Chuyên đề III phương trình, bất pt, hệ pt

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------•

Vấn đề 1: - Phương trình bậc hai,tam thức bậc hai - Phương trình bậc n

(n ≥ 2)

A)LÝ THUYẾT:
I) Phương trình bậc hai:
2
1) Dạng: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) .
2) Cách giải: Lập ∆ = b 2 − 4ac.

−b − ∆
−b + ∆
; x2 =
.
2a
2a
−b
.
- ∆ = 0 ⇔ (1) có nghiệm kép x1 = x 2 =
2a
- ∆ < 0 ⇔ (1) vô nghiệm.
Chú ý: Khi b chẵn thì lập ∆ ' .
3) Định lí Viet: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 (tức ∆ ≥ 0 ) thì:
- ∆ > 0 ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 =

S = x1 + x2 = −
P = x1 . x2 =

b
a

c
.
a

Lưu ý:
Chỉ sử dụng Viet khi ∆ ≥ 0 .
Hai số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là 2 nghiệm của pt
II) Tam thức bậc hai (Hàm số bậc hai):
2
1) Dạng: f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0).

x 2 − Sx + P = 0.

2
2) Định lý về dấu của tam thức bậc hai:Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0).

•

Miền xác định: D = R. Để xét dấu f(x) trên R ta dùng định lý sau:
∆ < 0 ⇔ f ( x) cùng dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với ∀x ∈ R.

•

∆ = 0 ⇔ f ( x) cùng dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với ∀x ≠ −

b

.
2a

∆ > 0 ⇔ Trong trái ; ngoài cùng.
Lưu ý: Hai trường hợp đầu ghi gộp lại là: ∆ ≤ 0 ⇔ a. f ( x) ≥ 0 ; ∀x ∈ R.
•

III) Phương trình bậc n ( n ≥ 2)
1)Dạng: Thường gặp là các phương trình bậc3, bậc 4 dạng trùng phương, dạng phản thương.
2)Cách giải:
- Đối với phương trình bậc 3 có hệ số bằng số ta bấm máy tính để tìm nghiệm, hoặc nhẩm một
nghiệm rồi dùng sơ đồ Hóc-nơ đưa về dạng tích.
- Cách dùng sơ đồ Hóc-ne để phân tích 1 đa thức có nghiệm thành tích:
3
2
Ví dụ: Đa thức f ( x) = 2 x − 5 x + 3 có nghiệm x0 = 1 nên nó được phân tích thành tích dạng:

f ( x) = ( x − 1)( A.x 2 + B.x + C ) . Ta có thể tìm nhanh các hệ số A; B; C theo sơ đồ Hóc-ne như sau:
2

x0 = 1

A=2

-5

0

B = 1.2 + (−5) = −3

C = 1.(−3) + 0 = −3

3
Dư = 1.(-3)+3 = 0.

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
1


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------2
Vậy f ( x ) = ( x − 1)(2.x − 3.x − 3) .
+
Chú ý: Có thể dùng sơ đồ Hóc-ne cho đa thức bậc n tuỳ ý (n ∈ Z )

ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0) (1) ta đặt t = x 2 ≥ 0 có
at 2 + bt + c = 0 (2) . Từ đó dựa vào phương trình (2) để giải và biện luận

- Đối với phương trình trùng phương :
phương trình bậc hai
phương trình(1).
- Đối với phương trình phản thương

ax 4 + bx 2 + cx ± bx + a = 0 (a ≠ 0) (1)

ta chia 2 vế

cho x 2 ≠ 0 rồi đặt ẩn phụ để giải.
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Bài1:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + mx + 1 = 0 (1) có hai nghiệm phân
biệt x1 ; x2 thoả:
a)

x12 x22
+
>7
x22 x12

1 1
−
>1
x1 x2

b)

c) x1 + 2 x2 = 3

2
2
Bài2: Cho pt: 2 x + 2(m + 1) x + m + 4m + 3 = 0(1).

a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (1) có nghiệm. ** −5 ≤ m ≤ −1 .
b) Khi pt (1) có 2 nghiệm x1 & x2 Tìm maxA với A = x1 x2 − 2( x1 + x2 ) . ** maxA=9/2
Bài3 : Cho pt bậc 3: x − 3 x + 3mx + 3m + 4 = 0(1) .
a) Phương trình (1) có 1 nghiệm không phụ thuộc m, hãy tìm nghiệm đó.
b) m ? để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt. ** -4/32
Bài4 : Cho đa thức f ( x ) = a.x + bx + c (a;b;c có thể chứa tham số).
1) Tìm điều kiện của a và ∆ để:

a) f ( x ) > 0; ∀x ∈ R
b) f ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ R
2) Áp dụng: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
3

a) Hàm số f ( x ) =

2

1 3
x + (m − 1) x 2 + (m + 5) x − 1 đồng biến trên R.** −1 ≤ m ≤ 4
3
(m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3 có miền xác định D =R. ** m ≥ 1

b) Hàm số f ( x ) =

2
Bài5 : Cho tam thức f ( x ) = a.x + bx + c . Tìm điều kiện để tam thức có hai nghiệm thoả:

a) x1 < 0 < x2

b) 0 < x1 < x2

c) x1 < x2 < 0

d) x1 < 1 < x2
e) 1 < x1 < x2
f) x1 < x2 < 1
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:

(

)

(

)

2
2
a)Bpt: 1 + log 5 x + 1 ≥ log 5 mx + 4 x + m thoả mãn với mọi x thuộc R.

c) Đồ thị hàm số : y = x − 3m.x + x + 1 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đường thẳng x=1.
3

Vấn đề 2: PHƯƠNG

2

TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
2


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------*Lời dặn: Để học tốt chuyên đề này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi tương đương các
phương trình, bất phương trình chứa căn ở dạng cơ bản, làm nhiều bài tập để nhận dạng nhanh một
bài toán, nắm vững cách giải từng dạng.

A)LÝ THUYẾT: Các phép biến đổi tương đương các pt, bpt cơ bản:
*

B ≥ 0
A=B⇔
;
2
A = B

*

A = B
A= B ⇔
 A ≥ 0 (∨ B ≥ 0)

* Phương trình có nhiều căn bậc hai: Đặt điều kiện cho mỗi căn có nghĩa, biến đổi để hai
vế không âm, bình phương hai vế. Nếu bình phương mà chưa đảm bảo điều kiện 2 vế không
âm thì tìm nghiệm xong phải thử lại.
* 3 A + 3 B = 3 C : Lập phương 2 vế, không có điều kiện.

B > 0

A
<
B
⇔
*
A ≥ 0 ;

2

A < B

*

B ≥ 0

A ≤ B ⇔ A ≥ 0

2
A ≤ B

B < 0

 A ≥ 0
* A>B⇔
;
B ≥ 0

  A > B 2
*

A+C + B+C >

 B ≤ 0

 A ≥ 0
* A ≥ B ⇔> 
B > 0

  A ≥ B 2

A ≥ 0

A + B ⇔ B ≥ 0
C > 0


*Bất phương trình có nhiều căn bậc hai: Đặt điều kiện cho mỗi căn có nghĩa, xét các
trường hợp, nếu bình phương thì 2 vế phải không âm.
*Chú ý:
-Khi gặp các dạng cơ bản thì biến đổi tương đương theo công thức đã nêu. Nếu chưa có dạng cơ bản
thì cần quan tâm đến điều kiện có nghĩa của các căn bậc chẵn ( biểu thức trong căn không âm) sau
đó bước biến đổi để xuất hiện dạng cơ bản.
-Thường xuyên lưu ý đã có vế nào ≥ 0 ( hay ≤ 0) chưa để việc biến đổi cũng như đặt điều kiện
bớt phức tạp.
-Khi nâng hai vế của một phương trình hay một bất phương trình lên bậc chẵn cần kiểm tra xem 2
vế đã không âm chưa. Nếu chưa cần đặt điều kiện để hai vế không âm, nếu không đảm bảo 2 vế
không âm mà bình phương thì tìm nghiệm xong phải thử lại.
-Gặp các bài có chứa nhóm A ± B ; A ± B ; ... ta thường nhân với lượng liên hiệp tương
ứng là A m B ; A mB ; ... .
-Gặp những bài không biến đổi đưa về dạng cơ bản được ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ,
biến đổi thành tích, thành tổng các bình phương, đánh giá hai vế, dùng tính đơn điệu của hàm số,…
-Khi giải pt, bpt học sinh thường gặp các sai lầm:
+ Ước lược nhân tử chung ở 2 vế : A.B = A.C ⇔ B = C (Sai ở chỗ thiếu trường hợp

A = 0 ); A.B > A.C ⇔ B > C (Sai ở chỗ không phân biệt 2 trường hợp A > 0, A < 0 ) .
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
3


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016

G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------+

Nhân

chéo:

B > 0, B < 0 )

A
> C ⇔ A > B.C (Sai
B

ở

chỗ

không

phân

biệt

2

trường

hợp

A.B = A. B ( Chỉ đúng trong trường hợp A ≥ 0, B ≥ 0 ), khi A ≤ 0, B ≤ 0

A.B = − A. − B .
+

thì

+

A2 = A ( Sai vì

A2 = A

).

+ Giải bài toán tìm tham số m bằng cách đặt ẩn phụ nhưng đặt điều kiện cho ẩn phụ không

x 2 + x 2 + 1 = m có nghiệm.
t ≥ 1 . Đ/k không chặt dẫn đến tìm m

chặt, ví dụ giải bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để pt:
Giải: Đặt

t = x 2 + 1 , đ/k: t ≥ 0 ( sai, vì điều kiện chặt là

sai.
+Vân vân ….
B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
LOẠI 1: CÓ SẴN DẠNG CƠ BẢN HOẶC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN
Bài1: Giải các pt, bpt sau:

x2 + 1 = 2x −1

b)

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0( D − 2006)

e)

3

f)
g)
h)

=

*x≤

c) 2 x 2 − 6 x + 1-x+2 > 0
d)

4
3
* x =1
*x

a)

3− 7
; x > 3.
2

x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2

*x

= 1 ( Thử lại)

x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3

*x

= 1; x = 2; x =

x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3

*x = 1 ± 3

2( x 2 − 16)
x −3

+ x −3 >

7−x
x −3

( K A 2004)

5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 (K A 2005)

*x

> 10 − 34

*2 ≤ x < 10.
*x ≥ 3; x ≤ −

i) ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9

3
2

13
.
6

k)

51 − 2 x − x 2
<1
1− x

1 < x ≤ −1 + 2 13
*
 −1 − 2 13 ≤ x < −5

m)

3x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 ( K B 2010)

*x

=5

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
4


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------n) 4 x 2

+ 3x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1

*x

=1.

LOẠI 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH.
Lưu ý: Với điều kiện A, B có nghĩa, ta có:

 A > 0

A = 0
  B > 0 ; A.B ≥ 0 ⇔  A.B = 0
A.B = 0 ⇔ 
; A.B > 0 ⇔
 A.B > 0
 A < 0

B = 0


  B < 0
Tương tự cho trường hợp A.B < 0; A.B ≤ 0
Để đưa về dạng tích ta thường gặp các trường hợp sau:
1) Đặt thừa số chung, chú ý sử dụng các hằng đẳng thức để đưa về dạng tích
Bài2: Giải các pt, bpt sau:
a)
b)

(x

2

− 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 (2002 D)

x 2 + x − 2 + x 2 + 2 x − 3 ≤ x 2 + 4 x − 5( AN )

c) x − 2 x − 1 − ( x − 1) x +
d)

f)

*x

x2 − x = 0

2 x + 3 = 9 x2 − x − 4

e) 2 3 x − 2 +

*

x + 2 ≥ 3 4 (3 x − 2)( x + 2)

2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2) = 2 x + 3 3 3x( x + 2) 2

2)Chú ý các dạng thường gặp sau:
•
Dạng: u + v = 1 + uv ⇔
Bài 3:
•

3

=2

x = 1; x =

−5 − 97
18

 2 34 
*x ∈  ;  ∪ [ 2; +∞ )
 3 47 
*x

=1

*x

= 0; x = −1

*x

= 0; x = 1

(u − 1)(v − 1) = 0

x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2
Dạng: au + bv

1
x = 2; − ;3
2
* x =1
*

= ab + uv ⇔ (u − b)(v − a ) = 0

Bài4:
a)

x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3

x 3 + x 2 + 3x + 3 + 2 x = x 2 + 3 + 2 x 2 + 2 x
A− B
•
Dạng: A ± B =

C
x+3
Bài5: 4 x + 1 − 3 x − 2 =
5
b)

*

x=0

*x

=2

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
5


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------•

A + B = A+ B

Dạng:

x 2 + 4 x + 8 + x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 8 x + 12
A = 0
2
2

Dạng: A + B = 0 ⇔ 
B = 0

Bài6:
•
Bài7:

: Đặt điều kiện, bình phương 2 vế

4 x 2 + 3x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1

•
Dạng: Nhân với lượng liên hiệp để đưa về dạng tích.
Bài8 : Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 2 x − 1 − x + 2 > x − 2

2x

b)

2

(3 − 9 + 2 x )

2

< x + 21

*x

=1

* 7 − 4 2 < x < 2. *
* -

9
7
≤ x < ( x ≠ 0)
2
2

*x

=5

m)

3x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 ( K B 2010)

n)

3x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4

*

x=2

LOẠI 3: ĐẬT ẨN PHỤ
•
Dang 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bpt 1 ẩn.

Bài9: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x ( x + 1) + 10 < 6 x 2 + x + 2. **
b) 3 x − 2 +
c)

x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 **x=2.

x + 1 = 1 + x − x + 8 **x = 8 (Thi thử ĐH2009-Trường PCT-ĐN).

d) 3 − x +
e)

-1- 57
-1+ 57
< x < −2; 1.
2
2

x − 1 − 4 4 x − x 2 − 3 = −2 (Thi thử ĐH2009-Trường LQĐ-ĐN).

( x − 1 + 1)3 + 2 x − 1 = 2 − x

f)*

h)*

*

5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2)

x =1

5 ± 37
2
5 + 61
x=
;8.
2

*x

5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

•
Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn:
Bài 10: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

*

=

1 − 21
−1 + 17
; x=
.
2
2
b) 3 9 − x + x + 3 = 4 **x = 1.
c) 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x = 8 ( x ∈ R) ** x = −2 (KA2009).

a) x 2 +

x + 5 = 5 **x =

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
6


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

1± 5
2
−3 ± 17 −5 ± 13
*x=
;
4
4

x3 + 1 = 2 3 2 x − 1

d)

e) *

2 x2 + 4x =

•
Bài11: Giải:

*

x+3
2

x = 1; x =

Dạng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

a)*

x 2 + (3 − x 2 + 2) x = 1 + 2 x 2 + 2

*x

=± 7

b)*

( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1

*x

= 1± 5

•
Bài12: Giải
a)

b)

Dạng 4: Đặt ẩn phụ lượng giác

1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 )
x+

x
x −1
2

*

=2 2

1
x = ; x =1
2

*x

= 2
A2 = A

LOẠI 4: TRONG CĂN BẬC HAI CÓ DẠNG BÌNH PHƯƠNG, SỬ DỤNG
Bài 13: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

9
4

a)

x − 1 + 2 x − 2 − x − 1 − 2 x − 2 = 1 **x =

b)

x + 2 + 2 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 2 x + 2 − 2 x + 1

*

x =8

LOẠI 5: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ.
Bài14:
Bài 15:

Bài 16:

3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2

*

x
4x −1
+
=2
x
4x −1
x− x
1 − 2( x − x + 1)

2

≥ 1 (2010 A)

x = −1

*x

= 2± 3

*x

=

1+ 5
2

LOẠI 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 17:
a)
b)

*x

4 x −1 + 4 x2 −1 = 1

=

1
2

3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)(1 + 1 + x + x 2 ) * x = −

1
5

LOẠI 7: NHỮNG BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ.
Bài 18:
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
7


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x 2 − 2mx + 1 = m − 2 có nghiệm
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: mx − x − 3 ≤ m − 1 có nghiệm.
c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x 2 + mx − 3 = x + 1 có hai nghiệm
phân biệt.
d)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x 2 − mx −

x 2 − 4 = 0 có nghiệm .

e) Cho bpt: ( x 2 + 1) 2 + m ≤ x x 2 + 2 + 4 (1) (K A 2002).
- Giải khi m=1 **0 ≤ x ≤

2 −1 .

-Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt (1) thoả với ∀x ∈ [ 0;1]

*m ≤ 3.

f) Ch/m pt: x 2 + 2 x − 8 = m( x − 2) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt với mọi giá trị dương của
tham số m (KB2007).
g) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
h) m? có nghiệm:

3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1. (KA2007).
* 2 2 −2≤ m ≤ 2
x + 1 + 3 − x − ( x + 1)(3 − x) = m

i) m? có nghiệm:

x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m.

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m

k) m? có nghiệm:
h) m? có nghiệm:

*
*

9
≤ m ≤ 10
4
m ∈ (−1;1)
−

m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2
*

C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:
Bài1:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)

1 − 1 − 4x2
< 3.
x

c) x +

x+

1
1
+ x+ = 2.
2
4

2 −1 ≤ m ≤ 1

b)

5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x.

d)

1 + x − 1 − x ≥ x.

Hướng dẫn:

1
1
1 − 1 − 4x2
< 3. (a) Đk: − ≤ x ≤ ( x ≠ 0). Xét 2 trường hợp:
2
2
x
 1
 1
TH1: x ∈  0;  .. Giải có: x ∈  0;  .
 2
 2
1


 1 
1
1
TH2: x ∈  − ;0 ÷ ..Giải có: x ∈  − ;0 ÷ . Kết hợp 2 trường hợp ta có : − ≤ x ≤ ( x ≠ 0).
2
2
 2 
 2 
 x ≤ −3
.
b) 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x (b). Đặt y = 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 0 , kết quả: 
x ≥ 1

a)

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
8


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------1 9
1
2
1
1
c) x + x + + x + = 2 (c). Đặt t = x + ≥ 0 có t + t + − = 0 . KQ: x = 2 − 2.
2 4
4
2
4
1 + x − 1 − x ≥ x. (d). Đk: −1 ≤ x ≤ 1 . Xét: x=0, x ∈ ( 0;1] ,

d)

x ∈ [ −1;0 )

có S = [ 0;1] .

Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) ( x + 5 ) ( 2 − x ) = 3 x 2 + 3 x

b)

c) x 2 + 2 x + 4 = 3 x 3 + 4 x
Hướng dẫn giải:

d) 3 12 − x + 3 14 + x = 2

a) Đặt t =

x + 2 = 1+ 3 x +1

x 2 + 3 x ; ≥ 0 , đáp số x=1; x=4

x + 2 = 1 + 3 x + 1(b) Đặt u = x + 2; y = 3 x + 1; (u ≥ 0) ; KQ: x=1; x=2; x=7.

b)

c) x 2 + 2 x + 4 = 3 x 3 + 4 x (c)

u = x 2 + 4 ≥ 2

Đặt 

 y = x.

có: KQ: x=2.

12 − x + 3 14 + x = 2 (d)
u = 3 12 − x
; ta có hệ
Đặt 

v = 3 14 + x
d)

3

Bài 3:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 1 +

2
x − x2 = x + 1 − x
3

c) 3 2 − x = 1 −

x −1

b)

x ( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 .

d) x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2

e) 3 ( 2 − x ) + 3 ( 7 + x ) − 3 ( 7 + x ) ( 2 − x ) = 3
2

2

Hướng dẫn giải:

2

x − x 2 = x + 1 − x (a)
3
chỉ xét: 0 ≤ x ≤ 1
a) 1 +

đặt t = x + 1 − x ⇒ t 2 = 1 + 2 x − x 2 . phương trình (a) thành t 2 − 3t + 2 = 0
⇔ t = 1 hoặc 2 ;x = 0 hoặc x = 1
b)

x ( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 . (b)

 x ≤ −2
 x ( x − 1) ≥ 0
x = 0
⇔
Đk: 
xét 3 trường hợp

 x ( x + 2 ) ≥ 0
 x ≥ 1
TH1: x = 0 thoả pt (b)
TH2: x ≤ −2
(b) ⇔ −x ( 1 − x ) + −x ( −x − 2 ) = 2

( −x )

2

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
9

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------⇔ 1− x + −x − 2 = 2

( −x)

đơn giản 2 vế cho

−x > 0

( chú ý : a ≤ 0; b ≤ 0 ⇒ ab = − a −b ) giải bpt này ta được x = 9/8(loại)
TH3: x ≥ 1
(b) ⇔ x − 1 + x + 2 = 2 x
Giải bpt này ta được x = 9/8 ( nhận ) Vậy nghiệm của (b) là x = 0; x = 9/8
(các bài còn lại hs tự làm.)
Bài4:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1

a) 2 x ( x 2 + 4 − x − 2) = 4 x 2 + 4 − 4 x − 8.
b) 2 x 2 + 8 x + 6 +

c) 5 x +

x2 −1 = 2x + 2

d)

1

1
+
=2
x
2 − x2

f)

3

5
2 x

e) 8 − x 2 =

x + 3 2 x − 3 = 3 12( x − 1).

p 2x +

1
+ 4.
2x

x2
+ x2 − 4 .
4

g) 4( x + 1) 2 < (2 x + 10)91 − 3 x − 2) 2 .

Hướng dẫn giải :

a) Đặt thừa số chung ; đáp số x=1/2.

b) Đặt thừa số chung ; đáp số . x = ±1
3
3
c)Nhân với LLH; đáp số : . 0 < x < − 2; x > + 2.
2
2
5
d) Đặt ẩn phụ ; đáp số :. x = ±
e) Đặt ẩn phụ ; đáp số : x=1; x=3.
2
3
f) Biến đổi , đặt ẩn phụ ; đáp số : . − ≤ x < 3( x ≠ −1).
2
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt: −4 (4 − x)(2 + x) ≥ 0 .Mặt khác theo Cauchy:

t≤

4− x+2+ x
= 3 (dấu bằng xảy ra khi x=1) . Vậy điều kiện của t là t thuộc đoạn [0;3]; phương
2

trình đã cho thành:

m ≥ t 2 − 4t + 10 = g (t ); t ∈ [ 0;3] ⇔ m ≥ max g (t ); t ∈ [ 0;3] = g (0) = 10 Vậy chọ. m ≥ 10

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị tham số m để bpt:

1 − x 2 = m − x (1) có nghiệm .

Hướng dẫn : (1) ⇔ m = x + 1 − x 2 = g ( x )(*)
(1)có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm thuộc [-1;1] ⇔ m thuộc MGTcủa hàm g(x); với x thuộc [-1;1]
Tính đạo hàm ;lập BBTcủa hàm g(x) với x thuộc [-1;1] tìm được MGT là  −1; 2  .
Vậy chọn . −1 ≤ m ≤

2

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
10


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
11


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ& LOGARIT
A)Lý thuyết :
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
12

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------* MŨ:
I)Công thức mũ: ( với điều kiện 2 vế có nghĩa )

= aM +N
a
aN
5) ( ) N =
b
bN
1) a M .a N

: a N = aM −N
1
−N
6) a
= N
a

2) a M

M

) N = a M .N

4) ( a.b)

M

M
n

8) a

3) ( a
7)

n

a

=a

0

N

= a N .b N

= 1; a1 = a

II)Hàm số mũ:

y = a x (0 < a < 1)
-Mxđ: D = R ; Mgt: T = (0; +∞) .
 y ' > 0, ∀x ∈ R khi a > 1
x
⇒
-BBT: y ' = a .ln a ⇒ 

 y ' < 0, ∀x ∈ R khi 0 < a < 1
a > 1 , nghịch biến trên R khi 0 < a < 1 .
-Dạng:

Hàm số đồng biến trên R khi

-Đồ thị:

III)Phương trình, bất phương trình mũ: Cho
•
•
•

•
•

0 < a < 1 , ta có:

a =a ⇔M =N
a M = N ⇔ M = log a N
M

N

 M > N khi a > 1
aM > aN ⇔ 
 M < N khi 0 < a < 1
 M > log a N khi a > 1
aM > N ⇔ 
 M < log a N khi 0 < a < 1

Các bpt có dấu ≥ hoặc các dạng ngược lại cũng dựa vào a > 1 hoặc 0 < a < 1 để
xét .

*LOGARIT:

Nhắc lại:

log a N chỉ có nghĩa khi 0 < a ≠ 1

1) Công thức logarit Với điều kiện 2 vế đều có nghĩa, ta có :

N = M ⇔ N = aM
M
3) log a
= log a M − log a N
N

2) log a ( M .N )

1) log a

4) log a

= log a M + log a N

M α = α .log a M

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
13

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

1
log M
M
6) M = log a a = a a
log a M
a
α
7) log a a = 1; log a 1 = 0
8) a logb c = c logb a
log c b
1
; log c a.log a b = log c b; log a b =
9) log a b =
log c a
log b a
5) log

α

M=

Chú ý: Với

M ≠0

thì

log a M 2 n = 2n.log a M

II) Hàm số logarit:
-Dạng:

y = log a x (0 < a ≠ 1)

-Mxđ: D

= ( 0; +∞ )

T=R
 y ' > 0, ∀x ∈ R khi a > 1
x
⇒ H àm số đồng biến trên R khi
- BBT: y ' = a .ln a ⇒ 
 y ' < 0, ∀x ∈ R khi 0 < a < 1
a > 1 , nghịch biến trên R khi 0 < a < 1 .
; Mgt:

-Đồ thị:

III)Phương trình, bất phương trình logarit: Với
•
•
•

•

0 < a ≠ 1 , ta có:

M = N
log a M = log a N ⇔ 
 M > 0 (hay N > 0)
N
log a M = N ⇔ a = M

 M > N > 0 khi a > 1
log a M > log a N ⇔ 
0 < M < N khi 0 < a < 1
N
 M > a khi a > 1
log a M > N ⇔ 
N
0 < M < a khi 0 < a < 1

B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Dạng1: Có sẵn dạng cơ bản hoặc biến đổi đưa về dạng cơ bản:
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
14


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------Bài1:Tìm miền xác định của hàm số:

y = log 2 (
*D

1
1
−
)
1− x 1+ x

)

)

=  −1 − 2; −1 ∪  −1 + 2;1

Bài2:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)

1

3

*x

2 x 4 x (0,125) x = 4. 3 2

b) 1 + log x



2015 < 2

* x ∈  0;



3

1
5

1 
÷∪ ( 2015; +∞ )
2015 

x − x −1

1
(BK, Luật)
≥ ÷
3
 x 2 − 3x + 2 
d) log 0,5 
÷≥ 0
x


c) 3

= 3; x = −

x2 − 2 x

* x ≥ 1+

2

1
3
2
2
 a−3 
3 − 2x
;2
f) log a
< 1; (0 < a < 1) * x ∈ 
 a − 2 
1− x
3
2
3
3
g) log 1 ( x + 2) − 3 = log 1 (4 − x ) + log 1 ( x + 6)
2
4
4
4
e) log x (5 x

2

( log

h) log 2
e

− 8 x + 3) > 2

3

*

*x

x−3) ≥ 0

= 3; x = 1 − 33

* x∈

[ 0; 2 ) ∪ ( 4;6]

x2 + x
)<0
x+4
x
j) log x log 3 ( 9 − 72 ) ≤ 1
i) log 0,7 (log 6

(

k) 4

3
−x
2

)

.log 3 ( x 2 − 2 x + 3) + 29− 2 x.log

1
( )32
3

(2 x − 1) = 0

*x
l)

=2

1
1
log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1)8 = log 2 (4 x)
2
4
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
15

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

1
m)

log 1 2 x − 3 x + 1
2


x > 5

1
* 0 < x <

2

3
1 < x <
2


1
log 1 ( x + 1)

>

3

3

Dạng2:Đặt ẩn phụ
Bài3:Giải các phương trình, bất phương trình sau:

(

a)

2− 3

)

x

(

+ 2+ 3

)

x

=4

*x

− 6ln x − 2.32 +ln x = 0

( 7 + 3 5 ) − 16 ( 7 − 3 5 ) = 8.2

d) ( 26 + 15 3 ) + 2 ( 7 + 4 3 ) − 2(2 −
x

c)

x

x

) = log 6 x

( 2+ 2)

+ x 2− 2

log 6 x

log 2 x

(

g) log 7

x = log 3 ( x − 2)

h) log 2

(4

i) log 2 (2

x +1

x

x

e) log 2 ( x + 3
f)

1
e2
x = log 7 −3 5 (4 + 4 2)
*
*x

2

b) 41+ ln x

)

log 2 x

1
2

3) = 1

1

8

− 1).log 1 (2 x+1 − 2) ≥ −2

x

k) 2

− 9.2

l) 4log 2 (2 x )
m) log 5

x2 + x

+ 22 x+ 2 = 0

− x log 2 6 = 2.3log2 (4 x

(4

x

2

)

+ 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 (2 x− 2 + 1)

n)

lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25

o)

32 x − 8.3x +

x+ 4

− 9.9

x+4

*x

=0

*x

=

*x

=1

*x

= 49

*x

=0

1
6

5
≤ x ≤ log 2 3
4
* x = −1; x = 2
1
*x=
4
* log 2

2
2 x 2 +1

=

2
x

= 1 + x2

+ 4 ) .log 2 (4 x + 1) = log

= ±2

>0

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
16


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------Bài 4: Biết số hạng thứ tư của khai triển

( x

3
1+ lg x

+ x)
12

Dạng 3: Đưa về dạng tích
Bài5:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x

x * x = 10;

1
1000

= 1; x = 3
1
*x=
2

*x

1

b)

2 x ( x 2 + 4 − x − 2) = 4 x 2 + 4 − 4 x − 8

c)

1
log 2 (3x − 4)6 .log 2 x 3 = 8 log 2 x
3

(

bằng 200. Tìm

6

)

2

+ log 2 (3 x − 4) 2 

2

16
9

2
2
2
2
x
−
3
x
−
3
2
x
−
3
+
1
x
−
3
+
1
d) x (9
−3
)=3
−3
+ 6 x − 18 * x = 2; x = 9
x
x
e) x.2 = x (3 − x ) + 2(2 − 1)
* x = 0; x = 2.

log 2 (− x) = log 2 x 2

g) 5

*x

= 1; x = 2; x =

*x

= −1; x = −225.

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu, đánh giá:
Bài6: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 2.2 x + 3.3x ≥ 6 x − 1
b)

(

2+ 3

c) a

x

3x

d)

) (

x

+

2− 3

)

x

= 2x

+ b x = c x (0 < a < c < b)
2

−4

+ ( x 2 − 4).3x − 2 ≥ 1

)

= 1; x = 3

*x

=2

* VN
*

e)

(

f)

 4x2 + 2 
6
2
log 2016  6
÷ = x − 3x − 1
2
 x + x +1

3

*x

5

x ≥2

*x≥0

x + 1 + 3 x .2 x −1 ≥ 1

*x

= ± 2 cos

π
9

Dạng 5: Những bài toán có tham số:
Bài7:Cho phương trình

log 32 x + log32 x + 1 − 2m − 1 = 0(1)

a) Giải khi m = 2.

*x

= 3±

3

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

1;3 3  .



*0 ≤ m ≤

2

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
17

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------Bài8:Cho phương trình:

( x − 2)

log 2 4( x − 2)

= 2m.( x − 2)3 (1).
*x

a) Giải khi m = 2.

3
= ;x =5
2

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (1) có hai nghiệm
*

x1 & x2

5
≤ x1 < x2 ≤ 4
4

thỏa

1
≤m≤4

4

Bài9:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:

log 2 x 2 − 2 x + m + 4 log 4 ( x 2 + 2 x + m ) ≤ 5

thỏa với
*2 ≤

Bài10: m? phương trình:

m.4 x − (2m + 1)2 x + m − 4 = 0

có 2 nghiệm

∀x ∈ [ 0; 2]

m≤4

x1 & x2 thỏa x1 < 1 < x2 < 2
* −2 < m < 0

Bài11:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:

1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 (mx 2 + 4 x + m)


1 
÷.log 1 ( x − 1) (1)
2x −1 

5

Bài12:Cho bất phương trình: 2 log 25 ( x − 1) ≥  log 5
2

∀x ∈ R
* m ≤ 2; m ≥ 3

thỏa với



a) Giải (1)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mọi nghiệm của bpt (1) đều là nghiệm của bpt

x x−3 ≤ m
C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài1:Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1
2

a)

log x −3 (3 − 1 − 2 x + x 2 ) =

c)

log 2 ( x + 14) + 2 log 4 ( x + 2) < log 1

e)

log 2 (2 − 1).log 1 (2

g)

25 − 2(3 − x).5 + 2 x − 7 = 0

b)

2
x

i)

x

x+1

1

1

1

9.4 x − 5.6 x < 4.9 x

1
8

− 2) > −2

2
x

d)

x 4−log 2 x < 32

f)

(log x 2) ( log 2 x 2 ) = log 42 x 2

h)

log 3 ( x − 1) + x − 5 ≤ 0

log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) + 1 > log 3 (3 x 2 + 4 x + 2)

Hướng dẫn:
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
18


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

1
(a)

2
Đ/k: 0 < x + 3 ≠ 1 ⇔ −3 < x ≠ 2
(a ) ⇔ x + 3 = 3 − x − 1 . Xét 2 trường hợp để bỏ giá trị tuyệt đối
TH1: x ≥ 1
9 − 29 .
(a ) ⇔ x + 3 = 4 − x . Giải, so đ/k có x =
2
TH2: −3 < x < 1( x ≠ −2)
a)

log x −3 (3 − 1 − 2 x + x 2 ) =

(a ) ⇔ x + 3 = 3 + x . Giải, so đ/k có x =
b)

1
x

1
x

9.4 − 5.6 < 4.9

1
x

−3 + 5
2

(b)

1

1

1

 4 x
 2 x
 2 x
Chia 2 vế cho
9 > 0 , (b) ⇔ 9.  ÷ + 5  ÷ < 4 . Đặt t =  ÷ > 0 có
9
3
3
4
4
9t 2 + 5t − 4 < 0 ⇔ −1 < t < . Do t > 0 , chọn 0 < t < . Từ đó giải bất phương trình:
9
9
1
x

1

1
 2 x 4
0 <  ÷ < , tìm được: S = (0; )
2
9
3

c)

log 2 ( x + 14) + 2 log 4 ( x + 2) < log 1
2

1
8

(c)

x > −2 . Đưa về cùng cơ số 2, ta được
(c ) ⇔ log 2 ( x + 2 ) ( x + 14 )  < log 2 64 ⇔ x 2 + 16 x + 36 < 0 ⇔ −18 < x < 2

Đ/k:

So đ/k chọn
d)

x

Đ/k:

4 − log 2 x

S = ( −2; 2 )

< 32

(d)

x > 0 . Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2, ta có:

( 4 + log 2 x ) .log 2 x < 5 ⇔ −5 < log 2 x < 1 ⇔
e)

log 2 (2 x − 1).log 1 (2 x+1 − 2) > −2

1
< x<2
32

(e).

2

x>0
x
x
x
x
(e) ⇔ − log(2 − 1) log 2 2(2 − 1) > −2 ⇔ log 2 (2 − 1) 
1 + log 2 (2 − 1)  < 2
ĐK:

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
19


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh

---------------------------------------

t = log 2 (2 x − 1) ⇒ t (t + 1) < 2. ⇔ −2 < t < 1 hay
1
5
< 2 x − 1 < 2 ⇔ log 2 < x < log 2 3 ( thỏa)
4
4
2
f) (log x 2) ( log 2 x 2 ) = log 4 x 2 (f)
Đặt

1 1
x ≠ ; ;1
4 2
1
1
=
⇔ log 2 x(1 + log 2 x) = 2 + log 2 x) 2
(f) ⇔
2
log 2 x.log 2 (2 x) log 2 (4 x)
ĐK: 0 <

4
4
1
⇔ log 2 x = − ⇔ x = 2 3 = 3 .
3
2 2

x
x
g) 25 − 2(3 − x).5 + 2 x − 7 = 0 (g)
Cách giải giống như bài 3đ.Đáp số x = 1
h) log 3 ( x − 1) + x − 5 ≤ 0 (h)
Đặt f(x)=VT (h) thì f liên tục và tăng lên (1; +∞)
⇔ f ( x) ≤ f (5) ⇔ 1 < x ≤ 5.

và có

0 = f (5) nên:

log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) + 1 > log 3 (3 x 2 + 4 x + 2) (i)

i)
Đặt:

t = log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) + 1 ⇒ log 3 (3 x 2 + 4 x + 2) = log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) = 2t
(1) thành: t + 1 > t

2

⇔

−1
< t < 1.
2

Do đk

t ≥ 0 ta chọn: 0 ≤ t < 1.

Từ đó giải bất phương trình:

0 ≤ log 9 (3x 2 + 4 x + 1) < 1 ⇔ 0 ≤ log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) < 1
7
 1 
⇔ 1 ≤ 3x 2 + 4 x + 2 > 9 ⇔ x ∈ (− ; −1) ∪  − ;1÷.
3
 3 
Bài2: Giải các phương trình; bất phương trình sau:
a) 25 x + 15x = 2.9 x.

12
= 1.
2
2x
( x − 1) log 5 3 + log 5 ( x x +1 + 3) = log 5 (11.3x − 9).

b) 2
c)

3x

− 6.2 x −

d) log 4 ( x + 1)

2

1

3( x −1)

+

+ 2 = log

2

4 − x + log 8 (4 + x) 3

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
20


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------e) log 3 ( x

2

+ x − 1) − log 3 x = 2.x − x 2 .

g) x + log 2 (9 − 2
i) log 2

x

) = 3.

x2 + 8x − 1
≤ 2.
x +1

h) log 2

( x − 1) 2 + 1g 2 ( x − 1)3 = 25.
3
x + 3 log 2 x = .
4

3

k) 4lg(10 x )

f) 1g

4

2

− 6lg x = 2.3lg(100 x ).

Hướng dẫn:

a) Chia 2 vế cho

x
9 x ; đặt ẩn phụ : t = (5 / 3) .

b) Phương trình đã cho viết lại :

2
23
2
x
− 6(2 x − x ) = 1. Đặt ẩn phụ t = 2 − x. **x = 1
3x
2
2
2
x −1
x −1
x
c) Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 3 (3 + 3) = 11.3 − 9.
x
Đặt t = 3 > 0
**x = 0; x = 1
d)Đk: ( x ≠ 1; −4 < x < 4).
23 x −

⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2 . ** x = 2; x = 2 − 24.
e)Đk x > 0. Phương trình đã cho viết lại:
1
log 3 ( x + + 1) = 1 − ( x − 1) 2 . Đánh giá 2 vế có: ** x = 1.
x
f) Đặt ẩn phụ . ** x = 11 hoặc x = 1,1.
**
g) Biến đổi ẩn phụ . x = 0; x = 3.

h) Đặt ẩn phụ. ** x = 2
x2 + 8x = 1
i) Bất phương trình đã cho tương đương với 0 <
≤ 4.
x +1
Giải hệ này có: −4 − 7 < x ≤ −5; −4 + 17 < x ≤ 1.
k)Đk x = 0. Bpt ⇔ 4.4lg x − 6lg x = 18.9lg x. Từ đóchia 2 vế 9lg x rồi đặt ẩn phụ tìm
x = 1/100.
x
x
Bài3: m? Thì bpt 4 + m.2 + m + 3 ≤ 0(1) có nghiệm. HD:
t = 2 x > 0 ⇒ t 2 + mt + m + 3 ≤ 0 ⇔ m(t + 1) ≤ −t 2 − 3 ⇔
PT đã cho

−t 2 − 3
= g (t )(2).
t +1
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t > 0 ⇔ m ≤ m axg (t ) = −1 ⇒
m≤

Bài4: Tìm a để bpt:

log 2 x + a > log 2 x

chọn m ≤

(1) có nghiệm

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
21

−1.


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
--------------------------------------HD: Đặt

t = log 2 a + x ≥ 0 ⇒ log 2 x = t − a.

t > t 2 − a ⇔ a > t 2 − t = g (t )(2).
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm
1
1
t ≥ 0 ⇔ a > min g (t )(t ≥ 0) = g ( ) = −
2
4
Vậy chọn: a > −1 / 4
(1) thành:

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
22


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
23

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

•
• Vấn đề 4: Một số dạng hệ phương trình
I) Hệ có chứa phương trình bậc nhất:
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
24


Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016
G/viên: Ngô Khánh
---------------------------------------

ax + by = c (1)
1) Dạng: 
 f ( x; y ) = 0 (2)
2) Cách giải: Thường dùng phương pháp thế: Từ (1) rút 1 biến theo biến
còn lại, thay vào (2) có phương trình (*), từ đó giải tìm được x;y.
Chú í: Số nghiệm của pt (*) bằng số nghiệm của hệ.
3) Bài tập:
x + y = m
Bài1: Cho hệ: 
2
( x + 1) y + xy = m( y + 2)
a) Giải hệ khi m = 4.
b) m ? hệ có nhiều hơn 2 nghiệm.

 2 x − y − m = 0
Bài2: Cho hệ: 
m? hệ có nghiệm duy nhất
 x + xy = 1
II)Hệ đối xứng loại I:
 f ( x; y ) = 0
1)Dạng: 
trong đó khi hoán vị x; y thì từng phương trình của
 g ( x; y ) = 0
hệ không thay đổi.
2)Cách giải:
- Đặt S = x + y; P = x. y ⇒ hệ 2 ẩn S; P; giải hệ tìm S; P (chỉ chọn
cặp S. P thỏa S 2 − 4 P ≥ 0 ⇒ x; y là hai nghiệm của pt: X 2 − SX + P = 0
(*).
- Chú ý: Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm thỏa S 2 − 4 P ≥ 0
3)Bài tập:
Bài3: Giải:
1
9

( x + y )(1 + ) =
2
2

 x + xy + y = 4  xy − x + y = −3
xy
2

a) 
b)  2

c) 
2
 x + xy + y = 2
 x + y − x + y + xy = 6 ( x 2 + y 2 )(1 + 1 ) = 25

x2 y2
4
1 1
*a) (0; 2);(2;0)
b) (0; −3);(3;0)
c) (1; );( ;1);(1; 2);(2;1).
2 2
2
2
 x + y = 2(1 + a )
Bài4: Cho hệ: 
2
( x + y ) = 4
-----------------------Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
25