TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC THỊNH

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI
RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HUẾ, 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC THỊNH

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI
RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS-TS. PHAN NHẬT TĨNH

HUẾ 2014


LỜI NÓI ĐẦU
Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng đã và đang được
nhiều người quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng vào thực
tiễn. Bài toán tối ưu là kết quả của việc mô hình hóa những vấn
đề nảy sinh từ thực tế, chúng có thể được diễn đạt dưới dạng toán
học là tìm biến số thỏa mãn những điều kiện nhất định đồng thời
làm cho một hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại).
Năm 1965, A. Ya. Dubovitskii và A. A. Mylyutin đã đưa ra lý
thuyết các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta
phương pháp giải tích hàm hiệu quả để nghiên cứu các bài toán tối
ưu và điều khiển. Công trình nổi tiếng của Dubovitskii- Mylyutin
đánh dấu một bước phát triển quan trọng của lý thuyết tối ưu
hóa. Do nhu cầu của kinh tế và kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát
triển ngày càng mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả quan trọng.
Người ta thường quan tâm nghiên cứu các điều kiện tối ưu
cấp 1, cấp 2, và cấp cao hơn. Nếu các điều kiện cần cấp 1 được
dùng cho việc tìm ra tập tất cả các điểm dừng thì các điều kiện
cần cấp 2 lại rất hiệu quả trong việc loại bỏ các điểm dừng không
tối ưu. Chúng giúp ta xác định được điểm đã cho là một cực tiểu
(hay là một cực đại). Cuối cùng nhờ vào điều kiện đủ ta tìm được
nghiệm của bài toán tối ưu. Do đó điều kiện tối ưu cấp 2 tỏ ra rất
hữu ích trong việc tìm nghiệm của bài toán tối ưu. Sau các điều
kiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker thì lý thuyết
các điều kiện tối ưu cấp 2 được mở rộng ra rất nhiều hướng khác
nhau đặc biệt là các bài toán với ràng buộc bất đẳng thức và ràng

buộc tập hợp.
Với mong muốn được tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các điều
kiện tối ưu và được sự gợi ý, hướng dẫn của PGS.TS Phan Nhật
Tĩnh, tôi chọn đề tài: Các điều kiện tối ưu cấp 2 cho những bài
toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề tài nghiên cứu cho luận
văn.
Về mặt cấu trúc, luận văn được chia làm 3 chương:

1


Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục.
Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có
hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu
sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày.
Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin
chân thành cảm ơn!

2


Chương 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.
Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức và

ràng buộc tập sau

f0 (x) −→ min



x∈X
(P) :
fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m



hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q
trong đó hàm f0 : X → R được gọi là hàm mục tiêu, hàm fi : X →
R, i = 1, 2, . . . , m và hj : X → R, j = 1, 2, . . . , q gọi là hàm ràng
buộc. Tập chấp nhận được là
C = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m; hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q

Với mỗi x ∈ C , tập chỉ số tích cực I(x), tập chỉ số không tích cực
J(x) được định nghĩa tương ứng như sau
I(x) = i ∈ {1, 2, . . . , m} fi (x) = 0
J(x) = i ∈ {1, 2, . . . , m} fi (x) < 0

Trong trường hợp bài toán (P) không có ràng buộc đẳng thức ta
kí hiệu bài toán là (P ).
Định nghĩa 1.1. Xét bài toán (P) và x ∈ C là điểm chấp nhận
được. Ta có các khái niệm sau
a) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương của
bài toán (P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho f0 (x) ≥
f0 (x), ∀x ∈ C ∩ U .

3


b) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương
chặt của bài toán (P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho
f0 (x) > f0 (x), ∀x = x, x ∈ C ∩ U .
c) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục của
bài toán (P) nếu f0 (x) ≥ f0 (x), ∀x ∈ C .
d) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục chặt
của bài toán (P) nếu f0 (x) > f0 (x), ∀x = x, x ∈ C .
e) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương cô
lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x
và hằng số K > 0 sao cho f0 (x) ≥ f0 (x) + K x − x 2 , ∀x ∈
U ∩ C.
f) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương
prabol (gọi tắt là pl-cực tiểu) của bài toán (P) nếu với mỗi
d, z ∈ Rn tồn tại ε = ε(d, z) > 0 sao cho
f0 (x + td + 0.5t2 z) ≥ f0 (x), ∀t ∈ [0, ε)

trong đó x + td + 0.5t2 z là một điểm chấp nhận được.
g) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương
parabol cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu với mỗi d, z ∈ Rn
tồn tại số thực dương A = A(d, z) và ε = ε(d, z) sao cho
f0 (x + td + 0.5t2 z) ≥ f0 (x) + A td + 0.5t2 z 2 , ∀t ∈ [0, ε)

trong đó x + td + 0.5t2 z là một điểm chấp nhận được.

1.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình.
Định nghĩa 1.2 ([7] Tr. 200). Cho X ⊂ Rn là tập mở và f là một
hàm nhận giá trị thực xác định trên X (tức là f : X → R, sau này

để đơn giản ta nói f là hàm thực xác định trên X ). Hàm f được
gọi là khả vi tại x ∈ X nếu với mọi x ∈ Rn sao cho x + x ∈ X ta
có
f (x + x) = f (x) + t(x), x + α(x, x) x
4


trong đó t(x) là một véctơ n chiều, và α là một hàm thực của x
sao cho lim α(x, x) = 0.
x→0

Véc tơ t(x) trong Định nghĩa này gọi là Gradient của f tại x và
được kí hiệu là ∇f (x).
Định lý 1.1 (Định lý giá trị trung bình, [7] Tr. 204). Cho f là
một hàm thực khả vi trên tập lồi mở X ⊂ Rn và x, y ∈ X . Khi đó
tồn tại số thực t ∈ (0, 1) sao cho
f (y) − f (x) = ∇f (x + t(y − x)) , y − x

1.3 Gradient suy rộng trong không gian Banach.
Cho X là tập mở trong không gian Banach E và f : X → R. Kí
hiệu E ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của E , ·, · là tích vô hướng
giữa E ∗ và E Ta có các khái niệm và tính chất sau.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa
phương tại x ∈ X nếu tồn tại lân cận U của x và hằng số L > 0
sao cho
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ U

(1.1)

Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊂ X và

L độc lập với biến x thì ta nói f Lipschitz trên V .
Định nghĩa 1.4. [3] Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa
phương tại x ∈ X với hằng số K (lúc đó để đơn giản ta sẽ nói f
Lipschitz gần x với hằng số K ). Với mỗi v ∈ X , ta gọi đạo hàm
theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v , kí hiệu f 0 (x, v),
được định nghĩa như sau
f 0 (x, v) = lim sup
y→x,t→0+

f (y + tv) − f (y)
t

Do tính Lipschitz địa phương của hàm f nên giới hạn này luôn
luôn tồn tại.
5


Định nghĩa 1.5. [3] Dưới vi phân Clarke (hay Gradient suy rộng
Clarke), của f tại x, kí hiệu ∂ C f (x), là một tập con của X ∗ xác
định bởi
∂ C f (x) = ξ ∈ X ∗ f 0 (x, v) ≥ ξ, v , ∀v ∈ X

1.4 Jacobi suy rộng trên Rn .
Định nghĩa 1.6 ([10] Tr. 15). Cho f : Rn → Rn là hàm véctơ
Lipschitz địa phương tại x. Jacobi suy rộng Clarke của hàm véctơ
f tại x, kí hiệu ∂f (x) được định nghĩa như sau
∂f (x) = co

lim ∇f (xi ) |x i ∈ Ω, xi → x ,

i→∞

trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi.
Định nghĩa 1.7 ([6] Definition 2.1). Cho f : Rn → R khả vi sao
cho ∇f Lipschitz địa phương trên Rn và x ∈ Rn . Ma trận Hessian
suy rộng của f tại x, kí hiệu là ∂ 2 f (x) được định nghĩa như sau
∂ 2 f (x) = co lim ∇2 f (xi ) xi ∈ Ω, xi → x ,

trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi 2 lần. Nói cách
khác nó là Jacobi suy rộng Clarke của ∇f tại x.

1.5 Đạo hàm theo hướng.
Với R là tập các số thực, ta kí hiệu R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}.
Bên cạnh các phép toán thông thường ta thừa nhận 0.(±∞) =
(±∞).0 = 0.
Định nghĩa 1.8. [10] Cho X ⊂ Rn và f : X → R. Đạo hàm
theo hướng (Dini) trên và dưới của hàm f tại x ∈ X theo hướng
u ∈ Rn , kí hiệu f+ (x, d) và f− (x, d), là phần tử thuộc R, được
định nghĩa như sau
f+ (x, u) = lim sup
t→0+

6

f (x + tu) − f (x)
,
t


f− (x, u) = lim inf

+
t→0

f (x + tu) − f (x)
.
t

Định nghĩa 1.9 ([12] Definition 2). Cho X ⊂ Rn và f : X → R.
Đạo hàm theo hướng (Dini) của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ Rn ,
kí hiệu f (x, u), là phần tử thuộc R, được định nghĩa như sau
f (x, u) = lim+
t→0

f (x + tu) − f (x)
t

(1.2)

Hàm f được gọi là khả vi theo hướng (Dini) trên X nếu f (x, u)
tồn tại với mọi x ∈ X và mọi u ∈ Rn . Nếu giới hạn (1.2) tồn tại
với mọi t ∈ R, không nhất thiết dương, và có một toán tử tuyến
tính liên tục ∇G f (x) sao cho f (x, u) = ∇G f (x)u với mọi u ∈ Rn
thì f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ X . Ta thường kí hiệu
∇G f (x)u bằng ∇G f (x), u .
Định nghĩa 1.10. [4] Giả sử hàm f : X → R với X là tập mở
trong Rn khả vi tại điểm x ∈ X . Đạo hàm cấp 2 theo hướng (Dini)
của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ Rn , kí hiệu f (x, u), là phần tử
thuộc R được định nghĩa như sau.
f (x, u) = lim+
t→0

2
f (x + tu) − f (x) − t ∇f (x), u
t2

Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng (Dini) trên X nếu
f (x, u) tồn tại với mọi x ∈ X và bất kì hướng u ∈ Rn .
Định nghĩa 1.11 ([12] Definition 4). Cho X là một tập mở trong
không gian Banach E . Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa
phương. Đạo hàm cấp 2 theo hướng Hadamard dưới của f tại x
theo hướng d ∈ E , kí hiệu fH− (x, d), là phần tử thuộc R được
định nghĩa như sau
fH− (x, d) =

2
f (x + td ) − f (x) − tf 0 (x, d)
(t,d )→(0+ ,d) t2
lim inf

ở đây f 0 (x, d) là đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo
hướng d, t ⊂ (0, +∞), t → 0+ và d ∈ E sao cho d − d → 0
7


Định nghĩa 1.12. [12] Cho X là một tập mở trong không gian
Banach E . Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Đạo
hàm cấp 2 theo hướng Hadamard của f tại x theo hướng d ∈ E ,
kí hiệu fH (x, d), là phần tử thuộc R được định nghĩa như sau
fH (x, d) =

lim

+

(t,d )→(0

2
f (x + td ) − f (x) − tf 0 (x, d) .
,d) t2

Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng Hadamard tại x theo
hướng d ∈ E nếu fH (x, d) tồn tại với mọi x ∈ X và bất kì hướng
d ∈ E.

1.6 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
Định nghĩa 1.13. [7] Một hàm thực f xác định trên tập X ⊂ Rn
được gọi là tựa lồi tại điểm x ∈ X nếu
∀y ∈ X 


f (y) ≤ f (x)
=⇒ f (1 − t)x + ty ≤ f (x).
∀t ∈ [0, 1]


(1 − t)x + ty ∈ X
Hàm f được gọi là tựa lồi trên X nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.14. [7] Cho hàm f : X → R với X là tập mở trong
Rn . Hàm f được gọi là giả lồi tại x ∈ X nếu nó khả vi tại x và
∀y ∈ X

∇f (x), y − x ≥ 0

=⇒ f (y) ≥ f (x)

hoặc
∀y ∈ X
f (y) < f (x)

=⇒ ∇f (x), y − x < 0

Hàm f được gọi là giả lồi trên X nếu f giả lồi tại mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.15. [4] Xét hàm f : X → R với X là tập mở trong
Rn , khả vi tại x ∈ X và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo
8


mọi hướng y − x sao cho y ∈ X , f (y) < f (x), ∇f (x), y − x = 0.
Ta gọi f là giả lồi cấp 2 (gọi tắt 2-giả lồi) tại x ∈ X nếu với mọi
y ∈ X ta có:
f (y) < f (x) =⇒ ∇f (x), y − x ≤ 0
f (y) < f (x), ∇f (x), y − x = 0 =⇒ f (x, y − x) < 0.

Giả sử f khả vi trên X và khả vi cấp 2 theo hướng tại mọi
x ∈ X theo mọi hướng y − x sao cho y ∈ X , f (y) < f (x),
∇f (x), y − x = 0. Ta gọi f là 2-giả lồi trên X nếu nó 2-giả lồi
tại mọi x ∈ X . Từ định nghĩa này ta có mọi hàm giả lồi khả vi
đều là 2-giả lồi. Điều ngược lại không đúng (Ví dụ ??).
Định nghĩa 1.16. [4] Cho X ⊂ Rn là tập mở, hàm f : X → R
khả vi tại x ∈ X và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo mọi
hướng y − x sao cho y ∈ X , f (y) < f (x), ∇f (x), y − x = 0. Ta

gọi f là 2-giả lồi chặt tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X, y = x, ta có
f (y) ≤ f (x) =⇒ ∇f (x), y − x ≤ 0
f (y) ≤ f (x), ∇f (x), y − x = 0 =⇒ f (x, y − x) < 0.

Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2- giả lồi.
Định nghĩa 1.17 ([12] Definition 7). Cho X là tập mở và f : X →
R Lipschitz địa phương tại x ∈ X . Hàm f được gọi là giả lồi cấp
2 (gọi tắt là 2-giả lồi) tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X ta có
f (y) < f (x) =⇒ f 0 (x, y − x) ≤ 0,
f (y) < f (x), f 0 (x, y − x) = 0 =⇒ fH− (x, y − x) < 0.

Hàm f được gọi là giả lồi cấp 2 trên X nếu f giả lồi cấp 2 tại mọi
x ∈ X.

1.7 Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác.
Định nghĩa 1.18. [12] Xét X là tập mở. Ta nói một hàm f : X →
R là chính quy tại x ∈ X nếu f Lipschitz gần x, tồn tại đạo hàm
f (x, d) theo mọi hướng d ∈ X và
f (x, d) = f 0 (x, d), ∀d ∈ X

9


Chương 2.

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG
BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI
LIÊN TỤC.

Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập
sau

f0 (x) −→ min
(P ) : x ∈ X

fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m
trong đó X ⊂ Rn và fi , i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực xác định
trên X . Các kết quả đưa ra ở đây đều thu được từ bài toán không
trơn dựa trên đạo hàm cấp 2 theo hướng. Để có được điều kiện tốt
hơn, ta thừa nhận rằng nhân tử Lagrange phụ thuộc vào hướng.
Tập chấp nhận được là S = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m .
Định nghĩa 2.1. Xét bài toán (P ) với fi , i = 0, 1, . . . , m, là các
hàm thực khả vi tại x ∈ S . Một hướng d ∈ Rn được gọi là tới hạn
tại điểm x ∈ S nếu thỏa mãn
∇f0 (x), d ≤ 0 và ∇fi (x), d ≤ 0, ∀i ∈ I(x).

Với mỗi véctơ cố định x ∈ S và mỗi hướng tới hạn d ∈ Rn ta đặt
I0 (x, d) = i ∈ {0} ∪ I(x) ∇fi (x), d = 0 .


2.1 Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
Trong mục này ta giả sử rằng fi , i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực
xác định trên không gian Euclide hữu hạn chiều Rn .
Định lý 2.1. Cho X ⊂ Rn là tập mở, fi (i = 0, 1, . . . , m) là các
hàm thực xác định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả sử
fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi tại x và khả vi cấp 2 theo hướng tại x
theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn , f0 là 2-giả lồi tại x, fi (i ∈ I(x))
là tựa lồi tại x. Nếu mỗi hướng tới hạn d ∈ Rn tồn tại nhân tử
Lagrange không âm λ1 , λ2 , . . . , λm sao cho

λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L (x, d) ≥ 0
m

λi fi (x) là hàm Lagrange thì x là một

trong đó L(x) = f0 (x) +
i=1

cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
Định lý 2.1 là sự tổng quát hóa kết quả của Định lý 2.2 sau đây
do Mangasarian đưa ra trong [7] vì mọi hàm giả lồi khả vi đều là
2-giả lồi.
Định lý 2.2 ([7] Theorem 10.1.2). Cho X ⊂ Rn là tập mở, fi (i =
0, 1, . . . , m) là các hàm thực xác định trên X và x là điểm chấp
nhận được. Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi tại x, f0 giả lồi tại x,
và fi (i ∈ I(x)) tựa lồi tại x. Nếu tồn tại nhân tử Lagrange không
âm λ1 , λ2 , . . . , λm sao cho
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0
m

trong đó L(x) = f0 (x) +

λi fi (x) là hàm Lagrange thì x là một
i=1

cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
f0 (x) → min

, trong
f1 (x) ≤ 0
đó các hàm f0 : R → R, f1 : R → R được định nghĩa tương ứng

Ví dụ 2.1. Xét bài toán đơn giản sau

11


như sau
f0 (x) =

x2
−x2

nếu x ≥ 0
; và f1 (x) = −x.
nếu x < 0

Theo Định lí 2.1 suy ra x = 0 là cực tiểu toàn cục của bài toán.
Tuy nhiên không thể sử dụng Định lý 2.2 cho bài toán này vì f0
không giả lồi tại x = 0.
Ví dụ 2.2. Xét bài toán
f0 (x) = x3 −→ min
f1 (x) = x ≤ 0

.

Xét x = 0. Điều kiện đủ cấp 2 của Định lí 2.1 thỏa mãn nhưng
rõ ràng x không phải là một cực tiểu toàn cục của bài toán vì f0

không giả lồi cấp 2 tại x = 0.
Định lý 2.3. Nếu trong giả thiết của Định lí 2.1 ta thay f0 là
2-giả lồi tại x bằng giả thiết f0 là 2-giả lồi chặt tại x thì x là một
cực tiểu toàn cục chặt của bài toán P .
Định lý 2.4. [4] Cho X ⊂ Rn là tập mở, fi (i = 0, 1, . . . , m) là
các hàm thực xác định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả
sử rằng tất cả các hàm fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi tại x, khả vi cấp
2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn , và 2-giả lồi
chặt tại x. Nếu mỗi hướng tới hạn d tồn tại nhân tử không âm
λ0 , λ1 , . . . , λm với (λ0 , λ1 , . . . , λm ) = 0 và
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L (x, d) ≥ 0
m

ở đây L(x) =

λi fi (x) thì x là một cực tiểu toàn cục chặt của
i=0

bài toán (P ).
12


2.2 Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
Định nghĩa 2.2. Tập hợp các véc tơ tiếp xúc với S tại x, được
kí hiệu là T (S, x), gọi là nón tiếp xúc với S tại x. Vậy
T (S, x) = d ∈ Rn ∃{dk } → d, ∃{tk } → 0+ : x + tk dk ∈ S, ∀k

Định nghĩa 2.3. [9] Cho hàm thực f : Rn → R khả vi liên tục,

và ánh xạ đạo hàm ∇f : Rn → Rn là hàm véc tơ liên tục. Ta nói
rằng một tập con đóng và bị chặn ∂∗2 f (x) ⊂ M (Rn , Rn ) là một
giả Hessian của f tại x ∈ Rn nếu nó là một giả Jacobi của ∇f tại
x. Khi đó ta nói rằng hàm f có giả Hesian ∂∗2 f (x) tại x.
Định lý 2.5 (Điều kiện cần cơ bản cấp 2, [4] Theorem 5). Cho
X ⊂ Rn là tập mở, fi (i = 0, 1, . . . , m) là các hàm thực xác định
trên X . Giả sử x là một cực tiểu địa phương của bài toán (P );
hàm fi (i ∈ J(x)) liên tục tại x; hàm fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) là khả
vi liên tục; và hàm fi (i ∈ I0 (x, d)) khả vi cấp 2 theo hướng tại
x theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn . Khi đó với mọi hướng tới hạn
d ∈ Rn không tồn tại z ∈ Rn thỏa mãn hệ bất phương trình sau
∇fi (x), z + fi (x, d) < 0, i ∈ I0 (x, d)

(2.12)

Định lý 2.6 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [4]). Cho X là tập
mở trong không gian Rn , fi (i = 0, 1, . . . , m) là các hàm thực xác
định trên X . Giả sử x là một cực tiểu địa phương của bài toán
(P ); hàm fi (i ∈ J(x)) liên tục tại x; hàm fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) là
khả vi liên tục; và hàm fi (i ∈ I0 (x, d)) khả vi cấp 2 theo hướng tại
x theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn . Khi đó với mỗi hướng tới hạn
d tồn tại những nhân tử Lagrange không âm λ0 , λ1 . . . , λm , không
đồng thời bằng 0 sao cho
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) =

λi ∇fi (x) = 0,
i∈{0}∪I(x)

λi ∇fi (x), d = 0, i ∈ {0} ∪ I(x),

λi fi (x, d) ≥ 0.

L (x, d) =
i∈{0}∪I(x)

13

(2.14)


Ta thấy rằng các nhân tử Lagrange trong điều kiện cần cấp 2
phụ thuộc vào hướng. Trong các ví dụ sau ta so sánh Định lý 2.6
với Định lý 2.7 (Định lý 3.1 của Jeyakumar, Wang [9]) mà trong
đó các hàm là khả vi liên tục và các nhân tử Lagrange không phụ
thuộc vào hướng.
Xét bài toán với ràng buộc bất đẳng thức, ràng buộc đẳng thức
và ràng buộc tập sau

f0 (x) −→ min



x ∈ X ⊂ Rn
(P) :
fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m



hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q
trong đó fi , i = 0, 1, . . . , m, và hj , j = 1, 2, . . . , q là các hàm thực

khả vi liên tục trên X . Tập chấp nhận được của bài toán (P) là
C = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m; hj (x) = 0, j = 1, . . . , q .

Định nghĩa 2.4. Cho x là một điểm chấp nhận được. Ta nói rằng
a) Điều kiện chính quy độc lập tuyến tính cấp 1 (LICQ) thỏa
mãn tại x (kí hiệu LICQ(x)) nếu các Gradient sau là độc lập
tuyến tính {∇fi (x), i ∈ I(x), ∇hj (x), j = 1, 2, . . . , q} .
b) Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz cấp 1 (MFCQ)
thỏa mãn tại x (kí hiệu MFCQ(x)) nếu các Gradient {∇hj (x),
j = 1, 2, . . . , q} độc lập tuyến tính và tồn tại d ∈ Rn sao cho
∇fi (x), d < 0, i ∈ I(x) và ∇hj (x), d = 0, j = 1, 2, . . . , q.

Nếu x là một cực tiểu địa phương của bài toán (P) thì tồn tại
véctơ
λ∗0 , λ∗1 , . . . , λ∗m , µ∗1 , . . . , µ∗q ∈ R1+m+q
không đồng thời bằng 0 sao cho

q
m
 ∗
λ0 ∇f0 (x) +
λ∗i ∇fi (x) +
µ∗j ∇hj (x) = 0
i=1
i=1
 ∗
λ0 ≥ 0, λ∗i ≥ 0, λ∗i fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m
14

(FJ)

Nó được gọi là điều kiện cần Fritz-John. [7]
Ta giả sử rằng có thêm MFCQ(x) hoặc LICQ(x) khi đó ta có
λ0 > 0, điều kiện thêm vào để λ0 > 0 ta gọi chung là điều kiện
chính quy cấp 1, gọi tắt là (H1 ). Khi đó điều kiện (FJ) trở thành:
Tồn tại một véctơ λ∗1 , . . . , λ∗m , µ∗1 , . . . , µ∗q ∈ Rm+q không đồng
thời bằng 0 sao cho

q
m

λ∗i ∇fi (x) +
µ∗j ∇hj (x) = 0
∇f0 (x) +
(KT)
i=1
i=1
 ∗
λi ≥ 0, λ∗i fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m
Nó được gọi là điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker. [7]
Từ đây về sau ta giả sử (H1 ) luôn thỏa mãn, do đó luôn tồn
tại ít nhất một nhân tử Lagrange (λ, µ). Với mỗi nhân tử Lagrange
λ = (λ1 , . . . , λm ) ta đặt
n

C(λ) =

x∈C

λi fi (x) = 0

(2.17)

i=1

Hàm Lagrange khi đó là
q

m

L(x, λ, µ) = f0 (x) +

λi fi (x) +
i=1

µj hj (x).

(L)

j=1

Tập tất cả các hướng chấp nhận được của C tại x ∈ C là nón
được xác định như sau [9]
F (C, x) = u ∈ Rn ∃δ > 0, ∀α ∈ [0, δ], x + αu ∈ C

Định lý 2.7 ([9] Theorem 3.1). Cho x là một cực tiểu địa phương
q
của bài toán (P). Giả sử rằng mỗi λ ∈ Rm
+ và µ ∈ R thì

2
L(., λ, µ) có giả Hessian ∂∗ L(x, λ, µ) tại x. Nếu điều kiện chính
quy cấp 1 thỏa mãn tại x thì tồn tại λ∗i ≥ 0, λ∗i fi (x) = 0, i =
1, 2, . . . , m, µ∗ ∈ Rq , ∇L(x, λ∗ , µ∗ ) = 0 và
∀u ∈ F C(λ∗ ), x

∃M ∈ ∂∗2 L(x, λ∗ , µ∗ )
15

M u, u ≥ 0


Ví dụ 2.3. Xét bài toán

2
2
f0 (x) = −x
√ 1 − x2 + x1 − x2 → min
f1 (x) = 1 + 2x2 − x1 − 1 ≤ 0

f2 (x) = x21 − x2 ≤ 0

.

Ví dụ này cho thấy Đinh lý 2.7 không thể loại bỏ điểm không tối
ưu x = (0, 0).
Trường hợp các hàm thuộc lớp C1,1

Trong phần tiếp theo chúng ta so sánh ta so sánh Định lý 2.6
với Định lý 2.8 (Định lý 3.2 được Hiriart-Urruty, Strodiot, Nguyen

đưa ra trong [6]), ở đây các hàm thuộc lớp C 1,1 và các nhân tử
không phụ thuộc vào hướng.
Cho X là tập lồi mở khác rỗng trên Rn , ta kí hiệu C 1,1 (X)
là lớp các hàm thực f khả vi trên X và ∇f Lipschitz địa phương
trên X (tức là, thoả mãn tính chất Lipschitz trong lân cận của
mỗi một điểm x ∈ X ). Do ∇f khả vi trên X nên đạo hàm suy
rộng Clarke (hay ma trận Jacobi suy rộng) xác định trên X .
Định lý 2.8 ([6] Theorem 3.2). Cho C(λ) được định nghĩa như
công thức (2.17) và T C(λ), x là nón tiếp xúc với C(λ) tại x. Giả
sử rằng bài toán (P) với giả thiết các hàm thuộc lớp C 1,1 đạt cực
tiểu địa phương tại x. Nếu điều kiện chính quy cấp 1 thỏa tại x
q
thì với mỗi nhân tử (λ, µ) ∈ Rm
+ × R và mỗi d ∈ T C(λ), x , tồn
2 L(x, λ µ) sao cho M d, d ≥ 0. Trong đó
tại một ma trận M ∈ ∂xx
2
∂xx L(x, λ, µ) là ma trận Hesian suy rộng của L(., λ, µ) tại x.
Chú ý 2.1 ([6] Remark 3.3). Nếu điều kiện (H1 ) không được thỏa
mãn thì tồn tại λ0 , λ1 , . . . , λm , µ1 , µ2 , . . . , µq không đồng thời bằng
0 thỏa mãn điều kiện Fritz-John và nếu hàm Lgrange được xác định
q

m

bởi L(x, λ0 , λ, µ) = λ0 f (x) +

λi fi (x) +
i=1

µj hj (x). thì ta có
j=1

một kết quả tương tự, cụ thể là, với mỗi d ∈ T C(λ), x tồn tại
2 L(x, λ , λµ) sao cho M d, d ≥ 0.
một ma trận M ∈ ∂xx
0
16


Để T C(λ), x dễ xử lí hơn ta đưa vào điều kiện của ∇fi , i =
1, . . . , m và ∇hj , j = 1, . . . , q . Cụ thể ta có




∇f
(x),
d
=
0
∀i
mà
λ
>
0,
i
i



T C(λ), x ⊆ d ∇fi (x), d ≤ 0 ∀i mà λi = 0 và fi (x) = 0




∇hj (x), d = 0 ∀j ∈ {1, . . . , q}
Dấu bằng xảy ra khi LICQ(x).
Nhận xét 2.1. Sự khác nhau giữa Định lí 2.6 và Định lý 2.8
không phải chỉ trong việc sử dụng đạo hàm suy rộng mà còn ở chỗ
trong Định lí 2.8 sử dụng tập C(λ), còn trong Định lí 2.6 sử dụng
hướng tới hạn d. Từ sau Chú ý 2.1, ta thấy việc sử dụng hướng
tới hạn có vẻ là dễ xử lí hơn là tập hợp C(λ).

2.3 Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp
2.
Định lý 2.9 (Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2, [4]). Cho X ⊂ Rn
là một tập lồi mở và x là một điểm chấp nhận được. Giả sử mỗi
hàm fi i ∈ {0} ∪ I(x) thuộc lớp C 1,1 (X) và khả vi cấp 2 theo
hướng. Nếu với mỗi hướng tới hạn d ∈ Rn \ {0} tồn tại các nhân tử
Lagrange λi ≥ 0, i = 0, 1, 2, . . . , m, với λ = (λ0 , λ1 , . . . , λm ) = 0
sao cho
m

λi ∇fi (x) = 0,

(2.24)

i=0

λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,

L (x, d) ≥ 0

(2.25)
(2.26)

m

ở đây L(x) =

λi fi (x) là hàm Lgrange, thì x là một cực tiểu
i=0

địa phương cô lập cấp 2 của bài toán (P ).
Định lý 2.10 (Điều kiện đủ cơ bản cấp 2, [4]). Cho X ⊂ Rn là
một tập lồi mở, và x là một điểm chấp nhận được. Giả sử rằng
17


fi i ∈ {0} ∪ I(x) thuộc lớp C 1,1 (X) và khả vi cấp 2 theo hướng.
Nếu mỗi hướng tới hạn d ∈ Rn \{0} không có z ∈ Rn thỏa mãn
∇fi (x), z + fi (x, d) ≤ 0, ∀i ∈ I0 (x, d),

(2.33)

thì x là một điểm cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của bài toán
(P ).
Ví dụ 2.4. Xét bài toán
f0 = max 0, x2 − 2 3 x41
f1 = −x1 ≤ 0

3
2

+ max 0,

3

x41 − x2

3
2

→ min

Xét x = (0, 0). Ví dụ này cho thấy Định lý 2.9 không đúng nếu
các hàm chỉ khả vi liên tục nhưng không C 1,1 .
Mệnh đề 2.1 ([2] Theorem 3.2). Giả sử f ∈ C 1,1 (Rn ), ∇f (x) =
0 và f (x, d) > 0 với mọi d ∈ Rn \ {0}. Thì x là một cực tiểu địa
phương chặt của hàm f .
• Một câu hỏi đặt ra là trong Mệnh đề 2.1 ta có thể thay thế điều
kiện f ∈ C 1,1 (Rn ) bằng điều kiện f ∈ C 1 (Rn ) được không? Câu
trả lời là không. Thật vậy, xét hàm f = f0 như trong Ví dụ 2.4.
Ta có hàm f ∈ C 1 (R2 ), f ∈
/ C 1,1 (R2 ) và f thõa mãn các điều kiện
còn lại của Mệnh đề 2.1 tại x = (0, 0), cụ thể là
∇f (x) = 0; f (x, d) > 0, ∀d ∈ Rn \ {0}

nhưng x = (0, 0) không phải là một cực tiểu địa phương chặt.

2.4 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol.

2.4.1 Cực tiểu địa phương parabol.

Rõ ràng, nếu x là cực tiểu địa phương thì x là cực tiểu địa phương
parabol.
Vì mỗi cực tiểu địa phương là một cực tiểu địa phương parabol
nên điều kiện cần của Định lí 2.5, 2.6 cũng là điều kiện cần cho
cực tiểu địa phương parabol. Mặt khác mỗi cực tiểu toàn cục là
một cực tiểu địa phương nên điều kiện đủ của Định lí 2.1 cũng là
điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương parabol.
18


2.4.2 Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2.

Điều kiện đủ trong Định lý 2.11 và 2.12 tiếp theo ta sử dụng giả
thiết rằng hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là khả vi liên tục nhưng
gradients không Lipschitz địa phương.
Định lý 2.11. [4] Cho X ⊂ Rn là tập mở và x là một điểm chấp
nhận được. Giả sử rằng fi i ∈ {0} ∪ I(x) thuộc lớp C 1 (X), và
khả vi cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng d. Nếu với mỗi hướng
tới hạn d ∈ Rn không tồn tại z ∈ Rn sao cho (d, z) = (0, 0) và
∇fi (x), z + fi (x, d) ≤ 0, i ∈ I0 (x, d)

(2.38)

thì x là một cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2 của bài toán
(P ).
Định lý 2.12. [4] Cho X ⊂ Rn là tập mở và x là một điểm chấp
nhận được. Giả sử rằng fi i ∈ {0}∪I(x) thuộc lớp C 1 (X) và khả
vi cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng d. Nếu với mỗi hướng

tới hạn d ∈ Rn \ {0} tồn tại λ = (λ0 , λ1 , . . . , λm ), λi ≥ 0, i =
0, 1, . . . m, λ = 0 sao cho thỏa mãn
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
m

λi ∇fi (x) = 0,
i=0

L (x, d) > 0,
λi ∇fi (x), d = 0, i ∈ {0} ∪ I(x)

(2.42)

m

λi ∇fi (x) là hàm Lgrange, thì x là một cực

trong đó L(x) =
i=0

tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2 của bài toán (P ).
Chú ý 2.2. Điều kiện (2.42) không phải là một trong những giả
thuyết của Định lý 2.9, nhưng nó xuất hiện trong Định lý 2.6. Thật
ra, nó là một phần ẩn trong Định lý 2.10.

19


Chương 3.

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG
BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP
LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG.
Trong chương này ta xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng
thức và ràng buộc tập sau

f0 (x) → min
(P ) : x ∈ X

fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m.
trong đó X là tập mở trong không gian Banach E và fi : X →
R, i = 1, 2, . . . m là các hàm thực xác định trên X , và Lipschitz
địa phương. Nếu không nói gì thêm, trong chương này ta luôn giả
sử rằng không gian Banach E là vô hạn chiều.
Tập chấp nhận được là S = x ∈ X fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m .
Định nghĩa 3.1. Xét bài toán (P ) với fi , i = 0, 1, . . . , m, Lipschitz gần x ∈ S . Một hướng d được gọi là tới hạn tại điểm x
nếu
(fi )0 (x, d) ≤ 0, ∀i ∈ {0} ∪ I(x).
Với mỗi x ∈ S và mỗi hướng tới hạn d ta đặt
J(x, d) = i ∈ {0} ∪ I(x) (fi )0 (x, d) = 0 .


3.1 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương.
Định lý 3.1 (Điều kiện cần cơ bản cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E là
tập mở, x là cực tiểu địa phương của bài toán (P ). Giả sử rằng
các hàm fi i ∈ {0} ∪ I(x) là Lipschitz địa phương; các hàm
fi i ∈ I(x) là khả vi Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi
hướng tới hạn; các hàm fi i ∈

/ I(x) là liên tục tại x. Khi đó với
mọi hướng tới hạn d ∈ E không tồn tại z ∈ E là nghiệm của hệ
(f0 )0 (x, z) + (f0 )H− (x, d) < 0
(fi )0 (x, z) + (fi )H (x, d) < 0

nếu 0 ∈ J(x, d)
nếu i ∈ J(x, d)\{0}.

(3.1)

Định lý 3.2 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E
là tập mở và x ∈ S là một cực tiểu địa phương của bài toán (P ).
Giả sử rằng các hàm fi i ∈ {0} ∪ I(x) là Lipschitz địa phương,
chính quy và khả vi Gâteaux tại x; các hàm fi (i ∈ I(x)) khả vi
Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới hạn; các
hàm fi i ∈
/ I(x) liên tục tại x. Khi đó với mỗi hướng tới hạn d
mà
(f0 )H− (x, d) < +∞ nếu 0 ∈ J(x, d)
(fi )H (x, d) < +∞ nếu i ∈ J(x, d)\{0}

thì tồn tại các nhân tử Lagrange không âm λ0 , λ1 , . . . , λm , không
đồng thời bằng 0 sao cho
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
λi ∇G fi (x) = 0,

(3.2)
(3.3)

i∈{0}∪I(x)

λi ∇G fi (x), d = 0, i ∈ {0} ∪ I(x),
λi (fi )H (x, d) ≥ 0

λ0 (f0 )H− (x, d) +
i∈I(x)

21

(3.4)
(3.5)


3.2 Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục.
Định lý 3.3 (Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục, [12]). Cho
X ⊂ E là tập lồi mở, x là điểm chấp nhận được. Giả sử rằng các
hàm fi , i ∈ {0}∪I(x) là Lipschitz địa phương, chính quy và khả vi
Gateaux tại x; hàm f0 là giả lồi cấp 2 tại x; các hàm fi , i ∈ I(x)
tựa lồi tại x và khả vi Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi
hướng tới hạn d = 0. Nếu với mỗi hướng tới hạn d = 0 tồn tại các
nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 . . . , λm , sao cho
λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇G f0 (x) +

λi ∇G fi (x) = 0,
i∈I(x)

λi (fi )H (x, d) ≥ 0

(f0 )H− (x, d) +

i∈I(x)

thì x là một cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).

3.3 Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Định lý 3.4 (Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2, [12]). Cho E là một
không gian hữu hạn chiều, X ⊂ E là một tập mở và x là điểm
chấp nhận được. Giả sử các hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) là Lipschitz địa
phương, chính quy và khả vi Gâteaux tại x; các hàm fi , i ∈ I(x)
là khả vi Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới
hạn d = 0. Nếu với mỗi hướng tới hạn d = 0 tồn tại các nhân tử
Lagrange không âm λi , i = 0, 1, . . . , m không đồng thời bằng 0 sao
cho
λi ∇G fi (x) = 0,

(3.11)

i∈{0}∪I(x)

λi fi (x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
λi (fi )H (x, d) ≥ 0

λ0 (f0 )H− (x, d) +

(3.12)
(3.13)

i∈I(x)

thì x là một cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của bài toán (P ).

22


Ví dụ 3.1. Xét bài toán sau
f0 (x) −→ min
f1 (x) ≤ 0

trong đó hàm f0 : R → R và f1 : R → R được định nghĩa như sau
f0 (x) =

x2
−x2

nếu x ≤ 0
; f1 (x) =
nếu x > 0

x nếu x ≤ 0
0 nếu x > 0

Xét x = 0. Ví dụ cho thấy rằng giả thiết fi , i ∈ {0} ∪ I(x) chính
quy và khả vi Gâteaux là rất cần thiết trong Định lý 3.3 và Định
lý 3.4.
Định lý 3.5 (Điều kiện đủ cơ bản cấp 2, [12]). Cho X là một
tập mở không gian hữu hạn chiều E và x là một điểm chấp nhận
được. Giả sử các hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) là Lipschitz địa phương,
chính quy và khả vi Gâteaux tại x; các hàm fi , i ∈ I(x) là khả vi
Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới hạn d = 0.
Nếu với mọi hướng tới hạn d = 0 mà
(f0 )H− (x, d) < +∞ nếu 0 ∈ J(x, d)

(fi )H (x, d) < +∞ nếu i ∈ J(x, d)\{0}

không tồn tại z ∈ E là nghiệm của hệ
(f0 )0 (x, z) + (f0 )H− (x, d) < 0, nếu 0 ∈ J(x, d)
(fi )0 (x, z) + (fi )H (x, d) < 0, nếu i ∈ J(x, d)\{0}.

thì x là một cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của bài toán (P ).
Định lý 3.6 (Điều kiện cần cơ bản cấp 2, [12]). Cho X ⊂ E là
tập mở, x là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của bài toán (P ).
Giả sử rằng các hàm fi , i ∈ {0} ∪ I(x) là Lipschitz địa phương,
chính quy và khả vi Gâteaux tại x; các hàm fi , i ∈ I(x) là khả
vi Hardamard cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới hạn; các
hàm fi , i ∈
/ I(x) liên tục tại x. Khi đó với mọi hướng tới hạn
d ∈ E không tồn tại z ∈ E là nghiệm của hệ
(f0 )0 (x, z) + (f0 )H− (x, d) ≤ 0
(fi )0 (x, z) + (fi )H (x, d) < 0

23

nếu 0 ∈ J(x, d)
nếu i ∈ J(x, d)\{0}.

(3.21)