Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS lê lợi TPTH

MỤC LỤC
Mục

Nội dung
1. MỞ ĐẦU

Trang
1

1.1.

Lý do chọn đề tài……………………………………………………………

1

1.2.

Mục đích nghiên cứu………………………………………………………

1

1.3.

Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………..

2

1.4.

Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1.

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………

3

2.2.

Thực trạng…………………………………………………………………….

4

2.3.

Giải pháp và tổ chức thực hiện………………………………………….

5

2.4.

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………….

15

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

16

Kết luận………………………………………………………………………..

16

Kiến nghị………………………………………………………………………

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
1. THCS: Trung học cơ sở
2. THPT: Trung học phổ thông
3. TW: Trung ương


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học cơ bản, được rất nhiều người quan tâm và
nghiên cứu. Với vai trò là môn học công cụ để phát triển tư duy logic, môn toán
góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Do vậy, dạy Toán như thế nào để học sinh nắm vững kiến thức cơ bản một
cách có hệ thống và nâng cao, phát triển để các em hứng thú say mê trong học
tập là câu hỏi mà mỗi nhà giáo luôn phải đặt ra và tìm mọi cách để trả lời.

Qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy toán ở các khối lớp trường THCS, tôi
nhận thấy nhiều em học sinh khối 9 khi học môn hình học, mặc dù kiến thức cơ
bản đã nắm chắc, nhưng khả năng vận dụng những kiến thức đó vào giải các bài
tập là chưa cao. Trước thực tế đó, để giúp học sinh hình thành thói quen tìm tòi
và vận dụng sáng tạo kiến thức đã học, tôi đã cho học sinh tiếp cận dần bằng
cách cho học sinh làm các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra khi giải
quyết xong các bài tập, học sinh biết phân chia các dạng bài tập ở các mức độ từ
dễ đến khó. Sau đó hệ thống và phân dạng bài tập, các phương pháp giải cho
mỗi dạng bài tập. Riêng đối với học sinh khá, giỏi cần phải biết tổng quát, phát
triển, mở rộng bài toán từ bài toán ban đầu.
Đối với học sinh lớp 9, tuy đã quen với cách học toán, nhưng khi gặp các
dạng toán như: Tìm quỹ tích; dựng hình; chứng minh tứ giác nội tiếp và vận
dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh hệ thức, …
thì học sinh còn rất lúng túng. Đối với các dạng toán chứng minh liên quan đến
tứ giác nội tiếp, đây là các dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 9 và các
đề thi vào lớp 10 THPT hàng năm. Do mới được làm quen với dạng toán này ở
cuối chương trình Hình học lớp 9 với thời gian còn hạn chế; các phương pháp
chứng minh chưa được trình bày đầy đủ trong sách giáo khoa và sách bài tập
Toán 9 nên gây không ít khó khăn cho học sinh trong việc tiếp cận và làm quen
với các dạng toán này. Trước yêu cầu thực tế cần rèn luyện cho học sinh nắm
vững lý thuyết và vận dụng giải tốt dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp và các
bài tập liên quan, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng
minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường
THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu đề tài là:
- Cung cấp cho học sinh lớp 9 một số phương pháp thường dùng, quan
trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa,
giúp học sinh thành thạo trong việc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp và
vận dụng vào các bài toán liên quan.

- Qua các dạng toán này giúp cho học sinh được ôn lại các kiến thức đã học
ở các lớp dưới. Đặc biệt là được ôn lại nội dung của chương III: Góc với đường
tròn.
-Qua mỗi bài tập giúp cho học sinh biết cách nhận xét, sử dụng giả thiết bài
toán tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài. Qua gợi mở của giáo viên, học
1


sinh tìm nhiều hướng giải khác nhau. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải
hợp lý nhất, phù hợp nhất đối với các em. Cuối cùng học sinh phát hiện ra được
cách giải tương tự và khái quát thành các phương pháp chứng minh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hóa trong năm
học 2016 – 2017.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi vận dụng kết hợp một số phương pháp sau:
- Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu.
- Phương pháp phân tích đi lên.
- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh.
- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu
hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần
bằng nhiều hình thức khác nhau.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên đề
theo nội dung đề tài.
- Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là: “Nâng cao dân
trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ
yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người
học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp
với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì từ
nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải
quyết vấn đề". Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định: "Phải đổi mới
mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều,
rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''. Cho đến nay, Nghị quyết TW số 29 tại
Hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo nhấn mạnh: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng
khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục
toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại
ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.”
Định hướng này đã được pháp chế hoá trong Luật giáo dục, điều 24 mục
II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem
lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh".
Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay, nhìn chung
tất cả các môn học đều giúp học sinh tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học
ứng dụng. Đặc biệt với môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên
tinh thần toán học hiện đại. Trong đó, chứng minh tứ giác nội tiếp yêu cầu học
sinh phải có khả năng phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết các giả thiết với

nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán học. Những bài toán dạng này hầu hết là
khó với học sinh nên đòi hỏi giáo viên phải xây dựng được hệ thống bài tập và
các phương pháp giải tỉ mỉ, ngắn gọn. Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 9
bậc THCS một số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác
nội tiếp và các bài toán liên quan trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS tôi đã
mạnh dạn viết đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm
nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố
Thanh Hoá”.

3


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
a. Thuận lợi:
- Được sự quan tâm của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường, đã tạo điều kiện
cho giáo viên được tổ chức các hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn
ra thuận lợi, đạt kết quả cao.
- Nhà trường đã tổ chức triển khai các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy
học do đội ngũ giáo viên cốt cán đi tiếp thu tại Sở và Phòng giáo dục, đã tổ chức
dạy thực nghiệm tại trường.
- Phần lớn học sinh hiếu học, ham thích tìm hiểu kiến thức môn hình học.
b. Khó khăn:
- Một bộ phận học sinh chưa thật sự hiểu rõ tầm quan trọng của toán học
trong học tập và cuộc sống, kiến thức về hình học của nhiều em còn rỗng. Kỹ
năng vẽ hình, chứng minh đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn.
- Trường THCS Lê Lợi tuy đóng trên địa bàn gần trung tâm Thành phố
Thanh Hóa, nhưng đại bộ phận dân cư sống chủ yếu bằng nghề tự do, buôn bán
nhỏ lẻ, nên thời gian và sự quan tâm của phụ huynh đến điều kiện học tập của
các em còn chưa cao.

- Qua thực tế trước khi thực hiện áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra
tình hình, thực trạng học tập môn Hình của học sinh lớp 9A3 và 9A4 trường
THCS Lê Lợi thông qua việc kiểm tra miệng lý thuyết, thăm dò sở thích của học
sinh và bằng bài kiểm tra:
Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường tròn.
Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD cắt
đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại N. Hai dây AF và BE cắt
nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Qua khảo sát tôi nhận thấy trong khi chứng minh tứ giác nội tiếp các em
còn mắc những sai lầm đáng tiếc vì thế nên có kết quả còn thấp cụ thể như sau :
Bảng khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Bảng 1:
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Tổng
9 - 10
7- 8
5-6
3-4
0–2
số
SL
TL
TL
TL

TL
TL
HS
SL
SL
SL
SL
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
78

4

5.1

6

7.7

30

38.5

28

35.9

10

12.8

Từ kết quả khảo sát trên tôi thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên
là 51,3%, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu còn cao 48,7%. Tỉ lệ học sinh đạt điểm
khá giỏi rất ít. Học sinh còn lúng túng trong cách chứng minh, trình bày chứng
minh chưa thật sự chặt chẽ và chủ yếu học sinh mới sử dụng định nghĩa để
chứng minh được tứ giác nội tiếp mà chưa có cách làm nào khác được sử dụng.
Do đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở, tìm tòi và đã mạnh dạn đưa ra
4


để chia sẻ, cũng như mong muốn các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôi
hoàn thiện đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm
nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố
Thanh Hoá”.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
- Qua các tiết dạy trên lớp, tiết ôn tập, giáo viên tiến hành khảo sát, so sánh,
đối chiếu qua thực tế bài tập học sinh làm và các bài kiểm tra.
- Giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho
một bài toán.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát,
đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải.
- Qua các ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng
minh.
- Học sinh học lí thuyết một cách chủ động, chủ yếu là chương III: “Góc
với đường tròn”.
A. Lý thuyết.
Học sinh được ôn tập về các kiến thức ở các lớp (Thông qua các bài tập),

đặc biệt là:
- Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có
đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Số đo cung.
- Cung chứa góc.
- Tứ giác nội tiếp.
Khái niệm tứ giác nội tiếp:
 Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác
B
có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
A

Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp
(O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

O
C
D

Hình 1
Định lý:
 Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
µ = 1800 hay B
µ +D
µ = 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ µA + C
Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:
+ Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp;
+ Phương pháp 2: Dựa vào định lí đảo tứ giác nội tiếp;

+ Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc;
5


+ Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích;
B. Bài tập minh hoạ:
Chú ý:
Để học sinh có thể chứng minh tốt một bài toán hình, chúng ta cần tích
cực rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau:
- Kỹ năng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận.
- Kỹ năng suy luận và chứng minh, kỹ năng tính toán.
- Kĩ năng suy luận ngược từ cuối để tìm ra cách chứng minh bài toán
Hình vẽ đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, do đó khi vẽ
hình cần lưu ý cho học sinh:
- Hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh dễ tìm ra lời giải. Tránh vẽ hình
vào các trường hợp đặc biệt.
- Khi vẽ hình thì phải vẽ hết các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Sau khi vẽ hình xong nên đánh dấu các giả thiết lên hình vẽ. Như vậy việc
chứng minh sẽ đơn giản, dễ dàng hơn.
Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường
tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD
cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai dây AF và BE
cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Chứng minh:
a) Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.

j

x
D

N
F

I

C
E

M
A

O

B

6


Nhận xét:
Để chứng minh tứ giác FNEM nội tiếp ta phải chứng minh 4 điểm cùng
nằm trên một đường tròn.
Chứng minh:
Gọi I là trung điểm của NM.
Ta có: ·AFB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
·
=> MFN
= 900 (kề bù với AFˆB )

=> ∆MFN là tam giác vuông tại F. Có FI là đường trung tuyến
=> IF = IN = IM (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông). (1)
Tương tự: IN = IM = IE (2)
Từ (1) và (2) suy ra IF=IE=IN=IM => Bốn điểm F, N, E, M nằm trên
đường tròn. Hay tứ giác FNEM nội tiếp.
Kết luận: Có những bài toán ta chứng minh tứ giác nội tiếp không cần tìm vị trí
của tâm, song một số bài toán ta có thể tìm được tâm cụ thể.
Có 2 cách để tìm vị trí tâm I của đường tròn thông qua các nhận xét sau
như sau:
- Ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn có đường kính là
cạnh huyền.
Ví dụ: Như bài tập trên, ta thấy tứ giác FNEM có góc NFM là góc vuông vậy
trung điểm I của cạnh NM chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
FNEM.
- Vẽ đường trung trực của 2 đoạn thẳng bất kì nối 2 đỉnh bất kì của tứ
giác, giao điểm của 2 đường trung trực đó chính là tâm của đường tròn . Đây
là cách làm được đối với tất cả các bài toán.
Ví dụ: Điểm I chính là giao điểm của hai đường trung trực của ME và EN. Khi
vẽ xong ta cần nhìn vào hình vẽ để xác định xem vị trí điểm I có gì đặc biệt
không? ở bài tập trên thì vị trí đặc biệt của điểm I là trung điểm của cạnh MN.
Phương pháp 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng
1800)
Nhận xét:
·
·
·
·
Ta phải chứng minh tổng 2 góc đối ( NEM
hoặc FNE
) bằng

+ NFM
+ FME
0
180 . Với mỗi cặp góc đó thì mỗi góc là góc gì của đường tròn. Với cặp góc đầu
ta thấy góc NEM không phải là góc nào của đường tròn.Nhưng góc kề bù với
góc này (góc BEA) là góc nội tiếp (chắn nửa đường tròn). Vậy ta cũng sẽ tính
được góc NEM.
Chứng minh:
Ta có: ·AFB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
=> MFN
= 900 (Kề bù với AFˆB )
·
Tương tự: MEN
= 900 .
·
·
Suy ra: MFN
+ MEN
= 900 + 900 = 1800
=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).

7


Chú ý: Ta có thể chứng minh theo cách khác:
Lớn
sđ »AB
·
Ta có: FNE

=

·
FME
=

Lớn
sđ »AB

» nhỏ
EF

− sđ
2
+ sđ

» nhỏ
EF

2

(Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn).
(Tính chất của góc có đỉnh bên trong đường

tròn).
»

2 Sd AB
·
·

Suy ra: FNE
+ FME
=
= 1800
2

=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Kết luận:
- Với cách chứng minh này, ta chỉ cần nhận ra các góc của tứ giác có đặc
điểm gì đặc biệt là góc gì của đường tròn (Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở
bên ngoài đường tròn), sau đó dựa vào tính chất của các góc sẽ tìm ra lời giải
(Kiến thức này học sinh mới được học nên dễ nhận biết, học sinh thường dùng).
Phương pháp 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc α .
Chứng minh:
·AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BF ⊥ AN
AE ⊥ BN
Tương tự:
Xét ∆ABN có BF và AE là đường cao. Mà BF và AN cắt nhau tại điểm M
Suy ra M là trực tâm của tam giác ABN
=> MN ⊥ AB mà BD ⊥ AB (Tính chất tiếp tuyến) suy ra MN // BD
·
·
=> FNM
(Hai góc đồng vị)
(1)
= FDB
·
·
Mà FDB

(Cùng phụ với góc FBD)
(2)
= FBA
·
·
(Cùng chắn cung nhỏ AF)
(3)
FBA
= FEA
·
·
Từ (1),(2),(3) suy ra FNM
= FEM
Như vậy 2 điểm N và E cùng nhìn đoạn thẳng FM dưới một góc không
đổi.
Nên tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm).
Chú ý:
Cách làm này học sinh hay mắc sai lầm như sau: Học sinh chỉ ra “hai
đỉnh đối diện của một tứ giác cùng nhìn cạnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì
tứ giác đó nội tiếp”. Khẳng định này là sai. Điều này chỉ đúng khi góc nhìn đó là
góc vuông.
Nhận xét:
- Nhận xét mối liên hệ giữa các góc của tứ giác xem là góc gì của đường
tròn. Sau đó phân tích tìm hướng chứng minh.
- Ở câu b ta thấy rằng nếu sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng
quỹ tích cung chứa góc α để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp thì sẽ rất khó
khăn chính vì vậy ta lựa chọn sử dụng phương pháp thứ hai để chứng minh. Với
phương pháp này ta cũng có rất nhiều hướng đi để đưa tới kết quả tổng hai góc
đối diện của tứ giác bằng 1800
8

Cách 1:
·
·
Ta có: FBA
(Cùng phụ với góc FBD)
= FDB
·
·
( Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AF)
FBA
= FEA
·
·
( Vì cùng bằng góc FBA)
FEA
= FDB
0
·
·
·
·
Mà FEA + FEC = 180 suy ra FDB
+ FEC
= 1800 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.
Cách 2:
Lớn
sđ »AB
·

- Ta có: FDB
=

» nhỏ
− sđ BF
=
2

» nhỏ
1800 − sđ BF
=
2

nhỏ
sđ »AF
2

(1)

( T/c góc có đỉnh bên ngoài đường tròn).
sđ »AF
nhỏ
·
FEA
=
2

(2) (Tính chất góc nội tiếp).

·

·
Từ (1) và (2) suy ra FEA
= FDB
·
·
·
·
Mà FEA
+ FEC
= 1800 suy ra FDB
+ FEC
= 1800 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.
Cách 3:
Ta đi chứng minh cho tổng hai góc DFE và góc DCE bằng 180 0 .
Nhận xét:
Dễ dàng nhận thấy góc DFE không phải là góc ở tâm, góc nội tiếp, góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong, hay góc có đỉnh ở
bên ngoài đường tròn. Nhưng góc kề bù với góc này là góc AFE là góc nội tiếp
của đường tròn, ta sẽ dựa vào góc này.
Chứng minh:
1
Ta có: ·AFE = sđ »AELớn
2

»
sđ Lớn
·ACB = AB

sđ
−

2

(Tính chất góc nội tiếp).
»
nhỏ
BE

=

0
»
180sđ
− nhỏ
BE
2

(Tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài

đường tròn).
Lớn + 1800 −
sđ »AE
Suy ra: ·AFE + ·ACB =

» nhỏ
sđ BE

=

sđ »AB + 1800
= 1800 (1)

2

2
·
·
Mà DFE
kề bù với ·AFE (2); DCE kề bù với ·ACB (3)
·
·
Từ (1); (2); (3) suy ra DFE
+ DCE
= 1800 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D
là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Đường thẳng DH cắt đường
A tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh 5
I trên một đường tròn.
điểm A, I, F, H, E cùng nằm
Ta nhận thấy rằng tứ giác BHCD có 2 đường chéo Cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường nên nó là hình bình hành ⇒ CD // BH , CH // BD
Mà BE ⊥ AC , CF ⊥ AB F
E
H
⇒ DC ⊥ AC , BD ⊥ AB

B

O

M
9
C
D


Chứng minh:
a) Cách 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD
Vì ∆ ACD vuông tại C nên CO = AO = OD =

AD
(Trong tam giác vuông
2

đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Tương tự BO = AO = OD =

AD
2

⇒ OA = OC = OD = OB ⇒ 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O.

Cách 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng 1800) .
Ta có DC ⊥ AC , BD ⊥ AB ⇒ ·ACD + ·ABD = 1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp
đường tròn.
Cách 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc α .
Ta có ·ACD = 900. , ·ABD = 900
⇒ Điểm B và C cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một góc bằng 90 0 nên tứ giác
ABDC nội tiếp đường tròn.

b) Ta thấy rằng nếu chứng minh nhiều điểm từ 5 điểm trở lên cùng thuộc
một đường tròn ta chọn 3 điểm nào đó làm gốc, nối điểm thứ 4 với 3 điểm này
rồi chứng minh 4 điểm đó là đỉnh của một tứ giác nội tiếp. Sau đó lại chứng
minh 3 điểm gốc kết hợp với điểm thứ 5 là đỉnh của một tứ giác nội tiếp, cứ tiếp
tục tới điểm cuối cùng. Vì tất cả các điểm đó đều nằm trên một đường tròn đi
qua 3 điểm gốc nên tất cả các đường tròn đó đều trùng nhau.
Chứng minh: Ta có ·AFH = 900 , ·AEH = 900 nên 3 điểm I, F ,H nằm trên đường
tròn đường kính AH.
·
Và ·AID = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên HIA
= 900 .
⇒ 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Kết luận:
Qua hai bài toán trên ta thấy:
Để chứng minh tứ giác nội tiếp, sau khi vẽ hình (chính xác) ta nhìn hình
vẽ xem có một trong 4 góc của tứ giác có góc nào vuông hay không?
10


+ Nếu có thì sẽ còn một góc vuông nào nữa? Khi đó ta sẽ đi chứng minh
cho 2 góc đó bằng 90 0 (Nếu có thể).
+ Nếu không có thì ta đi chứng minh cho 2 điểm là 2 đỉnh kề nhau cùng
nhìn xuống đoạn thẳng là một cạnh của tứ giác một góc bằng nhau (Tức
là quay về dạng toán chứng minh 2 góc bằng nhau) hoặc chứng minh cho
tổng 2 góc đối bằng 180 0 .
Chú ý:
Khi chứng minh ta chia ra 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Hình vẽ có đường tròn.
Ta sẽ chứng minh bằng cách: Xem các góc của tứ giác là góc gì của
đường tròn. Dựa vào tính chất của các góc và giả thiết của đề bài ta tìm ra mối

liên hệ để đi chứng minh.
- Trường hợp 2: Hình vẽ không có đường tròn.
Nếu hình vẽ không có đường tròn, ta sẽ sử dụng các giả thiết của đề để
chứng minh.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ
đường tròn đường kính CM. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt
đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp
b) ·ABD = ·ACD .
c) CA là tia phân giác của góc SCB.
Nhận xét:
Đây là bài tập mà hình vẽ có đường tròn.
·
Nhìn hình vẽ ta thấy có CAB
= 900 (gt), vậy chắc chắn còn 1 góc vuông tạo
bởi 3 trong 4 đỉnh đó (là góc CDB). Ta đi chứng minh cho góc CDB bằng 90 0 .
Góc CDB là góc gì của đường tròn? Học sinh dễ dàng nhận ra là góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn.
C
D
M

S

A

N

B

Chứng minh:
·
·
a) Ta có: CDM
= 90o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Nên CDB
= 90o
·
·
= CAB
(= 900 ) => tứ giác ABCD nội tiếp (đpcm).
=> CDB
11


b) Từ câu a => ·ABD = ·ACD (Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AD) (đpcm).
c) Với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta có: ·ADB = ·ACB (Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB).
·
Và SDM
= ·ADB
·
Nên SDM
= ·ACB
·
·
(Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ SM).
SDM
= SCM
·
SCM

= ·ACB

=> CA là tia phân giác của góc SCB (đpcm).
Kết luận:
- Vấn đề đặt ra là: Khi nào thì ta có thể chuyển dạng toán chứng minh hai
góc bằng nhau về bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp?
- Trả lời: Khi hai góc đó có các đỉnh là đỉnh của đường tròn, còn một cạnh
của góc là chứa cạnh của tứ giác, cạnh còn lại chứa đường chéo của tứ
giác.
Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích.
Lưu ý: Ngoài 3 phương pháp chứng minh chủ yếu trên có một phương
pháp chứng minh tứ giác nội tiếp nữa đó là phương pháp sử dụng tính chất
của phương tích:
Bổ đề: Cho tứ giác BCED. Gọi J là giao điểm của BE và CD, BC và DE cắt
nhau ở A. Khi đó: Nếu AB. AC = AD. AE hoặc BJ. JE = CJ. JD thì tứ giác
BCED nội tiếp.
C
B
J
A
D
E

Vận dụng giải bài toán sau:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi E và F là
hình chiếu của H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AEHF là hình chữ nhật.
b) AE.AB = AF.AC
c) BEFC là tứ giác nội tiếp.
C

M

H
N

F
A

E

B

12


Chứng minh:
·
a) Ta có CFH
= 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
Tương tự BEH
= 900
·
⇒ ·AFH = ·AEH = CAB
= 900

Tứ giác: AEHF có 3 góc vuông vậy AEHF là hình chữ nhật.
b) Xét tam giác vuông AHC có: AF. AC = AH2 (1) (Hệ thức về cạnh và
đường cao trong tam giác vuông).

Tương tự: AE. AB = AH2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC
c) Từ câu b suy ra BEFC là tứ giác nội tiếp.
Bài toán 5: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ tiếp tuyến MA và
MB với đường tròn, kẻ cát tuyến MCD. Gọi F là giao điểm của MD và AB; H, E
lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) MA2 = MC. MD
b) M, A, E, O, B cùng thuộc môt đường tròn.
c) ME. MF = MH. MO
Chứng minh:
A
C

M

D

E

F

O

H

B

∆ MDA (g.g)
a) Dễ dàng chứng minh ∆ MAC
2

Từ đó suy ra: MA = MC.MD
b) OE ⊥ CD (Quan hệ đường kính và dây cung).
·
·
·
Suy ra: OEM
= 900, OAM
= 900
= OBA
Vậy M, A, E, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
c) ∆ OAB cân có OH là đường phân giác đồng thời là đường cao
·
Suy ra OHA
=900
·
·
Tứ giác OHFE có OHA
= 900. Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp.
= OEM
áp dụng bổ đề trên suy ra: ME. MF = MH. MO.
Chú ý:
Đây là một phương pháp rất hay và được sử dụng nhiều, nhưng trong
chương trình của SGK mới không đưa vào. Mà được đưa vào sách bài tập.
Chính vì vậy giáo viên nên hướng dẫn thật chi tiết bài tập này giúp học sinh hiểu
và vận dụng cách giải này tốt hơn. Đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi.

13


C. Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = a. Lấy điểm M tuỳ ý trên đoạn AB thoả mãn
AM>MB>0. Dựng về một phía AB các hình vuông AMCE và BMKQ. Nối A, K
và kéo dài cắt BC tại I.
a) Chứng minh : ∆BCM = ∆KMA
b) Chứng minh các tứ giác BQIK, AICE là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ một
đường vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tạ H.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp được một đường tròn.
b) Góc ADH có số đo không đổi khi C di động giữa A và B.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có Ax là tiếp tuyến.
Đường thẳng song song với Ax cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh rằng tứ giác
BCDE nội tiếp được.
Bài 4: Cho tam giác ABC(AB=AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường
cao AG, BE, CF gặp nhau tại H.
a) CMR: AEHF là tư giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp
tứ giác đó.
b) CMR: AF . AC = AH . AG
c) CMR: GE là tiếp tuyến của đườn tròn (I).
Bài 5: Tam giác ABC không có góc tù. Các đường cao AH và các đường trung
tuyến AM không trùng nhau. Gọi N là trung điểm AB. Cho biết BAˆ H = CAˆ M
Chứng minh rằng:
a) AMHN là tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo góc BAC.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ
một đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắ tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn.
b) Góc ADH có số đo không đổi khi C di động.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn
này tại I cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) MN // CD
b) Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn.
Bài 8: Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ 2 tiếp
tuyến MB, MC với đường tròn; kẻ tia Mx nằm giữa 2 tia MO và MC. Kẻ đường
thẳng qua B và song song với tia Mx , đường thẳng này cắt đường tròn tại điểm
thứ 2 là A, AC cắt Mx tại I. Gọi B / là điểm xuyên tâm đối của B. Kẻ đường
thẳng qua O và vuông góc với B B / , đường thẳng này cắt MC và B / C lần lượt tại
K và E.
a) Chứng minh tứ giác MOIC nội tiếp.
b) Chứng minh các tam giác MOB và EB / O bằng nhau.

14


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau một thời gian lồng ghép các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
như trên vào các tiết học. Tôi đã tiến hành khảo sát lại 2 lớp: Lớp 9A3 và lớp
9A4 (Cũng ra đề bài cho các em cùng mức độ như lần trước) tôi thu được kết
quả như sau:
Bảng kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài:
Bảng 2:
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Tổng
9 - 10
7- 8
5-6

3-4
0–2
số
SL
TL
TL
TL
TL
TL
HS
SL
SL
SL
SL
(%)
(%)
(%)
(%)
(%)
78

15

19,2

25

32,1

25

32,1

10

12,8

3

3,8

Qua kết quả bảng khảo sát 2, so sánh với bảng 1, ta có thể thấy chất lượng
học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh hiểu và làm được bài toán chứng
minh tứ giác nội tiếp đạt kết quả cao hơn, tỉ lệ khá giỏi, trung bình cao hơn,
đồng thời tỉ lệ yếu kém giảm hơn so với lần trước. Đây là một dấu hiệu tốt trong
việc áp dụng đề tài này.
Như vậy với các phương pháp được đưa ra, bằng việc đặt ra hệ thống câu
hỏi gợi mở phần nào đã giúp được học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ
động. Học sinh dễ nhận ra bài toán đã cho thuộc dạng nào, không còn rơi vào
trạng thái gò ép, lúng túng, giúp học sinh có hứng thú khi gặp các bài toán
chứng minh tứ giác nội tiếp nói riêng cũng như môn hình học nói chung. Đối với
nhiều học sinh, không những làm tốt dạng toán trên mà còn giúp các em khắc
sâu hơn nữa các kiến thức hình học từ lớp 6 đến lớp 9. Một bộ phận các em học
sinh đã biết cách suy luận để mở rộng, phát triển bài toán.

15


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận:

Trong quá trình giảng dạy cũng như kiểm tra mức độ của học sinh, tôi
nhận thấy rằng đa số học sinh ban đầu tiếp nhận dạng toán này còn gặp khó
khăn. Sau khi được áp dụng sáng kiến này tại trường THCS Lê Lợi nơi tôi công
tác thì: Với cách gợi mở, hướng dẫn như trên giúp học sinh tiếp thu kiến thức
một cách chủ động, không rơi vào trạng thái gò ép, giúp học sinh có hứng thú
khi học bộ môn này. Đa số các em đã hiểu cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Đối
với học sinh, không những làm tốt dạng toán trên mà còn giúp học sinh nắm sâu
hơn các kiến thức từ lớp 6. Vận dụng tốt vào chứng minh bài tập. Biết cách suy
luận từ bài toán cơ bản đến bài toán mới, từ dễ đến khó qua đó hình thành được
phương pháp chứng minh.
Đề tài “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng
cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh
Hoá” được tôi rút ra từ thực tế giảng dạy; do kinh nghiệm còn ít và sự hạn chế
của bản thân, trong quá trình đưa ra sáng kiến và vận dụng cho học sinh không
tránh khỏi những thiếu sót. Bản thân tôi cũng chỉ mới nghiên cứu các bài tập
trong phạm vi kiến thức sách giáo khoa, sách bài tập, trong các đề thi vào lớp 10
hàng năm. Sáng kiến này cần được mở rộng và khai thác nhiều với các kiến thức
rộng hơn nữa. Chính vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp, của hội
đồng khoa học các cấp để sáng kiến này hoàn thiện hơn nữa.
- Kiến nghị:
+ Kiến nghị cấp trên cần tổ chức nhiều hơn các hội nghị chuyên đề trao đổi
học tập kinh nghiệm giữa các trường THCS trong thành phố Thanh Hóa
nói riêng và trong tỉnh Thanh Hóa nói chung.
+ Cần tăng cường hơn nữa cơ sở vật chất trong nhà trường theo hướng hiện
đại.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tp. Thanh Hoá, ngày 01 tháng 04 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết
không sao chép của người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thủy

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa toán lớp 9.
Tác giả : Phan Đức Chính - Tôn Thân – Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức
[2]. Sách giáo viên toán lớp 9.
Tác giả : Phan Đức Chính - Tôn Thân
[3]. Sách bài tập toán lớp 9.
Tác giả : Tôn Thân – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Trần Kiều
[4]. Dạy – học toán THCS theo hướng đổi mới
Tác giả : Tôn Thân
[5]. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên trung học cơ sở chu kỳ
III (2004 – 2007) môn Toán
[6]. Tài liệu dạy học theo các chủ đề tự chọn ở trường trung học cơ sở môn
Toán.
[7]. Toán phát triển lớp 9
Tác giả : Vũ Hữu Bình
[8]. Tạp chí toán học tuổi thơ 2 – NXB Giáo dục
[9].Các dạng toán và phương pháp giải – NXB Giáo dục.

17