Xư lý các thông tin trực cảm trong bài toán ra quyết định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------NGUYỄN ĐỨC ANH

XỬ LÝ CÁC THÔNG TIN TRỰC CẢM TRONG
BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH

Chuyên ngành : Công nghệ thông tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. Trần Đình Khang

Hà Nội – 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả được công bố
với các tác giả khác đều được sự đồng ý của đồng tác giả trước khi đưa vào luận văn.
Các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Đức Anh

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin và Truyền thông, trường Đại
học Bách khoa Hà Nội. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã nhận được sự chỉ bảo tận
tình, sự động viên khích lệ, cùng những yêu cầu nghiêm khắc của PGS. TS. Trần Đình
Khang, người đã truyền đạt rất nhiều kiến thức quí báu cũng như những kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học. Lời đầu tiên, tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin và
Truyền thông, Viện Đào tạo Sau đại học và Bộ môn Hệ thống thông tin thuộc trường
Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo ở Bộ môn Hệ thống thông tin - Viện Công nghệ thông
tin và Truyền thông, trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã động viên, trao đổi kinh
nghiệm và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành luận văn.
Luận văn này, như một món quà tinh thần, xin đáp lại những niềm quan tâm, mong mỏi
của mọi thành viên trong gia đình, đó là một trong những động cơ để tác giả nỗ lực học
tập, nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin biểu thị sự biết ơn tới những người thân và bạn bè đã ưu ái, giúp
đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận văn này.

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Tên các gia tử thường gặp
A

Approximately

V

Very

M

More

Mol

More or less

P

Possibly

Ký hiệu các phần tử nguyên thủy
T

True

F

False

Tên các tính chất và cấu trúc
ĐSGT

Đại số gia tử

TCNN

Trực cảm ngôn ngữ

3


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1: Giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ HEATH và AGE .................................... 13
Bảng 2: Ánh xạ ngược V-, M-, P- ................................................................................... 28
Bảng 3: Ánh xạ chuyển đổi từ giá trị mờ sang giá trị ngôn ngữ .................................... 46
Bảng 4: Ánh xạ chuyển đổi mức độ tín nhiệm từ giá trị mờ sang trị chân lý ngôn ngữ 50
Bảng 5: Bảng quyết định ví dụ bổ nhiệm nhân viên ...................................................... 52
Bảng 6: Một số phép kéo theo mờ phổ biến .................................................................. 55
Bảng 7: Các thuộc tính đầu vào cho bài toán tìm đường ............................................... 63
Bảng 8: Ánh xạ chuyển đổi thông tin số lượng vật cản từ giá trị mờ sang trị chân lý ngôn
ngữ .................................................................................................................................. 64
Bảng 9: Thông tin ra quyết định cảm nhận từ môi trường của tác tử tìm đường .......... 64
Bảng 10: Một ánh xạ chuyển đổi từ giá trị mờ sang trị chân lý ngôn ngữ của tập “nên đi”
........................................................................................................................................ 65
Bảng 11: Bảng quyết định cho bài toán tìm đường ....................................................... 67
Bảng 12: Các luật trên cây quyết định trong bài toán tìm đường .................................. 70
Bảng 13: So sánh kết quả của tập mờ trực cảm và tập mờ ĐSGT thường .................... 72
Bảng 14: Quá trình di chuyển tác tử tìm đường ............................................................. 74
Bảng 15: Ánh xạ chuyển đổi chuyển đổi giá trị mờ sang trị chân lý ngôn ngữ của tập mờ
“nóng” ............................................................................................................................ 78
Bảng 16: Tập luật cho bài toán tư vấn thời trang ........................................................... 80

4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1: Tập mờ và tập rõ ............................................................................................... 11
Hình 2: Các bước ra quyết định của con người ............................................................. 43
Hình 3: Biểu diễn cây quyết định ................................................................................... 48
Hình 4: Cây quyết định cho bảng dữ liệu người chơi tenis ........................................... 53
Hình 5: Bài toán tác tử tìm đường ................................................................................. 62
Hình 6: Quá trình ra quyết định của tác tử ..................................................................... 65
Hình 7: Một phần của cây quyết định cho bài toán tìm đường ..................................... 68
Hình 8: Đánh giá hiệu năng tập mờ trực cảm ngôn ngữ trong bài toán tìm đường ....... 73
Hình 9: Giao diện software tác tử tìm đường................................................................. 75
Hình 10: Một kết quả chaỵ chương trình với 70 vật cản (hình c), hình a. Lập luận với tập
mờ trực cảm NN, hình b. Lập luận với tập mờ ĐSGT thường ...................................... 76
Hình 11: Giao diện ứng dụng trên Windows apps store ............................................... 78
Hình 12: Cây quyết định cho bài toán tư vấn thời trang ............................................... 79

5


MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 6
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 7
Chương 1 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................. 10
1.1. Tập mờ trực cảm ............................................................................................... 10
1.1.1.

Tập mờ và biến ngôn ngữ ....................................................................... 10

1.1.2.

Tập mờ trực cảm..................................................................................... 14

1.2. Đại số gia tử ...................................................................................................... 16
1.2.1.

Đại số gia tử đơn điệu ............................................................................ 20

1.2.2.

Ánh xạ ngược gia tử ............................................................................... 26

1.2.3.

Suy diễn với ánh xạ ngược gia tử ........................................................... 30

Chương 2 – XỬ LÝ THÔNG TIN TRỰC CẢM TRONG BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH
........................................................................................................................................ 32
2.1. Tập mờ trực cảm ngôn ngữ .............................................................................. 32
2.2. Các phép toán với tập mờ trực cảm ngôn ngữ .................................................. 33
2.3. Xử lý thông tin với tập mờ trực cảm ngôn ngữ trong các bài toán ra quyết định.
42
2.3.1.

Biểu diễn thông tin bằng tập mờ trực cảm ............................................. 44

2.3.2.

Cây quyết định ........................................................................................ 47

2.3.3.

Lập luận xấp xỉ với thông tin trực cảm ngôn ngữ .................................. 56

Chương 3 – ỨNG DỤNG TẬP MỜ TRỰC CẢM NGÔN NGỮ TRONG CÁC BÀI
TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH............................................................................................. 62
3.1. Bài toán tìm đường ........................................................................................... 62
3.2. Hệ thống tư vấn thời trang DaFashtion ............................................................ 76
KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................................... 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 83

6


MỞ ĐẦU
Tập mờ hay tập hợp mờ (Fuzzy set) là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển và
được dùng trong lôgic mờ. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các
phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng
- một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho
phép mô tả quan hệ giữa một phần tử và một tập bằng một hàm thuộc (membership
function) μ→[0,1]. Trong lý thuyết tập mờ, một phần tử x có giá trị độ thuộc μ(x) thì
mức độ không thuộc của phần đó có giá trị mặc định là 1-μ(x).
Một hướng nghiên cứu được mở rộng từ khái niệm tập mờ là tập mờ trực cảm. Trong
tập mờ trực cảm một phần tử x có độ thuộc μ(x) nhưng giá trị độ không thuộc không chỉ
đơn thuần là 1-μ(x) mà nó được biểu diễn bởi một hàm gọi là hàm không thuộc
(nonmembership funtion), kí hiệu là ν. Khi đó, một phần tử được biểu diễn bằng một hàm
thuộc (membership function) μ→[0,1] và một hàm không thuộc ν→[0,1]. Đây là cơ sở
giúp chúng ta cải thiện, giải quyết nhiều bài toán trong tin học cũng như trong thực tế.
Một hướng mở rộng khác của logic mờ là Đại số gia tử. Đại số gia tử (ĐSGT) được xem
như là một cấu trúc toán học cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ làm nền tảng cho logic
ngôn ngữ.. Trên nền tảng lý thuyết đó tác giả đề xuất việc biểu diễn giá trị hàm thuộc và
không thuộc bằng giá trị ngôn ngữ, từ đó xây dựng khái niệm về tập mờ trực cảm ngôn

ngữ.
Một trong những ứng dụng phổ biến của logic mờ là xử lý bài toán ra quyết định. Ra
quyết định chính là chọn ra trong các giải pháp khả thi một giải pháp mà theo người
đưa ra quyết định là phù hợp nhất. Trong nhiều trường hợp khi các thông tin về bài toán
ra quyết định cần chuyển đổi về các các giá trị trực cảm để tính toán, thậm chí là dùng
các giá trị trực cảm ngôn ngữ. Cây quyết định là một trong những phương pháp biểu
diễn và xử lý thông tin, bài toán ra quyết định có thể được biểu diễn dưới dạng cây quyết

7


định. Mô hình cây quyết định có thể chuyển đổi qua lại với mô hình dạng luật “NẾU…
THÌ” tương ứng. Quá trình ra quyết định là quá trình lan truyền các thông tin từ nút gốc
của cây quyết định, quá trình này tương đương với quá trình lập luận xấp xỉ trên tập
luật tương ứng với cây quyết định đó. Trong trường hợp thông tin đầu vào là thông tin
trực cảm ngôn ngữ, để xử lý các thông tin này trong quá trình lập luận xấp xỉ với, tác
giả thấy rằng chúng ta có thể sử dụng giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp suy
diễn dựa trên ánh xạ ngược gia tử, từ đó tác giả mở rộng phương pháp lên tập mờ trực
cảm ngôn ngữ. Và cuối cùng hiệu quả và tính thực tiễn, phương pháp được thử nghiệm
trên hai ứng dụng là bài toán tìm đường đi và hệ thống tư vấn thời trang DaFashion.

Trong luận văn này, những mục tiêu nghiên cứu được đặt ra cụ thể như sau:
1) Nghiên cứu về tập mờ trực cảm ngôn ngữ, các phép toán, quan hệ với tập mờ trực
cảm, từ đó mở rộng cho tập mờ trực cảm ngôn ngữ.

2) Nghiên cứu lớp đại số gia tử đơn điệu hữu hạn cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ,
nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược của gia tử và xây dựng phương pháp
suy diễn với thông tin trực tin trực cảm ngôn ngữ.

3) Ứng dụng cho bài toán ra quyết định.

Về bố cục của luận văn, ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính được kết
cấu thành ba chương: Chương 1 – Cơ sở lý thuyết Chương 2 – Xử lý thông tin trực cảm
trong bài toán ra quyết định. Chương 3 – Ứng dụng. Cụ thể các chương được trình bày
như sau:
Chương 1 – Trình bày các khái niệm cơ bản phục vụ cho việc nghiên cứu các chương

tiếp theo. Đầu tiên là các khái niệm về tập mờ, tập mờ trực cảm, các phép toán trên
tập mờ và tập mờ trực cảm tiếp đến là khái niệm về biến ngôn ngữ. Tiếp theo đó là
các khái niệm về đại số gia tử, phép toán ánh xạ ngược và phương pháp suy diễn dựa

trên ánh xạ ngược đại số gia tử.

8


Chương 2 – Dựa trên lý thuyết về ĐSGT và tập mờ trực cảm, tác giả đề xuất đưa ra khái
niệm tập mờ trực cảm ngôn ngữ với giá trị hàm thuộc và hàm không thuộc biểu dìễn
bằng giá trị ngôn ngữ. Tiếp theo đó là phương pháp biểu diễn thông tin bằng tập mờ trực
cảm, xử lý thông tin trực cảm trong bài toán ra quyết định bằng cách mở rộng phương
pháp suy diễn sử dụng ánh xạ ngược gia tử cho thông tin trực cảm ngôn ngữ.
Chương 3 – Xây dựng ứng dụng bài toán ra quyết định sử dụng tập mờ trực cảm ngôn
ngữ, trong chương này tác giả trình bày hai ứng dụng, một là tác tử tìm đường và hệ
thống tư vấn thời trang DAFashion. Trong đó, tác giả xây dựng kịch bản so sánh giữa
tập mờ trực cảm ngôn ngữ và tập mờ trị ngôn ngữ thông thường, trình bày quá trình ra
quyết định với thông tin trực cảm ngôn ngữ.

9


Chương 1 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Nội dung của chương 1 bao gồm các kiến thức liên quan tới việc xử lý thông tin trực
cảm trong bài toán ra quyết định, bao gồm: Tập mờ trực cảm và đại số gia tử. Đó chính
là kết quả của việc mô hình hóa việc xử lý những thông tin không rõ ràng trong thực tế.
1.1.

Tập mờ trực cảm

Trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường xuyên tiếp xúc với những thông tin không
rõ ràng. nguyên nhân của sự không rõ ràng có thể là do những thông tin đó chứa các yếu
tố mơ hồ, không chính xác, không đầy đủ, mang tính chất cảm quan,… chẳng hạn sức
khoẻ một vận động viên thể thao là khoẻ, yếu, rất khoẻ, rất rất khoẻ,… Ý tưởng đưa ra
là: “Mỗi một giá trị ngôn ngữ có thể được biểu diễn bằng một giá trị số thực tương ứng
trong [0,1]”. Từ đó, Zadeh đã đưa ra lý thuyết về tập mờ và biến ngôn ngữ.
1.1.1. Tập mờ và biến ngôn ngữ
Khái niệm tập mờ được đưa ra bởi Zadeh vào năm 1965 trong tài liệu [10], là một mở
rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển, trong đó một tập mờ được định nghĩa là một tập hợp
mà trong đó mỗi thành viên đặc trưng bởi một giá trị gọi là độ thuộc. Cụ thể:
Định nghĩa 1.1. Một tập mờ A trên một không gian nền

được định nghĩa như sau:

𝐴 = {(𝑥, 𝜇𝐴 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋, 𝜇𝐴 (𝑥) ∈ [0,1]}
Hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑥) lượng hóa độ thuộc mà các phần tử

thuộc về tập cơ sở

. Nếu hàm

cho kết quả 0 đối với một phần tử thì phần tử đó không có trong tập đã cho, kết quả 1
mô tả một thành viên toàn phần của tập hợp. Các giá trị trong khoảng mở từ 0 đến 1 đặc

trưng cho các thành viên mờ.

10


Hình 1: Tập mờ và tập rõ

Hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑥) thỏa mãn các điều kiện sau:

Một tập mờ hữu hạn được ký hiệu bởi:
𝐴=

𝜇𝐴 (𝑥1 ) 𝜇𝐴 (𝑥2 )
𝜇𝐴 (𝑥𝑛 )
+
+⋯
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑛

Một tập mờ vô hạn được ký hiệu bởi:
𝐴 = ∫ 𝜇𝐴 (𝑥)/𝑥
Mỗi tập mờ được biểu diễn bằng hàm thuộc, nên việc tính toán trên tập mờ được thực
hiện trên các hàm thuộc. Các phép toán tập hợp, bao gồm phép hợp, phép giao và phép
lấy phần bù giữ một vị trí rất quan trọng khi nghiên cứu về lý thuyết tập mờ.
Các phép toán trên tập mờ:
Cho 2 tập mờ A, B xác định trên cùng không gian X, ta có:
A=B, nếu ∀u∈X: µA(u) = µB(u)
A bao hàm trong B, ký hiệu A⊂ B, nếu ∀u ∈X: µA(u) ≤ µB(u)
11

Cho A ⊂X, B ⊂X (A, B xác định trên cùng không gian nền)
Phép giao:

(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑡 ) = 𝑀𝑖𝑛{𝐴(𝑡 ), 𝐵(𝑡 )} = 𝐴(𝑡)⋀𝐵(𝑡)

Phép hợp:

(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑡 ) = 𝑀𝑎𝑥 {𝐴(𝑡 ), 𝐵(𝑡 )} = 𝐴(𝑡)⋁𝐵(𝑡)

Phép lấy phần bù:

(𝐴𝑐 )(𝑡 ) = 1 − 𝐴(𝑡)

VÍ dụ 1.1. Ví dụ về biểu diễn tập mờ và các phép toán trên tập mờ

Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ có thể được biểu diễn bằng tập mờ. Tuy nhiên, các
giá trị số thực đó chưa hẳn đã diễn đạt được hết ý nghĩa của một giá trị ngôn ngữ. Vì thế,
cùng với khái niệm về tập mờ, khái niệm biến ngôn ngữ được Zadel hình thức hoá và
đưa ra trong tài liệu số [11] như sau:
Định nghĩa 1.2. Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X),U, R, M), trong
đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu
của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến
cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc
ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U.
Ví dụ 1.2 Định nghĩa một biến ngôn ngữ TUỔI , tức là X = TUỔI, biến cơ sở u có miền
xác định U = [1, 100]. Khi đó, các giá trị ngôn ngữ tương ứng của biến TUỔi là T(TUỔI)
có thể bao gồm các giá trị: Trẻ, già,không trẻ hoặc già, không trẻ, không già, không rất
trẻ hoặc già, không rất già, rất trẻ, rất già hoặc trẻ, hơi trẻ, hơi già, ...

12


Trong đó “trẻ” và “già” được gọi là các giá trị nguyên thủy. Mỗi giá trị ngôn ngữ trong
T(TUỔI) là tên của một biến mờ trên U, tức là biến có thể nhận giá trị trên U với một
mức độ tương thích trong đoạn [0,1]. Trong các nghiên cứu của mình về biến ngôn ngữ
và lập luận xấp xỉ, L. A. Zadeh luôn nhấn mạnh hai đặc trưng quan trọng sau đây của
biến ngôn ngữ:
-

Đặc trưng thứ nhất là tính phổ quát của cấu trúc miền giá trị của chúng, tức là

miền giá trị của hầu hết các biến ngôn ngữ có cùng cấu trúc cơ sở theo nghĩa các giá trị
ngôn ngữ tương ứng là giống nhau ngoại trừ phần tử sinh nguyên thủy, như các giá trị
ngôn ngữ được cho tương ứng bởi hai biến ngôn ngữ HEALTH và AGE.
-

Đặc trưng thứ hai là tính chất độc lập ngữ cảnh của các gia tử và các liên từ, trong

khi ngữ nghĩa của các phần tử sinh nguyên thủy là phụ thuộc ngữ cảnh. Đặc trưng này
có thể thấy từ cách xác định ngữ nghĩa của tập mờ cho các giá trị ngôn ngữ.
HEALH

AGE

Good

Old

Very Good

Very Old

More-or-less Good

More-or-less Old

...

...

Poor

Young

Very Poor

Very Young

More-or-les Poor

More-or-less Young

...

...
Bảng 1: Giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ HEATH và AGE

Ta thấy rằng, mỗi một thông tin đều có một thông tin ý nghĩa phủ định tương ứng, ví
như phủ định độ tín nhiệm là độ bất tín nhiệm, phủ định đúng là sai, phủ định của thông

13


tin sức khoẻ là thông tin về độ không khoẻ… Ví dụ như nhà quả lý có độ tín nhiệm là
cao thì thông thường ta coi mặc định độ bất tín nhiệm là thấp,… Trong tập mờ, một giá
trị ngôn ngữ biểu diễn bởi mộ giá trị chân lý là độ thuộc µ thì mặc định giá trị phủ định
của nó là độ không thuộc mặc định là 1-µ. Trên thực tế giá trị độ không thuộc và độ
thuộc không phải lúc nào cũng được xác định một cách rõ ràng, chẳng hạn như một phần
cuả thông thông tin chưa được xác định, còn nhập nhằng, ví dụ trong khi bỏ phiếu tin
nhiệm mức độ tín nhiệm được đánh xác định bằng tỉ lệ µ bằng số phiếu chọn tín nhiệm
chia cho tổng số phiếu, độ bất tí nhiệm xác định bằng tỷ lệ ν bằng số phiếu bất tín nhiệm
chia cho tổng số phiếu, khi đó có những trường hợp mà ν+µ<1, nguyên nhân là do có
những người phân vân chưa quyết định nên họ bỏ phiếu trắng. Vì vậy, nhà khoa học
Krassimir Atanasssov[9] đề xuất việc biểu diễn thông tin bằng bằng hai giá trị là độ thuộc
µ và giá trị độ không thuộc ν, thông tin được biểu diễn như vậy gọi là thông tin trực cảm,
và khái niệm về một kiểu tập hợp mờ mới ra đời gọi là tập mờ trực cảm.
1.1.2. Tập mờ trực cảm
Tập mờ trực cảm là một tập bao gồm các phần tử mà mỗi phần tử gồm hai thành phần
độ thuộc và độ không thuộc. Tập mờ trực cảm được giới thiệu bởi Krassimir Atanasssov
(1983) trong tài liệu [9] như là mở rộng của khái niệm tập mờ của Lotfi Zadel, là mở
rộng của khái niệm tập hợp cổ điển.
Khái niệm tập mờ trực cảm mở rộng bằng cách cho phép đánh giá hai thành phần độ
thuộc và độ không thuộc nhận giá trị thuộc [0,1].
Định nghĩa 1.3 Tập mờ trực cảm A* xác định trên không gian nền E được định nghĩa
như sau:
A  {(x,  A (x), A (x)) | x  E}
Với 0 ≤ 𝜇𝐴 (𝑥) + 𝜐𝐴 (𝑥) ≤ 1 .Trong đó:

14

Hàm thuộc  A : E  [0,1] và hàm không thuộc  A : E  [0,1] biểu diễn độ thuộc
và độ không thuộc Một hàm  A : E  [0,1] cho bởi  A (x)  1   A (x)  A (x) , biểu
diễn mức độ nhập nhằng (không xác định).
Với mọi cặp tập mờ trực cảm

và

có rất nhiều phép toán, các liên kết được định

nghĩa, cơ bản nhất trong số chúng:
Các phép toán trên tập mờ trực cảm
Định nghĩa 1.4: Cho hai tập mờ trực cảm A,B xác định trên X:
A  {(x,  A (x), A (x)) | x  X}
B  {(x,  B (x), B (x)) | x  X}

Khi đó:
A  B   A (x)  B (x) và  A (x)   B (x) x  X
A  B   A (x)  B (x) và  A (x)   B (x) x  X
A  {(x, A (x),  A (x)) | x  X}

∆𝐴 = {(𝑥|𝜇𝐴 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋 } = {(𝑥, 𝜇𝐴 (𝑥), 1 − 𝜇𝐴 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋}
∇𝐴 = {(𝑥, −𝜈𝐴 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} = {(𝑥, 1 − 𝜈𝐴 (𝑥), 𝜈𝐴 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋}
A  B  {(x,( A  B )(x),( A  B )(x)) | x  X} Với
(  A   B )(x)  Min{ A (x),  B (x)}
( A  B )(x)  Max{ A (x), B (x)}

A  B  {(x,( A  B )(x),( A  B )(x)) | x  X} Với
(  A   B )(x)  Max{ A (x),  B (x)}

( A  B )(x)  Min{ A (x), B (x)}

Tập mờ và tập mờ trực cảm là công cụ để biểu diễn ngữ nghĩa cho các giá trị ngôn ngữ.
Tuy vậy, giống như Zadel đã trình bày trong tài liệu[11]: “Khi thiếu hụt tính chính xác

15


bề ngoài của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các
biến gọi là biến ngôn ngữ; đó là các biến mà các giá trị của chúng không phải là các số
mà là các từ hoặc các câu trong một ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. Động cơ cho việc
sử dụng các từ hoặc các câu hơn là các số bởi vì các đặc trưng ngôn ngữ nói chung là
ít xác định hơn các đặc trưng số”. Vì vậy tại sao chúng ta lại không thực hiện trực tiếp
trên các giá trị ngôn ngữ! Đó chính là lý do cho sự ra đời của lý thuyết về Đaị số gia tử.
1.2.

Đại số gia tử

Đại số gia tử (ĐSGT) được xem như là một cấu trúc toán học cho miền giá trị của các
biến ngôn ngữ, làm nền tảng cho logic ngôn ngữ. Nhiều kết quả nghiên cứu lĩnh vực này
đã được các chuyên gia trên thế giới quan tâm và đánh giá cao . Hiện nay, một số nhóm
nghiên cứu trong nước đang đẩy mạnh nghiên cứu ứng dụng lý thuyết này vào một số
lĩnh vực mới như điều khiển, nhận dạng mô hình, dự báo, … và đã có một số kết quả tốt
hơn rất nhiều so với tiếp cận mờ truyền thống.
Cấu trúc toán học của tập các giá trị chân lý là nền tảng quan trọng để xây dựng logic
tương ứng. Chẳng hạn, miền giá trị chân lý ngôn ngữ 𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ với các giá trị ngôn ngữ
𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, … được tạo ra từ tập phần tử
sinh 𝐺 = {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒} và tập các gia tử 𝐻 = {𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀𝑜𝑟𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦, … } bởi việc tác
động các gia tử lên phần tử sinh 𝑇𝑟𝑢𝑒 hoặc 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒. Khi đó cho tập phần tử sinh 𝐺 =
{𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒} và tập hữu hạn không rỗng các gia tử H thì tập X của các giá trị ngôn ngữ

là {𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻 ∗ } (𝐻 ∗ là tập các xâu gia tử sinh ra từ H). Hơn nữa, nếu chúng ta
xét quan hệ 𝑇𝑟𝑢𝑒 > 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 thì quan hệ thứ tự này cũng đúng cho các cặp giá trị ngôn
ngữ trên X, điều này có nghĩa là tồn tại một quan hệ thứ tự bộ phận “≤” trên X.
Xét một cách tổng quát, cho các tập hữu hạn không rỗng G và H tương ứng là tập các
phần tử sinh và các gia tử, khi đó tập các giá trị ngôn ngữ được sinh ra từ G và H là tập
X được xác định 𝑋 = {𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻 ∗ }. Chúng ta định nghĩa 𝑢 ≥ 𝑣 khi và chỉ khi

16


𝑢 > 𝑣 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑢 = 𝑣 thì trên X tồn tại một quan hệ thứ tự bộ phận ≥. Do đó X được mô
tả bởi một đại số trừu tượng: 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤).
Với mỗi ℎ ∈ 𝐻 có thể xem như là một hàm một ngôi ℎ: 𝑋 → 𝑋, 𝑥 ↦ ℎ𝑥. Hơn nữa, giả sử
rằng mỗi gia tử ℎ là một phép toán thứ tự, nghĩa là ∀ℎ ∈ 𝐻, ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ℎ𝑥 ≤
𝑥. Lấy 𝐼 ∉ 𝐻 là một gia tử đơn vị (𝐼𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋). Khi đó, với hai gia tử ℎ, 𝑘 chúng ta
nói rằng:
i)

ℎ và 𝑘 là ngược nhau nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥;

ii)

ℎ và 𝑘 là tương thích nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥;

iii)

ℎ có ngữ nghĩa lớn hơn hay bằng 𝑘, ký hiệu ℎ ≥ 𝑘, nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≤

𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥. Ký hiệu ℎ > 𝑘 nếu ℎ ≥ 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘;
iv)

ℎ là dương đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥;

v)

ℎ là âm đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑘𝑥 ≤ ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc 𝑘𝑥 ≥ ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑥.

Trong thực tế, có nhiều biến ngôn ngữ chỉ dùng hai phần tử sinh đối nghĩa nhau, như
true và false, cao và thấp, già và trẻ… Khi đó, đại số gia tử có tập G chỉ gồm hai phần
tử sinh, với một phần tử sinh có nghĩa “mạnh” hơn, như là truth, cao, già,… là phần tử
sinh dương, và phần tử còn lại, như false, thấp, trẻ,… là phần tử sinh âm. Lấy 𝐺 =
{𝑐 + , 𝑐 − } với 𝑐 + > 𝑐 − , 𝑐 + và 𝑐 − được gọi là phần tử sinh dương và âm tương ứng. Tập
H được phân thành các tập con 𝐻 + = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐 + > 𝑐 + } và 𝐻 − = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐 + < 𝑐 + }
và với mỗi giá trị 𝑥 ∈ 𝑋, đặt 𝐻 (𝑥) = {𝜎𝑥 | 𝜎 ∈ 𝐻 ∗ }.
Định nghĩa 1.5[16]. Một đại số trừu tượng 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), với 𝐻 ≠ ∅, 𝐺 = {𝑐 + , 𝑐 − }
và 𝑋 = {𝜎 𝑐 |𝑐 ∈ 𝐺, 𝜎 ∈ 𝐻 ∗ } được gọi là đại số gia tử nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(A1) Với mọi ℎ ∈ 𝐻 + và 𝑘 ∈ 𝐻 − thì h và k là ngược nhau.
(A2) Với mỗi cặp ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì h hoặc là dương hoặc là âm đối với k.
(A3) Nếu u và v độc lập thì 𝑥 ∉ 𝐻(𝑣) với mọi 𝑥 ∈ 𝐻(𝑢). Nếu 𝑥 ≠ ℎ𝑥 thì 𝑥 ∉ 𝐻(𝑥)
hơn nữa, nếu ℎ𝑥 ≠ 𝑘𝑥 thì ℎ𝑥 và 𝑘𝑥 độc lập

17


(A4) Nếu ℎ ≠ 𝑘 và ℎ𝑥 ≤ 𝑘𝑥 thì ℎ′ℎ𝑥 ≤ 𝑘′𝑘𝑥 với bất kỳ ℎ, 𝑘, ℎ′ , 𝑘′ ∈ 𝐻 và 𝑥 ∈ 𝑋.
(A5) Nếu 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑢 ≤ 𝑣 (hay 𝑢 ≥ 𝑣) thì 𝑢 ≤ ℎ𝑣 (hay 𝑢 ≥ ℎ𝑣) với mọi gia tử
ℎ ∈ 𝐻.
Với điều kiện tập 𝐻 + ∪ {𝐼} và 𝐻 − ∪ {𝐼} sắp thứ tự tuyến tính với I là gia tử đơn vị thì
𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử tuyến tính.
Ví dụ 1.3. Xét đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒}, 𝐻, ≤) với H={Very, More,

Probably, Mol} thì chúng ta có:
i)

Very và More là dương đối với Very và More, và là âm đối với Probably

và Mol;
ii)

Probably và Mol là âm đối với Very và More và là dương đối với Probably

và Mol;
Tập H được phân thành 𝐻 + = {𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀𝑜𝑟𝑒} và 𝐻 − = {𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦, 𝑀𝑜𝑙}. Trong 𝐻 + ∪
{𝐼} chúng ta có 𝑉𝑒𝑟𝑦 > 𝑀𝑜𝑟𝑒 > 𝐼 và trong 𝐻 − ∪ {𝐼} chúng ta có 𝑀𝑜𝑙 < 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦 <
𝐼.
Cho phần tử 𝑢 ∈ 𝑋, biểu thức ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 được gọi là một biểu diễn chính tắc của 𝑥 đối
với 𝑢 nếu 𝑥 = ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 và ℎ𝑖 … ℎ1 𝑢 ≠ ℎ𝑖−1 … ℎ1 𝑢 với 𝑖 nguyên và 𝑖 ≤ 𝑛. Ta gọi độ
dài của 𝑥 (ký hiệu |𝑥|) là số gia tử trong biểu diễn chính tắc của nó đối với phần tử sinh
cộng thêm 1.
Cho 𝑥 = 𝜎𝑐, với 𝜎 ∈ 𝐻 ∗ , 𝑐 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − }, chúng ta gọi 𝑦 = 𝜎𝑐′ với 𝑐′ ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } và 𝑐′ ≠ 𝑐
là phần tử đối nghịch của phần tử 𝑥, ký hiệu 𝑦 = −𝑥. Khi đó chúng ta có định nghĩa đại
số gia tử đối xứng:
Định nghĩa 1.6. Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), với 𝐺={𝑐 + , 𝑐 − }, được gọi là đối
xứng nếu mọi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 có duy nhất một phần tử đối nghịch -𝑥 ∈ 𝑋.

18


Để so sánh các phần tử trong X, chúng ta có tiêu chuẩn so sánh được phát biểu trong
mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. [16] Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 tuyến tính. Giả sử 𝑥 = ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 và 𝑦 =

𝑘𝑚 … 𝑘1 𝑢 là hai biểu diễn đối với 𝑢. Khi đó, nếu tồn tại một chỉ số 𝑗 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} + 1
để với mọi 𝑖 < 𝑗, chúng ta có ℎ𝑖 = 𝑘𝑖 thì:
1)

𝑥 < 𝑦 nếu và chỉ nếu ℎ𝑗 𝑥𝑗 < 𝑘𝑗 𝑥𝑗 , ở đây 𝑥𝑗 = ℎ𝑗–1 … ℎ1 𝑢

2)

𝑥 = 𝑦 nếu và chỉ nếu 𝑛 = 𝑚 = 𝑗 và ℎ𝑗 𝑥𝑗 = 𝑘𝑗 𝑥𝑗

Như vậy tiêu chuẩn so sánh để sắp thứ tự các phần tử của ĐSGT tương tự giống cách
sắp xếp của các từ trong từ điển nhưng hiển thị các ký hiệu trong biểu diễn xâu của
ĐSGT được xét theo thứ tự đối xứng gương trong thứ tự từ điển.
Mệnh đề 1.2. [16] Cho đại số gia tử tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), thì các phần tử trong
X được sắp xếp thứ tự tuyến tính.
Định nghĩa 1.7[16]. Lấy 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, chúng ta định nghĩa ∨, ∧ và → như sau:
𝑥 ∨ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝑦); 𝑥 → 𝑦 = −𝑥 ∨ 𝑦
Các tính chất dưới đây chỉ ra rằng X có thể được dùng như là miền giá trị chân lý cho
logic ngôn ngữ.
Định lý 1.1. [16] Cho đại số gia tử đối xứng tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), chúng ta có
các tính chất sau:
1)

−ℎ𝑥 = ℎ(−𝑥), với ∀ℎ ∈ 𝐻;

2)

− − 𝑥 = 𝑥; −1 = 0, −0 = 1, −𝑊 = 𝑊;

3)

−(𝑥 ∨ 𝑦) = −𝑥 ∧ −𝑦,
−(𝑥 ∧ 𝑦) = −𝑥 ∨ −𝑦;

4)

𝑥 ∧ −𝑥 < 𝑊 < 𝑦 ∨ −𝑦;

5)

𝑥 > 𝑦 khi và chỉ khi −𝑥 < −𝑦;

19


6)

𝑥 → 𝑦 = −𝑦 → −𝑥;

7)

𝑥 → (𝑦 → 𝑧) = 𝑦 → (𝑥 → 𝑧);

8)

𝑥 → 𝑦 ≥ 𝑥′ → 𝑦′ nếu 𝑥 ≤ 𝑥′ hoặc 𝑦 ≥ 𝑦′;

9)

1 → 𝑥 = 𝑥, 𝑥 → 1 = 1, 0 → 𝑥 = 1, 𝑥 → 0 = −𝑥;

10)

𝑥 → 𝑦 > 𝑊 khi và chỉ khi 𝑥 < 𝑊 hoặc 𝑦 > 𝑊;

11)

𝑥 → 𝑦 < 𝑊 khi và chỉ khi 𝑥 > 𝑊 và 𝑦 < 𝑊;

12)

𝑥 → 𝑦 = 1 nếu 𝑥 = 0 hoặc 𝑦 = 1.

Định lý trên chỉ ra rằng, logic dựa trên đại số gia tử tuyến tính đối xứng không phải là
logic kinh điển. Đại số gia tử là một cấu trúc toán học tốt để biểu diễn ngữ nghĩa của các
biến ngôn ngữ và là cơ sở đại số cho logic ngôn ngữ. Đã có nhiều nghiên cứu áp dụng
đại số gia tử để giải quyết tốt cho nhiều lớp bài toán, lập luận xấp xỉ, điều khiển, phân
lớp… Tuy nhiên, để giải quyết cho các lớp bài toán khác nhau đôi khi cần thu hẹp miền
biểu diễn ngôn ngữ cho phù hợp. Dưới đây là lớp đại số gia tử đơn điệu và đại số gia tử
đơn điệu hữu hạn, cấu trúc đại số thu hẹp của đại số gia tử đã được đề xuất và nghiên
cứu bởi T. D. Khang, Lê Anh Phương [3,4,5].
1.2.1. Đại số gia tử đơn điệu
Một vấn đề quan trọng khi giải bài toán lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn ngữ tự nhiên
đã được N. C. Ho, T. D. Khang, H. V. Nam, N. H. Chau [18] nghiên cứu đó là sử dụng
quy tắc chuyển gia tử trong các mệnh đề mờ. Vì đại số gia tử là cơ sở cho logic mờ cho
nên nó phải thỏa mãn các tính chất khi xử lý thông tin mờ, một trong những tính chất
quan trọng trong logic mờ là tính chất bao hàm, nghĩa là tập mờ 𝐴 ⊂ 𝐵 thì 𝜇𝐴 (𝑢) ≤
𝜇𝐵 (𝑣). Tuy nhiên khi nghiên cứu tính chất này đối với quy tắc chuyển gia tử trong đại
số gia tử trong [16], T. D. Khang đã phân tích và chỉ ra rằng tính chất bao hàm không
thỏa mãn với lớp đại số gia tử tổng quát, vì vậy cần giới hạn đại số gia tử với các ràng

buộc mới. Trong [3], T. D. Khang đã đề xuất lớp đại số gia tử mới với tập gia tử là tuyến
tính và thuần nhất được gọi là đại số gia tử đơn điệu.

20


Định nghĩa 1.8[16] (𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴)Đại số gia tử đối xứng tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤
) được gọi là đại số gia tử đơn điệu nếu với mỗi ℎ ∈ 𝐻 + (𝐻 − ) là dương với tất cả 𝑘 ∈
𝐻 + (𝐻 − ) và âm đối với 𝑘 ∈ 𝐻 − (𝐻 + ).
Định nghĩa 1.9[16] Cho ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼}, ta có ℎ ≥𝐻 𝑘 khi và chỉ khi thỏa mãn một trong
3 điều kiện sau:
i)

ℎ ∈ 𝐻 + và 𝑘 ∈ 𝐻 −

ii)

ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 + ∪ {𝐼} và ℎ ≥ 𝑘

iii)

ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 − ∪ {𝐼} và 𝑘 ≥ ℎ

Ký hiệu ℎ >𝐻 𝑘 khi và chỉ khi ℎ ≥𝐻 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘
Định nghĩa 1.10. Cho 𝛿 = ℎ𝑛 … ℎ1 , 𝜎 = 𝑘𝑚 … 𝑘1 với ℎ𝑖 , 𝑘𝑗 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼}, 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, 𝑗 =
̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚, ta có δ ≥𝐻 σ khi và chỉ khi ∃𝑖 ≤ min{𝑚, 𝑛} : ℎ𝑗 = 𝑘𝑗 , ∀𝑗 < 𝑖 sao cho một trong 3
điều kiện sau thỏa mãn:
i)

ℎ𝑖 ≥𝐻 𝑘𝑖 với ℎ𝑖 , 𝑘𝑖 ∈ 𝐻 với 𝑖 ≤ min{𝑚, 𝑛}

ii)

Nếu 𝑖 = 𝑚 thì ℎ𝑚+1 ≥𝐻 𝐼

iii)

Nếu 𝑖 = 𝑛 thì 𝐼 ≥𝐻 𝑘𝑛+1

Ký hiệu 𝛿 >𝐻 𝜎 khi và chỉ khi 𝛿 ≥𝐻 𝜎 và 𝛿 ≠ 𝜎
Như vậy, đại số gia tử đơn điệu là một lớp đặc biệt trong đại số gia tử đối xứng tuyến
tính, với quan hệ thứ tự mở rộng ≥𝐻 . Khi đó một ĐSGT là tuyến tính nếu (𝐻, ≥𝐻 ) và
(𝐺, ≤) là các tập sắp thứ tự tuyến tính.
Dưới đây, chúng ta nghiên cứu một số tính chất của đại số gia tử đơn điệu cần thiết cho
luận văn.
Mệnh đề 1.3. [13] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 − , 𝑐 + }, 𝐻, ≤) với các gia tử
ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì:
ℎ ≥𝐻 𝑘 ⟺ ℎ𝜎𝑐 + ≥ 𝑘𝜎𝑐 +
21


Dựa trên Mệnh đề 1.3. chúng ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.1 [13] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) với các
gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì: ∀ℎ ∈ 𝐻 + , 𝑘 ∈ 𝐻 − thì ℎ𝜎𝑐 + ≥ 𝜎𝑐 + và 𝑘𝜎𝑐 + ≤ 𝜎𝑐 +
Mệnh đề 1.4. [13] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) với gia
tử ℎ ∈ 𝐻 và các xâu gia tử 𝜎1 , 𝜎2 ∈ 𝐻 ∗ thì: 𝜎1 𝑐 + ≥ 𝜎2 𝑐 + ⟺ 𝜎1 ℎ𝑐 + ≥ 𝜎2 ℎ𝑐 +
Mệnh đề 1.5 [13] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) với gia
tử ℎ ∈ 𝐻, các xâu gia tử 𝜎1 , 𝜎2 ∈ 𝐻 ∗ và 𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝐺 thì: 𝜎1 𝑐1 ≥ 𝜎2 𝑐2 ⟺ 𝜎1 ℎ𝑐1 ≥ 𝜎2 ℎ𝑐2

Về mặt lý thuyết số phần tử trong miền giá trị ngôn ngữ X là vô hạn do độ dài của chuỗi
gia tử là vô hạn, tuy nhiên trên thực tế sử dụng gia tử thường ở mức độ giớ hạn do vậy
tác giả Lê Anh Phương định nghĩa một đại số gia tử đơn điệu có số lượng số phần tử hữu
hạn
Định nghĩa 1.11[5] (Đại số gia tử đơn điệu hữu hạn)
Đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) được gọi là đạ số gia tử đơn
điệu hữu hạn chính tắc, viết tắt là 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤)nếu:
o X hữu hạn, nghĩa là tồn tại L sao cho ∀𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥| ≤ 𝐿 + 1
o ∀𝑥 ∈ 𝑋\ℂ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔, 𝑣ớ 𝑖 ℂ 𝑙𝑎 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝𝑐𝑎 ℎằ𝑛𝑔, 𝑡ứ 𝑐 𝑙𝑎 ℂ =
{0, 𝑊, 1}, 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑥 = ℎ𝑙 ℎ𝑙−1 … ℎ1 𝑐 𝑙𝑎 𝑏𝑖ể𝑢 𝑑𝑖ễ𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑛ℎ 𝑡ắ𝑐 𝑐𝑢𝑎 𝑋
Từ định nghĩa 1.10 chúng ta có khái niệm về miền giá trị chân lý ngôn ngữ và tập các
điểm bất động của X.
Mệnh đề 1.6[5] Đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) là một 𝐿 −
𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) khi và chỉ khi ∀𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥| ≤ 𝐿, 𝑥 ∉ ℂ(hằng) thì x
không phải là điểm bất động. (Nghĩa là tập các điểm bất động của 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴) gồm
tập các hằng C và các điểm có độ dài L+1).

22


Định nghĩa 1.12.[5] (Miền giá trị ngôn ngữ) Một miền giá trị ngôn ngữ AX lấy từ một
𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤)được xác định bởi 𝐴𝑋 = 𝑋 ∪ {0, 𝑊, 1} Với 0, W,
1 lần lượt là các phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, trung hoà trong AX.
0 < 𝑥 < 𝑊 < 𝑦 < 1 ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝑐 − ), 𝑦 ∈ 𝐻(𝑐 + )
𝐻𝑊 = 𝑊, ℎ1 = 1, ℎ0 = 0
−𝑊 = 𝑊, −1 = 0, −0 = 1
Ví dụ 1.4.[5] Xét đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 2 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 =
(𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, {𝑉, 𝑀, 𝑃}, ≤)(𝑉 = 𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀 = 𝑀𝑜𝑟𝑒, 𝑃 = 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑦)(𝑃 ∈ 𝐻 (𝑐 − ), 𝑀, 𝑉 ∈
𝐻 (𝑐 + ), 𝑀 < 𝑉) Chúng ta có miền giá trị chân lý ngôn ngữ (Được sắp xếp theo thứ tự
tuyến tính) AX={0, 𝑉𝑉𝑐 − , 𝑀𝑉𝑐 − , 𝑉𝑐 − , 𝑃𝑉𝑐 − ,𝑉𝑀𝑐 − , 𝑀𝑀𝑐 − , 𝑀𝑐 − , 𝑃𝑀𝑐 − , 𝑐 − , 𝑉𝑃𝑐 − ,

𝑀𝑃𝑐 − , 𝑃𝑐 − , 𝑃𝑃𝑐 − , W, 𝑃𝑃𝑐 + , 𝑃𝑐 + , 𝑀𝑃𝑐 + , , 𝑉𝑃𝑐 + , 𝑐 + , 𝑃𝑀𝑐 + , 𝑀𝑐 + , 𝑀𝑀𝑐 + , 𝑀𝑀𝑐 + ,
𝑉𝑀𝑐 + , 𝑃𝑉𝑐 + , 𝑉𝑐 + , 𝑀𝑉𝑐 + , 𝑉𝑉𝑐 + , 1 }
Mệnh đề 1.7. Cho đại số gia tử hữu hạn đơn điệu 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤
), thì miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX là hữu hạn với số phần tử 𝐴𝑋 = 3 + 2 ∑𝐿𝑖=0 |𝐻|𝑖
và các phần tử của AX được sắp thứ tự tuyến tính. (Ký hiệu |AX| là số phần tử của AX
và |H| là số phần tử của H)

23


Tác giả Lê Anh Phương đưa ra thuật toán xác định chỉ số(index) của một giá trị chân lý
ngôn ngữ x trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX như sau:
Thuật toán 1.1. INDEX(x, AX)
/*Xác định chỉ số của giá trị chân lý ngôn ngữ của x*/
Đầu vào:

Miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX của L – Mono – HA
H-={h-q,…, h-1} H+={h1,…, hp}
x= lklk-1…l1c Với 𝑐 ∈ {𝑇, 𝐹 }, 𝑘 ≤ 𝐿
Đầu ra:
Giá trị index sao cho 𝜇𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥 = 𝑥
Phương pháp:
𝑘
𝑖
𝑀 = 3 + 2 ∗ |𝐴𝑋 0 |; 𝑙 ∗ |𝐴𝑋 𝑖 | = ∑𝐿−𝑖
𝑘=0(𝑝 + 𝑞 ) 𝐴𝑋 (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙) là tập chứa
các phần tử y (có độ dà không vượt quá L) được sinh ra từ phần tử
x= lklk-1…l1c có (có độ dài i) và kể cả x
if x=0 then index:=1;
if x=W then index:=(M+1)/2;

if x=1 then index=M;
index=(M+1)/2+1;
for i:=1 to k do
if j<0 then index:=index+(|q|+j)*|AXj|
else index:=index+(|q|+j-1)*|AXj|+1
if kif c=F then index:=1+M-index
return (index)
Như vậy, từ giá trị index chúng ta có hai thủ tục tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hai
giá trị chân lý ngôn ngữ trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ hữu hạn trong thuật toán 1.2
và thuật toán 1.3. Cùng với hai thuật toán xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, thuật
toán 1.4 xác định phần tử nghịch đảo của một giá trị chân lý ngôn ngữ trên miền giá trị
chân lý ngôn ngữ AX xá định trên đại số gia tử hữu hạn L – Mono – HA. Chi tiết các
thuật toán như sau:

24