Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ không âm

MỤC LỤC
------o0o------

Chương 1...........................................................................................................................6
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN..............................................................................6
Chương 2.........................................................................................................................27
THIẾT KẾ HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ..........................................................27
Chương 3.........................................................................................................................56
PHÂN TÍCH Ý KIẾN CỦA CHUYÊN GIA..................................................................56
VỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP THIẾT KẾ............................................................................56
3.6. Nhận xét................................................................................................................59

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, thế giới trên đà phát triển mạnh những thành tựu khoa học và
công nghệ đã tạo ra những thuận lợi góp phần nâng cao chất lượng cuộc sống
con người. Vì vậy, yếu tố trí tuệ giữ vai trò quan trọng trong sự phát triển nền
kinh tế nước nhà.
Trong văn kiện Đại hội Đảng IX tiếp tục khẳng định “Phát triển giáo
dục và đào tạo là một trong những động lực quan trọng thúc đẩy công nghiệp
hóa, hiện đại hóa, là điều kiện để phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ
bản để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững”.
Đây là chủ trương hết sức đúng đắn mà Đảng coi “Giáo dục – Đào tạo
là sự nghiệp của toàn Đảng, của Nhà nước và của toàn dân”. Trong đó giáo
dục Tiểu học được coi là nền tảng của hệ thống giáo dục phổ thông.
Ở giai đoạn này, các em bước đầu tiếp cận những kiến thức tương đối
khó và mới mẻ. Các môn học ở trường Tiểu học trang bị cho học sinh một
lượng kiến thức cơ bản trong cuộc sống. Môn Toán giúp các em có nền tảng

kiến thức vững chắc, giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng
và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Ngoài ra, tạo cho học sinh sự
cần cù, chăm chỉ, làm việc có kế hoạch và có tác phong khoa học. Kiến thức
toán học ở Tiểu học bao gồm các mạch kiến thức như số học, hình học, đo các
đại lượng, giải toán có lời văn.
Phân số không chỉ đóng vai trò quan trọng trong mạch kiến thức số học,
mà nó còn giữ vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn. Phân số được giới
thiệu cho học sinh làm quen bắt đầu từ lớp 2 và được đưa vào dạy hoàn chỉnh
từ lớp 4.
Hệ thống bài tập có vai trò quan trọng, là công cụ phát huy nhu cầu,
động cơ, hứng thú và hoạt động học tập độc lập, sáng tạo của học sinh. Hệ

1


thống bài tập về chủ đề: “Phân số” được kết cấu trong sách giáo khoa, nhằm
cung cấp kiến thức, kỹ năng thực hiện các phép tính với phân số.
Trong thực tế, nhiều giáo viên chú trọng đến mục tiêu cung cấp kiến thức,
mà chưa chú ý phát huy được tính tích cực trong hoạt động học tập của học
sinh. Việc sử dụng hệ thống bài tập trong quá trình dạy học của giáo viên còn
lúng túng, chưa phát huy được tính tích cực, tự giác và sáng tạo của học sinh.
Xuất phát từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn và nghiên cứu đề
tài: “Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập
hợp số hữu tỉ không âm” nhằm tạo điều kiện cho các em hiểu được sâu hơn
bản chất và các bài tập về phân số. Đồng thời, đây cũng là cơ hội để bản thân
được học hỏi kinh nghiệm, được tìm hiểu, tiếp cận gần hơn chương trình Tiểu
học để sau này có thể tự tin, vững vàng hơn trên bục giảng.
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
Các nội dung về số hữu tỉ không âm là một trong những vấn đề cơ bản
thuộc học phần số học của chương trình đào tạo giáo viên Tiểu học nên nó đã

được nhiều tác giả quan tâm, đi sâu nghiên cứu:
Các giáo trình như: “Giáo trình lý thuyết số” (2003) của Trần Diên Hiển,
Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc; “Giáo trình Toán học 2” (2015) của Lê
Mạnh Hà,… Đa số các tài liệu này đã cho thấy được bản chất cũng như sự thể
hiện của phân số, quan hệ tương đương, các tính chất của tập hợp số hữu tỉ
không âm. Tuy nhiên, kiến thức này chỉ được trình bày với tư cách là một
phần của các chủ đề chính ở giáo trình nên chúng ta vẫn chưa hiểu được một
cách cụ thể, tường tận nhất.
Mặt khác, vấn đề dạy học phân số cũng được nhiều tác giả đi sâu tìm
hiểu và trình bày như: Đỗ Trung Hiệu với cuốn “Các bài toán điển hình lớp 4,
5” nghiên cứu các dạng toán với các bài tập điển hình ở lớp 4, 5 hay một số
đề tài nghiên cứu của sinh viên như khóa luận của Dương Thị Diệu Thay
“Các phép toán số học và ứng dụng vào việc dạy học chủ đề phân số, số thập
2


phân trong chương trình môn toán ở Tiểu học” (2012) đề cập đến phép toán số
học, tập hợp số hữu tỉ, các biện pháp ứng dụng của phép toán số học vào dạy
học chủ đề phân số, số thập phân trong chương trình Tiểu học.
Tuy nhiên, việc nghiên cứu chỉ chú ý đến tập hợp số hữu tỉ không âm, sự
thể hiện, hệ thống và phân loại các dạng bài tập của phân số, còn số lượng các
bài tập về phân số dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ chưa nhiều. Do
vậy, việc đi sâu tìm hiểu bản chất khoa học của tập hợp số hữu tỉ không âm và
sự thể hiện trong chủ đề phân số, từ đó thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở
lớp 4 là một công việc cần thiết, quan trọng và có ý nghĩa. Chúng tôi đã chọn
đề tài này để nghiên cứu góp phần củng cố kiến thức, nâng cao tính sáng tạo,
tích cực, chủ động cho học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập
hợp số hữu tỉ không âm nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và

học môn toán ở Tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với đề tài này, nhiệm vụ nghiên cứu của chúng tôi là:
- Nghiên cứu về tập số hữu tỉ không âm. Hệ thống hóa và phân loại các
dạng bài tập về phân số trong chương trình Tiểu học.
- Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập
hợp số hữu tỉ không âm.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu quả của hệ thống
bài tập thiết kế.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Các kiến thức về số hữu tỉ không âm trong chương trình Toán học cao cấp
và sự thể hiện của số hữu tỉ không âm trong nội dung dạy học phân số ở lớp 4.
- Nội dung hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4.

3


6. Phạm vi nghiên cứu
- Chủ đề phân số trong chương trình môn Toán ở lớp 4 và tập hợp số
hữu tỉ không âm.
- Nghiên cứu cách thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào
tính chất của số hữu tỉ không âm với các mức độ phù hợp tại trường Tiểu học
An Cựu.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan
về số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình Tiểu học.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại và xử lí tài liệu: phân tích
và tổng hợp các kiến thức, nội dung liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra: đưa ra các phiếu điều tra bằng hệ thống câu hỏi
và bài tập.

- Phương pháp thống kê toán học: thu thập, xử lí, đánh giá số liệu.
- Phương pháp chuyên gia: đánh giá của các giáo viên về thiết kế hệ
thống bài tập qua phiếu điều tra.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết, rút ra những kinh
nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
8. Giả thuyết khoa học
Nếu đề tài này thiết kế được hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào
tính chất của số hữu tỉ không âm có tính khoa học, phù hợp và hiệu quả thì sẽ
nâng cao được năng lực học tập và giảng dạy của học sinh và giáo viên.
9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, phần Nội dung là phần trọng tâm
của đề tài gồm có 3 chương sau:
Chương 1: Một số kiến thức liên quan

4


Chương 2: Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính
chất của số hữu tỉ không âm
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

5


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về tập
hợp số hữu tỉ không âm, về phân số trong chương trình Tiểu học, hệ thống hóa
và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4. Các nội dung trình bày trong
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4],…

1.1. Tập số hữu tỉ không âm
1.1.1. Sự cận thiết phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm
Như chúng ta đã biết tổng và tích của hai số tự nhiên bất kỳ là một số tự
nhiên. Trong khi đó, thương của hai số tự nhiên không phải khi nào cũng là
một số tự nhiên. Chẳng hạn: 4 : 5 hoặc 17 : 9;…
Trong tự nhiên, tập số tự nhiên không đủ để biểu diễn số đo của nhiều
phép đo đại lượng. Chẳng hạn, khi chia đều 5 quả cam cho 4 người thì số quả
cam mỗi người được chia không thể biểu diễn bằng một số tự nhiên hoặc khi
đo chiều dài của một lớp học 6m2dm5cm thì dùng đơn vị là mét không thể
biễu diễn số đo bằng một số tự nhiên.
Về phương diện toán học, nhiều tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chia
trên phân số và số thập phân được đưa vào chương trình môn Toán ở trường
phổ thông hầu hết là được công nhận chứ chưa được chứng minh chặt chẽ.
Vì vậy, cần phải xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm.
1.1.2. Xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm
1.1.2.1.
Quan hệ tương đương trên tập số ℕ× ℕ*
Định nghĩa:
Xét tập Đề các: ℕ× ℕ* = {(a,b)/a ∈ ℕ, b∈ ℕ*}
Trên tập hợp ℕ× ℕ* ta xác định một quan hệ hai ngôi, kí hiệu là S như sau:
Với mọi (a,b), (c,d) ∈ ℕ× ℕ*: (a,b)S(c,d) ⇔ ad = bc
Quan hệ S xác định ở trên là một quan hệ tương đương.

6


Chứng minh : Cần chứng minh S có 3 tính chất của một quan hệ
tương đương.
a) Kiểm tra tính phản xạ:
Với mọi (a,b) ∈ ℕ× ℕ* ta luôn có ab = ba (tính chất giao hoán của phép

nhân các số tự nhiên) hay (a,b)S(a,b).
Do đó: S có tính chất phản xạ.
b) Kiểm tra tính đối xứng:
Với mọi (a,b), (c,d) ∈ ℕ× ℕ*, ta có:
(a,b)S(c,d) ⇔ ad = bc
⇔ bc = ad
⇔ cb = da (tính chất giao hoán)

Suy ra: (c,d)S(a, b)
Do đó: S có tính chất đối xứng.
c) Kiểm tra tính bắc cầu:
Với mọi (a,b), (c,d), (e,f) ∈ ℕ× ℕ , ta có:
*

Nếu (a,b)S(c,d) thì suy ra ad = bc và (c,d)S(e,f) thì suy ra cf = de
Từ đó ta suy ra: adcf = bcde
+ Nếu c = 0 thì a = 0 hoặc e = 0 suy ra af = be = 0
+ Nếu c ≠ 0 thì adcf = bcde ⇔ af = be
Do đó: (a,b)S(e,f)
Vậy, S là một quan hệ tương đương trên tập ℕ× ℕ*.
1.1.2.2.

Tập số hữu tỉ không âm

Quan hệ tương đương S trên tập ℕ× ℕ* sẽ xác định trên tập hợp ℕ× ℕ*
các lớp tương đương và tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương. Kí
hiệu là ℚ+ = (ℕ× ℕ*)/S và tập thương của ℕ× ℕ* theo quan hệ tương đương S
và được gọi là tập các số hữu tỉ không âm. Mỗi phần tử của tập ℚ+ là một số
hữu tỉ không âm.

7


1.1.2.3.

Quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ không âm
a) Định nghĩa:
Cho hai số hữu tỉ không âm với phân số đại diện lần lượt là

a
c
và . Ta
b
d

nói rằng a nhỏ hơn hoặc bằng c , kí hiệu là a ≤ c nếu ad < bc và a < c nếu
b

d

b

d

b

d

a c và a
c

≠ .
≤
b d
b d

b) Tính chất của quan hệ thứ tự:


Quan hệ thứ tự xác định như định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự

toàn phần trong ℚ+.
- Tính chất phản xạ:
Với mọi

a a
a c
, ∈ ℚ+ ta luôn có: ab ≤ ba hay ≤
b d
b b

- Tính chất phản xứng:
Với mọi

a c
a c
c a
, ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ ad ≤ bc và ≤ ⇔ cb ≤ da
b d
d b
b d

Từ đó suy ra: ad = bc hay

a c
=
b d

- Tính chất bắc cầu:
Với mọi

a c e
c e
a c
, , ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ ad ≤ bc và ≤ ⇔ cf ≤ de
b d f
d f
b d

Từ đó suy ra: abcf ≤ bcde
Vì d ≠ 0 nên acf ≤ bce
+ Nếu c ≠ 0 thì af ≤ be hay

a e
≤
b f

+ Nếu c = 0 thì af = be = 0 hay

a e
a e

= ⇒ ≤
b f
b f

- Tính chất toàn phần:

8


Từ tính toàn phần của quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên ta suy ra rằng:
chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba quan hệ ab < bc hoặc ad = bc hoặc ad > bc .
Điều này chứng tỏ rằng cũng chỉ xảy ra một trong ba quan hệ

a c
< hoặc
b d

a c
a c
= hoặc > .
b d
b d


Tiền đề Acsimet:

* Định lí: Với mọi x, y ∈ ℚ, nếu x > 0 thì tồn tại n∈ ℕ sao cho nx > y.
Chứng minh: Nếu y ≤ 0 đặt n = 1 thì nx = x > y
Nếu y > 0 đặt x = a và y = c
b

d

Vì x > 0, y > 0 nên xem a, b, c, d là các số nguyên dương.
Lấy n = b(c + 1), n ∈ ℕ, ta có: nx = a (c + 1) ≥ c + 1 > c ≥

c
= y (đpcm)
d

Vậy tập hợp các số hữu tỉ có tính chất trên gọi là tập sắp thứ tự Acsimet.


Giá trị tuyệt đối:

a) Định nghĩa:
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu là x được xác định như sau:
x = x nếu x ≥ 0 và –x nếu x < 0

b) Tính chất:
Với x, y là hai số hữu tỉ bất kỳ:

i) x = − x

iv) x + y ≤ x + y

ii ) x ≥ x và 0 ≥ x

v) x − y ≤ x − y

iii ) xy = x . y


Tính đơn điệu:

- Quan hệ thứ tự “ ≤ ” tương thích với phép toán cộng trên tập ℚ+, nghĩa là:
Với mọi

a e c e
a c
a c
, ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ + ≤ +
b f d f
b d
b d

Từ tính chất này ta được các kết quả sau:

9


+ Với mọi

a c
a a c
, ∈ ℚ+, ta luôn có: ≤ +
b d
b b d

+ Với mọi

a c e
a e c
a c e
, , ∈ ℚ+, ta có: + ≤ ⇔ ≤ −
b d f
b f d
b d f

- Quan hệ thứ tự “ ≤ ” tương thích với phép nhân với các số hữu tỉ không âm,
nghĩa là:
Với mọi

a c
a
c
a c
, ∈ ℚ+, nếu ≥ 0 và ≥ 0 thì . ≥ 0
b d
b
d
b d

Từ tính chất này ta suy ra các kết quả sau:
+ Với mọi

a c e
e
a e c e
a c

, , ∈ ℚ+, nếu ≤ và
> 0 thì . ≤ .
f
b d f
b f d f
b d

+ Với mọi a , c , e ∈ ℚ+, nếu a ≤ c và e < 0 thì a . e ≥ c . e
b d f

+ Với mọi


b

d

f

b f

d f

a c e
e
a e c e
a c
, , ∈ ℚ+, nếu ≤ và
= 0 thì . = .
b d f

f
b f d f
b d

Tính trù mật:

Với mọi cặp số hữu tỉ x và y với x < y , luôn tồn tại số hữu tỉ z sao cho:
x
Chứng minh:
x y
Từ giả thiết x < y , ta suy ra <
2

2

Theo tính đơn điệu của quan hệ thứ tự ta suy ra:
x=

x x x y y y
+ < + < + =y
2 2 2 2 2 2

x
2

Đặt z = +

y
là số cần tìm, ta được điều phải chứng minh.

2

Như vậy giữa hai số hữu tỉ không âm phân biệt bất kì bao giờ cũng tồn
tại vô số hữu tỉ không âm xen giữa chúng. Đây là sự khác biệt căn bản giữa
tập số hữu tỉ không âm (thì trù mật) và tập số tự nhiên (thì rời rạc).

10


1.1.3. Các phép toán trên ℚ
1.1.3.1.
Phép cộng
a) Định nghĩa:
Cho x, y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý. Khi đó, x và y là các lớp tương
đương nên ta chọn cho chúng lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và (c, d ) ∈
ℕ× ℕ*. Ta định nghĩa phép cộng trên ℚ+ như sau:
+: ℚ+ × ℚ+ → ℚ+
( x, y )



x+ y

Sao cho: x + y = (a, b) + (c, d ) = (ad + bc, bd )
b) Nhận xét:
Định nghĩa phép toán cộng nói trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn
các phần tử đại diện.
c) Định lí về tính chất phép toán cộng:
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ không âm cùng với phép toán cộng là một
nhóm aben. Nghĩa là phép cộng trên ℚ+ thỏa mãn các tính chất:

(i) Tính chất giao hoán:
Với mọi x, y ∈ ℚ+, thì x + y = y + x
(ii) Kết hợp:
Với mọi x, y, z ∈ ℚ+, thì ( x + y ) + z = x + ( y + z )
(iii) Có phần tử trung lập là (0,1) để cho:
Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+, ta có: (a, b) + (0,1) = (a, b)
(iv) Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+ luôn có phần tử đối là:
( −a, b) ∈ ℚ+ sao cho: (a, b) + (−a, b) = (0.b 2 ) = (0,1)
1.1.3.2.

Phép nhân

a) Định nghĩa:

11


Cho x, y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý. Khi đó, x và y là các lớp tương
đương nên ta chọn cho chúng lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và (c, d ) ∈
ℕ× ℕ*. Ta định nghĩa phép nhân trên ℚ+ như sau:
× : ℚ+ × ℚ+

(x, y)

→

ℚ+



x×y

Sao cho: x × y = (a, b) × (c, d ) = (ac, bd )
b) Nhận xét:
Định nghĩa phép toán nhân nói trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn
các phần tử đại diện.
c) Định lí về tính chất phép toán nhân:
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương (ℚ+\{0}) cùng với phép toán nhân là
một nhóm aben. Nghĩa là phép nhân trên ℚ+\{0} thỏa mãn các tính chất:
(i)Tính chất giao hoán:
Với mọi x, y ∈ ℚ+\{0} thì x × y = y × x
(ii) Tính chất kết hợp:
Với mọi x, y, z ∈ ℚ+\{0} thì ( x × y ) × z = x × ( y × z )
(iii) Có phần tử đơn vị là (1,1) để cho:
Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+\{0}, ta có: (a, b) × (1,1) = (c, d )
(iv) Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+\{0} luôn có phần tử nghịch đảo là:
(b, a ) ∈ ℚ+\{0} sao cho: (a, b) × (b, a ) = (ab, ba ) = (1,1)

Ngoài ra, trên ℚ+ phép nhân phân phối 2 phía đối với phép cộng,
nghĩa là:
Với mọi x, y, z ∈ ℚ+ ta luôn có: x( y + z ) = xy + xz và ( x + y ) z = xz + yz


Nhận xét chung về phép cộng và phép nhân:

a) Xét ánh xạ f: Ν → ℚ+
a  f(a) = (a,1)
Dễ thấy, f là đơn ánh; hơn nữa f bảo toàn các phép toán cộng và nhân.

12

Nghĩa là: f(a+b) = f(a)+f(b) và f(a × b)=f(a) × f(b)
Suy ra: f là đơn cấu.
Vì vậy, ta có thể nhúng toàn bộ tập ℕ vào hoàn toàn trong tập ℚ+ bằng
cách đồng nhất mỗi số tự nhiên a với ảnh của nó là f(a) = (a,1) .
b) Kí hiệu: a = (a,1)
Trong đó : (−a,1) ≡ – a gọi là số đối của a.
(1, a ) ≡ a-1 gọi là số nghịch đảo của a.

c) Mệnh đề:
Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn dưới dạng: a.b -1
(a, b) = (a,1) × (1, b) = a.b-1
1.1.3.3.

Phép trừ
a) Định nghĩa:
Cho x và y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý, hiệu của x và y, kí hiệu là
x – y là một số hữu tỉ được xác định bởi tổng của x với số đối của y.
Như vậy, ta có: x – y = x + (–y)
Việc tìm hiệu của hai số hữu tỉ được gọi là thực hiện phép trừ.
b) Nhận xét:
- Vì mọi số hữu tỉ luôn có phần tử đối xứng nên phép trừ trên tập số hữu tỉ
luôn thực hiện được.
- Theo định nghĩa trên, chọn cho x, y lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và
(c, d ) . Khi đó ta có:

x − y = (a, b) − (c, d ) = (a, b) + (−c, d ) = (ad − bc, bd )
1.1.3.4.

Phép chia

a) Định nghĩa:
Cho x và y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý, y ≠ 0, ta nói thương của x và
x
y, kí hiệu x : y hay
là một số hữu tỉ được xác định bởi tích của x với số
y

nghịch đảo của y.
13


x: y =

x
= x. y −1
y

- Vì mọi số hữu tỉ khác 0 luôn có phần tử nghịch đảo nên phép chia một số
hữu tỉ không âm cho một số hữu tỉ dương luôn thực hiện được.
- Theo định nghĩa trên, chọn cho x, y lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và
(c, d ) . Khi đó ta có:

x : y = ( a, b) : (c, d ).(d , c) = (ad , bc)

1.2. Phân số trong chương trình môn Toán trường Tiểu học
Nội dung phân số được đưa vào môn Toán trường Tiểu học tương đối
hoàn chỉnh, bao gồm: hình thành khái niệm, quan hệ so sánh, bốn phép tính
cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) và tính chất của bốn phép tính trên phân số.

1.2.1. Khái niện phân số
Phân số

a
, trong đó b là mẫu số, được hiểu là số phần bằng nhau mà
b

đơn vị được chia ra, a là tử số được hiểu là số phần bằng nhau được lấy đi.
Mặt khác, phân số

a
còn có thể hiểu là kết quả của phép chia a cho b.
b

Hai phương pháp trên đây được vận dụng để hình thành khái niệm phân số
cho học sinh tiểu học. Dạy hình thành khái niệm phân số ở tiểu học bao gồm:
dạy đọc, viết, cấu tạo phân số và một số phân số có dạng đặc biệt (phân số có
mẫu số bằng 1, có tử số bằng 0, có tử số bằng mẫu số,…)


Hai phân số bằng nhau

Mỗi số hữu tỉ không âm được đại diện bởi vô số các phân số bằng nhau.
Nếu (a, b) = (c, d ) thì (a, b) S (c, d) hay ad = bc.
Theo cách viết phân số ta có:

a c
=
b d

Như vậy, hai phân số bằng nhau khi chúng biểu diễn cùng một số hữu tỉ không
âm. Nghĩa là:

a c
⇔ ad = bc.
=
b d

14


1.2.2. Quan hệ so sánh
Quan hệ so sánh trên các phân số ở Tiểu học gồm hai dạng: “so sánh
bằng” (hai phân số bằng nhau) và “so sánh hơn” (phân số này nhỏ hơn phân
số kia).
Bằng những ví dụ trực quan, sách giáo khoa đã hình thành cho học sinh
khái niệm phân số bằng nhau. Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu cho
học sinh một quy tắc, để dựa vào đó các em có thể nhận biết hai phân số bằng
nhau hay không bằng nhau. Quy tắc đó phát biểu như sau:
Nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Quy tắc trên đây là sơ cở để học sinh thực hiện phép rút gọn phân số.
Khi hai phân số bằng nhau, để nhận biết phân số nào lớn hơn, học sinh
dựa vào quy tắc sau:
Trong hai phân số có cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số của hai phân số
đó rồi so sánh cả tử số với nhau (tử số nào lớn hơn thì phân số tương ứng sẽ
lớn hơn).
Đặc biệt, nhờ quy tắc này học sinh nhận biết được khi nào một phân số
nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 1.
1.2.3. Các phép toán trên phân số

Nhìn chung, mỗi phép tính cộng, trừ, nhân và chia phân số ở Tiểu học
được trình bày theo quy trình sau đây: hình thành phép tính, kết hợp và phân
phối của các phép toán đó.
Mỗi phép tính đều được hình thành từ một bài toán đơn rất gần gũi với
đời sống thực tế. Rồi từ đó rút ra quy tắc thực hành tính toán.
1.2.3.1.

Phép cộng

- Cộng hai phân số cùng mẫu số:
a c a+b
12 8 12 + 8 20 4
+ =
+
=
=
= )
(Ví dụ:
b b
c
25 25
25
25 5

- Cộng hai phân số khác mẫu số:
a c ad + bc
2 3 16 21 16 + 21 37
+ =
=
(Ví dụ: + = + =

)
b d
bd
7 8 56 56
56
56

15


Trong thực tế nếu b và d có ước chung, thay vì tính tích b và d ta tìm
mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số đã cho (BCNN của b và d).
- Quy tắc thực hành phép cộng phân số:
+ Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số và giữ
nguyên mẫu số.
+ Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, trước hết ta quy đồng mẫu số rồi
cộng tử số với tử số và giữ nguyên mẫu số đã quy đồng.
1.2.3.2.

Phép trừ

- Trừ hai phân số cùng mẫu
a c a−c
7 5 7−5 2
− =
= )
(Ví dụ: − =
b b
b
11 11

11
11

- Trừ hai phân số khác mẫu
a c ad − bc
13 3 104 51 104 − 51 53
− =
− =
−
=
=
(Ví dụ:
)
b d
bd
17 8 136 136
136
136

- Quy tắc thực hành phép trừ phân số:
+ Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất
cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
+ Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, trước hết ta quy đồng mẫu số rồi
trừ hai phân số đó như trừ hai phân số cùng mẫu số.
1.2.3.3.

Phép nhân

- Nhân hai phân số:
a c ac

3 5 3 × 5 15
× =
=
(Ví dụ: × =
)
b d bd
4 7 4 × 7 28

Với mọi số nguyên k tùy ý, ta có:
k×

a k a ka
= × =
b 1 b b

- Quy tắc thực hành nhân phân số:
Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số.

16


1.2.3.4.

Phép chia

- Chia hai phân số:
a c a d ad d
c
: = × =

( là phân số nghịch đảo của phân số )
b d b c bc c
d

Ví dụ:

3 5 3 7 3
: = × =
7 7 7 5 5

Với mọi số nguyên k ≠ 0 tùy ý, ta có:
a
a k a 1 a
÷k = ÷ = × =
b
b 1 b k bk

- Quy tắc thực hành phép chia phân số:
Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai
nghịch đảo.
1.2.4. Tính chất các phép toán trên phân số
- Tính chất giao hoán:

a c c a
+ = +
b d d b

Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng (hoặc tích) thì tổng (hoặc tích)
không thay đổi.
a c  m a  c m

- Tính chất kết hợp:  +  + = +  + 
b

d

n

b

d

n

Muốn cộng (hoặc nhân hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể cộng
(hoặc nhân) phân số thứ nhất với tổng (hoặc tích) của hai phân số còn lại.
- Tính chất phân phối:

a  c m a c a m
× +  = × + ×
b d n  b d b n

Muốn nhân một tổng của hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân
từng phân số của tổng với phân số thứ ba, rồi cộng hai kết quả với nhau.
a a.c
=
với c ∈ ℕ*
b b.c
a a:c
- Chia với một số: =
với c ∈ ℕ*

b b:c
a a.c
-a= =
với mọi c ∈ ℕ*
1
c

- Nhân với một số:

1.3. Hệ thống và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4
17


1.3.1. Các bài toán về cấu tạo phân số
Hình thành khái niệm
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần.
Ta nói: Đã tô màu năm phần sáu hình tròn.
Ta viết:
Ta gọi
Phân số

5
, đọc là năm phần sáu.
6

5
là phân số.
6

5

có tử số là 5, mẫu số là 6.
6

Mẫu số là số tự nhiên viết dưới gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn được
chia thành 6 phần bằng nhau.
Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã
được tô màu.


Nhận xét:

- Mỗi phân số có tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang.
Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang.
- Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số, phân số đó lớn hơn 1.
- Phân số có tử số bằng mẫu số, phân số đó bằng 1.
- Phân số có tử số bé hơn mẫu số, phân số đó bé hơn 1.


Bài tập:

Bài 1: Viết các phân số: (bài 3 – trang 107)
a) Hai phần năm;
b) Mười một phần mười hai;
c) Bốn phần chín;
d) Chín phần mười;
e) Năm mươi hai phần tám mươi tư.
Bài 2: Viết theo mẫu: (bài 2 – trang 107)

18


Phân số

Tử số

Phân số

Mẫu số

3

8

12

55

6
11
8
10
5
12

18
25

Tử số

Mẫu số

6

11

Bài 3: Viết thương của phép chia sau dưới dạng phân số: (bài 1 – trang 108)
7 : 9; 5 : 8; 6 : 19; 1 : 3.
Bài 4: Trong các phân số

3 9 7 6 19 24
; ; ; ; ; . (bài 3 – trang 110)
4 14 5 10 17 24

a) Phân số nào bé hơn 1?
b) Phân số nào bằng 1?
c) Phân số nào lớn hơn 1?
1.3.2. Các bài toán về so sánh phân số
1.3.2.1.
Phân số bằng nhau
 Quy tắc:
- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên
khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Nếu nhân cả từ số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số
tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.


Bài tập:

Bài 1: Viết số thích hợp vào chỗ chấm: (trang112 – lớp 4)
a) 2 = 2 × 3 = ... ; 4 = 4 × 2 = ... ; 3 = 3 × ... = ...
5 5 × 3 ... 7 7 × 2 ... 8 8 × 4
b) 2 = ... ; 18 = 3 ; 56 = ... ; 3 = ...
3 6 60 ... 32 4 4 16

...

Bài 2: Tính rồi so sánh kết quả: (trang 112 – lớp 4)
a) 18 : 3 và (18 × 4) : (3 × 4)

b) 81 : 9 và (81 : 3) : (9 : 3)

Bài 3: Viết số thích hợp vào chỗ trống: (trang 112 – lớp 4)
a)

50 10 ...
=
=
75 ... 3

b)
19

3 ... 9 ...
=
= =
5 10 ... 20

1.3.2.2.


Rút gọn phân số
Quy tắc:

- Khi rút gọn phân số ta làm như sau:
+ Xem xét tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
+ Chia cả tử số và mẫu số cho số đó.
Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.
Ví dụ: Rút gọn phân số

6
8

Ta thấy: 6 và 8 đều chia hết cho 2, nên:
Vậy

6 6:2 3
=
=
8 8:2 4

3
3
không thể rút gọn được nữa. Ta nói rằng phân số
là phân số tối
4
4

giản và phân số


6
3
đã được rút gọn thành phân số tối giản .
8
4

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn các phân số (bài 1 – trang114)
a)

4 12 15 11 36 75
; ; ; ; ; .
6 8 25 22 10 36

b)

5 12 9 75 15 4
; ; ;
; ;
.
10 36 72 300 35 100

Bài 2: Rút gọn phân số (bài 1 – Luyện tập – trang 114)
14 25 48 81
; ; ;
28 50 30 54

1 4 8 30 72
; ; : (bài 2 – trang 114)
3 7 12 36 73

Bài 3: Trong các phân số: ; ;

a) Phân số nào tối giản? Vì sao?
b) Phân số nào rút gọn được? Hãy rút gọn phân số đó.
1.3.2.3.


So sánh hai phân số cùng mẫu
Quy tắc:

Trong hai phân số cùng mẫu số:
- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

20




Bài tập:

Bài 1: So sánh hai phân số: (bài 1 – trang 119)
a) 3 và 5
7

4

b) 4 và 2
3

c) 7 và 5

4

8

d) 2 và 9

8

11

11

Bài 2: So sánh các phân số sau với 1: (bài 2 – câu b – trang 119)
1 4 7 6 9 12
; ; ; ; ;
2 5 3 5 9 7

Bài 3: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn: (bài 3 – Luyện tập –
trang 120)
a)

1 4 3
; ;

5 5 5

b)

8 5 7
; ;
9 9 9

1.3.2.4.


So sánh hai phân số khác mẫu
Quy tắc:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai
phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.
Ví dụ: So sánh hai phân số

2
3
và
3
4

Ta làm như sau:
- Quy đồng mẫu số hai phân số
2 2× 4 8
=
= ;
3 3 × 4 12

2
3
và :
3
4

- So sánh hai phân số có cùng mẫu số:

3 3× 3 9
=
= .
4 4 × 3 12

8
9
<
(vì 8 < 9)
12 12

- Kết luận:


2
3
< .
3
4

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn rồi so sánh hai phân số: (bài 2 – trang 122)
a) 6 và 4
10

b) 3 và 6

5

4

12

Bài 2: So sánh phân số bằng hai cách: (bài 2 – Luyện tập – trang 122)
a)

8
7
và
7
8

b)

9
5
và
5
8

c)

21

12
28
và
.
16
21


Bài 3: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn: (bài 3 – Luyện tập chung –
trang 123)
a) 6 ; 6 ; 6

b) 6 ; 9 ; 12

11 5 7

20 12 32

1.3.3. Các bài toán về thực hành 4 phép tính trên phân số
1.3.3.1.
Phép cộng phân số (cùng mẫu, khác mẫu)
 Quy tắc:
- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và
giữ nguyên mẫu số.
- Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số,
rồi cộng hai phân số đó.



Bài tập:

Bài 1: Tính: (bài 1 – trang 126)
a)

2 3
+ ;
5 5

b)

3 5
+ ;
4 4

c)

3 7
+ ;
8 8

d)

35
7
+
.
525 25

c)

2 4
+ ;
5 7

d)

3 4
+ .
5 3

Bài 2: Tính: (bài 1 – trang 127)
a)

2 3
+ ;
3 4

b)

9 3
+ ;
4 5

Bài 3: Rút gọn rồi tính: (bài 3 – Luyện tập – trang 128)
a)

3 2

+ ;
15 5

b)

4 18
+
;
6 27

c)

15 6
+ .
25 21

1.3.3.2.


Phép trừ phân số (cùng mẫu, khác mẫu)
Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ mẫu số của phân số thứ nhất
cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
- Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số,
rồi trừ hai phân số đó.


Bài tập:

Bài 1: Tính: (bài 1 – trang 129)
a)

15 7
− ;
16 16

b)

7 3
− ;
4 4

c)

22

9 3
− ;
5 5

d)

17 12
−
.
49 49


Bài 2: Rút gọn rồi tính: (bài 2 – trang 129)

a)

2 3
− ;
3 9

b)

7 15
−
;
5 25

c)

3 4
− ;
2 8

d)

11 6
− .
4 8

1.3.3.3.


Phép nhân phân số
Quy tắc:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số.


Bài tập:

Bài 1: Tính: (bài 1 – trang 133)
a)

9 6
× ;
11 7

b)

2 1
× ;
9 2

c)

1 8
× ;
2 3

d)

1 1
× .

8 7

Bài 2: Rút gọn rồi tính: (bài 2 – trang 133)
a)

2 7
× ;
6 5

b)

11 5
× ;
9 10

c)

3 6
× .
9 8

Bài 3: Tính rồi so sánh kết quả: (bài 3 – Luyện tập – trang 133)
2
2 2 2
× 3 và + +
5
5 5 5
1.3.3.4.


Phép chia phân số
Quy tắc:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau:
Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.


Bài tập:

Bài 1: Viết phân số đảo ngược của mỗi phân số sau: (bài 1 – trang 136)
2 4 3 9 10
; ; ; ; .
3 7 5 4 7

Bài 2: Tính rồi rút gọn: (bài 1 – Luyện tập – trang 136)
3 3
: ;
5 4
1 1
b) : ;
4 2

a)

2 3
: ;
5 10
1 1
: ;
8 6

9 3
: .
8 4
1 1
: .
5 10

Bài 3: Tìm x: (bài 2 – Luyện tập – trang 136)
a)

3
4
×x=
5
7

b)

1
1
:x=
8
5

23


1.3.4. Các bài toán có lời văn điển hình
1.3.4.1.

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
 Bài toán: Tổng của hai số là 70. Hiệu của hai số đó là 10. Tìm hai số đó.
Bài giải:
Ta có sơ đồ:

?

Số lớn:
Số bé:

10

70

?
Hai lần số bé là:
70 – 10 = 60
Số bé là:
60 : 2 = 30
Số lớn là:
30 + 10 = 40
Đáp số: Số lớn: 40
Số bé: 30
Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2
Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 (tương tự trên)
 Bài tập:
Bài 1: Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi.
Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi? (bài 1 – trang 47)
Bài 2: Một lớp học có 28 học sinh. Số học sinh trai hơn số học sinh gái
là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái?

(bài 2 – trang 47)
Bài 3: Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất
làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm
được bao nhiêu sản phẩm? (bài 4 – Luyện tập – trang 48)
1.3.4.2.

Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

24