hình lớp 7 đã ghép

TOÁN LỚP 7.
CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
§ 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
I. Nhắc lại lí thuyết.
Hai góc đối đỉnh
•
•

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

II. Các dạng bài tập.
1. Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh.

Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng cắt nhau tại O như hình vẽ bên. Kể tên các cặp góc đối
đỉnh nhỏ hơn góc bẹt trên hình vẽ.
B

Giải:
Các cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt là: AOC và BOD,
A
COM và DON, MOB và NOA, AOM và BON, COB và
DOA, MOD và NOC.

M

C

B

O

A

6.5
= 15
2

N

Chú ý: Có 6 tia chung gốc nếu có
(góc), trong đó
có 3 góc bẹt. Mỗi góc trong 12 góc này có 1 góc đối đỉnh
với nó, do vậy còn lại 12 góc nhỏ hơn góc bẹt.

D

Trong hình có 12 : 2 = 6 cặp góc đối đỉnh.
2. Dạng 2: Tính số đo của góc.

Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O. Biết
Tính các góc yOy’, x’Oy, xOy’

· ' = 38o
xOx

x'

Giải:
Vì góc xOx’ và góc yOy’ là hai góc đối đỉnh , mà

·yOy’ = 38o
· ’
xOx
= 38o nên

38
x

y
O
y'


- Góc xOx’ và x’Oy là hai góc kề bù nên
Hay 38o +

x· 'Oy

= 180o , suy ra

x· ' Oy

· ’
xOx

+

x· ' Oy

= 180o

= 180o – 38o = 142o.

- Góc x’Oy và góc xOy’ là hai góc đối đỉnh nên

· ' = x· ' Oy =142o
xOy

III. Bài tập.
Bài 1: Cho hình vẽ bên:
a) Góc O1và O3 có phải là hai góc đối đỉnh

không?
b) Kể tên các cặp góc đối đỉnh trong hình vẽ.

·AOB

·
BOC

Bài 2: Cho góc nhọn
, vẽ
và
·AOB
góc kề bù với
. Chứng tỏ rằng:
a) Hai góc

·
BOC

và

·AOD

1
6

2

O5

3
4

là hai

·AOD

là hai góc đối đỉnh.
·
·AOD
BOC
b) Hai tia phân giác của hai góc
và
là hai tia đối nhau.
Bài 3 : Hai đường thẳng xx’và yy’ cắt nhau tại O, biết rằng
các góc

·AOB

· ' − xOy
·
xOy
= 30o. Tính

Bài 4 : Cho
= 135o. Vẽ góc BOC và AOD kề bù với góc AOB. Chứng minh
rằng:
a) Hai góc BOC và AOD là hai góc đối đỉnh;
b) Hai tia phân giác cua góc BOC và AOD là hai tia đối nhau.
Bài 5: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên một nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB
·AOB = 450
·AOC
sao cho
, trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho
= 90o.
Gọi OB’ là tia phân giác của góc A’OC. Chứng minh rằng hai góc AOB và A’OB’ là
hai góc đối đỉnh.


Bài 6: Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ hai tia OM, ON
·AOM = BON
·
= 40o
sao cho
.
a) Hai góc AOM và BON có phải là hai góc đối đỉnh không?
b) Vẽ tia OC là hai tia đối của OM. Hỏi tia OB có phải là tia phân giác của góc
CON không ?

Bài 7 : Cho hai góc đối đỉnh . Vẽ tia phân giác của một trong hai góc đó. Chứng tỏ
rằng tia đối của của tia này là tia phân giác của góc còn lại.
Bài 8 : Qua điểm O vẽ 6 đường thẳng đôi một phân biệt. Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối
đỉnh nhỏ hơn góc bẹt ?
Bài 9 : Chứng tỏ rằng tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 30o, xét các góc không có
điểm trong chung.
§ 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
I.

Nhắc lại lí thuyết.

Hai đường thẳng vuông góc
•

Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông
thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xy
⊥
x’y’.
•

Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a
cho trước.
•

Đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng
được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
II.

Các dạng bài tập.
1. Dạng 1 : Vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước, vẽ

đường trung trực của một đoạn thẳng.

Ví dụ 1 : Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau :
Vẽ góc AOB có số đo bằng 50o. Lấy điểm M bất kì nằm trong góc aOb. Qua M vẽ
đường thẳng d1 vuông góc với tia Oa tại N. Qua M vẽ đường thẳng d2 vuông góc với
tia Ob tại P.
Giải :


d2
b
P
O

50°
M

N
a
d1

Ví dụ 2 :
Vẽ đoạn thẳng AB dài 5 cm và đoạn thẳng
AC dài 2cm rồi vẽ đường trung trực của mỗi đoạn thẳng đó.
Giải :
d1
C

2. Dạng 2 : Nhận biết hai
góc, nhận biết đường trung

thẳng.

d2

đường thẳng vuông
trực của một đoạn

B

A

·AOB

Ví dụ 3 : Cho góc bẹt
nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OC, OD sao cho
vuông góc với OD ?

·AOC

o

= 20 ,

. Trên cùng một

·
BOD
= 70o

. Vì sao OC

Hướng dẫn :
·AOD

D

= 180o – 70o = 110o.
C

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên :
·
COD

·AOD ·AOC
=
= 110o – 20o = 90o.

Vậy OC

⊥

OD.

A

70°

20°
O

B


Ví dụ 4: Trên đường thẳng a lần lượt lấy các điểm A, M, N, B sao cho AM= NB. Gọi
xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì sao xy là đường trung trực của đoạn
thẳng MN?
Hướng dẫn:

x

Gọi I là trung điểm của AB.
Ta có xy
của MN.

⊥

MN và IM = MN nên xy là đường trung trực

I
A

M

N

B

y

3. Dạng 3: Tính số đo của góc:

Ví dụ 5: Cho góc AOB = 100o, trong góc này vẽ tia OC vuông góc với tia OA. Tính
góc COB.
Giải:
OC

⊥

C

OA

⇒ ·AOC

·
COB
= ·AOB − ·AOC

= 90o.
= 100o – 90o = 10o
A

III.

B

O

Bài tâp.

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB và AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có

µA

= 60o, các góc B và C đều nhọn.

a) Dùng ê ke vẽ đoạn thẳng đi qua B và vuông góc với AC tại M, vẽ đoạn thẳng

đi qua C vuông góc với AB tại N.
b) Đo các góc ABM, CAN
c) BE giao với CF tại H. Đo góc MHN.
Bài 3: Cho hai góc kề bù nhau AOB và BOC, OM là đường phân giác của góc AOB.
ON là đường thẳng nằm trong góc BOC và ON vuông góc với OM. ON có phải là
đường phân giác của góc BOC không? Vì sao?
Bài 4: Nếu coi kim phút và kim giờ là hai cạnh của góc thì mấy giờ đúng kim phút và
kim giờ tạo thành góc vuông? Góc bẹt?


·
xOy

Bài 5: Cho hai góc xOy và yOx’ là hai góc kề bù,
= 60o, Ot là tia phân giác của
góc xOy. Trên nửa mặt phẳng chứa Oy bờ là tia Ox, ta kẻ tia Oh vuông góc với Ox.
a) Tính góc tOh.
b) Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của góc hOt.
Bài 6:
a) Cho hai góc kề bù xOy và yOz. Gọi Om là tia phân giác của
Chứng tỏ rằng On là tia phân giác của góc yOz.

·
xOy

, vẽ tia On

⊥

Om.

b) Chứng tỏ rằng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo với nhau một góc 90o.
·AOC = BOD
·

Bài 7: Cho góc vuông AOB, hai tia OC, OD ở trong đó sao cho
= 60o.
Trên nửa mặt phẳng bờ OA có chứa tia OB vẽ OE sao cho OB là tia phân giác của
góc DOE.
a) Hai tia OC, OD là tia phân giác của những góc nào?
b) Chứng tỏ rằng OC

⊥

OE.

Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với nhau. Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA và OB
·AOx = BOy
·

sao cho
Chứng tỏ rằng:

= 30o. Vẽ tia OC sao cho tia Oy là tia phân giác của góc AOC.

a) Tia OA là tia phân giác của góc Box.
⊥
b) OB
OC.

`

§ 3: CÁC GÓC TẠO BỞI MÔT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG.
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG


I.
Nhắc lại lí thuyết.
1. Hai cặp góc so le trong:
c
2
¶A
¶ µA
µ
A
B
B
4
2
1
3
3

1
và
; và
.
4
a
2. Bốn cặp góc đồng vị:
2 1
3
¶A
¶B µ
µ
A3
B3
B4
2
2
và
; và
.
b
µA
µ
¶
¶
B1 A4
B4
1
và
;

và
.
3. Hai cặp góc trong cùng phía:
µA
¶ ¶A
µ
B
B
1
2
4
3
và
;
và
.
4. Quan hệ giữa các cặp góc: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
- Hai góc so le trong còn lại bằng nhau.
c
a
A4 3
- Hai góc đồng vị bằng nhau.
1
- Hai góc trong cùng phía bù nhau.
2
¶
¶
 A2 = B2
2 1


b
µ
µ
3 B
 A3 = B1
4
¶
µ = 180o
µA B
µ
A
+
B
1
 2
1
1 ⇒ 
=
5. Hai đường thẳng song song là hai là hai đường thẳng không có điểm chung
•
Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
•
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so
le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau. Kí
hiệu a // b.
II.
Các dạng bài tập.
1. Dạng 1: Tính số đo các góc khi biết một trong 4 góc tạo bởi 2 đường thẳng.

µ
µ = 30o. µ
µ = 30o. µ
µ = 30o.
A3 = B
A3 = B
A3 = B
1
1
1
Ví dụ 1: Trên hình bên cho biết
a) Viết tên cặp góc so le trong còn lại và cho biết số đo của
mỗi góc;
b) Viết tên các cặp góc đồng vị và cho biết số đo của mỗi góc;
c) Viết tên mỗi cặp góc trong cùng phía và cho biết số đo của
mỗi góc;

a

A2 1
3 4

b
3

2 1
B4

c

d) Viết tên các cặp góc ngoài cùng phía và cho biết số đo của mỗi góc;
Giải:
a) Các cặp góc so le trong còn lại là:
b) Các các cặp góc đồng vị:
µA
µ (¶A = B
µ = 30o );
B
1
1
1
1
và
µ
µ (¶A = B
µ = 30o );
A3
B
3
3
3
và
¶A
¶ (¶A = B
¶ = 150o );
B
2
2
2

2
và
¶A
¶ (¶A = B
¶ = 150o );
B
4
4
4
4
và
c) Các cặp góc trong cùng phía:

¶A
4

µ
B
1

¶A
4

¶A
4

và

¶
B

2

(

¶A = B
¶ = 30o )
4
2

µ
B
1

= 150 ;
= 30o)
µ
¶
µ
¶
A3
B
A3
B
2
2
o
và
(
= 30 ;
= 150o)

và

(

o

d) Các cặp góc ngoài cùng phía:

µA
1

¶
B
4

µA
1

¶
B
4

= 150o)
¶A
µ ¶A
µ
B
B
2
3

2
3
o
và
(
= 150 ;
= 30o)
2. Dạng 2: Tìm các cặp góc bằng nhau, các cặp góc bù nhau.
và

(

= 30 ;

Ví dụ 2: Cho hình bên có

a)

µ
A3

=

o

µA
1

=

µ
B
1

. Tìm quan hệ giữa các góc sau:

µ
B
3
a

b)

¶A
2

và

A1 2
4 3

¶
B
4
1

b

c)

¶A
2

Giải:

và

µ
B
1

2

3B

4

c


a)
b)

µ
A3
µA
1
µ
B
1

=
+

µ
B
3

¶
B
4

µA
1

(đối đỉnh),
¶A = 180o
2

= 180o mà

=

µA
1

(đối đỉnh) do đó

µ
B

1

¶A
2

µ
A3

=

µ
B
3

¶
B
4

=
suy ra
=
¶B = A
¶
4
2
c)
+
= 180o mà
(câu b)
µ

¶
B1
A2
Nên
+
= 180o.
3. Dạng 3: Hai đường thẳng song song.
· = 50o
xAy
Ví dụ 3: Cho
. Trên tia đối của Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong

µ
B
1

+

µA
1

¶
B
4

góc xBz.
a) Tính góc xBz để Bz // Ay;
b) Kẻ tia AM, BM lần lượt là tia phân giác của các góc xAy và xBz. Chứng tỏ rằng AM //
BN.
Giải:

x

a) Hai góc xBz và xAy là hai góc đồng vị. Nếu
·
xBz

= 50o thì

·
·
xBz
= xAy

M
A

nên hai đường thẳng

y

Bz và Ay song song.
b) AM, BN lần lượt là tia phân giác của góc xAy

N
B

và xBz nên

1·
·

xAM
= xAy
2

z

= 25o;

1·
·
xBN
= xBz
= 25o
2
·
·
⇒ xAM
= xBN

.

Hai góc này ở hai vị trí đồng vị của hai đường thẳng AM, BN cắt đường thẳng Bx, do đó AM //
BN.
A

M

III.

Q

Bài tập.

Bài 1: Xem hình bên rồi viết tiếp vào chỗ trống.

N

P

B

D

C

E


a)
b)
c)
d)
e)
f)

·
MAB
·
MAB

·ACB
·ADP

·ABC
·
CAQ

và
và
và
và
và
và

·ABC
·ADF
·AED
·ADE

·
DAQ
·AED

là một cặp góc…
là một cặp góc…
là một cặp góc…
là một cặp góc…
là một cặp góc…
là một cặp góc…

Bài 2: Tìm các góc A1, A2, B3, B4 trong các hình vẽ sau:
a)

b)
A 1
2 120°

80° A
1 2
3

3
B 4

100°
B 4

40°

Bài 3: Chứng tỏ rằng trong hình vẽ dưới đây, ta có AB // CD.

A

50°
B

D

60°

70°
C

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By trong đó
·
·
BAx
= α ABy = 4α
α
,
. Tính để cho Ax song song với By.


Bài 5: Trong hình bên biết AB

⊥

Chứng tỏ rằng : a) AD // CF.

AC;

·
DAC

o

= 140 ;

µ
B

o

= 50 ;

µ
C

= 40o.

b) AD // BE.
B

E

50°
A

D

140°
40°
C

F

Bài 6: Cho góc xOy = 60o. Trên tia Ox lấy điểm C. Vẽ tia Ct .
a) Tính số đo của góc xCt để cho Ct //Oy.
b) Cũng hỏi như trên nếu thay 60o bởi ao.

Bài 7: Cho

·
xOy

= 150o. Trên tia Ox lấy điểm A rồi kẻ tia Az nằm trong góc xOy sao cho

·
Oaz

= 30o.

Kẻ tia Az’ là tia đối của tia Az.
a) Vì sao zz’ song song với Oy.
b) Gọi OM, AN là các tia phân giác của góc xOy và OAz’. Chứng tỏ rằng
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ã, By sao cho
5
·ABy = α , xAB
·
= α
2

. Tính

α

để cho Ax song song với By.

§ 4: TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
I.

Nhắc lại lí thuyết.
1. Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song.
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với một
đường thẳng đó.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song.
Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:
- Hai góc so le trong bằng nhau.


-

-

II.

Hai góc đồng vị bằng nhau.
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
µ
µ
A1 = B
1

µ µ
 A3 = B1
¶
µ = 180o
A +B
1
⇒  2
a // b

c
a

A 3
1 2
1

b
B

Các dạng bài tập.
1. Dạng 1: Tính số đo góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1: Hình vẽ bên cho a // b và

µ
A3

= 40o.
c

a) Tính

¶A
2

A4 3
1 2

a

.
¶A
4

b) So sánh
¶ .
B
4
c) Tính

và

¶
B
4

b B4 1
3 2

.

Giải:

a) Ta có:

µ
A3 + ¶A2 =180o

(hai góc kề bù)
¶A
¶
⇒
⇒ A2
2
o
o
40 +
= 180
= 140o
¶
¶
⇒ A4 = B4
b) Ta có: a // b
.(Hai góc đồng vị )
¶B = A
¶
⇒ 4
2
c) Ta có: a // b
( hai góc so le trong)
¶A
2
Mà
= 140o
¶
B
4
Nên

= 140o.
2. Dạng 2: Vận dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

•

Nhận xét: Nếu

 AM / / a

 AN / / a

M

thì A, M, N thẳng hàng.
M

B

A

a

A

N

N

C

·
·
MAB
= ·ABC NAC
= ·ABC
Ví dụ 2: Cho hình vẽ bên có
;
. Chứng tỏ rằng M, A, N thẳng hàng.
Giải:
·
MAB
= ·ABC

Ta có:

Mà

·
MAB

Ta lại có:

Mà

·
NAC

III.

và

·ABC

(so le trong)

⇒

MA // BC.

·
NAC
= ·ACB

và

·ACB

(so le trong)

⇒

AN // BC.

Bài tập.
B

Bài 1: Biết AB // CD. Hãy nêu tên các cặp góc bằng nhau tương ứng

C

của hai tam giác IAB, ICD.

I

A

D

Bài 2: Cho hình vẽ: Tính số đo góc CHK.

A

D

M

S

B 70°

H

C

80°
K

F

70°
E

N

R

Bài 3: (Dạng 3). Cho hình vẽ sau đây với a // b và
µ −C
¶ = 40o
C
1
2

. Tính

¶
D
1

và

¶
D
2

c
a

C

1 2

.
b

1 2
D


Bài 4: (Dạng 3): Cho hình vẽ dưới đây trong đó

·
xOy

y

= 50o. AB // Ox,

AC // Oy. Tính bốn góc đỉnh A.
O

Bài 5: Cho hình sau, biết AB // CD // EF,

·
BAD

= 30o,

·
DEF

4 3A
1 2

B
50°

1

B

A

=

x

C

30°

C

50o.

D

Tính số đo góc ADE.
E

50°
F

Bài 6: Chứng tỏ rằng AB // EF.
C

25°
40°

B

A
155°

D

155°
E

Bài 7: Cho hình sau, trong đó AB // CD. Tính

·AEC

F

A
115°

.

B

E
140°
C

D

A

B

·
·
BED
= 70o CED
Bài 8: Cho hình sau, trong đó AB // CD,
,
= 40o. Tính
số đo góc ABE.

E
C

70°
40°
D

Bài 9: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho
·

CAx
= ·ACB

, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia Ay sao cho

·
BAy
= ·ABC

.


a) Trên tia Ax, Ay lần lượt lấy hai điểm D và E. Hãy giải thích vì sao ba điểm D, A, E thẳng
hàng;
b) Qua C kẻ đường thẳng m vuông góc với BC. Đường thẳng m có vuông góc với đường
thẳng xy không? Vì sao?
Bài 10: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm A nằm trong góc đó. Qua A vẽ đường thẳng d song song
với Ox. Hãy giải thích vì sao đường thẳng d cắt Oy.

§ 5: TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG.
I.
Nhắc lại lí thuyết.
1. Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng.
- Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.

a ⊥ c
 ⇒ a / /b
b ⊥ c

c
a

-

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng
a / / b
⇒c ⊥b
c ⊥ a

b

kia.

2. Ba đường thẳng song song.
Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với một đường
thứ ba thì chúng song song với nhau.
a / /c
 ⇒ a / /b
b / /c 
II.

Các dạng bài tập.

thẳng
c
a
b

1.

Dạng 1: Nhận biết hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau. Hãy chứng tỏ Bx // Cy.

Giải: Hai góc so le trong

· , ·ABC
xAB

45°
45°
30°

C

bằng nhau nên Ax // BC.

·
·
BDy
CBD
Hai góc so le trong
,
bằng nhau nên Dy // BC.

Ax / / BC 
 ⇒ Ax / / Dy

Dy / / BC 

x

A

D

30°

B

y

.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng a và hai điểm A, B không thuộc a. Vẽ AH

⊥

a, BK

⊥

a. Có thể khẳng

định AH // BK không?
Giải:
Nếu đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng a thì AH//BK (hình

(a)

B

A

a).
a
H

(b)

Nếu đường thẳng AB vuông góc a thì AH và BK trùng nhau (hình b).

sao AB

⊥

a

⊥

Ox, AC

AC?

⊥

Oy. Vì

y

Giải:

C

A

AC ⊥ Oy 
 ⇒ AC / /Ox
Ox ⊥ Oy 

O

B

AC ⊥ Ox 
 ⇒ AB / / AC
AB ⊥ Ox 

A
B

2. Dạng 2: Nhận biết hai đường thẳng vuông góc.
Ví dụ 3: Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Kẻ AB

K

x

H


Ví dụ 4: Trên hình sau đây, AB // DE. Chứng minh rằng AC vuông

A
120°

góc với CD.

C
150°

Giải:

D

Từ C kẻ CM
µA + C
µ
1

⊥

= 180o

E

AB, ta có:

µ
⇒ C1

= 60o.

(1)

Do AB // DE nên CM // DE nên

¶ +D
µ
C
2

= 180

CM là tia nằm giữa hai tia CA và CD nên

Thay (1), (2) vào (3) ta có:
III.

B

·ACD

o

·ACD

¶

⇒ C2 =

=

30o

µ +C
¶
C
1
2

= 60o + 30o = 90o hay AC

(2)

(3)
⊥

CD.

Bài tập

Bài 1: Cho a // b. Đường thẳng c cắt a tại điểm A. Hỏi đường thẳng c có cắt đường thẳng b không?
Vì sao?
Bài 2: ............................
Bài 3: .....................
Bài 4: ................
Bài 5: Trong hình vẽ bên chứng tỏ rằng a

⊥

c.

a

c
A
x

b

B

§ 6: ĐỊNH LÝ
I.
Nhắc lại lí thuyết.
1. Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận là một định lí.

M
150°
120°
N

E


•

Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng “Nếu …thì””. Phần nằm giữa từ “nếu” và từ

“thì” là phần giả thiết, phần sau từ “thì” là phần kết luận.

•

“Giả thiết” và “kết luận” được viết tương ứng là GT là KL.

2. Chứng minh định lí và dùng suy luận để từ giả thiết khẳng định được kết luận là đúng.
IV.
Các dạng bài tập.
1. Dạng 1: Viết giả thiết và kết luận của định lí.
Ví dụ 1: Vẽ hình, viết giả thiết và kết luận của định lí sau:
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.
Giải:
c

Theo hình vẽ bên:
GT

a // b

KL

¶ =N
¶
M
1
1

M

a

1

b
N

1

2. Dạng 2: Chứng minh định lí.
Ví dụ 2: Chứng minh định lí: “Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông”
Giải:
·AOC , COB
·

GT

kề bù

OM là tia phân giác của
KL

ON là tia phân giác của
·
MON
= 90o

N

·AOC

·
CDB

A

Ta có:

1
·
MOC
= ·AOC
2

AOC) (1)
·
CON

=

1
·
2 COB

C

M

( ON là tia phân giác của góc COB)

(2)

O

B

(OM là tia phân giác của góc


Từ (1) và (2) suy ra

·
·
MOC
+ CON

=

1
2

(

·AOC + COB
·

·AOC

Vẽ tia OC nằm giữa hai tia OM và ON,

và

) (3).

·
COB

kề bù nên từ (3) ta có

1
·
MON
= .180o = 90 o
2
.

III. Bài tập.
Bài 1: Chứng minh rằng:
·
xOy
a) Nếu hai góc nhọn

b) Nếu hai góc tù

·
xOy

và

và

x· ' O ' y '

x· ' O ' y '

có Ox // O’x’; Oy // O’y’ thì

có Ox // O’x’; Oy // O’y’ thì

·
xOy

·
xOy

=

=

x· ' O ' y '.

x· ' O ' y '.

Bài 2: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của các định lí sau:
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.

Bài 3:
a) Viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng
nhau”.
b) Viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng
nhau”.

Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu hai góc xO’y và x’Oy’ có Ox // O’x’, Oy // O’y’ thì

·
xOy

=

x· ' Oy '

nếu cả hai góc cùng nhọn hoặc hai góc cùng tù, chúng bù nhau nếu góc này nhọn góc kia tù.


§ 7: ÔN TẬP CHƯƠNG.

Bài 1: Vẽ các cặp góc so le trong

·
xAB

và

·yBA

có số đo đều bằng 110o. Gọi Az, Bt lần lượt là hai tia

phân giác của hai góc xAB, yBA. Chứng tỏ rằng Az // Bt.
Bài 2: Trên hình vẽ bên cho đường thẳng m cắt hai đường thẳng x’x,
y’y tại A, B và

của

·
mAy
'

và

x· ' AB = 110o

·ABy '

a) Tính

b) Trong góc

A

x'

x

t 110°

. Gọi Az, Bt lần lượt là hai tia phân giác

y

y'
B

. Xác định số đo của góc ABy’ để Az // Bt.

Bài 3: Cho hai góc kề
·AOB

m

z

·AOB

và

·
BOC

có tổng bằng 150o và

·AOB

-

·
BOC

= 90o.

·
BOC
.

và
·AOC

vẽ tia OD

⊥

OC. Tia OC có phải là tia phân giác của góc AOB không?
·AOC ' = BOC
·
c) Vẽ tia OC’ là tia đối của tia OC. Chứng tỏ rằng
.
Bài 4: Cho góc xOy khác góc bẹt, tia phân giác Ot. Từ một điểm A trên tia Ox vẽ tia Am // Oy (Tia
Am thuộc miền trong của góc xOy). Vẽ tia phân giác An của góc xAm.
a) Chứng minh An // Ot.
⊥
b) Vẽ tia AH
Ot. Có nhận xét gì về tia AH đối với góc OAm?


Bài 5: Tìm số đo x, y trên hình vẽ sau:
B

A

H

55°

I
140°

C
35°

y

D

E

M

Bài 6: Cho tam giác ABC có

µA − B
µ = 90o

N

K

40°

. Từ C kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh

·
·
HAC
= BCH
.

Bài 7: Cho tam giác ABC có
BCx. Vẽ CH

⊥

By và CK

⊥

µA

= 90o. Tia Bx là tia đối của tia BA. Vẽ tia phân giác By của của góc

CB (H, K thuộc tia By). Chứng minh rằng

·
·
HCA
= HCK
.

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC.
§ 1: TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC.
I.
Nhắc lại lí thuyết.
1. Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.
2. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
•
Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
3. Góc ngoài của tam giác là góc kề với một góc của tam giác.
•
Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
•
Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
II.
Các dạng bài tập.


1. Dạng 1: Tính số đo góc.
Ví dụ 1: Tính các góc của tam giác ABC, biết:

a) 3

b)

µA

µ
B

-

=4
µ
C

µ
B

µA

và
o

= 10 và

-

µ
C

µ
B

= 20o.

µA

-

= 10o.

Giải:

a) Vì 3
µA
4

Vậy

µ
B
µ
C

=

µA

µA

µ
B
3

=

=4

µ
B

nên

µA
4

-

µ
B
3

. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

µA − B
µ
= 20o
4−3

= 20o . 4 = 80o.

= 20o. 3 = 60o.
µ
µ C
B
= 180 – ( + ) = 180o – 80o – 60o = 40o.
o

b) Vì

µ
B
µA

Ta có
o

= 70 và

-

+

µA

µ
C

µ
B

o

= 10 và

+

µ
C

=(

µ
C

µ
C

-

µA

o

o

= 10 , suy ra
o

- 10 ) + (10 +

µ
C

µ
B

)+

o

= 10 +

µ
C

o

µ
C

và

= 180 , hay 3

µA
µ
C

=

µ
C

- 10o.
o

= 180 . Từ đó suy ra

µ

C

o

= 60 ,

= 50o.

2. Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông, tìm các góc bằng nhau trong hình vẽ có tam giác vuông.

µ
B


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
AC (D

∈

µ
B

và

µ
C

là các góc nhọn. Qua B kẻ đoạn thẳng BD vuông góc với

AC). Qua C kẻ đoạn thẳng CE vuông góc với AB (E

∈

AB). Gọi H là giao điểm của BD va

CE. Hãy tìm mối liên hệ giữa:

·ABD
a)

·ACE

và

;

b)

µA

và

·
DHE

.

Giải:
a)

∆
∆

Suy ra

b)

ACE có

·ABD
∆

∆

Suy ra

ABD có

µA

Ta lại có

+

HCD có

=

¶
H

1

+

µA

+
+

·ABD
·ACE

A

= 90o.
E

= 90o.

B

·ACE

µA

+
¶H
1

D

2
H

·ACE

ACE có

¶
H
1

µA

+

C

= 90o.

·ACE

= 90o.

.
¶
H
2

o

= 180 nên

µA

+

¶
H
2

= 180o.

II. Các dạng bài tập.

µA

Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết: 2

Bài 2. Cho tam giác ABC có 3

µA

=5

µ
B

=15

µ

C

=3

µ
B

và

µA B
µ
- = 30o.

.

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Tính

·
BDC

1

.


Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH
Chứng minh rằng

·

·
CAD
= CDA

Bài 4: Trên hình sau có

·
BAD

⊥

BC tại H. Tia phân giác của

·
BAH

cắt BH tại D.

B

C

.

=

·
BCD

o

= 90 ,

·ADB

15°

A

D

o

= 15 ,

AD //

BC. Chứng minh rằng AB // DC.
D

·
·
·
BAC
= CED
= 90o ·ABC
CDE
Bài 5: Trên hình bên có
,
= 50o,

40o. Chứng minh BC

⊥

CD.

40°

B

=

50°

A

E

C

E

Bài 6: Trên hình bên có AC // DE và

·ADE

o

= 60 ,

·ACB

= 25o. Tính

A

B

60°

D

các

góc của tam giác ABC.
35°

C

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết

·
DAH

= 15o, tính các góc của tam giác ABC.

Bài 8: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính các góc của tam giác ABC biết

·ADB

= 80o và

µ
B

= 1,5

µ
C

.

Bài 9: Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360o.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, phân giác CD.


a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.
·
µ
BDC
B
o
b) Giả sử
= 105 , tính .

Bài 11: Tam giác ABC có góc

µ
B

>

µ
C

. Vẽ phân giác AD.

·ADC − ·ADB = µ
B

µ
C

a) Chứng minh rằng
- .
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC
tại E. Chứng minh rằng

µ µ
·AEB = B − C .
2

x

y
A

D

E

Bài 12: Cho tam giác ABC có góc A = 90o. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC có chứa điểm A, vẽ các tia Bx và Cy vuông góc với BC. Qua A
kẻ DE song song với BC (D

∈

Bx, E

∈

B

C

Cy).

a) Tìm các tam giác vuông trong hình vẽ.
b) Tìm các góc bằng tam giác ABC.
Bài 13: Tính tổng các góc A, B, C, D, E của một hình sao 5 cánh (hình
A

vẽ bên).
(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 7, quận 6, TP. Hồ Chí Minh, năm

E

B

học 1999 – 2000)

D

§ 9: HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

C