Sáng kiến KN năm nay !

Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:
Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trờng THPT. Qua toán
học giúp cho ngời học nâng cao đợc khả năng t duy , khả năng suy luận và việc vận
dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp ngời học phát triển và
hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là
cả một vấn đề mà không ngời giáo viên dạy toán nào không quan tâm. Đặc biệt
trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi ngời dạy cũng nh ngời học phải
không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đa ra những phơng pháp
giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Để giúp ngời học nắm vững kiến thức
môn học có tính hệ thống đây là vấn đề đợc đặt ra. Nhất là trong thực hành việc
giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi ngời học phải nắm vững những hệ
thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có
tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.
Trong chơng trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan
trọng, nên việc hiểu và nắm vững đợc là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm
tiền đề về sau cho các em khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong ch-
ơng trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với phơng trình bậc hai và hàm số
bậc hai. Song việc ứng dụng và vận dụng phơng trình bậc hai, hàm số bậc hai trong
việc giải các loại toán khác nh thế nào cha đợc quan tâm nhiều. Chính vì lẽ đó
trong quá trình giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi ,tôi nhận thấy
đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận
dụng nó vào việc giải các loại toán khác; tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề:" vận dụng
tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT"
Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn
học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy đợc khả năng vận dụng
kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng nh t duy độc lập đặc biệt giúp các em
có một hành trang tốt chuẩn bị cho một cấp học cao hơn.
Tuy vậy do khuôn khổ của đề tài cũng nh kinh nghiệm còn hạn chế chắc rằng
còn gặp những thiếu xót không mong muốn, rất mong sự đóng góp xây dựng của

quí đồng nghiệp.
GV . Đặng Ngọc Liên
1
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
một số dạng toán vận dụng tam thức bậc
hai
(I):giải phơng trình :
A:Kiến thức cơ bản:
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình đó về dạng
phơng trình bậc hai dạng :ax
2
+ bx + c = 0 bằng cách đặt hoặc biến đổi. Khi đa ph-
ơng trình đó về dạng phơng trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9. Đó
là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai .
B :Một số dạng toán cơ bản :
1 : Phơng trình trùng phơng
a :Kiến thức cơ bản :
Phơng trình trùng phơng có dạng : a x
4
+bx
2
+c =0 (a

0 )
Để đa phơng trìng trên về dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x
2
= t (t

0 )
Ta đợc phơng trìng bậc hai : at

2
+bt +c = 0
B.Ví dụ : Giải phơng trình : 2x
4
-3x
2
-2=0
Giải :
Đặt x
2
=t Điều kiện t

0 ta đợc phơng trình bậc hai đối với ẩn t .
2t
2
- 3t - 2 = 0

=9 +16 = 25;

=5 Phơng trình có hai nghiệm:
t
1
=
2
1
4
53
=

; t

2
=
2
4
53
=
+
t
2
=2 thoả mãn điều kiện t
2
0

.
với t=t
2
=2 ta có x
2
=2

x
1
=
2
; x
2
=-
2
.
Vậy phơng trình có ha inghiệm : x

1
=
2
; x
2
=-
2
2: Phơng trìng đối xứng bậc chãn :
a: kiến thức cơ bản :
Ta xét phơng trình bậc bốn dạng : a x
4
+ bx
3
+c x
2
+bx +a = 0
(a
0

; các hệ số của ẩn cách đều số hạng chính giữa )
vì x= 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia hai vế của phơng trình cho
x
2
ta có :

2
4
x
ax
+

0
222
2
2
3
=+++
x
a
x
bx
x
cx
x
bx
a x
2
+ bx +c -
0
2
=+
x
a
x
b
0)
1
()
1
(
2

2
=++++
c
x
xb
x
xa
(1)
Đặt x+
y
x
=
1
ta có : x
2
+
.22)
1
(
1
22
2
=+=
y
x
x
x
Do đó phơng trình ( 1) có dạng phơng trình bậc hai :
GV . Đặng Ngọc Liên
2

Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
ay
2
+ by +c -2a = 0 (2)
Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ đó suy ra x .
B: ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
+ 3x
3
- x
2
+3x +2 = 0
Giải :
Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phơng trình , với x
0

chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng :
2x
2
+ 3x -1 +
0
23
2
=+
x
x

05)
1
(3)
1
(2
05)
1
(3)
1
2(2
2
2
2
=+++
=++++
x
x
x
x
x
x
x
x
tới đây ta nhận thấy phơng trình trên có dạng bậc hai nếu đặt x +
y
x
=
1
đa phơng trình về dạng : 2y
2

+ 3y -5 = 0 giải phơng trình ta đợc :
y
1
=1 ; y
2
= -
2
5

với x +
1
1
=
x
ta có : x
2
+ 1 -x = 0 vô nghiệm
với x +
x
x
2
2
51
=
2
+ 5x + 2 = 0 giải phơng trình ta đợc hai nghiệm :
x
1
= -2 ; x
2

= -
2
1

C : nhận xét : phơng trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì
m
1
cũng
là nghiệm của phơng trình .
Nếu phơng trình có dạng : a x
5
+bx
4

cx
3
+cx
2
+bx +a = 0
đợc gọi là phơng trình đối xứng bậc lẻ , phơng trình này bao giờ cũng nhận -1 làm
nghiệm . Do đó có thể hạ bậc để đa phơng trình về phơng trình đối xứng bậc chẵn
mà ta và trình bày cách giải ở trên .
3 : Phơng trình hồi quy :
a: phơng trình có dạng : a x
4
+ bx
3
+cx
2
+dx +k = 0 (a

)0

vì x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x
2
ta đợc phơng trình tơng
đơng :
a(x
2
+
)
2
ax
k
+ b(x +
0)
=+
c
bx
d
trong đó :
2
)(
b
d
a
k
=
đặt x +
b
d

t
xb
d
xt
bx
d
2
2
2
2
2
=+=

hay x
2
+
b
d
t
ax
k
2
2
2
=
vậy phơng trình đã cho đợc đa vể dạng phơng trình bậc hai
đối với ẩn t :
GV . Đặng Ngọc Liên
3
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt

at
2
+ bt + c +2
0
=
b
ad
B: ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0
Giải :
x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc phơng
trình tơng đơng :
2(x
2
+
074)
5
(21)
25
2
=++
x

x
x
Đặt x +
2
2
2
255
t
x
xt
x
=+=
- 10
khi đó phơng trình trên có dạng phơng trình bậc hai đối với ẩn t
2t
2
- 21t +54 = 0
Giải phơng trình bậc hai trên ta đợc hai nghiệm :
t
1
= 6 và t
2
= 4,5
với t
1
= 6 ta có
6
5
=+
x

x
hay x
2
- 6x + 5 = 0
giải phơng trình trên ta đợc :
x
1
= 1 ; x
2
=5
với t
2
= 4,5 ta có : x +
5,4
5
=
x
hay x
2
- 4,5x + 5 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= 2 ; x
4
=2,5
vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là :
x
1
= 1 ; x
2

= 5 ; x
3
= 2 ; x
4
=2,5
C : nhận xét :
Phơng trình hồi quy trong đó
2
)(
b
d
a
k
=
; k
0

có ẩn phụ dạng
t =x +
bx
d
4 : Phơng trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m
hoặc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx
2

A: ví dụ1: Giải phơng trình :
( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
Giải :

( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3

( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3

(x
2
+ 5x +4 )(x
2
+5x+6) = 3
GV . Đặng Ngọc Liên
4
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Đặt : x
2
+5x + 4 = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t :
t(t + 2) = 3

t
2
+2t-3 = 0
Giải phơng trình bậc hai đối với ẩn t ta đợc : t
1
=1 ;t
2

= -3
với t
1
= 1 ta có : x
2
+5x+4 = 1

x
2
+5x +3 =0
Giải phơng trình ta đợc :
x
1;2
=
2
135


t
2
= -3 ta có : x
2
+5x+4= -3

x
2
+ 5x + 7 = 0 ; phơng trình này vô nghiệm
(vì

= 25 - 28 < 0 )
vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x
1;2
=
2
135

B.Ví dụ 2 : giải phơng trình :
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x
2
(1)
Giải :
(1)

4(x
2
+17x + 60)(x
2
+ 16x + 60) = 3x
2


4(x +17 +
2
60
x
)(x + 16 +
x
60
) = 3 (vì x
0

)
Đặt x+16 +
x
60

= y
Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y
2
+ 4y - 3 = 0
Phơng trình có hai nghiệm vì
/

= 4 + 12 = 16
Giải phơng trình ta đợc :
y
1
=
2
1
; y
2
=
2
3

với y
1
=
2
1
ta có : 2x
2
+ 31x +120 = 0
giải phơng trình ta đợc x
1

= - 8 ;x
2
= -
2
15
với y
2
= -
2
3
ta có : 2x
2
+ 35x + 120 = 0 giải phơng trình ta đợc :
x
3;4
=
4
26535


vậy phơng trình đã cho có nghiệm :
x
1
= - 8 ; x
2
=
2
15

; x

3;4
=
4
26535

GV . Đặng Ngọc Liên
5