đề đặt ra, Luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng với nội dung của
từng chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng I: Nghiên cứu tổng quan về tấm trên nền đàn hồi và tấm tƣơng tác chất
lỏng. Trong chƣơng này, Luận văn sẽ giới thiệu một cách khái quát và tổng quan
nhất về những kết quả tính toán dao động tự do của tấm trên nền đàn hồi và tƣơng
tác chất lỏng mà trong nƣớc và thế giới đã công bố. Ngoài ra, trong chƣơng này còn
giới thiệu chung Phƣơng pháp PTLT về lịch sử phát triển, so sánh với các phần tử
khác, tƣ tƣởng của Phƣơng pháp PTLT, các bƣớc giải...
Chƣơng II: Tấm composite trên nền đàn hồi.
Đối với chƣơng này, Luận văn sẽ đƣa ra việc xây dựng thuật toán ma trận độ cứng
động lực đồng thời cách xác định tần số dựa vào đƣờng cong đáp ứng. Từ đó, Luận
văn sẽ so sánh với các công trình và các bài báo đã đƣợc công bố trong nƣớc và
quốc tế để khẳng định tính đúng đắn của Luận văn. Cuối cùng, Luận văn sẽ công bố
những kết quả mới nhất để đóng góp việc nghiên cứu khoa học tiếp theo.
Chƣơng III: Tấm composite tương tác với chất lỏng.
Cũng tƣơng tự nhƣ chƣơng ở trên, ở chƣơng này, Luận văn cũng xây dựng thuật
toán ma trận độ cứng động lực đồng thời cách xác định tần số dựa vào đƣờng cong
đáp ứng. Từ đó, Luận văn so sánh với các công trình đã công bố và cũng đƣa ra các
kết quả mới phục vụ cho việc nghiên cứu khoa học.
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
16
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Kết luận chung sẽ đƣa ra những đánh giá, nhận xét về những kết quả đã đạt đƣợc
những ƣu điểm cũng nhƣ hạn chế của Phƣơng pháp PTLT để từ đó Luận văn có
những hƣớng phát triển mới.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn giáo viên hƣớng dẫn TS. Nguyễn Mạnh
Cƣờng đã hƣớng dẫn em hoàn thành Luận văn Cao học và em cũng xin chân thành
cảm ơn GS.TS. Trần Ích Thịnh đã có những gợi ý khoa học đóng góp cho để em
hoàn thành luận văn này.
Khi viết luận văn này chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót về mặt trình
bày cũng nhƣ nội dung, em rất mong sự chỉ bảo cũng nhƣ góp ý của thầy hƣớng
dẫn. Em xin chân thành cảm ơn!
Học viên
Đinh Gia Ninh
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
17
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
CHƢƠNG I
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
I.1. TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
Dao động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi đang trở thành mối quan tâm của
rất nhiều những nghiên cứu khoa học trên thế giới. Những mô hình này đƣợc sử
dụng trong các cấu trúc không gian vũ trụ, đƣờng băng máy bay, lò phản ứng hạt
nhân, đƣờng sắt, sàn thể thao, hóa dầu và các kết cấu ngầm...Những ứng xử tĩnh và
động của tấm trên nền đàn hồi là rất quan trọng vì mô hình này phản ánh rất sát các
kết cấu tấm trên nền đàn hồi trong công nghiệp. Đã có rất nhiều nghiên cứu đƣợc
đƣa ra để thiết kế một cách kinh tế nhất tấm composite lớp trên nền đàn hồi và tấm
composite trên các nền đàn hồi không thuần nhất. Nền đàn hồi đƣợc mô tả bởi nhiều
mô hình khác nhau. Mô hình đơn giản nhất của nền đàn hồi là nền Winkler [8] hay
mô hình đàn hồi một hệ số đƣợc mô tả bởi một chuỗi lò xo không có sự tƣơng tác
lẫn nhau. Pasternak [9] đã phát triển mô hình này bằng việc thêm vào một lớp trƣợt
vào nền Winkler. Nền Pasternak hay nền hai hệ số đã đƣợc sử dụng rộng rãi để mô
tả những ứng xử cơ học của tƣơng tác kết cấu-nền. Trên thế giới nhiều nghiên cứu
về tấm trên nền đàn hồi đã đƣợc thực hiện. Thambiratnam [10] đã giải quyết bài
toán dao động của một dầm trên nền đàn hồi bằng phƣơng pháp Phần tử Hữu hạn
(FEM). Omurtag [11] đã nghiên cứu dao động của tấm Kirchoff trên nền Winkler
và Pasternak sử dụng phƣơng pháp FEM kết hợp. Bài toán ổn định và dao động tự
do của tấm composite lớp bất đối xứng trên nền đàn hồi dƣới tác dụng của lực cắt
trong mặt phẳng đƣợc giải quyết bởi Aiello [12] sử dụng phƣơng pháp RayleighRitz. Mới đây, việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của tấm composite lớp dƣới
tác dụng của tải trọng nhiệt và nằm trên nền đàn hồi hai hệ số bằng lý thuyết tấm
bậc cao (HSDPT) đã đƣợc thực hiện bởi Hui-Shen [13] và các cộng sự trong năm
2003. Một số bài toán về ổn định và dao động tự do của tấm composite lớp đối
xứng và bất đối xứng trên nền đàn hồi đã đƣợc Akavci [14] nghiên cứu sử dụng
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
18
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
phƣơng trình Navier dựa trên một hàm chuyển vị hyperbol mới. Ugurlu và các đồng
nghiệp [15] đã khảo sát các ảnh hƣởng của nền đàn hồi và chất lỏng đến đáp ứng
động lực học của tấm Kirchhoff sử dụng các công thức FEM hỗn hợp. Malekzadeh
[16] và các cộng sự đã nghiên cứu dao động không lý tƣởng với điều kiện biên là
tựa bản lề của tấm composite lớp trên một nền đàn hồi trong trƣờng hợp ứng suất
phẳng bằng kỹ thuật nhiễu loạn Lindstedt-Poincare. Dao động của tấm Mindlin trên
nền không thuần nhất Winkler đã đƣợc Xiang [17] nghiên cứu sử dụng chuỗi Levy.
I.2. TẤM TƢƠNG TÁC VỚI CHẤT LỎNG
Kết cấu tƣơng tác với chất lỏng đã và đang đƣợc nghiên cứu khá rộng rãi trên thế
giới. Đã có nhiều những công bố trên thế giới về lĩnh vực này đặc biệt là tấm tƣơng
tác chất lỏng. Song những nghiên cứu này mới chỉ tập trung ở vật liệu kim loại vì
vật liệu composite cũng còn khá mới mẻ. Bên cạnh đó, những kết cấu tấm, vỏ tƣơng
tác với chất lỏng cũng khá đa dạng. Do vậy, trong nghiên cứu về tấm tƣơng tác với
chất lỏng còn rất nhiều bài toán cần giải quyết, đặc biệt là với tấm làm bằng vật liệu
composite. Việc sử dụng vật liệu composite ngày càng trở nên phổ biến trên thế giới
vì vật liệu này có đầy đủ những đặc tính tốt nhƣ: độ bền cao, chống ăn mòn tốt hơn
kim loại, tuổi thọ cao...và đƣợc ứng dụng rộng rãi trong các kết cấu công nghiệp
nhƣ: tuốc bin gió, bể chứa nƣớc, bình biogas, tàu thủy, vỏ ô tô, vỏ các kết cấu hàng
không vũ trụ...
Rất nhiều những công trình nghiên cứu vấn đề này đã đƣợc công bố trên thế
giới. Matthew R. Kramer [18] và các đồng nghiệp đã nghiên cứu dao động của tấm
composite ngàm một đầu đặt trong không khí và trong nƣớc. Cũng trong năm 2013,
tác giả này [19] cũng đã công bố một bài báo khác nghiên cứu những ảnh hƣởng
của những điều kiện biên đối với đáp ứng dao động tự do của tấm composite một
đầu ngàm ngập nƣớc hoàn toàn và một phần ngập nƣớc. Trƣớc đó, đã có khá nhiều
nghiên cứu về tấm kim loại tƣơng tác chất lỏng đƣợc giới thiệu. Lindholm và các
cộng sự [20] đã nghiên cứu những đặc tính dao động đàn hồi của tấm ngàm một đầu
đặt trong nƣớc. Marcus [21] đã đƣa ra công trình nghiên cứu dao động của tấm ngập
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
19
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
trong nƣớc bằng phƣơng pháp Phần tử hữu hạn. Yadykin [22] cùng các cộng sự
cũng đã nghiên cứu khối lƣợng thêm vào của dao động tấm trong chất lỏng vào năm
2002. Hay mới gần đây, năm 2008 các tác giả Y. Kerboua, A. A. Lakis [23] và các
cộng sự của mình đã nghiên cứu dao động của tấm kim loại hình chữ nhật tƣơng tác
với chất lỏng sử dụng phƣơng pháp Phần tử hữu hạn và lý thuyết tấm Sanders.
Cũng trong năm này, M. Esmailzadeh [24] cũng đã đƣa ra bài báo nghiên cứu dao
động bể kim loại chứa nƣớc sử dụng phƣơng pháp PTHH. Shahrokh Hosseini –
Hashemi [25] đã đƣa ra công trình dao động tự do của tấm kim loại Mindlin tƣơng
tác với chất lỏng. Các nghiên cứu phong phú trên cho thấy sự cấp thiết và mức độ
quan trọng khi nghiên cứu về tấm tƣơng tác chất lỏng phục vụ cho ngành thủy lợi,
giao thông, hàng hải...Đặc biệt là tấm composite tƣơng tác với chất lỏng thì lại càng
mới mẻ và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế.
I.3. PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ LIÊN TỤC
Phần này giới thiệu lịch sử và nền tảng toán học của phƣơng pháp Phần tử liên tục.
Các nghiên cứu từ trƣớc đến nay về các phần tử liên tục của dầm, tấm, vỏ tròn xoay
bằng kim loại và composite cũng sẽ đƣợc giới thiệu. Sau đó, Luận văn cũng đề cập
đến việc ứng dụng Phƣơng pháp Phần tử liên tục để giải bài toán tấm trên nền đàn
hồi và tƣơng tác chất lỏng.
1.3.1. LỊCH SỬ CỦA PHƢƠNG PHÁP
Thuật ngữ "Phần tử liên tục" là do Ph. Kulla [26] đề xƣớng. Dựa trên một phƣơng
pháp tính toán kết cấu sử dụng ma trận, phƣơng pháp PTLT là chủ đề của rất nhiều
nghiên cứu từ những năm bảy mƣơi. Tại thời điểm đó, để giải bài toán dao động của
dầm ngƣời ta sử dụng một kỹ thuật gọi là "Phƣơng pháp ma trận truyền" và đây có
thể đƣợc coi là một phiên bản đầu tiên của phƣơng pháp PTLT. Ý tƣởng đặt ra là
xây dựng một ma trận truyền để liên kết các lực và chuyển vị (chuyển vị, góc xoay,
mô-men và lực) ở hai đầu của một dầm. Ma trận truyền này thu đƣợc bằng các phép
nhân ma trận đơn giản cho phép giải quyết các bài toán về dầm kể cả trong trƣờng
hợp các tiết diện hoặc tính chất của vật liệu thay đổi. Cuối cùng, một sự sắp xếp hợp
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
20
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
lý các biến trạng thái sẽ dẫn đến một ma trận độ cứng động lực của dầm, từ đó
chúng ta có thể giải quyết bài toán dao động của dầm dƣới dạng:
{Fext} = [K()] {U}
Trong đó:
[K()]
là ma trận độ cứng động lực phụ thuộc tần số
{Fext}
véc tơ lực tổng quát
{U}
véc tơ các biến trạng thái
(1.1)
Bằng cách nghịch đảo ma trận [K()] , chúng ta có thể tính đƣợc giá trị của các
thành phần trong véc tơ biến trạng thái dƣới dạng hàm của tần số dao động
Phƣơng pháp giải này tồn tại dƣới nhiều tên gọi khác nhau: "Phƣơng pháp phần tử
hữu hạn giải tích" [27] , "Phƣơng pháp độ cứng động lực" [28] , "Phƣơng pháp ma
trận độ cứng động lực” (DSM) [29]. Mục tiêu chung của các phƣơng pháp này là
khắc phục những hạn chế của các phƣơng pháp tính toán truyền thống bao gồm cả
Phần tử hữu hạn và Phần tử biên.
Phƣơng pháp Phần tử liên tục sử dụng các phƣơng trình vi phân chính xác mô tả
ứng xử động của mỗi phần tử và tôn trọng tính chất "liên tục" của kết cấu, bằng
cách sử dụng mô hình với vô số bậc tự do. Do đó, độ chính xác của kết quả không
bị ảnh hƣởng bởi việc chia lƣới nhƣ trong trƣờng hợp của phƣơng pháp Phần tử hữu
hạn. Các kết cấu phức tạp đƣợc rời rạc hóa đến mức tối thiểu và việc chia lƣới này
chỉ phụ thuộc vào dạng hình học của kết cấu. Vì vậy, khối lƣợng dữ liệu lƣu trữ trên
máy tính đƣợc giảm thiểu và độ chính xác của các kết quả chỉ phụ thuộc vào lý
thuyết đàn hồi sử dụng và số lƣợng các dạng dao động cần khảo sát.
1.3.2 PHƢƠNG PHÁP CHUNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA KẾT
CẤU
Các phƣơng pháp gần đúng đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán dao động điều hòa
của kết cấu và cung cấp cho các kỹ sƣ một kết quả chấp nhận đƣợc trong các trƣờng
hợp đơn giản. Trong số đó, phƣơng pháp Rayleigh - Ritz là một trong những kỹ
thuật hay đƣợc sử dụng nhất. Ở đây, các nghiệm đƣợc xác định bởi một tổng có
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
21
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
trọng số của các hàm chọn trƣớc. Sự lựa chọn các hàm này là rất quan trọng bởi vì
nó ảnh hƣởng đến tính chính xác của kết quả. Các hàm này thƣờng đƣợc chọn để
thỏa mãn một cách tốt nhất các điều kiện biên.
Trong trƣờng hợp bài toán hai chiều:
N
w(x,y,t) =
Ai i (x,y)eit
(1.2)
i 1
với Ai là tọa độ tổng quát .
Vấn đề chính nằm trong việc lựa chọn đúng các hàm bởi vì chúng ảnh hƣởng đến
tính chính xác của kết quả. Trong một số trƣờng hợp rất đơn giản chúng ta có thể
“đoán” đƣợc các hàm thỏa mãn hoàn toàn các điều kiện biên nhƣng việc tìm thấy
nghiệm “chính xác” cho tất cả các kết cấu là không thể xảy ra.
1.3.3 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.3.3.1 Lý thuyết chung
Đây là phƣơng pháp đang đƣợc sử dụng rộng rãi nhất hiện nay. Ý tƣởng của
phƣơng pháp này là viết lại các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng của lý thuyết
đàn hồi (hoặc vấn đề vật lý khác) dƣới dạng biến phân trong một miền hình học
phức tạp. Miền này sau đó đƣợc rời rạc hóa, nghiệm cơ bản đƣợc chọn ở dạng đơn
giản và cuối cùng vấn đề cần giải quyết đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
..
.
[M]q [C]q [K ]q F,
Chúng ta có thể kể đến một số lƣợng lớn các sách và nghiên cứu liên quan đến
phƣơng pháp này, trong đó có các tài liệu [30] [31] [32] [33] [34] và [35].
Miền khảo sát đƣợc rời rạc hóa bằng một lƣới chia và độ chính xác của mô hình phụ
thuộc vào các số lƣợng phần tử của lƣới. Việc chia lƣới này phải lƣu ý đến các đặc
điểm đặc biệt của các kết cấu nhƣ các cung lƣợn, các điểm tập trung ứng suất...
Sau đó, chúng ta tìm cách xấp xỉ các hàm cần tìm trên mỗi miền con (phần tử).
Bƣớc này nhằm mục đích xây dựng các hàm dạng có các giá trị đúng với các giá trị
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
22
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
của hàm cần tìm tại một số điểm (gọi là nút) của các phần tử. Các hàm xấp xỉ này
đƣợc tính toán một cách độc lập trong mỗi phần tử nhƣng phải đảm bảo sự liên tục
trên toàn miền khảo sát. Việc giải của phƣơng trình đại số trở thành việc tính toán
các giá trị tại các nút của các hàm xấp xỉ. Kết quả tại các điểm khác trong phần tử
thu đƣợc bằng cách sử dụng nội suy trong mỗi phần tử.
1.3.3.2 Phƣơng pháp biến phân và lời giải
Phƣơng pháp trọng số dƣ có thể biến đổi một hệ phƣơng trình vi phân đạo hàm
riêng thành phƣơng trình tích phân. Đây là một bƣớc cơ bản trong phƣơng pháp
phần tử hữu hạn.
Khảo sát phƣơng trình: L(u) + f v = 0 ( L là một toán tử vi phân). Dƣ lƣợng R(u)
đƣợc định nghĩa nhƣ sau : R(u) = L(u) + Fv. Nội dung của phƣơng pháp trọng số dƣ
là để tìm hàm u sao cho I(u)= .{R( u } dV với tất cả các hàm trọng số {},
V
trong đó hàm u thỏa mãn các điều kiện biên.
Rất nhiều nghiên cứu về các hàm trọng số đã đƣợc tiến hành và cung cấp cho chúng
ta nhiều lựa chọn về các hàm này. Trong hầu hết các trƣờng hợp, việc áp dụng các
hàm trọng số của Galerkin đặc biệt thích hợp với phƣơng pháp Phần tử hữu hạn.
Với hàm trọng số này, một hàm chức năng có liên quan đến một tích phân. Dạng
tích phân đặc biệt này của Galerkine thu đƣợc bằng cách đặt {} = u . Phƣơng
pháp này đòi hỏi giá trị tích phân I(u) phải bằng 0, giúp ta thu đƣợc nghiệm của
phƣơng trình vi phân.
Trong trƣờng hợp hệ bảo toàn, không có gyroscop, nhờ việc viết dƣới dạng tích
phân phƣơng trình chuyển động, sau đó tiến hành tích phân phân đoạn và rời rạc
hóa miền khảo sát giúp ta khảo sát đƣợc các dạng dao động riêng của kết cấu dƣới
dạng:
( [K]- 2. [M] ).{W} = {0}
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
(1.3)
23
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
hoặc trong trƣờng hợp tìm đáp ứng của cơ hệ dƣới tác dụng của kích động điều hòa
tần số :
( [K]- 2. [M] ).{W} = {F}
(1.4)
Các phƣơng pháp đại số ma trận truyền thống đƣợc sử dụng để giải phƣơng trình
này. Phƣơng pháp chính xác nhất là phƣơng pháp "đầy đủ" tiến hành nghịch đảo ma
trận ( [K]- 2. [M] ) bằng cách sử dụng phép pivot Gauss cho mỗi tần số . Một
phƣơng pháp khác thƣờng đƣợc sử dụng là phƣơng pháp xếp chồng các dạng dao
động. Nguyên tắc của phƣơng pháp này dựa trên cơ sở các véc-tơ riêng, nhờ đó hệ
(1.4) cuối cùng đã đƣợc chia thành n phƣơng trình độc lập có dạng:
mi ui k i ui f i
(1.5)
trong đó fi là lực nút tác dụng lên nút i . Nghiệm tổng quát của hệ thu đƣợc bằng
cách xếp chồng nghiệm của tất cả các phƣơng trình này .
Có rất nhiều kỹ thuật đƣợc phát triển để giảm kích thƣớc của ma trận bằng cách
giảm số bậc tự do của hệ. Một trong những phƣơng pháp hay đƣợc sử dụng nhất là
phƣơng pháp ngƣng tụ Guyan trong đó các bậc tự do đƣợc phân chia theo hai loại:
"chính" và "phụ" .
Những bất lợi của phƣơng pháp xếp chồng các dạng dao động và phƣơng pháp
ngƣng tụ Guyan là chúng gây ra các sai số.Với phƣơng pháp xếp chồng, kết quả
phụ thuộc vào số lƣợng các dạng dao động khảo sát. Còn đối với phƣơng pháp
ngƣng tụ Guyan, do không coi tất cả các bậc tự do là "chính" có thể dẫn đến sự bỏ
qua một số hiệu ứng cơ học nhất định. Chỉ có phƣơng pháp giải “đầy đủ” là đảm
bảo độ chính xác cần thiết. Phƣơng pháp giải này là một trong những kỹ thuật chính
đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp Phần tử liên tục. Kỹ thuật này sẽ đƣợc sử dụng để
so sánh thời gian tính toán của hai phƣơng pháp PTLT và PTHH dựa trên sự tƣơng
đồng về cách giải hệ phƣơng trình ma trận.
1.3.3.3 Kết luận về phƣơng pháp
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
24
Luận văn Thạc sỹ Khoa học
GVHD: TS. Nguyễn Mạnh Cường
Trong kỹ thuật tính toán hiện đại, phƣơng pháp phần tử hữu hạn thực sự là một
phƣơng pháp vạn năng áp dụng đƣợc cho nhiều lĩnh vực. Vì vậy, nhiều nghiên cứu
đã và đang đƣợc phát triển để tăng hiệu suất và hiệu quả của phƣơng pháp này
nhằm đạt đƣợc một mô hình kỹ thuật số. Tuy nhiên, việc chia lƣới bắt buộc vẫn là
một hạn chế cố hữu trong phƣơng pháp này. Trƣớc hết, các kỹ sƣ cần có một số
kinh nghiệm để có thể chọn các phần tử phù hợp với bài toán cần giải. Sau đó,
chúng ta còn cần tìm hiểu xem liệu lƣới chia đã hợp lý chƣa để đạt đƣợc độ chính
xác mong muốn. Số lƣợng các phần tử có liên quan mật thiết đến phạm vi tần số
khảo sát. Trong nghiên cứu dao động, lƣới chia có thể bị thay đổi một cách đáng kể,
phụ thuộc vào số lƣợng dạng dao động cần nghiên cứu.
Với các tần số càng cao, lƣới chia cần phải càng mịn để đảm bảo mối liên hệ quan
trọng giữa các bƣớc sóng và kích thƣớc của lƣới. Trong nghiên cứu của luận án này,
kết quả của phần tử hữu hạn đƣợc sử dụng để so sánh với kết quả thu đƣợc bằng
phƣơng pháp Phần tử liên tục.
1.3.4 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN
Phƣơng pháp phƣơng trình tích phân áp dụng cho tính toán độ võng của tấm có thể
đƣợc trình bày theo nhiều cách khác nhau. Có rất nhiều tài liệu và nghiên cứu về
phƣơng pháp này. Tuy nhiên, chúng tôi xin đề cập đến tài liệu rất hay của E. Langre
[36] trong đó mà các công thức chính đƣợc giới thiệu đầy đủ.
1.3.4.1 Công thức tích phân của tấm chịu uốn tĩnh
Bài toán cần giải quyết là:
D 4 w = q
trên miền S
(1.6)
Điều kiện biên trên miền S ký hiệu là
Hai phƣơng pháp sau đây đƣợc sử dụng để giải bài toán nói trên:
Học viên thực hiện: Đinh Gia Ninh – Chuyên ngành Cơ học kỹ thuật
25
