Chuyên đề lượng giác hay và đầy đủ

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Biên soạn và sưu tầm: Tiến sỹ Đỗ Kiến Vọng

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

1

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

2

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

3

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

4

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

5

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

6

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

7

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

8

Facebook: Vinstar Việt Nam

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

9

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

10

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

11

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG
SỬ DỤNG TRONG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình đưa về dạng tích
1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích
thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc,…
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
(1)
Giải

1   sin 6 x  sin x    sin 5 x  sin 2 x    sin 4 x  sin 3x   0
 2sin

7 x 
5x
x
3x 
7x
3x
 cos  cos   cos   0  4sin cos  2cos x  1  0

2 
2

2
2
2
2

k 2

 7x
x

sin

0


7
2


3x
 k 2
 cos  0   x  
;k  Z


2
3
3

 2cos x  1  0

 x   2  k 2



3

*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao
cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos3x cos3 x  sin 3x sin 3 x 

23 2
8

(2)

Giải
1
1
23 2
cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x  
2
2
8
23 2
23 2
 cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  
 cos 4 x  cos 2 2 x 
4
4
2

 k
 4cos 4 x  2 1  cos 4 x   2  3 2  cos 4 x 
x 
k  Z 
2
16 2

 2 

*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được
việc sử dụng công thức nhân 3


Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos 2   2 x   3 cos 4 x  4cos 2 x  1 (3)
4



Giải

 3  1  cos 




 4 x   3 cos 4 x  4cos 2 x  1  sin 4 x  3 cos 4 x  2  2cos 2 x  1
2


Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

12

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

1
3


 sin 4 x 
cos 4 x  cos 2 x  cos  4 x    cos 2 x
2
2
6


 k
 x   k  x 

,k 
12
36 3

1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát

hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được
điều đó
 sin 2 x  1  cos x 1  cos x 

cos 2 x  1  sin x 1  sin x 

,

cos 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x 
1  sin 2 x   sin x  cos x 
1  sin 2 x   sin x  cos x 

2

2

1  cos 2 x  sin 2 x  2cos x(sin x  cos x)
1  cos 2 x  sin 2 x  2sin x(sin x  cos x)

sin x  cos x
cos x


 2 sin  x    sin x  cos x
4

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2cos x (4)
1  tan x 

Giải

Cách 1:  4   2sin x.2cos 2 x  2sin x cos x  1  2cos x   2cos x  1 2sin x cos x  1  0
1

cos
x



2 phần còn lại dành cho bạn đọc

sin 2 x  1
Cách 2:  4   2sin x cos 2 x  (1  sin 2 x)  2(cos x  sin x)  0

 2sin x  cos x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x   2 cos x  sin x   0
2

  cos x  sin x   2sin x cos x  2sin 2 x  cos x  sin x  2   0

  cos x  sin x   2sin x cos x  2cos 2 x  cos x  sin x   0 (phần còn lại HS tự

làm)
Ví dụ 5.Giải phương trình: cos 2 x  3sin 2 x  5sin x  3cos x  3 (5)
Giải

 5  (6sin x cos x  3cos x)  (2sin 2 x  5sin x  2)  0
 3cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)  0
 (2sin x  1)(3cos x  sin x  2)  0

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản (HS tự làm)
Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

13

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều
quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông
thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm. Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều
phương trình chứa tan, cot. Khi đó, có thể sử dụng một số công thức
sin  a  b 
cos a cos b
cos  a  b 
 tan a  cot b 
cos a sin b
2
 tan a  cot a 
sin 2a
cos  a  b 
1  tan a tan b 
cos a cos b

sin  b  a 
cos a cos b
cos  a  b 

 tana-cotb=
cos a sin b

 tan a  tan b 

 cota  cotb=

 cot a  tan a  2cot 2a
 1  tan a tan b 

cos  a  b 
cos a cos b

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
Ví dụ 6. Giải phương trình: cot x  tan x 

2cos 4 x
sin 2 x

(6)

Giải.
sin x  0
k

ĐK: cos x  0  sin 2 x  0  x 
,k  Z
2
sin 2 x  0


 x  l
2cos4 x
2cos 2 x 2cos4 x


 cos4 x  cos2 x  
,l  Z
 6   cot x  tan x 
 x  l
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
3




 l , l  Z
3
4cos3 x  2cos 2 x  2sin x  1  sin 2 x  2  sin x  cos x 
Ví dụ 7. Giải phương trình:
 0 (7)
2sin 2 x  1

Kiểm tra điều kiện ta được x  

Giải.

k
,k Z

4 2
 7   4cos2 x  sin x  cos x   2cos x sin x  cos x   2 sin x  cos x   0

ĐK: 2sin 2 x  1  0  cos2 x  0  x 







 x   4  m

 2  sin x  cos x  cos x  1 2cos x  1  0   x  m2
,mZ

2
 m2
x  
3

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

14

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM

CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm x 

m2
,mZ
3

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3tan 3x  cot 2 x  2 tan x 

2
sin 4 x

(8)

Giải
cos3x  0
 k

x 
sin2x  0



6 3

, k  Z (*)
ĐK: 
cos
x


0
k


x 
sin 4 x  0
4


2
2sin 2 x
cos x
2



sin 4 x
cos3x cos x cos3 x sin 2 x sin 4 x
 4sin 4 x sin x  2cos2 x cos x  2cos3 x  4sin 4 x sin x  cos3 x  cos x  2cos3 x

8  2  tan 3x  tan x    tan 3x  cot 2 x  

 4sin 4 x sin x  cos3 x  cos x  8sin 2 xcos2 x sin x  2sin 2 x sin x
 cos2 x  

 do

1
1

 1 
 x   arccos    m , m  Z
4
2
 4 

Nghiệm này thỏa mãn ĐK
B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA:






sin    
VD1: Cho góc    ;   và sin  
.
Tính
6
5
2 




3 1

 cos  (1)
Giải: Ta có: sin    6   sin  cos 6  cos  sin 6 
2

1

2 5


2
 
2
 2
Do    2 ;   nên cos    1  sin   
5



32

Thế (2) vào (1) ta được: sin    6  

 2 5


1
 3

VD 2: Cho góc    2 ; 2  và sin 2  cos 2   2 . Tính sin 2





1
1
3
Giải: Ta có: sin  cos    1  sin    sin   
2

2

2

4

4

7
 3

do    ; 2   cos   1  sin 2  
.
4
 2

3 7
Do đó sin 2  2sin  cos    8

2
VD 3: Giải phương trình: sin 5 x  2sin  x  8   1  0



(1)

Giải:
Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

15

Facebook: Vinstar Việt Nam

(*) 


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12



 3

(1)  sin 5 x  cos  2 x    0  sin 5 x  sin 
 2x   0
4

 4

3
2
3



x


k
5
x


2
x

k
2



 3

28
7
4
 sin 5 x  sin 
 2x   

k  Z 
 4

 x    k 2
5 x    3  2 x  k 2



4
12
3
2
VD 4: Giải phương trình: cot x  tan x  4sin 2 x  sin 2 x (1)
k
Giải: Điều kiện sin 2x  0  x  2 , k  Z
cos x sin x
2
cos 2 x  sin 2 x
2
(1) 

 4sin 2 x 

 4sin 2 x 
sin x cos x
sin 2 x
sin x cos x
sin 2 x
2 cos 2 x
2

 4sin 2 x 
 cos 2 x  2sin 2 2 x  1
sin 2 x
sin 2 x
cos 2 x  1

2
 2 cos 2 x  cos 2 x  1  0  
cos 2 x   1

2

Trường hợp cos2x =1 không thỏa điều kiện
1

2



Với cos 2 x   2  2 x  3  k 2  x   3  k , k  Z


Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x   3  k , k  Z
   
 
VD 5: Giải phương trình: 3  sin  x  6   1  sin  x  3   0












(1)

Giải:


3 
 1

3



(1)  3 sin  x    cos  x    3 
sin  x    cos  x   
6
6
2
6 2
6 2




  
 x  k 2
 x  3  3  k 2
 



 sin  x     sin  

,k Z
 x    k 2


6
6
3


 x      k 2
3


3
3
sin 4 x  cos 4 x 1
  tan x  cot x 
VD 6: Giải phương trình:
sin 2 x
2

Giải: Điều kiện: sin 2x  0
1
1  sin 2 2 x
1  sin x cos x 
2
(1) 

 


sin 2 x
2  cos x sin x 

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

16

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

1
1  sin 2 2 x
1
2


sin 2 x
sin 2 x

1
 1  sin 2 2 x  1  sin 2 x  0
2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm





VD 7: Giải phương trình 2 sin  2 x  4   3sin x  cos x  2 .


Giải: PT  sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2
 2sin x cos x  3sin x  2cos 2 x  cos x  3  0 .
  2cos x  3 sin x   cos x  1 2cos x  3   0

  sin x  cos x  1 2cos x  3   0
3
Khi: cos x  (VN ) .
2



x    k 2

1


Khi : sin x  cos x  1  sin  x    
.

2


4
2

 x    k 2



Vậy: nghiệm của phương trình là x    k 2 , x    k 2 , k Z
2

VD 8: Giải phương trình: sin 2 x  2 2(sinx+cosx)=5 . ( 1 )
Giải : Đặt sinx + cosx = t ( t  2 ).  sin2x = t2 - 1
 ( 1 )  t 2  2 2t  6  0  t   2 )
Ta có phương trình sinx + cosx =  2



 cos( x  )  1

4
5
Vậy nghiệm của phương trình là x   k 2 ( k  Z )
4
cos 2 x.  cos x  1
 2 1  sin x  .
VD 9: Giải phương trình
sin x  cos x
Giải: ĐK sin x  cos x  0

đó PT  1  sin 2 x   cos x  1  2 1  sin x  sin x  cos x 

 1  sin x 1  cos x  sin x  sin x.cos x   0
 1  sin x 1  cos x 1  sin x   0

sin x  1

cos x  1



(thoả mãn điều kiện)

x    k 2

2

 x    m2

k, m  Z


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x    k 2 và x    m2  k , m  Z 
2

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

17

Facebook: Vinstar Việt Nam

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

5

vôù
i     0 . Tính giá trị của các biểu thức sau:
8
2
3
B  2cos 2   4cos3   2sin 2   tan 2 
A  5sin   4cos   tan 
5
Bài 2. Cho tan  2 . Tính giá trị của các biểu thức sau:
2cos   sin 
sin 3   cos3 
C
A
sin   cos 
cos   3sin 
3


31
9
Bài 3. Cho góc     ;  và cos    . Tính tan     . ĐS: tan     
4

4  49
41
 2 


sin 
10
Bài 4. Cho  là góc mà tan   2. Tính P  3
P
ĐS:
3
sin   3cos 
11

Bài 1. Cho cos 



Bài 5. Biết x  y  . Tính giá trị của biểu thức A  1  tan x 1  tan y 
4
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
A  cot x 

sin x
1

1  cos x sin x

ĐS: A=2

B  2  sin 6   cos6    3  sin 4   cos4  

C  sin 2 x 1  cot x   cos 2 x 1  tan x 

D

tan x  sin x
1

3
sin x
cos x 1  cos x 

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
1
1
 tan 2 x  cot 2 x  2
2
cos x
sin x
2
1
tan x  1
c) 2

2
sin x  cos x tan 2 x  1

a)

1  tan 2 x
 cos 4 x  sin 4 x
1  tan 2 x
sin 2 x
sin x  cos x
d)

 sin x  cos x
sin x  cos x
tan 2 x  1

b)

Bài 8. Giải các phương trình :
a) cos 2x  3sin x  2  0
3
c) tan x  cot x 
2
e) sin x  cos x  4sin x cos x 1  0

b) cos x  3 sin x  2
d/ 3 sin 2 x  sin 2 x  3 cos2 x  1
f) sinx – cosx + 3sin2x – 1 = 0

g) sin3 x  cos3 x  sin x
Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
1  cos x  1  cos x 
B
1 
sin x 

sin 2 x

2
3
A  sin x  cos x   cos2 x  sin 2 x 
4
6

C  1

6

sin 2 x
cos 2 x

 sin x cos x
1  cot x 1  tan x




2) cos2  x    sin 2  x    sin  x  


1) cos3x   cos  4 x  



4

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828


  2 cot x  1


D  sin 4 x  4 cos 2 x  cos 4 x  4sin 2 x

Bài 10. Giải các phương trình:


2

18

6



6

Facebook: Vinstar Việt Nam



3


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM

CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

4) 3sin 2x  4cos 2x  5sin x

3) sin 3 x  4cos3 x  3cos x
1
5) cos x  cos 2 x  cos3x 
2

6) cos3 x  cos2 x  2sin x  2  0

7) 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0. ĐS: x =


3



k
2

(kZ)

8) sin x  4cos x  2  sin 2x
9) 2  sin x  2cos x   2  sin 2x

ĐH Khối A-2014
ĐH Khối B-20140



10) 1  tan x  2 2 sin  x  

ĐH Khối A-2013

14) 2  cos x  3 sin x  cos x  cos x  3 sin x  1

ĐH Khối B-2013
ĐH Khối D-2013
ĐH Khối A-2012
ĐH Khối B-2012

15) sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  2 cos 2x

ĐH Khối D-2012

4

2
11) sin 5x  2 cos x  1
12) sin 3x  cos 2x  sin x  0
13) 3 sin 2x  cos 2x  2cos x  1

MỘT SỐ DẠNG BÀ I TOÁN VỀ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
1) THPT Quốc Gia năm 2015: Tính giá trị biểu thức P  1  3 cos 2 2  3 cos 2  , biết
2
3
14
ĐS: P 
9

sin  

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

19

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

2) Đề dự bị THPT Quốc Gia năm 2015: Tính giá trị biểu thức P= sin 4   cos 4  , biết
sin 2 =
ĐS: P 

2
3

7
9

3) Tính giá trị biểu thức A= sin 6   cos 6  biết sin 2 = 4
5

ĐS: A 

13
25

Dạng 2: Phương trình lượng giác đưa về dạng
 x    k 2
sin x  sin   
k  Z 
 x      k 2
 x    k 2
Hoặc cos x  cos   
k  Z 
 x    k 2


 sin x  cos  x   sin  x 
2



 cos x  sin  x    cos  x 
2

4) Đề Cao đẳng năm 2013: cos   x   sin 2 x  0
2

k 2
ĐS: x 
; x    k 2 k  Z 
3
5) Cao đẳng hoa sen khối A_2006: sin 7 x cos 3x  sin x cos 5x  sin 2 x cos 7 x  0
2
2

2
2
k
ĐS: x 
k  Z 
6


sin x  cos  x 
2



cos x  sin   x 
2


6) Cao đẳng kinh tế công nghệ năm 2007: cos3x.tan5x=sin7x
 k
ĐS: x  k ; x  
k  Z 
20

10

7) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2013: Sin5x  2 cos 2 x  1

2

x   6  k 3

ĐS: 
 x     k 2
14
7


k  Z 

8) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2006:

x

cot x  sin x1  tan x tan   4
2


ĐS:

x


12

 k ; x 

5
 k k  Z 
12

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

20

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

A  0
B  0

Dạng 3: Phương trình lượng giác đưa về dạng tích A.B=0  

9) Cao đẳng 2012:

2 cos 2x  sin x  sin 3x

ĐS: x   k ; x   k 2
k  Z 
4
2
2





10) Cao đẳng năm 2009: 1  2 sin x 2 cos x  1  sin x  cos x



5
ĐS: x    k 2 ; x   k ; x   k
k  Z 
2

12

12

11) Cao đẳng kinh tế TPHCM năm 2007:



ĐS: x 

8



sin 2 x sin x  cos 5x cos 2 x 

k
2
,x  k
k  Z 
4
7

12) Cao đẳng công nghiệp thực phẩm_năm 2007:


ĐS: x    k
4

ĐS: x  k , x  



3


8





sin 2 x  2 2 cos x  2 sin x    3  0
4


k  Z 

15) Cao đẳng ktcn1_năm 2006:
ĐS: x 









cos 2  x    cos 2  2 x    cos 2  3x    3 cos
2
2
2
6




k


, x   k , x    k
4
3
3

16) Cao đẳng xây dựng số 3_năm 2006:
ĐS: x 


6

 k 2 ; x 

5
 k 2
6

cos 4


2

 k ; x 

k
5

k  Z 
x
x
 sin 4
2
2 
sin 2 x

1  sin 2 x


2 sin 2  x  
4


(k Z)

17) Cao đẳng tài chính hải quan năm 2007:
ĐS: x 

4 cos 3 x  cos 2 x  4 cos x  1  0

 k 2 k  Z 

14) CDSP TPHCM năm 2006:
3
 k 2
4

1
1



 2 sin x  
cos x sin x
4


k  Z 

13) Cao đẳng công nghiệp thực phẩm_năm 2006:

ĐS: x  

1  cos 8x

2

cos x. cos 2 x. sin 3x 

1
sin 2 x
4

(k Z)

18) Cao đẳng tài chính hải quan năm 2006: cos 7 x  sin 8x  cos 3x  sin 2x
Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

21

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

ĐS: x 


10



k 2


; x    k 2 (k Z)
5
2

19) Cao đẳng kinh tế kỹ thuật cn2 năm 2007: sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x

k
ĐS: x   k , x 
k  Z 
2
5
20) Cao đẳng giao thông vận tải 3_năm 2005: Cos2 x  4 sin 4 x  8 cos 6 x


ĐS: x   k
k  Z 
4

2

21) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2014: sinx+4cosx=2+sin2x

ĐS: x    k 2 k  Z 
3

22) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2014:
3
ĐS: x    k 2 k  Z 

2 sin x  2 cos x   2  sin 2 x

4

23) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2013: 1  tan x  2




4

3



2 sin x  
4


ĐS: x    k ; x    k 2 k  Z 

24) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2013:

sin 3x  cos 2x  sin x  0
7
ĐS: x   k , x    k 2 ; x 
k  Z 
 k 2
4
2

6
6







25) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2011: sin2x.cosx+sinx.cosx=cos2x+sinx+cosx


2
x


k
2

,
x


k
ĐS:
(kZ)
2
3
3

sin 2 x  2 cos x  sin x  1
0
26) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2011:
tan x  3
ĐS: x 



3

 k 2

(k Z)

27) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm

1  sin x  cos 2 x sin x   

2010:

1  tan x

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828



4

22



1
cos x
2

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

7
 k 2 (kZ)
6
6
1
1
 7


 4 sin
 x
28) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2008 sin x
3 

 4

sin x 


2 



5
 k
ĐS: x    k , x    k , x 
(kZ)
4
8
8
29) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2008 2 sin x1  cos 2 x   sin 2 x  1  2 cos x
2

 k 2 , x   k
ĐS: x  
(kZ)
3
4
2
30) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2007 2 sin 2 x  sin 7 x  1  sin x



2
5
2
k
,x 

k
ĐS: x   k , x 
(kZ)
8
4
18
3
18
3
31) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2005: 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0
ĐS: x  



 k 2 , x 



 x   4  k
ĐS: 
 x   2  k 2

3

(k Z)

32) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2004: 2 cos x  1(2 sin x  cos x)  sin 2 x  sin x




3

4

ĐS: x    k 2 ; x    k

(k Z)

33) Đại học sài gòn khối B năm 2007: 1  sin x  cos x  tan x  0
3

x
 k

ĐS:
4

 x    k 2

(k Z)

34) Đại học sư phạm quy nhơn năm 2001: sin3x+sin5x=sin4x
ĐS: x 

k

; x    k 2
4
3

(k Z)

35) Đại học kiến trúc TP HCM năm 2001: sinx+sin2x+sin3x=0
ĐS: x 

k
2
; x    k 2
2
3

(k Z)

36) Đại học thủy lợi năm 2001:
Hướng dẫn đặt t 

3 x

10 2

 3 x  1   3x 
sin
   sin  
 10 2  2  10 2 

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

23

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

ĐS: x 

3
4
14
 k 2 ; x 
 k 2 ; x 
 k 2
5
15
15

(kZ)

A  0
Dạng 4: Phương trình lượng giác đưa về dạng tích A.B.C=0   B  0
C  0









2
2
37) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2007 1  sin x cos x  1  cos x sin x  1  sin 2 x

ĐS: x  



4

 k , x 



2

 k 2 , x  k 2

x
x 
sin 2    tan 2 x  cot 2  0
2
2 4

38) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2003:
ĐS:

x    k 2 ; x  


4

 k (k Z)

39) Đại học sư phạm kỹ thuật năm 2001:
ĐS: x 







2

4

k



2

; x



6

k



sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  2

3
40) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2006: cos 3x  cos 2x  cos x  1  0
2
ĐS: x  k ; x    k 2
(k Z)
3
41) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2002: sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5x  cos 2 6 x
k
k
ĐS: x 
; x
(kZ)
9
2
42) Đại học nông lâm 2001: 1  cos x  cos 2x  cos 3x  0

ĐS: x 

2

 k ; x 

(kZ)

 k , x    k 2 ; x  



3

 k 2

(kZ)

43) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2002:Tìm nghiệm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương
trình cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0
ĐS: x 



2

; x

3
5
7
; x ; x
2
2
2

Dạng 5: Phương trình lượng giác đưa về dạng a sin 2 x  b sin x  c  0
Hoặc a cos 2 x  b cos x  c  0
44) Cao đẳng năm 2011: cos 4 x  12 sin 2 x  1  0
ĐS: x  k
(k Z)

45) Cao đẳng năm 2010:
ĐS: x 


12

 k ; x 

5
 k
12

4 cos

5x
3x
cos  28 sin x  1 cos x  5
2
2

(k Z)

46) Cao đẳng Xây Dựng 2 năm 2007:

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  0

24

Facebook: Vinstar Việt Nam


CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM
TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM
CHUYÊN BỒI DƯỠNG VH VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC MÔN – TOÁN – LÝ - HÓA – VĂN – TIẾNG ANH TỪ LỚP 6 ĐẾN LỚP 12

ĐS: x 


2

 k ; x  


6

 k (k Z)

47) Cao đẳng Xây Dựng 2 năm 2005:
ĐS: x 



4

k



2

; x



3

 k ; x  



3

cos 4 x  2 sin 2 x  2  0

 k

(kZ)

48) Cao đẳng kinh tế kỹ thuật cn2 năm 2005:
ĐS: x 

7

 k 2
6

tan x  cot x 

1
cos x

k  Z 





2 cos6 x  sin 6 x  sin x cos x
5
 0 ĐS: x 
 m2
49) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2006
4
2  2 sin x
(m  Z )

50) Đa ̣i ho ̣c khố i D_năm 2005:
ĐS: x 


4

 k

(k Z)

51) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2004:
ĐS: x 


6

 
 3

cos 4 x  sin 4 x  cos x   sin 3x     0
4 
4 2


 k 2 ; x 

5
 k 2
6

5 sin x  2  31  sin x  tan 2 x

(k Z)

52) Đa ̣i ho ̣c khố i B_năm 2003:

cot x  tan x  4 sin 2 x 



2
sin 2 x

ĐS: x    k
3

53) Đa ̣i ho ̣c khố i A_năm 2002 Tìm nghiệm thuộc 0;2 của phương trình
cos 3x  sin 3x 

5 sin x 
  cos 2 x  3
1  2 sin 2 x 

5

ĐS: x  ; x 
3
3

54) ĐH sài gòn khối A năm 2007:
ĐS: x 


2

 k 2

   1  sin x 

3 tan 2  x    2

2

 sin x 

(k Z)

55) ĐH sài gòn khối DM năm 2007:


 x  4  k
ĐS: 
 x     k
4


sin 4 x  cos 4 x 

1
sin 2 x
2

(k Z)

Website: Vinstar.edu.vn Tel: 0978.459.828

25

Facebook: Vinstar Việt Nam