Các nghiệm không bị chặn của phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúng 8tr

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh

_____________________________________________________________________________________________________________

CÁC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
LOGISTIC VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CHÚNG
NGUYỄN BÍCH HUY *, TRẦN ĐÌNH THANH **

TÓM TẮT
Trong bài báo chúng tôi xét phương trình logistic chứa toán tử p-Laplace và hàm
trọng m( x) Î Lq với q nhỏ. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại các nghiệm yếu lớn nhất (có
thể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng.
ABSTRACT
Unbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviors
In the paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator and
the weight function m( x) Î Lq with small q. We prove the existence of maximal weak
solutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors.

Mở đầu
Trong bài báo này, chúng tôi xét sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
lớn nhất, không bị chặn của phương trình logistic sau:

1.

-D p u = l m( x)ua - u b trong W, u = 0 trên ¶W ,

trong đó W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u = div( Ñu

(1)
p-2

Ñu ) là toán tử

p_Laplace, m( x) Î Lq (W) với q thích hợp và a £ p - 1 < b .
Khi hàm m( x) là hằng số và toán tử -D p u được thay bằng một toán tử tuyến
tính elliptic bậc 2 thì với mỗi l ³ l0 bài toán (1) có duy nhất nghiệm trơn và dáng
điệu tiệm cận của nghiệm được nghiên cứu trong [3]. Khi q đủ lớn thì (1) có duy
nhất nghiệm bị chặn (thuộc W01,2 Ç L¥ ) và sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số l
có thể nghiên cứu bằng phương pháp của [4]. Khi q nhỏ nghiệm của (1) có thể
không bị chặn và không duy nhất, do đó việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm
theo tham số trở nên phức tạp. Trong [6] chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nhánh
liên tục không bị chặn trong tập nghiệm của (1) khi p = 2 và q nhỏ. Trong bài này,
chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm lớn nhất (khi l cố định), có thể
không bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l ® 0 hoặc l ® ¥ .
2.
*
**

Các kết quả được sử dụng

PGS TS, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM
TS, Trường Đại học Y Dược TP HCM

3


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Số 21 năm 2010

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

2.1. Phương trình không gian có thứ tự
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Ta nói ánh xạ
F : M Ì X ® X là tăng nếu u, v Î M , u £ v thì F (u ) £ F (v) .
Định lý A [5]
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, M Ì X là tập đóng,
F : M ® M là ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện
Tập M 0 = {u Î M : u £ F (u )} ¹ f và có tính chất
"u, v Î M 0 , $w Î M 0 : u £ w, v £ w .

(i)

(ii) Nếu {un } Ì M 0 là dãy tăng thì dãy {F (un )} hội tụ.
Khi đó F có điểm bất động lớn nhất trong M.
2.2. Nghiệm yếu của một lớp phương trình elliptic tựa tuyến tính
Giả sử W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u là toán tử p-Laplace với
1 < p < N và f : W ´ R ® R là hàm thỏa điều kiện Caratheodory. Ta xét bài toán
biên sau:
(2)
-D p u = f ( x, u ) trong W , u = 0 trên ¶W
Ta xét các không gian W01, p (W), Lp (W) thông thường, chuẩn trong chúng được
ký hiệu tương ứng là . và . p . Đặt p* =

pN

p
và p ' =
. Dưới đây các tích
N-p
p -1

phân đều được lấy trên W .
Định nghĩa:
1)

*

Ta nói hàm u Î W01, p (W) là nghiệm yếu của (2) nếu f ( x, u ) Î L( p )' (W)* và

ò Ñu
2)

p-2

ÑuÑj = ò f ( x, u )j , "j Î W01, p (W)

(3)
*

Ta nói hàm u0 Î W01, p (W) là một nghiệm dưới của (2) nếu f ( x, u0 ) Î L( p ) ' (W) ,

ò Ñu

p-2
0

Ñu0 Ñj £ ò f ( x, u0 )j ,

"j Î W01, p (W), j ³ 0

và u0 £ 0 trên ¶W theo nghĩa vết.
Định lý B [2]
Giả sử hàm g : W ´ R ® R thỏa điều kiện Caratheodory và
(i)

g ( x, 0) = 0, g ( x, u ) tăng theo biến u

(ii)

"t > 0, $jt Î L1 (W) : sup | g ( x, u ) |£ jt ( x) .
|u|£t

4

"x Î W


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh

_____________________________________________________________________________________________________________

Khi đó với mỗi h Î W -1, p ' (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) sao cho
g ( x, z ) Î Lloc (W), g ( x, z ).z Î L1 (W) và

ò | Ñz |

p-2

ÑzÑj + ò g ( x, z )j = ò hj

(4)

đúng cho mọi j Î C0¥ (W) và j = z .
Ghi chú 1:
1) Nếu hàm z nói trong định lý B thỏa thêm điều kiện g ( x, z ) Î L( p*)' (W) thì (4)
cũng đúng cho mọi j Î W01, p (W) do tập C0¥ (W) trù mật trong W01, p (W) . Do đó z cũng
là nghiệm yếu của bài toán
-D p u + g ( x, u ) = h trên W , u = 0 trên ¶W .

2)

Dưới đây, để ngắn gọn ta sẽ kí hiệu vế trái của (3) là < Au, j >

3.

Kết quả chính
Ta xét phương trình (1) với các giả thiết sau:

(H1) m( x) ³ 0, m( x) Î Lq (W) với q > 1 thích hợp và tồn tại miền trơn W ' Í W , tồn
tại số m0 > 0 sao cho m( x) ³ m0
"x Î W '

(H2) a < b £ p * -1
Đầu tiên ta sẽ đưa bài toán (1) về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ
tăng trong không gian có thứ tự.
1+ b
> ( p*) ' , do đó nếu z1+ b Î L1 (W) thì z b Î L( p*) ' (W) .
Do điều kiện (H2) ta có
b
Áp dụng định lý B và ghi chú 1 cho hàm g ( x, u ) = u b ta có với mọi
h Î L( p*)' (W) Ì W -1, p ' (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) thỏa z Î L1+ b (W) và
< Az, j > + ò z b j = ò hj

"j Î W01, p (W)

(5)

Gọi P là ánh xạ đặt tương ứng mỗi h Î L( p*)' (W) với nghiệm z của (5) thì P có
các tính chất sau [4]
(a)

P (h) Î W01, p (W) Ç L1+ b (W) , P là ánh xạ tăng.

Nếu M là một tập bị chặn trong L( p*) ' (W) thì P(M) là một tập bị chặn trong
W01, p (W) và do đó là tập compắc tương đối trong Lg (W) với g < p * .

(b)
(c)

P liên tục nếu p ³ 2 .
Giả sử số r ³ 1 thỏa điều kiện

5


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

S 21 nm 2010

Tp chớ KHOA HC HSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

qr
( p*) '
qa + r

(6)

Khi ú nu u ẻ Lr+ (W) ta cú m( x)ua ẻ Lt (W) vi t =

qr
qa + r

Do ú ỏnh x Nemyskii N (l , u ) = l m( x)ua tỏc ng t Lr (W) vo L( p*)' (W) v
liờn tc, bin tp b chn vo tp b chn.
t F (l , u ) = PoN (l , u ) thỡ s tn ti nghim yu ca (1) c a v bi toỏn
tỡm nghim ca phng trỡnh
u = F (l , u )

(7)

B 1
Gi s (6) c tha món thỡ F l ỏnh x t [0, Ơ) Lr+ (W) vo
W01, p (W) ầ L1+ b (W) v

(i)

F l ỏnh x tng; nu u0 l nghim di ca (1) thỡ u0 Ê F (l , u0 )

(ii) Nu p 2 v

qp *
> ( p*) ' thỡ F l ỏnh x hon ton liờn tc t
qa + p *

[0, Ơ) W01, p (W) vo W01, p (W) .

Chng minh :
Tớnh cht (i) ó c chng minh trong [4]. chng minh (ii) ta chn s
r < p * tha (6). Phộp nhỳng W01, p đ Lr l compc, ỏnh x N : Lr đ L( p*)' liờn tc v
P : L( p*)' đ W01, p liờn tc nu F l ỏnh x hon ton liờn tc.

B 2
Gi l1 l giỏ tr riờng u v u1 l hm riờng tng ng ca bi toỏn biờn
-D p u = l u p -1 trong W ' , u0 = 0

trờn ảW ' .

Ta nh ngha u0 = cu1 trong W ' , u0 = 0 trong W \ W ' vi c > 0 nh thỡ u0 l
nghim di ca (1) trong cỏc trng hp sau :
1)

a < p - 1, l > 0,

2)

a = p - 1, l >

l1
m0

Chng minh :
Trong [1] ó chng minh rng -D p u0 Ê l1u0p -1 theo ngha yu.
Vi j ẻ W01, p , j 0 ta cú
6


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh

_____________________________________________________________________________________________________________

< Au0 , j > - ò (l m( x)u0a - u0b )j =< Au0 - l1u0p -1 , j > - ò (l m( x)u0a - l1u0p -1 - u0b )j (8)

Vì
v := l m( x) - l1u0p -1 - u0b ³ u0a (l m0 - l1u0p -1-a - u0b -a ) trên W ' và u1 bị chặn trên W '

l1

thì v ³ 0 . Vậy ta có vế
m0
phải của (8) là không dương và do đó u0 là nghiệm dưới của (1)

ta thấy nếu c nhỏ và a < p - 1, l > 0 hoặc a = p - 1, l >

Định lý 1
Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và (H3) sau được thỏa mãn
æ q * ö¢
÷
è1+a ø

(H3) a < p - 1, q ³ ç

Khi đó với mỗi l > 0 bài toán (1) có nghiệm yếu lớn nhất.
Chứng minh :
Từ điều kiện (H3) ta thấy (6) đúng với r = p * . Do đó ánh xạ F trong (7) tác
động từ Lp* vào chính nó và ta sẽ xét phương trình (7) trong Lp* . Cố định l > 0 , ta
kí hiệu F (u ) thay cho F (l , u ) . Theo bổ đề 1,2 ta có u0 £ F (u0 ) . Nếu u1 £ F (u1 ) ,
u2 £ F (u2 ) thì hàm u = max(u1 , u2 ) thỏa u £ F (u ) do F là ánh xạ tăng. Vậy điều kiện
(i) của định lý A đúng. Để kiểm tra điều kiện (ii) của định lý A ta chỉ cần chứng
minh tập F ( M 0 ) là bị chặn trong Lp* . Lấy u Î M 0 , đặt v = F (u ) và lấy v là hàm thử,
ta có
< Av, v > + ò v1+ b = l ò m( x)ua v £ l ò m( x)v1+a £ l m q . v

Vì q '(1 + a ) £ p * theo (H3) nên từ (9) ta suy ra v

p
p*

£c v

1+a
(1+a ) q '

(9)

1+a
p*

Vậy tập F ( M 0 ) bị chặn. Định lý được chứng minh.
Định lý 2
Gọi l1 là số được định nghĩa trong bổ đề 2. Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và
(H4) sau được thỏa mãn
ö¢
(1 + b ) p*
÷.
è 1 + b + ( p - 1) p * ø

æ

(H4) a = p - 1, q ³ ç

Khi đó với l >

l1
bài toán (1) có nghiệm lớn nhất.
m0

7

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Số 21 năm 2010

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

Chứng minh :
Với l >

l1
thì ánh xạ F := F (l ,.) thỏa điều kiện (i) của định lý A. Từ điều
m0

kiện (H4) ta có (6) đúng với r = 1 + b và do đó F tác động từ L1+ b vào chính nó. Ta
sẽ chứng minh tập F ( M 0 ) bị chặn trong L1+ b . Với u Î M 0 và v = F (u ) ta có từ (9)
(với a = p - 1 )
1+ b

p

v + v 1+ b £ c. v

p

(10)

pq '
1+ b

p

Nếu pq ' £ 1 + b thì từ (10) ta có v 1+ b £ c. v 1+ b nên vì b > a = p - 1 ta suy ra
tập F ( M 0 ) bị chặn.
Tiếp theo ta xét trường hợp 1 + b < pq ' . Khi đó từ (H4) ta có
p *(1 + b )
p * pq '
q'£
<
1 + b + ( p - 1) p * pq '+ ( p - 1) p *
và từ đó ta có pq ' £ p * .Vì 1 + b < pq ' < p * ta có
v

q

pq '

£ c v . v 111-+qb

(11)

Với q Î (0,1) không phụ thuộc v. Từ (10), (11) ta có
v

pq '

£c v

g
pq '

với g = q + (1 - q )

p
< 1.
1+ b

Do đó v bị chặn trong Lpq ' và trong L1+ b .
Định lý 3
Giả sử các giả thiết (H1), (H2) và (H3) sau được thỏa mãn và gọi ul là nghiệm
lớn nhất của (1); vl = l 1/(a - p +1) .ul . Khi đó
1)

Nếu b > p - 1 thì tồn tại nghiệm v của bài toán biên
-D p u = m( x)ua trong W , u = 0 trên ¶W

(12)

sao cho lim vl = v trong W01, p và hầu khắp nơi trong W
l ®0

2)

Nếu b < p - 1 thì tồn tại nghiệm v của (12) sao cho lim vl = v trong W01, p và
l ®¥

hầu khắp nơi trong W .

Chứng minh:
-1

Để đơn giản kí hiệu ta đặt tl = l ( b +1- p )( p -1-a ) . Dễ dàng kiểm tra rằng vl là
nghiệm yếu lớn nhất của bài toán
8


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

-D p u = m( x)ua - tl u b trong W , u = 0 trên ¶W

(13)

< Au , j > +tl ò u b j = ò m( x)ua j

(14)

hay
1)

"j Î W01, p

Khi b > p - 1 ta có tl ® 0 khi l ® 0 và nếu l < m thì tl < tm và vm là một

nghiệm dưới của (13); do vậy vm < vl . Suy ra tồn tại v = lim vl tại mỗi điểm của W .
x ®0

Để chứng minh khẳng định của định lý, ta chỉ cần chỉ ra v là nghiệm của (12)
và với mọi dãy ln ® 0 thì dãy { vl } có dãy con hội tụ trong W01, p về v.
n

Đặt vn = vl và cho j = vn trong (14) và lí luận tương tự trong (9) ta có
n

vn

p

1+ b

+ tn vn

1+ b

£ c vn

1+a
(1+a ) q '

£ c vn

1+a
p*

£ c vn

1+a

trong đó tn = tl . Do đó dãy {vn } bị chặn trong W01, p và có dãy con mà ta vẫn kí
n

hiệu là {vn } hội tụ yếu trong W01, p và hầu khắp nơi trong W . Hàm giới hạn phải là v.
Vì tn ® 0, vn £ v và v b , m( x)va thuộc L( p*)¢ nên từ (14) (với u = vn , tl = tn ) ta có thể
áp dụng định lí hội tụ bị chặn và nhận được
< Av, j >= ò m( x)va j

"j Î W01, p

(15)

hay v là một nghiệm của (12). Lấy j = vn - v trong (14) (với u = vn , tl = tn ) và trong
(15) rồi trừ từng vế hai đẳng thức ta có
< Avn - Av, vn - v >= ò m( x)(vna - va )(vn - v) - tn ò vnb (vn - v)

(16)

Vì vn £ v, m( x)va +1 Î L1 , v1+ b Î L1 và áp dụng định lí hội tụ bị chặn ta suy ra rằng vế
phải của (16) hội tụ về 0. Vế trái của (16) lớn hơn

(v

n

p -1

- v

p -1

)( v

n

- v ) . Do đó

lim vn = v . Vì W01, p là không gian lồi đều nên từ đây và từ vn ® v yếu ta suy ra
vn ® v trong W01, p .

2)

Nếu b < p - 1 thì ta có lim tl = 0 và tl > tm nếu l < m . Do đó ta có thể áp dụng
l ®¥

các lí luận trên để chứng minh trường hợp này.
Ghi chú 2:
Nếu b = p - 1 thì tl = 1 và vl = u1 "l > 0 .

9


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Số 21 năm 2010

_____________________________________________________________________________________________________________

1.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Boccardo L., Orsina L. (1994), “Sublinear equations in Ls”, Houston J.Math.,
(20), pp. 99-114.

2.

Brezis H., Browder F. (1982), “Some properties of higher order Sobolev
space”, J.Math. Pures Appl, (61), pp. 245-259.

3.

Delgado M., Suarez A. (2002), “On the structure of the positive solutions of
logistic equation with nonlinear diffusion”, JMAA 268, pp. 200-216.

4.

Drabek P., Hernandez J. (2001), “Existence and uiniqueness of positive
solution for some quasilinear elliptic problems”, Nonlinear Anal, (44), pp.
189-204.

5.

N. B. Huy (2002), “Positive week solutions for some semilinear elliptic

equations”, Nonlinear Anal, (48), pp. 939-945.

6.

Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh (2007), “Tính liên
tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số”, Tạp chí Khoa
học ĐHSP TP HCM, (12), tr. 76-82.

10