UD Tam thuc B2 vao tam gia

Lời nói đầu
Các bài toán về tam giac lượng được đề cập nhiều trong các sách tham
khảo và SGK với đa dạng các nội dung và thể loại khác nhau. Trong các kỳ thi
tuyển sinh vào Đại học và thi học sinh giỏi, thường xuyên xuất hiện những loại
bài tập về tam giác lượng. Khi đứng trước những bài toán đó không ít học sinh đã
lúng túng và gặp khó khăn trong việc định hướng và giải bài toán. Trong quá
trình giảng dạy và nghiên cứu ở bậc trung học phổ thông và với cách ra đề thi
tuyến sinh ĐH trong những năm gần đây tôi muốn đưa ra một kỹ thuật giải các
bài toán tam giác lượng bằng cách dựa vào tam thức bậc 2, cùng với kỹ thuật đó
là một số kỹ thụât đánh giá khác được thể hiện trong đề tài\. Hi vọng rằng với đề
tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh có kỹ năng chuẩn bị thi vào các trường
ĐH & C Đ.
1
1) Các ký hiệu thông thường sử dụng thường xuyên trong đề tài.
A,B,C: số đo các góc của
∆
ABC hay các đỉnh của
∆
ABC
a,b,c: độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C.
h
a
, h
b
,h
c
: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
m
a
, m
b

,m
c
: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
r : bán kính đường tròn nội tiếp
∆
ABC.
S: diện tích tam
∆
ABC.
p: nửa chu vi
∆
ABC.
2) Một số đẳng thức cơ bản được sử dụng trong đề tài.
i) sin
2
BA
+
= cos
2
C
; sin
2
CB
+
= cos
2
A
; sin
2

AC
+
= cos
2
B
.
ii) cos
2
BA
+
=sin
2
C
;cos
2
CB
+
=sin
2
A
; cos
2
AC
+
=sin
2
B
.
iii) tg
2

BA
+
=cotg
2
C
;tg
2
CB
+
=cotg
2
A
; tg
2
AC
+
=cotg
2
B
.
iv) sin(A-B)=sinC; sin(B-C)=sinA; sin(C-A)=sinB.
v) cos(A-B)=-cosC; cos(B-C)=-cosA; cos(C-A)=-cosB.
vi) tg(A-B)=-tgC; tg(B-C)=-tgA; tg(C-A)=-tgB.
3) Sử dụng tam thức bậc hai để giải một số bài toán tam giác lượng.
Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
CosA+CosB+CosC
2
3
≤
.

Chứng minh:
Ta có: CosA+CosB+CosC= cosA+2cos
2
BA
+
cos
2
BA
−
≤
1-2sin
2
2
A
+2sin
2
A
(do cos
2
BA
−
≤
1)
2
=-2(sin
2
2
A
- sin
2

A
+
4
1
) +
2
3
=-2(sin
2
A
-
2
1
)
2
≤
2
3
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2
1
2
ABC
A
Sin
CB
∆⇔






=
=
đều.
Nhận xét: Trong bài toán trên ta sử dụng hai kỹ thuật đó là: Đánh giá cos
2
BA
−
≤
1 và sử dụng tam thức bậc hai, ta sử dụng hai cách đánh giá này đẻ giải
tiếp một số bài toán sau.
Bài 2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
sin
2
A
+sin
2
B
+sin
2
C
≤
2
3
.
Chứng minh:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

sin
2
A
+2sin
4
BA
+
cos
4
BA
−
≤
2
3

⇔
cos
2
BA
+
+2sin
4
BA
+
cos
4
BA
−
≤
2

3

⇔
1-2Sin
2
4
BA
+
+2sin
4
BA
+
cos
4
BA
−
≤
2
3

⇔
2Sin
2
4
BA
+
-2sin
4
BA
+

cos
4
BA
−
+
2
1
≥
0. (*)
Vì cos
2
BA
−
≤
1 nên ta có:
VT
≥
2Sin
2
4
BA
+
-2sin
4
BA
+
+
2
1
=2(Sin

4
BA
+
-
2
1
)
2
≥
0.(đpcm)
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2
1
4
ABC
BA
Sin
CB
∆⇔





=
+
=
đều.

Bài 3: T ìm các góc của tam giác ABC biết:
CosA +Cos(B -
2
C
) + Cos
2
3C
=
2
3
(1)
Gi¶i :
VT (1) = CosA+ 2Cos
2
CB
+
.Cos
2
2CB
−

≤
CosA + 2sin
2
A
= 1 - 2Sin
2
2
A
+ 2Sin

2
A
= -2( Sin
2
2
A
- Sin
2
A
+
4
1
) +
2
3

=-2(Sin
2
A
-
2
1
) +
2
3
≤

2
3
⇒

VT (1)
≤

2
3
(1) X¶y ra
⇔





=
=
2
1
2
2
A
SIn
AB

⇒






=

=
=
0
0
0
40
80
60
C
B
A
Bài 4: Tìm các góc của tam giác ABC biết:
Sin
2
A
.Sin (
42
CB
−
).Sin
4
3C
=
8
1
( 1)
Giải:
Vt (1) =
2
1

Sin
2
A
.






+
−
−
)
2
()
2
2
(
CB
Cos
CB
Cos
=
2
1
Sin
2
A
.Cos

2
2CB
−
-
2
1
Sin
2
A
.Cos
2
CB
+
4
=
2
1
Sin
2
A
.Cos
2
2CB

-
2
1
Sin
2
2

A
(*)



2
1
Sin
2
A
-
2
1
Sin
2
2
A
= -
2
1







+
4
1

22
Sin
2
A
Sin
A
+
8
1



8
1
(2*)

VT

8
1
(1) Xảy ra





=
=
=

=
=

ô
40
80
60
2
2
1
2
A
B
A
CB
A
Sin
o
o

Dựa vào cách đánh giá cos
2
BA

1 hoặc Cos(A-B)

1 ta có thể giải đợc
các bài tập tơng tự sau.
Bài 5 Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú:
2
1
2
1
2
1111
C
Sin
B
Sin
A
Sin
CosCCosBCosA
++++
Chứng minh:
Để ý rằng vai trò của A, B, C trong bài toán nh nhau, trong trờng hợp đó
đẳng thức xảy ra thờng là tam giác đều. Khi đó trong quá trình giải sẽ xuất hiện
đánh giả để đẳng thức xảy ra khi A=B, B=C. Từ đó ta đa ra cách giảI nh sau.
Ta chứng minh:
2
211
C
Sin
CosBCosA
+

Thật vậy
22
2411
BA
Cos
BA
Cos
CosBCosACosBCosA
+
=
+
+

2
2
C
Sin

Tơng tự ta có:
2
211
A
Sin
CosCCosB
+
5