CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp

CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN
I.

Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng

∞
∞

hoặc

𝟎
𝟎

khi x→ x0 (∞)ta dùng quy tắc l'Hopital

đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử

L=𝑙𝑖𝑚 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 =..... cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em!
II.

Lý thuyết về các vô cùng bé và các vô cùng lớn:

+) vô cùng bé ( khi x→x0 ( x0≠ ∞) )
sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 khi u→ 0
1-𝑐𝑜𝑠 2 𝑢~

𝑢2
2

khi u→ 0

(1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 khi u→ 0
Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi tính giới hạn nếu x không tiến ra vô cùng thì ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô cùng bé .
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao. ( lim 𝑓(𝑥) =0 thì f(x) gọi là vcb)
𝑥→𝑥0

+) vô cùng lớn
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn: ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp. ( lim 𝑓(𝑥) =∞ thì f(x) gọi là vcl)
𝑥→∞

𝑥 100 +𝑥 50 +1
𝑥→∞ 𝑥 100 +𝑥 99 +100

VD : lim

Phân tích : rõ dàng khi x→ ∞ khi tử số 𝑥 100 tiến ra vô cùng nhanh nhất do đó ta gắt bỏ các thành phần
khác đi thì tử số tương đương với 𝑥 100 , 𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố
tương đương với 𝑥 100
𝑥 100
𝑥→∞ 𝑥 100

Như vậy L= lim
I.

=1

Sử dụng cách diễn giải trên để xử lý các bài tập

Câu 13 : tính giới hạn
3

2
√𝑐𝑜𝑠𝑥 − √𝑐𝑜𝑠𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥→0

L=lim

3

2

√𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1− √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥→0

=lim

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
khi x→ 0 thì sinx~𝑥 và cosx-1~ − 𝑥 2 /2 do đó
2

3

2

2

√1−𝑥 − √1−𝑥
2

L=lim

2

lim

𝑥2

𝑥→0

3

( √1−

𝑥2
2

2

−1)−( √1−

𝑥2
−1)
2

𝑥2

𝑥→0

1
1
𝑥2
𝑥2 2
3
(1− ) −1−[(1− ) −1]
2
2

= lim

𝑥2

𝑥→0

𝛼

Khi u→ 0 (1 + 𝑢) -1 ~ 𝛼𝑢 do đó L== lim
𝑥→0

−1.𝑥2 −1.𝑥2

−
3.2
2.2
𝑥2

== lim

−1. −1.
−
3.2 2.2

1

𝑥→0

1

=12

Câu 14 : tính giới hạn
1−𝑐𝑜𝑠𝑥√𝑐𝑜𝑠2𝑥
L=lim
𝑥2
𝑥→0

=lim

𝑥2
)(1−𝑥 2 )
2

2
𝑥

𝑥→0

𝑥2

𝑥→0

1−(1−

=lim

1−(𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1)√(𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+1)

= lim

𝑥→0

1
𝑥2
(2𝑥)2
)[(1−
)2 −1+1]
2
2
𝑥2

1−(1−

=lim

1−(1−

𝑥→0

𝑥2
1.(2𝑥)2
)(1−
)
2
2.2
2
𝑥

𝟎

( đến đây có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 2 lần)

Em nhân ra rồi tính đạo hàm 2 lần nhé ,sau đó thay x=0 vào ta đc kết quả nhé!
Câu 15 : tính giới hạn
1−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠3𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥→0

L=lim

Sau khi biến đổi tích thành tổng ta được
L=lim

𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠6𝑥+1−𝑐𝑜𝑠4𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
4(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)

Sử dụng 1-𝑐𝑜𝑠 2 𝑢~

𝑢2
2

(6𝑥)2 (4𝑥)2 (2𝑥)2
+
+
2
2
2
𝑥2
𝑥→0
4.
2

khi u→ 0 ta được
(6)2 (4)2 (2)2
+
+
2
2
2
1
4.

𝑥→0
2

= lim

L=lim

=14

Câu 16 : tính giới hạn
1
𝑥

L= lim 𝑥 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 )
𝑥→∞

1

Rõ dàng khi 𝑥 → ∞ thì 𝑥 → 0 do đó đủ điều kiện áp dụng vô cùng bé tương đương
2

1 2
𝑥

( )

Khi đó L= lim 𝑥 [
𝑥→∞

2

1
𝑥→∞ 2

] = lim

1

=2

Câu 17 : tính giới hạn
L= lim+ 3
𝜋
2

𝑥→

𝑐𝑜𝑠𝑥

√(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)2

𝜋 𝜋
2 2
𝜋 𝜋
𝜋+ 3
√[1−sin(𝑥− 2 + 2 )]2
𝑥→
2

= lim

cos(𝑥− + )

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

𝜋
2
𝜋
𝜋+ 3
√[1−cos(𝑥− 2 )]2
𝑥→
2

= lim

−sinx(𝑥− )

𝜋
2
2
𝜋+ (𝑥−𝜋)
2 ]^2
𝑥→ [
2
2
3

= lim

−(𝑥− )

2

= lim+
𝜋
2

𝑥→

−(2)3
𝜋
2

1

=-∞

(𝑥− )3

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Câu 18 : tính giới hạn
L=lim

𝑥→0

√1+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

Áp dụng sinx~𝑥 khi x→ 0
𝑥2

1

(1+𝑥 2 )2 −1
L=lim
=lim 𝑥22
𝑥2
𝑥→0
𝑥→0

= lim

1
2

𝑥→0 1

1

=2

Câu 19 : tính giới hạn
√1−𝑡𝑎𝑛𝑥−√1+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥→0

L=lim

Áp dụng tanx~𝑥 và sin2x~2 𝑥 khi x→ 0
(1−𝑥)−(1+𝑥)

√1−𝑥−√1+𝑥
2𝑥
𝑥→0

( liên hợp )= lim 2𝑥(

Ta được L=lim

𝑥→0

−1
−1
=lim
= 2
√1−𝑥+√1+𝑥) 𝑥→0 (√1−𝑥+√1+𝑥)

Câu20 : tính giới hạn
L=lim𝜋(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 −
𝑥→

2

𝜋
) =lim [2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→𝜋

𝜋
2

𝜋
2

− + )−

𝜋
𝜋 𝜋
2 2

] =lim𝜋[

cos(𝑥− + )

2

𝑥→

−2𝑥
𝜋
2

tan(𝑥− )

2

+

𝜋
𝜋
2

]

sin(𝑥− )

Thay vô cùng bé tương đương
−2𝑥

𝜋

𝑥−

𝑥−

=lim𝜋(
𝑥→

2

𝜋+
2

𝜋
2

−2(𝑥− )

[
𝜋) =lim
𝜋
𝑥→

2

𝑥−

2

𝜋
2

] =lim𝜋 −2 =-2
𝑥→

2

Câu 21 : tính giới hạn
L=lim

𝑥→0

ln(1+3𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑡𝑎𝑛2 𝑥

Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0

Khi đó

ln(1+3𝑥 2 )
𝑥2
𝑥→0

L=lim

3𝑥 2
𝑥→0 𝑥 2

=lim

= lim 3 = 3
𝑥→0

Câu 22: tính giới hạn
ln(1+𝑥−3𝑥 2 )

L=lim ln(1+3𝑥−4𝑥2 )
𝑥→0

Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
𝑥−3𝑥 2

1−3𝑥

1

Khi đó L=lim 3𝑥−4𝑥2 = lim 3−4𝑥 =3
𝑥→0

𝑥→0

Câu 23: tính giới hạn
ln(𝑥 2 −𝑥+1)
𝑥→∞ ln(𝑥 10 +𝑥 5 +1)

L= lim

Thay vô cùng lớn tương đương
Tử số ~ ln(𝑥 2 ) = 2𝑙𝑛𝑥
Mẫu số ~ ln(𝑥 10 ) = 10𝑙𝑛𝑥
2𝑙𝑛𝑥
2 1
= lim =
10𝑙𝑛𝑥
10
5
𝑥→∞
𝑥→∞

Khi đó L= lim

Câu 24: tính giới hạn

ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥)

ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1+1)

L=lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥) =lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥−1+1)
𝑥→0

𝑥→0

Vì cosax-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0 , tương tự cosbx-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0
Do đó áp dụng thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
−(𝑎𝑥)2

Ta được L=

𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1
lim
=lim 2 2
𝑥→0 c𝑜𝑠𝑏𝑥−1 𝑥→0 −(𝑏𝑥)

=lim

𝑥→0

2

−(𝑎)2
2
−(𝑏)2

=

𝑎2
𝑏2

2

Câu 25: tính giới hạn
8𝑥 −7𝑥

L=lim 6𝑥 −5𝑥
𝑥→0

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
8𝑥 𝑙𝑛8−7𝑥 𝑙𝑛7

1.𝑙𝑛8−1.𝑙𝑛7

𝑙𝑛8−.𝑙𝑛7

L=lim 6𝑥 𝑙𝑛6−5𝑥 𝑙𝑛5 = lim 1.𝑙𝑛6−1.𝑙𝑛5 =lim 𝑙𝑛6−.𝑙𝑛5
𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

Câu 26: tính giới hạn

𝑥 𝑥 −1
𝑥→1 𝑥𝑙𝑛𝑥

L=lim

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
Trước hết anh nói về cách tính đạo hàm của 𝑥 𝑥
Đặt y=𝑥 𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe 2 vế ) lny=xlnx
Bây giờ đạo hàm 2 vế ta được

𝑦′
𝑦

= (xlnx)’ = lnx+1

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Do đó y’=y.(lnx+1)= 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥 𝑥 )′ = 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1)
(𝑥 𝑥 −1)′
𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥+1)
=lim
=lim 𝑥 𝑥
𝑥→1 (𝑥𝑙𝑛𝑥)′ 𝑥→1 (𝑙𝑛𝑥+1)
𝑥→1

Áp dụng L’Hopital L=lim

=1

Câu 27: tính giới hạn
1

1+𝑡𝑎𝑛𝑥

L=lim ( 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑥→0

Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L= lim [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)

( với x0 có thể bằng 1 số hoặc bằng vô cực )

𝑥→𝑥0

lim 𝑔(𝑥).ln[𝑓(𝑥)]

Thì L=𝑒 𝑥→𝑥0

=…………….. ( chú ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến 1 là dạng vô định )

Áp dụng Vào bài toán : trước hết ta thay vô cùng bé tương đương

1

1+𝑥 1

lim .ln(

L=lim (1+𝑥)𝑥 =𝑒 𝑥→0𝑥

1+𝑥
)
1+𝑥

𝑥→0
lim

[ln(

=𝑒 𝑥→0

1+𝑥
)]′
1+𝑥
𝑥′

lim

[ln(

=𝑒 𝑥→0

1+𝑥
)]′
1+𝑥

𝑥′

tanx~𝑥 và sinx~𝑥 khi x→ 0

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
lim

𝑜

=𝑒 𝑥→01 =𝑒 𝑜 =1

Câu 28: tính giới hạn
1
𝑥

1
𝑥

L= lim (𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 )𝑥
𝑥→∞

Trước hết ta thay vô cùng bé tương đương ta được :
1
𝑥→∞ 𝑥

1 𝑥
)
2𝑥 2

L= lim ( + 1 −
1
𝑥

Vì ln( + 1 −

1
)
2𝑥 2

1

1

1

1

lim 𝑥.ln( +1− 2 )
lim 𝑥.( − 2 )
𝑥
𝑥 2𝑥 =
2𝑥 =𝑒 𝑥→∞

=𝑒 𝑥→∞

1
𝑥

~ −

1
2𝑥

lim (1− )

𝑒 𝑥→∞

= 𝑒 1 =e

1
2𝑥 2

Câu 29: tính giới hạn
1

L= lim (𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑥

2

𝑥→∞

Trước hết thay vô cùng bé tương đương
1

2

L = lim (1 − 2𝑥 2 )𝑥 = 𝑒
𝑥→∞

1

1

1

lim𝑥 2.ln(1− 2 ) lim𝑥 2.(− 2 ) 1
2𝑥 =𝑒 𝑥→∞
2𝑥 =
𝑥→∞
√𝑒

1

Vì ln(1 − 2𝑥 2 ) ~ − 2𝑥2
Câu 30: tính giới hạn
𝑛

√𝑎 +
2
𝑛→∞

L= lim (

𝑛

√𝑏 𝑛

)

với (a , b >0)

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
1

Đặt x=𝑛 , x→ 0
𝑎 𝑥 +𝑏𝑥 1
L=lim ( 2 )𝑥
𝑥→0

𝑒

khi đó

=𝑒

1 𝑎𝑥 +𝑏𝑥
lim
.(
−1)
2
𝑥→0 𝑥

1

𝑎𝑥 +𝑏𝑥
.ln(
−1+1)
2
𝑥→0 𝑥

lim

=𝑒

𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2
lim
2𝑥
𝑥→0

=𝑒

=

lim

𝑥→0

(𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2)′
(2𝑥)′

lim

𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎+𝑏𝑥 𝑙𝑛𝑏
2

lim𝑥.(

−2
)
𝑥+1

=𝑒

𝑥→0

=𝑒

𝑙𝑛𝑎+𝑙𝑛𝑏
2

=√𝑎 +√𝑏

Câu 31: tính giới hạn
𝑥−1 𝑥
)
𝑥→∞ 𝑥+1

L= lim (

−2 𝑥
)
𝑥+1

= lim (1 +

𝑥→∞

lim𝑥.ln(1+

=𝑒 𝑥→∞

−2
)
𝑥+1

=𝑒 𝑥→∞

=

1
𝑒2

Câu 32: tính giới hạn
1

1

1

1

1

1

2

L= lim (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥 = lim (𝑒 𝑥 − 1 + 1 + 𝑥)𝑥 = lim (𝑥 +1 + 𝑥)𝑥 = lim (1 + 𝑥)𝑥 =𝑒
𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

2
𝑥

lim 𝑥.ln(1+ )
𝑥→∞

𝑥→∞

=𝑒

2
𝑥

lim 𝑥.( )
𝑥→∞

=𝑒 2

Câu 33: tính giới hạn
𝑡𝑎𝑛2 2𝑥

L=lim𝜋(𝑠𝑖𝑛2𝑥)
𝑥→

=lim𝜋[𝑠𝑖𝑛2(𝑥 − +
𝑥→

4

𝜋

𝜋
4

𝜋

=lim𝜋 sin [2 (𝑥 −

4

1
2 [2(𝑥−𝜋)]
4

=lim𝜋 cos [2 (𝑥 − 4 )]𝑡𝑎𝑛
𝑥→

𝜋 𝑡𝑎𝑛2 2(𝑥−𝜋+𝜋)
4 4
)
4

4

𝜋

==lim𝜋[1 −
𝑥→

+

𝜋

2
𝜋 𝑡𝑎𝑛 [2(𝑥− 4 )+ 2 ]
]
2

4

1

[2(𝑥− )]2 [2(𝑥−𝜋)]2
4
4
]
2

4

1

𝜋

𝑥→

𝜋
)
4

Đặt (𝑥 − 4 ) = t thì L=lim[1 − 2𝑡 2 ]4𝑡2 ==𝑒

1
.ln(1−2𝑡 2 )
𝑡→0 4𝑡2

lim

𝑡→0

lim

= 𝑒 𝑡→0

1
.(−2𝑡 2 )
4𝑡2

=

1

√𝑒

Câu 34: tính giới hạn
𝑥 𝛼 −2𝛼

L= lim 𝑥 𝛽−2𝛽
𝑥→2

phân tích : rõ dàng khi thay x=2 vào L có dạng

0
0

do đó thỏa mãn điều kiện L'Hopital

đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử

khi đó L=đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 (viết cho vui thôi_ thi thì cứ băm luôn nhé :))
𝛼.𝑥 𝛼−1 −𝑜

𝛼

L=lim 𝛽.𝑥 𝛽−1 −𝑜 = 𝛽 . 𝑥 𝛼−𝛽
𝑥→2

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội