skkn rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian

BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác: ....................................................... 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2016 - 2017

SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THANH HÃN
2. Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 08 – 1976
3. Nam, nữ: NAM
4. Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại:
6. Fax:

(CQ)/

(NR); ĐTDĐ: 0919302101

E-mail:

7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc
chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp
10C1, 12A2, 12A10; Chủ nhiệm lớp 12A10.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng: 2000
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán.
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 02

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 2


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Trong chương trình Toán học THPT, môn hình học không gian là một nội dung
quan trọng ở hai năm học cuối cấp. Trong đó, các bài toán tính khoảng cách là
một nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị.
Có thể nói, “Kỹ năng tính khoảng cách trong không gian” là đỉnh cao của môn
hình học không gian , vì để giải quyết tốt các bài toán tính khoảng cách trong
không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức hình học, phải biết
phân tích và có tư duy ở mức độ cao; biết cách nhận xét mối quan hệ của các đối
tượng: “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” để từ đó đề xuất cách giải phù hợp.
- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT ở môn hình học không gian, các em học
sinh được tiếp cận với các bài tính khoảng cách ở một vài ví dụ cơ bản đơn giản,
thiếu hệ thống và tính liên hệ. Nhưng trong thực tế, các bài toán tính khoảng cách
xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng gây không ít
khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp
để giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, thậm chí còn mắc một
số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài

toán tính khoảng cách được trình bày ở cuối chương III (cuối học kỳ II) rất là ít và
hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa
ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm. Hơn nữa, do số tiết phân phối chương
trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên
không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải
cho học sinh mặc dù cách giải nào cũng có chung một mục đích là chuyển về bài
toán tính “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 11, 12 qua nhận
xét và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về vận
dụng kiến thức; nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng kiến thức vào từng
dạng toán cụ thể.Vì vậy, trong các giờ dạy, việc củng cố kiến thức và bồi dưỡng
năng lực tư duy cho học sinh thông qua các bài toán là một điều cần thiết. Khi đó
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 3


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt và kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt
học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại bài tập để học sinh vận dụng có hiệu quả.
- Tôi viết chuyên đề này với mục đích “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong
không gian”, một câu hỏi thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao
đẳng trong những năm gần đây, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự ôn
tập để nâng cao kiến thức và đạt mức điểm 7 trong đề thi Đại học - Cao đẳng.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh được những thiếu sót,
rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các em học sinh. Chúc các em học tập
thật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới; Chúc quý thầy cô hạnh phúc và
thành công trong sự nghiệp trồng người.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 4


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và
hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí,
đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông. Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó
với kiến thức rộng, đa phần các em học sinh gặp khó khăn ở môn học này.
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán
học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết
vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật
tri thức. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay đổi
nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong năm học
2016 - 2017 thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn. Đối với hình thức
thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên
tục rèn luyện thì mới đạt được những kết quả cao.
Xét ví dụ sau:
Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2006)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1C và MN.
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp

Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)
Do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)).
1
Gọi H = AB1 ∩ A1B và K là trung điểm của BH thì MK // AH và MK = AH.
2
Do AB1 ⊥ A1B nên MK ⊥ A1B.
Do CB ⊥ (BAA1B1) nên CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ (A1BC).
1
1
a 2
Vậy d(MN, A1C) = d(M, (A1BC)) = MK = AH = AB1 =
2
4
4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 5


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách giải 2: Phương pháp toạ độ trong không gian
Xét hệ trục toạ độ Oxyz với :
z
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a 0), D(0; a; 0)
A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a) D1(0; a; a)
B
uuur
a
1
⇒ M( ; 0; 0) và A1C = (a; a; – a) cùng phương

H
r2
uuur
với u = (1; 1; –1) ; BC = (0; a; 0) cùng phương với
r
K
v = (0; 1; 0). Khi đó VTPT của mặt phẳng (A1BC)
r r r
là n =  u, v  = (1; 0; 1) .
x
B
Phương trình tổng quát mặt phẳng (A1BC): x + z – a = 0.
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)

D
1

A
1
C
1

yD

A

N

M
C

a 2
4
Cách giải 3: Áp dụng công thức đổi khoảng cách và tính thể tích của khối đa diện
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)
Do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)).
do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) =

Mặt khác AM ∩ (A1BC) =B nên
Mà VA1 ABC

d ( M, ( A1BC ) )
d ( A, ( A1BC ) )

=

MB 1
1
= ⇒ d ( M, ( A1BC ) ) = d ( A, ( A1BC ) )
AB 2
2

1
a3
1
a2 2
và S ∆A BC = A1 B.BC =
= VABCD. A1B1C1D1 =
2
2

6
6
1

Vậy d(M, (A1BC)) =

1
1 3VA ABC a 2
d ( A, ( A1 BC ) ) = . 1
=
.
2
2 S ∆A1BC
4

Qua ví dụ minh họa ta thấy, nếu học sinh được hướng dẫn và phân tích cụ
thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay các em có thể nhanh chóng cho đáp số
chính xác. Điều này cần thiết cho các bài thi bằng trắc nghiệm khách quan.
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT
vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán “Tính khoảng cách
trong không gian”.
Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 3 kỹ năng tính khoảng cách thường
hay sử dụng trong chương trình toán THPT:
•

Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp hình học tổng hợp,

đồng thời kết hợp sử dụng công thức tính thể tích khối đa diện.
•

Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp toạ độ trong không gian.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 6


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Đưa ra một số ví dụ có phân tích lời giải cho học sinh tham khảo và bài tâp
áp dụng.
Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại
học. Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì
mới đạt kết quả tốt.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
A. TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TỔNG
HỢP VÀ KẾT HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tóm tắt lý thuyết:
1. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. sinα =

AB
(ĐỐI chia HUYỀN)
BC

2. cosα =

AC
(KỀ chia HUYỀN)
BC

AB
(ĐỐI chia KỀ)
AC
AC
4. cotα =
(KỀ chia ĐỐI)
AB
2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
3. tanα =

1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) =>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC
4. AB.AC = BC.AH

3. AH2 = BH.CH
5.

1
1
1
=
+
AH 2 AB2 AC 2

3. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
2. b2 = a2 + c2 – 2accosB
3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC

a
b
c
=
=
= 2R
sinA sinB sinC
5. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (MN // BC)
4. ĐỊNH LÍ SIN

1.

AM AN MN
=
=
;
AB
AC
BC

2.

AM
AN
=
MB
NC

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 7

SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
1
1
abc
S = ah ; S = ab sin C ; S =
; S = pr (r: bán kính đường tròn nội
4R
2
2
tiếp tam giác; p =

a + b +c
); S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông)
2

2. Tam giác đều cạnh a:

a2 3
a 3
;
b) S =
2
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.
a) Đường cao: h =

3. Tam giác vuông:

a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2

b) Tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
S=

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

Cạnh huyền bằng a

2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
a 3
c) AC =
2

b) BC = 2AB

a2 3

d) S =
8

6. Tam giác cân:
a)

1
S = ah (h:
2

đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình Thang:

S=S=

8. Hình bình hành:

1
h(d1 + d2 ) (h: đường cao; d1, d2 là 2 cạnh đáy)
2

S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

9. Hình chữ nhật:

S = ab (a, b là các kích thước)

10. Hình thoi:

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2

S=

11. Hình vuôngcạnh a:

a) S = a2

b) Đường chéo bằng a 2

12. Đường tròn: a) Chu vi = 2 π R (R: bán kính đường tròn)

b) S = π R2

7. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 8


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a) Giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm.
b) Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng

2
độ dài trung tuyến.

3

2. Đường cao: Giao điểm của ba đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác.
4. Đường phân giác: Giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác.
8. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. HìnhChóp: Thông qua việc xác định chiều cao của hình chóp, ta có thể tạm
phân thành 4 dạng hình chóp (không xét hình chóp cụt) như sau:
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai mặt bên cắt
nhau và cùng vuông góc với đáy.
- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
- Hình chóp có đều.
- Hình chóp có thường(chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
Chú ý:
Hình chóp đều: Hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với
tâm của đáy.
Tính chất: Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy các góc bằng nhau; Các
mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.
Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
2. Hình lăng trụ: Thông qua việc xác định chiều cao của hình lăng trụ , ta có
thể tạm phân thành 2 dạng hình lăng trụ như sau:
- Hình lăng trụ đứng (chiều cao chính là cạnh bên của lăng trụ).
- Hình lăng trụ xiên (chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
Chú ý:
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành⇒Hình hộp đứng là hình lăng
trụ đứng có đáy là hình bình hành.
3. Chứng minh sự vuông góc:

 Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
(α) Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:
+ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong (α).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 9


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ Cách 2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (β) và (γ )
sao cho cả (β) và (γ ) đều vuông góc với (α)
+ Cách 3: Chứng minh a song song với b và b vuông góc với (α).
+ Cách 4: Chứng minh 2 mặt phẳng (β) và (α) vuông góc với nhau theo giao
tuyến d và a nằm trong (β) và vuông góc với d.
Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với đt b :
Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:
+ Cách 1: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b.



+ Cách 2: Đường thẳng a song song với đường thẳng c và c vuông góc với b.
 Bài toán có yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với
nhau
Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:
+ Cách 1: Tìm trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia.
+ Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phảng đó bằng 900. thực hiện như sau:
• B1: Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng.
• B2: Trên ∆ xác định điểm I thuận lợi nhất, rồi từ I kẻ các đường thẳng

a trong (α) và b trong (β) sao cho a và b vuông góc với ∆ .
• B3: Chứng minh a và b vuông góc với nhau.
4. Khoảng cách: Từ vị trí tương đối của ba đối tượng trong không gian là điểm,
đường thẳng, mặt phẳng ta có 5 bài toán tính khoảng cách sau:
• Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : Khoảng cách từ một
điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
trên ∆. kí hiệu d(M, ∆) = MH (MH ⊥ ∆ và H ∈ ∆).
• Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) : Khoảng cách từ một
điểm M đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
trên mặt phẳng (α). kí hiệu d(M, (α)) = MH (MH ⊥ (α) và H ∈ (α)).
Để xác định hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (α ) : Ta thực hiện :
B1: Xác định mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (α) theo giao tuyến d.
B2: Trong mặt phẳng (P) kẻ MH vuông góc với d (H thuộc d) thì MH ⊥ (α) .
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) bằng MH.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 10


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý: Khi việc xác định hình chiếu H phức tạp, do đó việc tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (α) quá khó thì ta có thể đổi cách tính khoảng cách:
- Đổi điểm song song: Xác định đường thẳng ∆ đi qua M và song song với (α);
với A là một điểm thuộc ∆ và A khác M, khi đó d(M, (α)) = d(A, (α))
- Đổi điểm cắt nhau: Cho đoạn thẳng MA cắt mặt phẳng (α) tại B, khi đó :

(
) = MB
d ( A,(α ) )
AB

d M,(α )

• Bài toán 3: Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song :
Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song bằng khoảng cách
từ điểm M tùy ý trên đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α).
• Bài toán 4: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song :
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm M tùy ý
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
• Bài toán 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau: Kí hiệu d(a, b)
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau:
 Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
 Bằng khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng song song với nó
chứa đường thẳng b.
 Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b.
Chú ý :Cách xác định đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng a, b chéo và
vuông góc với nhau.
5. Góc:
a) Góc ϕ (00 ≤ ϕ ≤ 900) giữa
hai đường thẳng a, b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’ ,b’ cắt nhau và lần lượt song song với hai đường
thẳng a, b.
b) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó
với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Thực hành: Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm hai đường thẳng
trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. khi đó góc
giữa hai đường thẳng là góc cần tìm (chú ý định lí ba đường vuông góc).
9. KHỐI ĐA DIỆN:

1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp: V =

1
Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 11


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Tỉ số thể tích của khối chóp: Khối chóp tam giác SABC có A/, B/, C/ thuộc
V
S.A′B′C′ = SA′ . SB′ . SC′
các cạnh SA, SB, SC. Khi đó:
.
V
SA SB SC
S.ABC
B. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
Tóm tắt lý thuyết

Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục x 'Ox, y 'Oy , z 'Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng
rr r
với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là i, j , k .
• O: gốc tọa độ

• x ' Ox : trục hoành
• y ' Oy : trục tung
• z ' Oz : trục cao

2. Tọa độ của vectơ trong không gian
r
r
r
r
r
2.1. Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
r
r
Với định nghĩa trên, ta có: 0 = (0;0;0) , i = ( 1;0;0 ) ,
r
r
j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1)
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian

r
r
Cho a = ( x1; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z 2 ) và số thực k
r r
a) a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )

 x1 = x2
r r

c) a = b ⇔  y1 = y2
z = z

 1 2

r
b) ka = ( kx1; ky1; kz1 )

 x1 = tx2
r r
r
r

d) a cùng phương b ⇔ ∃t ∈ ¡ : a = tb ⇔:  y1 = ty2
 z = tz
2
 1

⇔

x1 y1 z1
=
= (với điều kiện: x2 y2 z2 ≠ 0 )
x2 y2 z2

rr r r
r r
a
.
b
=
a
b

cos
a
,b
e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa:

( )

r
rr
2
2
2
Biểu thức tọa độ: a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Hệ quả: a = x1 + y1 + z1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 12


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

r r
cos a, b =

( )

x1 x2 + y1 y2 + z1z2

x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22

(

r r r
a, b ≠ 0

)

r r
a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
f) Tích có hướng của hai vectơ:

r r
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a, b là một vectơ được kí hiệu và xác
r r
r r  x2


a
,
b
=
a
∧b =
định như sau:  
 y2

x3 x3
;
y3 y3

x1 x1
;

y1 y1

x2 
÷
y2 

Tính chất:
r r
r r
r r
r r
r
r r
r
r r
r r
 a, b  ⊥ a và  a, b  ⊥ b ;  a, b  = − b, a  ;  a, b  = a b .sin a, b
 
 
 
   
r r
r
r r r
r rr
r
r





⇔
a
,
b
=
0
⇔
a
;
a, b, c đồng phẳng
a và b cùng phương
 
 , b  .c = 0

( )

r uuur
1 uuu
 AB, AC 

2
uuu
r uuur uuur

V
=
AB
Thể tích khối hộp: ABCD. A ' B ' C ' D '  , AD  . AA '

Ứng dụng: Diện tích tam giác: S∆ABC =

Thể tích khối tứ diện: VABCD

1
=
6

uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD



3. Tọa độ của điểm trong không gian
uuuu
r
3.1. Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z )
Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 )
M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 )

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 )

M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z )

M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )

3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC )
uuu
r
AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )
AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A )
2

2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 13


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 x + xB y A + y B z A + z B 
;
;
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A
÷
2
2

2 

x +x +x y +y +y z +z +z 
Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC: G  A B C ; A B C ; A B C ÷
3
3
3


Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r
- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của
r
n vuông góc với ( α ) .
r r
r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trên mặt phẳng ( α ) thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r r
( α ) là n =  a, b  .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 > 0
r
n
Trong đó, = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
r

- Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp
tuyến có phương trình là:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Chú ý: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm

( a; 0; 0) ,( 0;b; 0) ,C ( 0; 0;c ) (abc ≠ 0) ) là: x + y + z = 1
a

b

c

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r
r
- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của
r
u song song với ∆ hoặc chứa trong ∆ .
r r
r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với
r
r r


u
=
a
∆ thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là

 , b .
2. Phương trình của đường thẳng.
a) Phương trình tham số của đường thẳng:

r

- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) ,
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 14


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x = x0 + at
1

có phương trình tham số là : y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


(t ∈ R), (a12 + a22 + a32 ≠ 0)

Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm
M thuộc đường thẳng.
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường
thẳng ∆ là:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
(a1.a2 .a3 ≠ 0)
a1
a2
a3

Phần4 : KHOẢNG CÁCH
1.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M 0 ,(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 +C 2

2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có vectơ
uuuuu
r r

MM
,a
r
0

chỉ phương a
d( M ; ∆ ) =
r
a
3. Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau .

r
∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 )
r
∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 )

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bằng công thức sau:
r r uuuuur
 a , b .M1 M2
d( ∆1 ; ∆2 ) =
r r
 a , b
Giải bài toán bằng hình học không gian bằng phương pháp tọa độ:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ Đê –
các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:
Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa
độ các điểm cần thiết.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 15


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằng
cách:
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm quỹ tích…
C. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt
phẳng (AMN).
Giải.
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của S lên
mặt phẳng (AMN), việc xác định là không
khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S
đến hình chiếu thì gặp khó khăn. Do đó ta
không thực hiện tính trực tiếp từ S mà
thực hiện chuyển đổi khoảng cách để việc
tính toán thuận lợi hơn. Ta thực hiện tính
từ điểm O. Tuy vậy, việc xác định hình
chiếu của O lên mặt phẳng (AMN) là đơn
giản nhưng khi tính khoảng cách từ O đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng
(AMN) cũng không đơn giản, do đó ta chuyển đến việc tính khoảng từ trung điểm
E của AO đến mặt phẳng (AMN).
Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểm của SO.
Vậy

d ( S, ( AMN ) )

d ( O, ( AMN ) )

=

SI
= 1 ⇒ d ( S, ( AMN ) ) = d ( O, ( AMN ) )
OI

Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE ⊥ (ABCD).
Kẻ EF ⊥ AI (F ∈ AI) và do MN ⊥ (SAC) nên MN ⊥ EF
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 16


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vậy EF ⊥ (AMN) và d(E, (AMN)) = EF =
Mà

d ( O, ( AMN ) )
d ( E, ( AMN ) )

=

a 21
14

OA
a 21
= 2 ⇒ d ( O, ( AMN ) ) = 2d ( E, ( AMN ) ) =
EA
7

Cách giải 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích

1
1

1
a 2
Từ giả thiết ta tìm được AM = AN = SB = SD = a; SA = a 3 ; MN = BD =
2
2
2
2
Trong tam giác SAO ta có SO = a

7
1
a 14
; AI = SO =
2
4
2

Diện tích của tam giác AMN là SAMN =

1
a 7
AI.MN =
2
8

1
a3 3
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SA.SABCD =
3
3

Thể tích khối chóp S.AMN là VS.AMN =
Do đó d(S, (AMN)) =

1
1
a3 3
VS.ABD = VS.ABCD =
4
8
24

3VS.AMN a 21
=
.
S∆AMN
7

Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0),
 a a 3 a a 3
D(a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; a 3 ), M  0; ;
÷, N  ;0;
÷.
2
2
2 

 2
Ta có phương trình mặt phẳng (AMN):

3 x + 3 y – z = 0.

a 3 a 21
=
.
7
7
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a,
Do đó d(S, (AMN)) =

a 5
. Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là
2
trung điểm H của BC. Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB).
Giải
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng

SA =

(SAB), việc xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi
qua I và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên nếu
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 17


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ta chú ý đến giải thiết của bài toán thì dễ thấy IH // (SAB)

do đó thay vì tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB)
ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).
Ta có IH // SB và IH ⊄ (SAB) do đó IH // (SAB).
Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB))
Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ AB) thì AB ⊥ (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) ⊥ (SHM) và
(SAB) ∩ (SHM) = SM.
Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK ⊥ SM (K∈SM) thì HK ⊥ (SAB). Khi đó K là
hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H, (SAB)) = HK
1
a 2
a 3
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = BC =
, SH =
2
2
2
a
Tam giác AHB vuông cân tại H suy ra HM = .
2
a 3
.
4
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Ta có IH // SB và IH ⊄ (SAB) do đó IH // (SAB).
Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB))
1
a 2
a 3
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = BC =
, SH =

2
2
2
Trong tam giác SHM ta tính được HK =

Do đó VS.AHB =

1
1
1
1
a3 3
SH. S∆AHB =
và S∆SAB = SM. AB = a. a = a2
3
2
2
2
24

3VS.AHB
a 3
=
.
S∆SAB
4
Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0),
Vậy d(H, (SAB)) =

 a a a 3   a 3a a 3 
B(a; 0; 0), C(0; a; 0), S  ; ;
÷, I  ; ;
÷.
2
2
2
4
4
4

 

Ta có phương trình mặt phẳng (SAB):

3 y – z = 0.

a 3
.
4
Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a 2 , góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 600. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB, SC.
Do đó d(I, (SAB)) =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 18


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta thấy AB và SC là hai đường thẳng chéo
nhau nên khoảng cách giữa AB và SC bằng độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc
xác định đoạn vuông góc chung của AB và SC là
không đơn giản, do đó ta thực hiện đi tính
khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD)
song song với nó và chứa đường thẳng SC. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ
một điểm tùy ý trên AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn là điểm A. Lúc này ta cần
xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD), nhưng việc làm này gặp phức tạp
vì phải chọn mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD). Do đó ta thực hiện đổi
khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
Gọi M là trung điểm CD, thì (SOM) ⊥(SCD) và (SOM) ∩ (SCD) = SM.
Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ⊥ SM (K ∈ SM) thì OK ⊥ (SCD).
Do đó d(O, (SCD)) = OK.
a 2
a 6
, SO =
2
2
a
Hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên OM =
2
a 3
Từ tam giác SOM ta tính được OK =
.
14
Từ tam giác vuông SAO ta tính được AO =

Mặt khác ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).
Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
d( A , ( SCD) ) AC
=
=2
Mà AO ∩ (SCD) = C nên
d( O, ( SCD ) ) OC
a 42
.
7
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
⇒ d(A, (SCD)) = 2 d(O, (SCD)) = 2OK =

Ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).
Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 19


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Từ tam giác vuông SAO ta tính được AO =

a 6
a 2
, SO =
2
2

Từ tam giác vuông SOM ta tính được OM =

a
a 7
, SM =
2
2

3
1
1
a2 7
a
6
Khi đó S∆SCD = .SM.CD =
và VS.ACD = SO.S∆ACD =
.
3
2
4
12

Vậy d(A, (SCD)) =

3VS.ACD a 42
=
S∆SCD
7

Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0),
a 2
 
 
a 2   a 2
a 6  a 2 
;0;0 ÷, B  0; −
;0 ÷, C  −
;0;0 ÷, S  0;0
;0 ÷.
A
÷, D  0;
2
2
2
2
2

 
 
 
 

uuur uuu
r uuur
 AB, SC .AC


a 42
uuur uuu

r
d(AB, CD) =
=
 AB, SC
7


Chú ý: Ta có thể thực hiện tính cách khác như sau:
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD):

3x –

3y – z +

a 6
= 0.
2

a 42
.
7
Bài 4. (Đề thi tập trung lần 1 năm học 2015 – 2016, Trường THPT Nguyễn Trãi)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu vuông góc
của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Biết
Do đó d(A, (SCD)) =

a
rằng SC = 3a và OH = .Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
2
(SBD).

Giải
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta cần xác định hình chiếu của A lên
mặt phẳng (SBD), do đó phải chọn mặt phẳng đi
qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt
phẳng (SBD) theo giao tuyến SO. Khi đó trong
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 20


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

mặt phẳng (SAO), kẻ AE ⊥ SO ( E ∈ SO)
thì AE ⊥ (SBD) hay d(A, (SBD)) = AE.
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a

∆SCH vuông tại H, nên ta có SH = SC 2 − HC 2 = 3a 3
2
Tam giác SHO vuông tại H nên SO = SH 2 + OH 2 = a 7 .
Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra d(A, (SBD )) = AE = SH .AO = 3a 21
SO
14
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2
Tam giác SHO vuông tại H nên SO = SH 2 + OH 2 = a 7 .
1
1
a3 3
SH.S∆ABD =

và S∆SBD = SO. BD = a2 7
3
2
2
3VS.ABD 3a 21
Vậy d(A, (SBD)) =
=
S∆SBD
14
Ta có VS.ABD =

Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0),

a 3a 3 
A(0; –a; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), D(–a; 0; 0), S  0; − ;
÷.
2 2 

Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d(A, (SBD)) = 3a 21 .
14
Bài 5. (Đề thi tập trung lần 1 năm học 2013 – 2014, Trường THPT Nguyễn Trãi)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′ C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
a, AC = a 3 , AA′ = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (ABB′ A′ ).
Giải
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta cần xác định
hình chiếu của C lên mặt phẳng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 21


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(ABB′ A′ ), do đó phải chọn mặt
phẳng đi qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABB′ A′ ).Tuy

nhiên việc xác định là không khó
nhưng khi tính khoảng cách từ C
đến hình chiếu thì gặp phức tạp,
do đó ta thực hiện đổi tính khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABB′ A′ ).
Ta có CH ∩ (ABB′ A′ ) = B
Do đó

d( C, ( ABB′A ′ ) ) CB
=
= 2 ⇒ d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) )
d( H, ( ABB′A ′ ) ) HB

Gọi I là trung điểm của AB thì mặt phẳng (A′ HI) vuông góc và cắt mặt phẳng
(ABB′ A′ ) theo giao tuyến A′ I. Trong mặt phẳng (A’HI) , kẻ HK ⊥ A′ I (K ∈ A′ I) thì
HK ⊥ (ABB′ A′ ) hay d(H, (ABB′ A′ )) = HK
Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI =

1
a 3

AC =
.
2
2

Trong tam giác A′ HA ta có A′ H = a 3
Trong tam giác A′ HI ta có

1
1
1
5
a 15
=
+ 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
HK
A ′H
HI
3a
5

2a 15
Vậy d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) ) = 2HK =
.
5
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Từ giả thiết ta tính được
1

a 3
Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = AC =
.
2
2
Trong tam giác A′ HA ta có A′ H = a 3
a 15
2
1
1
1
1
a3
a2 15
Mà VA ′.ABH = A ′H.S∆ABH = A ′H. HI.AB =
và S∆A′AB = A ′I.AB =
.
3
2
3
2
4
4
Trong tam giác A′ HI ta có A′ I =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 22


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Do đó d( H, ( ABA ′ ) ) =

3VA′.ABH
a 15
=
S∆A ′AB
5

2a 15
Vậy d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) ) = 2HK =
.
5
Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0),
a a 3

; a 3 ÷.
B(a; 0; 0), C(0; a 3 ; 0), A′  ;
2 2

2a 15
.
5
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D ' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng
cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) .
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Giải
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

( AB' D ' ) và (C ' BD) song song bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD) đến
Ta có phương trình mặt phẳng (A′ AB): 2y – z = 0, do đó d(C, (ABB′ A′ )) =

mặt phẳng ( AB' D' ) . Tuy nhiên ta cần chọn
điểm sao cho qua điểm đó có mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng ( AB ' D' ) , khi đó nếu
gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông
ABCD và A 'B'C'D' thì điểm O chính là điểm
thỏa mãn yêu cầu.
Gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A 'B'C'D' .
Dễ thấy ( AB' D' ) // (C ' BD ) nên d( (AB'D') , (C ' BD) ) = d(O, ( AB' D' ) ).
Mặt khác mặt phẳng ( A 'C'CA ) đi qua O và vuông góc và cắt mặt phẳng ( AB' D ' )
theo giao tuyến O'A , khi đó kẻ OK ⊥ O'A (K∈ O'A ) thì OK ⊥ ( AB ' D ' )
Vậy d(O, ( AB' D' ) ) = OK

a 3
a 2
, suy ra OK =
3
2
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) song song bằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) .
Trong tam giác vuông O'OA ta có O'O = a và OA =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 23


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' .
Ta có C'A′ ∩ ( AB ' D ' ) = O' nên d( C′,(AB'D') ) = d( A′,(AB'D') )
a3
a2 3
S
và ∆B′D′A =
6
2
3VA′.B′D′A a 3
Vậy d( A′,(AB'D') ) =
=
S∆B′D′A
3
Mặt khác VA′.B′D′A =

Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) song song bằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) ,
ta chọn điểm B.
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), A(a; a; 0), C′ (0; 0; a) B′ (a; 0; a), D′ (0; a; a).
Ta có phương trình mặt phẳng ( AB ' D' ) : x + y + z – 2a = 0
Vậy d( B,(AB'D') ) =

a 3
.
3

Bài 7. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh
– năm 2015)
Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ có A′ ABD hình chóp đều và AB = AA′ = a. Tính
theo a thể tích khối hộp ABCD.Α ΒΧ∆ và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB′ và A′ C′ .

∗ Tính thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′
Do A′ ABD là hình chóp đều, khi đó gọi G là trọng tâm của tam giác ABD thì
A′ G ⊥ (ABD) hay A′ G là chiều cao của hình hộp.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 24


SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gọi O là giao điểm của BD và AC thì AG =

a 3
3

Trong tam giác A′ AG ta có A′G = A′A 2 − AG 2 =

a 6
3

a2 3
a3 2
Do đó SABCD = 2SABD =
và VABCD.A′B′C′D′ = A′G.SABCD =

2
2
∗ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và A′ C′ chéo nhau

Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích: Ta thấy AB′ và A′ C′ là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách
giữa AB′ và A′ C′ bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy
nhiên,việc
xác định đoạn vuông góc chung của AB′ và A′ C′ là phức tạp, do đó ta thực hiện đi
tính khoảng cách giữa A′ C′ và mặt phẳng (AB′ C) song song với nó và chứa đường
thẳng AB′ . Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên A ′ C′ đến
mặt phẳng (AB′ C), chẳng hạn là điểm H. Lúc này ta cần xác định hình chiếu K của
H lên mặt phẳng (AB′ C), do đó ta cần chọn mặt phẳng đi qua H và vuông góc với
mặt phẳng (AB′ C), ta thực hiện giải như sau:
Gọi H là giao điểm của B′ D′ và A′ C′ . Do A′ C′ // AC nên A′ C′ // (AB′ C)
Do đó d(A′ C′ , AB′ ) = d(A′ C′ , (AB′ C)) = d(H, (AB′ C))
Kẻ HE // A′ G (E ∈ AC) thì ta có mặt phẳng (B′ HE) vuông góc và cắt mặt phẳng
(AB′ C) theo giao tuyến B′ E.
Kẻ HK ⊥ B′ E (K ∈ B′ E) thì HK ⊥ (AB′ C) hay d(H, (AB′ C)) = HK
Trong tam giác B′ HE ta có:

11
1
1
1
a 22
=
⇒ HK =
=
+

2
2
2
2
2a
HK
B′H
HE
11
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Phân tích: Ta thấy AB′ và A′ C′ là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách
giữa AB′ và A′ C′ bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy
nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung của AB′ và A′ C′ là phức tạp, do đó ta
thực hiện đi tính khoảng cách giữa A ′ C′ và mặt phẳng (AB′ C) song song với nó và
chứa đường thẳng AB′ . Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang : 25