Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kĩ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Trịnh Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
1


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ....3
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...3
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...3
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….4
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….4
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…4
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...4
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........17

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….……………... 18
3.1. Kết luận………………………………………………………………18
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………….18

2


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Chính
vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không
thể không đề cập đến.
Chủ đề ứng dụng tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương
trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này không chỉ giúp học sinh
hiểu rõ ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lý của tích phân mà còn cho học sinh thấy
được sự liên hệ chặt chẽ giữa toán học với các khoa học khác, với thực tế đời
sống và lao động sản xuất. Đồng thời đây cũng là một nội dung thường gặp
trong các đề thi học kì, đề thi học sinh giỏi và đề thi trung học phổ thông.
Qua thực tế giảng dạy chủ đề ứng dụng hình học tích phân, tôi thấy học
sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt, để giải quyết được bài toán này học sinh
cần trang bị nhiều kiến thức như tính tích phân, thiết lập hàm số, khảo sát và vẽ
đồ thị, bài toán tương giao…Trong khi đó các em thường vận dụng công thức
một cách máy móc, chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan, chưa
có sự liên hệ giữa các tình huống thực tế với toán học nên các em hay bị nhầm
lẫn hoặc không giải được. Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai
lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và
đạt hiệu quả cao. Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lực
sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác. Xuất
phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung

học phổ thông kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phần
giúp học sinh nắm vững công thức, các phương pháp giải toán và vận dụng linh
hoạt các kiến thức đó. Thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, gây động cơ để
học sinh học tập tích cực từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hình
chủ đề ứng dụng tích phân ở trường trung học phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính diện tích hình phẳng bằng
tích phân, các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán này và cách
khắc phục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

3


- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12Đ,
12E,12G trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.

- Phân loại các dạng bài tập tính diện tích hình phẳng theo từng nội dung, chỉ
ra các cách giải khác nhau được sử dụng trong bài toán đó.
- Bố sung một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh nhận diện hình
phẳng, khắc sâu công thức tính diện tích.
- Bổ sung một số bài toán ứng dụng của tích phân trong thực tế.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
Ý nghĩa hình học của tích phân đã được sách giáo khoa giải tích 12 nêu
rõ:
- Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
b

x = a, x = b là S = ∫ f ( x ) dx [1].
a

- Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = f ( x ), y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng x = a, x = b ta
b

có công thức sau: S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx [1].
a

2.2. Thực trạng vấn đề.
Khi học sinh giải bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng,
các em thường mắc một số lỗi sau:

4

- Học sinh thường không giải được hoặc giải sai bài toán tính tích phân
của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đối với những hình phẳng mà đề bài chỉ cho giới hạn bởi 2 hoặc 3
đường, học sinh thường lung túng trong việc xác định cận để lấy tích phân.
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình
phẳng cần tính diện tích. Do đó thường giải sai hoặc không có phương hướng để
giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có sẵn hình ( hoặc học sinh đã vẽ được hình),
các em thường vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc,
không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị để xét dấu
biểu thức, kĩ năng chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích.
- Khi gặp những bài toán có liên hệ thực tế, học sinh thường không nhìn
thấy được mối liên hệ giữa diện tích hình phẳng cần tính với tích phân, không
tìm được hàm số phù hợp với hình phẳng cần tính diện tích.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt. Đặc
biệt là kĩ năng xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, kĩ năng vẽ đồ thị và
đọc đồ thị hàm số.
- Xây dựng một hệ thống các ví dụ minh họa có phân tích kèm lời giải chi
tiết với các cách khác nhau. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh thường gặp phải. Từ
đó rèn luyện cho học sinh tính chính xác, linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Tăng cường các bài toán có nội dung thực tế để học sinh thấy được ý
nghĩa của tích phân trong đời sống, từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học
tập môn toán.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận
thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ
tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4

đường y = f ( x ), trục Ox, đường thẳng x = a, x = b.
Công thức: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
b

x = a, x = b là S = ∫ f ( x ) dx [1].
a

• Một số lỗi học sinh thường mắc:
- Sử dụng sai công thức, không đưa hàm số f ( x) vào trong dấu giá trị
tuyệt đối.

5


- Không xét dấu của f ( x) trên đoạn [ a ; b ] , không tìm nghiệm của
phương trình f ( x) = 0 trên khoảng (a ; b).
• Một số giải pháp:
- Nhắc nhở học sinh sử dụng đúng công thức.
- Củng cố lại cho học sinh cách xét dấu của f ( x).
Cách 1: Ta có nhận xét: nếu phương trình f ( x) = 0 có k nghiệm phân biệt
x1 , x2 ,...xk trên khoảng (a; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), ( x1; x2 ),..( xk ; b) biểu
b

thức f ( x) có dấu không đổi. Vậy ta tính tích phân

∫

f ( x) dx như sau:

a

+) Giải phương trình f ( x) = 0. Tìm các nghiệm x1 , x2 , ...xk thuộc khoảng
( a ; b) .
+) Chia đoạn để tính tích phân.
b

x1

x2

a

a

x1

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +

∫

b

f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x) dx
xk

+) Xét dấu f ( x) trên từng khoảng (a ; x1 ), ( x1; x2 ),...( xk ; b) để khử dấu giá
trị tuyệt đối và tính tích phân.
Một số trường hợp đặc biệt, nếu f ( x) là hàm số bậc nhất ta sử dụng định
lí về dấu của nhị thức bậc nhất; nếu f ( x) là hàm số bậc hai, ta sử dụng định lí về

dấu của tam thức bậc hai.
Chú ý: ta cũng có thể sử dụng công thức:
b

x1

x2

a

a

x1

x1

x2

b

a

x1

xk

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +
=

∫

b

f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x) dx
xk

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... + ∫ f ( x)dx .

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ a ; b ] để suy ra dấu của
f ( x).
+) Nếu trên đoạn [ a ; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành
b

b

a

a

thì f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a ; b ] . Suy ra S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )dx.
+) Nếu trên đoạn [ a ; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành
b

b

a

a

thì f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a ; b ] . Suy ra S = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x )dx.

Các hoạt động củng cố.
Hoạt động 1. Cho học sinh ghi nhớ công thức tính diện tích, nhận diện hình
phẳng thông qua một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
Trích một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan:

6


Câu 1. Cho hàm số y = x 2 có đồ thi như hình vẽ. Xét hình phẳng H giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 1, x = 2. Gọi S H là
diện tích của H . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
2

2

A. S H = ∫ x dx.

2
B. S H = ∫ x dx.

2

1

0
1

2

2

C. S H = ∫ − x dx.

2
D. S H = ∫ x dx.

1

0

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

đoạn [ a; b ] . Xét hình phẳng H giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x ), trục hoành, hai
đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ
bên). Gọi S H là diện tích của hình phẳng H .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
b

A.

b

S H = ∫ f ( x) dx.

B. S H

a

a

a

C. S H

= ∫ f (− x) dx.
a

= ∫ f ( x)dx.

D.

b

S H = − ∫ f ( x)dx.
b

y = f ( x)

y

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] . Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị y = f ( x ), trục
hoành, hai đường thẳng x = a, x = b
(như hình vẽ bên). Giả sử S D là diện
tích của hình phẳng D. Chọn

a

x

O
b

công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây?
0

b

a

0

0

b

a

0

A. S D = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx.
C. S D = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x)dx.

0

b

a

0

0

b

a

0

B. S D = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.
D. S D = − ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx [3].

7


Câu 4: Cho hình thang cong

( H)

y

giới

hạn bởi các đường y = e x , y = 0 , x = 0 ,
x = ln 4 . Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4)
chia ( H ) thành hai phần có diện tích là
S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để
S1 = 2S2 .

2
A. k = ln 4 .
3

S1

B. k = ln 2

x
O

8
.
3

C. k = ln

S2

k

ln 4

D. k = ln 3 [3].

Câu 5. Cho đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy
như hình vẽ bên. Gọi S là phần diện tích được tô đậm. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?

(

B. S = ∫ ( R +
R

)
− R ) dx .

2
2
A. S = ∫ R + R − ( x − R ) dx .
0
R

( x + R)2

0

π R2
C. S = R +
.
4

2

2

R

(

)

2
2
D. S = ∫ R − R − ( x − R ) dx [3].
0

Hoạt động 2. Rèn luyện kĩ năng tính diện tích thông qua các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 2 x − 2,
trục hoành, đường thẳng x = 0, x = 2. [2].
Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích đã hội tụ đủ bốn đường. Vậy để giải
bài toán, ta có ngay công thức tính , chỉ cần xét dấu f ( x) và sau đó tính tích
phân.
Lời giải:
Cách 1. (Xét dấu f ( x) để khử dấu giá trị tuyệt đối).
2

Diện tích S của hình phẳng cần tính là: S = ∫ f ( x ) dx.
0
2

Ta có − x + 2 x − 2 = 0 vô nghiệm. Suy ra − x + 2 x − 2 < 0, ∀x ∈ ¡ .
2

2

2

x3
8
⇒ S = ∫ ( x − 2 x + 2)dx = ( − x 2 + 2 x) = .

3
3
0
0
2

Cách 2. ( Dùng đồ thị).
8


Vẽ đồ thị của hàm số y = − x 2 + 2 x − 2.
2
Từ đồ thị ta có: − x + 2 x − 2 < 0, ∀x ∈ [ 0 ; 2] .
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

2

x3
8
S = ∫ ( x − 2 x + 2)dx = ( − x 2 + 2 x ) = .
3
3
0
0
2

Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 1,
trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 2 [1].
Lời giải.

2

3
Cách 1. Diện tích cần tìm là: S = ∫ x − 1dx.
0

Xét dấu f ( x) trên đoạn [0; 2] ta có f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;1] và f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 1; 2] .
1

2

1

2

⇒ S = ∫ x − 1dx + ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x 3 − 1)dx
3

3

0

3

1

0

1

1

2


 x4

x4 
7
=  x − ÷ +  − x÷ = .
4 0  4

1 2
Cách 2. (Dùng đồ thị)
Vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 1.

Dựa vào đồ thị ta có x 3 − 1 ≤ 0 trên [ 0 ;1] và
x 3 − 1 ≥ 0 trên [ 1; 2] .
Diện tích cần tìm:
1

2

S = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x 3 − 1)dx
3

0

1

1

2


 x4

x4 
7
=  x − ÷ +  − x÷ = .
4 0  4

1 2
Nhận xét: Phương pháp dùng đồ thị chỉ nên sử dụng đối với các bài toán đã có
sẵn hình vẽ.
Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = x.ln x, trục
Ox và đường thẳng x = e.
Lời giải.
x = 0
Ta có x.ln x = 0 ⇔ 
x = 1
Nghiệm x = 0 không thỏa mãn điều kiện x > 0.
e

e

1

1

Diện tích cần tìm là: S = ∫ x.ln x dx = ∫ x.ln xdx .

9


1

du
=
dx

u = ln x
x
⇒

Đặt dv = xdx 
x2
v=

2
e

e

e

e

e

e

e

x2
x2 1
x2
x
x2
x2
e2 + 1
⇒ ∫ x.ln xdx = ln x − ∫ . dx = .ln x − ∫ dx = ln x −
=
2
2 x
2
2
2
4 1
4
1
1
1
1
1
1
e2 + 1
Vậy S =
.
4

Nhận xét: Với bài toán này, hình phẳng được cho giới hạn bởi y = x.ln x, trục
Ox , đường thẳng x = e. Thực ra đó chính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x.ln x, y = 0, x = 1, x = e. Trong đó x = 1 chính là hoành độ giao điểm của
y = x.ln x và y = 0.
Chú ý: Đối với hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ), trục Ox, đường
thẳng x = a hoặc y = f ( x ), trục Ox ( không đủ 4 đường), ta cần tìm các đường
còn lại từ nghiệm của phương trình f ( x) = 0.
x2 y 2
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip: 2 + 2 = 1, a > b > 0 [1]
a
b
Phân tích: Dựa vào tính chất đối xứng của elip, ta nhận thấy hai trục tọa độ chia
elip thành bốn phần bằng nhau. Vậy để tính diện tích elip, chỉ cần tính diện tích
của một phần đó.
Cái khó của bài toán là cần tìm phương trình của bốn đường tạo nên hình
phẳng cần tính diện tích.
x2 y 2
x2
b 2
2
2
a − x2 .
Ta có: 2 + 2 = 1 ⇔ y = b (1 − 2 ) ⇔ y = ±
a
b
a
a
Vậy ta có lời giải như sau:
Lời giải.
Ta xét phần elip nằm trong góc phần

tư thứ nhất. Đó là hình bị giới hạn bởi
b 2
a − x 2 , trục
đồ thị hàm số y =
a
hoành, trục tung và đường thẳng
x = a.
a

b 2
a − x 2 dx .
a
0

Vậy S = 4 ∫

 π
Đặt x = a sin t , t ∈ 0 ;  , ta có dx = a cos tdt.
 2
π
x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = .
2

10


π
2

π

2

π
2

4b
 sin 2t 
2
2
2
2
a
−
a
sin
t
.
a
cos
tdt
=
4
ab
cos
tdt
=
2
ab
t +
÷ = π ab.

∫0
a ∫0
2

0
Vậy diện tích elip là S = π ab.
Nhận xét: Đối với một số hình phẳng, đặc biệt là các hình giới hạn bởi
đường tròn, elip, hypebol, parabol,..ta cần tìm phương trình của đường cong.
Với elip, nửa đường cong nằm phía trên trục Ox có phương trình
b 2
y=
a − x 2 , nửa đường cong nằm phía dưới trục Ox có phương trình
a
b 2
y=−
a − x2 .
a
Như vậy, với bài toán tính diện tích hình phẳng, cần phải xác định đầy đủ
cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó rồi mới sử dụng công thức tính diện tích.
2.3.2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x), đường
thẳng x = a, x = b.
• Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = f ( x ), y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng
⇒S=

b

x = a, x = b ta có công thức sau: S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx [1].
a

• Chú ý: - Nếu g ( x) = 0 bài toán trở về dạng 1.
- Cần xác định hình phẳng với đầy đủ các đường như trên rồi mới
áp dụng công thức.
b

- Việc tính tích phân S = ∫ f ( x) − g ( x) dx. có thể sử dụng một
a

trong hai cách như trên.
Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn
bởi parabol y = 2 − x 2 và đường thẳng y = − x.
Phân tích: Hình phẳng trong bài toán bị giới hạn
bởi hai đường có dạng: y = f ( x ), và y = g ( x).
Vậy cần xác định phương trình của hai đường
thẳng x = a, x = b rồi mới sử dụng được công
thức tính diện tích.
Lời giải:
 x = −1
2
Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 − x = − x ⇔ 
x = 2
Vậy hình phẳng đang xét giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 − x 2 , y = − x, đường
thẳng x = −1, x = 2. Diện tích cần tìm:

11


2



x 2 x3 
9
S = ∫ 2 − x + x dx = ∫ (2 + x − x )dx =  2 x +
− ÷ = .
2
3  −1 2

−1
−1
2

2

2

2

Cách 2 ( sử dụng đồ thị).
Từ đồ thị ta có:
2


x 2 x3 
9
S = ∫ (2 + x − x 2 ) dx =  2 x +
− ÷ = .
2
3  −1 2

−1

2

Ví dụ 2. Gọi H là hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và
đường thẳng y = x − 2 ( hình vẽ bên).
Tính diện tích của H .

Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm:
Vậy diện tích cần tìm là:
4

S=∫
0

x = x − 2 ⇔ x = 4.
4

 x2

16
10
xdx − ∫ ( x − 2)dx =  − 2 x ÷ = − 2 = .
3
 2
2 3
2
4

Chú ý: Ta có thể coi hình H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = y 2 ,

đường thẳng x = y + 2, trục hoành và đường thẳng y = 2. Khi đó, diện tích cần
tìm là:
2

 y2
y3 
10
S = ∫ ( y + 2 − y 2 )dy =  + 2 y − ÷ = .
3 0 3
 2
0
Như vậy, với một số bài toán, ta có thể coi hình phẳng cần tính diện tích bị giới
hạn bởi các đường x = h( y ), x = ϕ ( y ), đường thẳng y = c, y = d (c < d ). Khi đó
2

d

diện tích cần tìm là: S = ∫ h( y ) − ϕ ( y ) dy.
c

Ví dụ 3. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = x 2 − 4 x + 3 , y = x + 3 ( hình vẽ bên dưới). Tính diện tích của H .
Phân tích: Ở bài toán này, sau khi tìm được hoành độ giao điểm ta có công thức
5

2
tính diện tích hình phẳng: S = ∫ x − 4 x + 3 − ( x + 3) dx .
0

Tuy nhiên để tính được tích phân với hai lần dấu giá trị tuyệt đối không phải là

đơn giản. Giả thiết bài toán đã cho đồ thị của các hàm số, vậy ta có thể dựa vào
đồ thị để tính diện tích, sẽ vừa đơn giản vừa cho đáp số chính xác.
Lời giải.
12


x = 0
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x − 4 x + 3 = x + 3 ⇔ 
x = 5
Diện tích cần tìm là:
1

S = ∫ ( ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3) ) dx
0

3

+ ∫ ( ( x + 3) − (− x 2 + 4 x − 3) ) dx
1

5

109
6
3
Nhận xét: Ở các bài tập này, học sinh sẽ lung túng khi giải. Cần lưu ý với
các em, khi gặp các bài toán có thể vẽ hoặc phác họa được đồ thị thì việc nhận
diện hình phẳng và tính diện tích sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Bài tập tương tự: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1.Đồ thị các hàm số y = x , y = 3 x .
2. Đồ thị các hàm số y = x 2 + 2, y = x, đường thẳng x = 0 và x = 2. [2]
3. Đường cong y 2 = 4 x , trục hoành và đường thẳng y = 2 x. [2]
4. Hai đường cong x = y 3 − y 2 và x = 2 y. [2].
+ ∫ ( ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3) ) dx =

2.3.3. Hình phẳng giới hạn bởi ba đường y = f ( x ), y = g ( x ), y = h( x).
Ví dụ 1. Gọi H là hình phẳng giới hạn
bởi parabol ( P ) : y = x 2 − 2 x + 2 và các
tiếp tuyến của ( P ) đi qua điểm A(2 ; − 2)
( hình vẽ bên). Tính diện tích của H .
Lời giải.
Phương trình tiếp tuyến của ( P) tại A là:
y = −2 x + 2, y = 6 x − 14.
Phương trình hoành độ giao điểm:
+ ) x 2 − 2 x + 2 = −2 x + 2 ⇔ x = 0
+) x 2 − 2 x + 2 = 6 x − 14 ⇔ x = 4
+) − 2 x + 2 = 6 x − 14 ⇔ x = 2
Diện tích cần tìm là:
2
4
16
2
S = ∫ ( ( x − 2 x + 2) − (−2 x + 2) ) dx + ∫ ( ( x 2 − 2 x + 2) − (6 x − 14) ) dx = .
3
0
2
Như vậy qua bài toán này cũng cần lưu ý với học sinh, để tính diện tích của
những hình phẳng giới hạn từ 3 đường cong trở lên, ta phải sử dụng đồ thị và
chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích. Đối với mỗi hình phẳng cần chia nhỏ,

phải xác định đầy đủ cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó.
13


Ví dụ 2. Gọi H là phẳng giới hạn bởi các
x2
2
(
P
)
:
y
=
x
,
đường sau: 1
( P2 ) : y = ,
4
2
8
( H1 ) : y = , ( H 2 ) : y = ( hình vẽ bên).
x
x
Tính diện tích của H .
Lời giải.
Phương trình hoành độ các giao điểm:
8
x 2 = ⇔ x = 2.
x
2

x 2 = ⇔ x = 3 2.
x
2
x
2
= ⇔ x=2
4 x
x2 8
= ⇔ x = 2 3 4.
4 x
Vậy diện tích cần tìm là:

S=

2

∫ (x

3

2

2

2
− )dx +
x

23 4

8

∫2 ( x −

2

23 4

x


x
x 
)dx =  − 2ln x ÷ +  8ln x − ÷
4
12  2
 3
 32 
2

3

Bài tập tương tự.
1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
thẳng y = −2 x − 4 và đường thẳng y = 2. [2]

3

= 4ln 2.

x −1
, đường
x+2

2
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 1 ,

y = x + 5.
3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 2 x + 2, tiếp tuyến
với parabol tại điểm M (3; 5) và trục tung.
2.3.4. Các bài toán thực tế.
Ví dụ 1. ( Trích đề thử nghiệm thi THPTQG)
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài
trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m
8m
. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng
(như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là
100.000 đồng/1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu
tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Phân tích: Nhận thấy không thể tính diện tích của dải đất bằng các công thức
tính diện tích thông thường. Hơn nữa, do elip và dải đất cần tính diện tích có
14


tính đối xứng, có kích thước nên nếu chọn hệ tọa độ một cách hợp lý, ta sẽ xác
định được phương trình của elip và các đường còn lại. Do đó sẽ xác định được
công thức tính diện tích hình phẳng.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục lớn, trục Oy trùng với

trục bé, gốc tọa độ O trùng với tâm của Elip.
x2 y 2
= 1.
Từ độ dài trục lớn và trục bé, suy ra phương trình của Elip: +
64 25
5
5
64 − x 2 , y = − 64 − x 2 .
Suy ra y =
8
8
Khi đó dải vườn được xem là hình phẳng giới hạn bởi các đường
5
5
y=
64 − x 2 , y = − 64 − x 2 . Vây diện tích của dải vườn là :
8
8
4

4

5
5 5
S = 2. ∫
64 − x 2 dx = ∫ 64 − x 2 dx.
8
208
−4
 π

Tính tích phân này bằng cách đổi biến x = 8sin t , t ∈ 0;  . Ta có
 2
Vậy số tiền là : T = 100000.80.(

π
3
+
) ; 7.653.000 đồng.
6
4

Nhận xét : Sau khi tìm được phương trình của elip, ta cũng có thể tính diện
4
5
2
tích hình phẳng theo một số cách khác. Chẳng hạn S = 4.∫ 64 − x dx, hoặc
8
0
8

5

5
8
S = π .8.5 − 4 ∫ 64 − x 2 dx, S = 4 ∫ 25 − y 2 dy ,..
8
5
4
0
Từ bài toán này ta suy ra cách giải của một số bài toán khác có nội dung ứng

dụng thực tế của tích phân.
Ví dụ 2. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ miếng
bìa mỏng hình vuông cạnh 10cm bằng cách khoét bỏ
đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như
hình dưới đây. Biết AB = 5cm, OH = 4cm. Tính diện
tích bề mặt hoa văn đó?[3]
Lời giải.
Ta xét một hình parabol. Chon hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ trùng H ,
trục Ox nằm trên đường thẳng AB, trục Oy nằm trên OH .

15


Phương trình của parabol : y = ax 2 + bx + c.
 b

 − 2a = 0
b = 0


16 2
Theo giả thiết ta có :  y (0) = 4 ⇔ c = 4
Vậy ( P ) : y = − x + 4
25
 5

16
 y ( ) = 0 a = −
25


 2
5
2

140
 16 2

.
Vậy diện tích hoa văn là : S = 10.10 − 4. ∫  − x + 4 ÷dx =
25
3


5
−

2

Ví dụ 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác
nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong
những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có
một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo
thành từ đường Lemniscate có phương trình trong
hệ tọa độ Oxy là 16 y 2 = x 2 (25 − x 2 ) như hình vẽ
bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết
rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương
ứng với chiều dài 1 mét [3].
Lời giải:
Gọi S1 là diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất. Ta có: S = 4S1 .
Nhận thấy, S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y =

đường

thẳng

x=0

x = 5.

diện tích cần
5
x
1
1
S = 4 ∫ 25 − x 2 dx = − ∫ (25 − x ) d (25 − x 2 ) = − ( (25 − x 2 )3 )
0
4
20
3
0
5

=

và

5

Vậy

x

25 − x 2 , trục hoành,
4

tìm

là:

1
2 2

125 2
( m ).
3

Bài tập tương tự.
Bài 1. Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần
lượt là 100m và 80m. Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh
của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn
anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi
nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng /m 2 và 40.000 đồng / m2 . Hỏi

16


6m

trong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (Lấy
làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Bài 5. Một công ty quảng cáo X
12 m

muốn làm một bức tranh trang trí A
I
B
E
F
MNEIF
hình
ở chính giữa của một
bức tường hình chữ nhật ABCD có
chiều cao BC = 6 m , chiều dài
CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết
MNEF là hình chữ nhật có
M
N
MN = 4 m ; cung EIF có hình dạng
D
4m
C
là một phần của cung parabol có đỉnh
I là trung điểm của cạnh AB và đi
qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức
tranh là 900.000 đồng/ m 2 . Hỏi công
ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức
tranh đó ? [3].

Bài 2. Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau:trên mỗi
cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh
parabol (P) cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút
của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó. Hãy tính diện tích hình trên
(kể cả lục giác ). [3]

Bài 3. Một người có một mảnh vườn hình vuông
cạnh 6m như hình vẽ, người đó trồng cỏ trong phần
sân tô màu. Tính diện tích cỏ người đó phải trồng.

Bài 4. Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía
ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng
1
và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng
2
2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên).
100

Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón 2 2 − 1 π kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử
(
)
dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?[3]
17


Bài 5.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta
dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào
biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m [3].
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp :
12Đ, 12E, 12G. Trong ba lớp có hai lớp theo khối A và một lớp theo khối D, đa
số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và
giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng các em rất lung
túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình
tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt động học
tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được

vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các
đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Kết quả kiểm tra:
Lớp

Điểm yếu

Điểm TB

Điểm khá

Điểm giỏi

Số bài

%

Số bài

%

Số bài

%

Số bài

%

12Đ

1

2,1

6

12,7

20

42,6

20

42,6

12E

5

10

10

20

25

50

10

20

12G

7

14,2

15

30,6

21

42,9

6

12,3

Như vậy ở cả ba lớp, số học sinh đạt trung bình trở lên chiếm 91% và có 69,9%
học sinh đạt điểm khá, giỏi.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán

này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
- Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp xúc
với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng cần có
18


tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các
chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
- Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng kiến
kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để đồng
nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến kinh
nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu
sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây
dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trịnh Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

19


1. Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo Dục năm
2008.
2. Bài tập giải tích 12 nâng cao, tác giả Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng
Hùng Thắng, nhà xuất bản giáo dục năm 2008.
3. Đề thi minh họa môn Toán năm 2017 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, Đề thi
KSCL môn toán của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong cả nước.
4. Tích phân 12 các ví dụ, các bài toán, tác giả Văn Như Cương, Nguyễn Tiến
Quang, Nhà xuất bản Giáo Dục năm 1995.

DANH MỤC
20


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Hiền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hà Trung – Hà Trung –
Thanh Hóa.

Cấp đánh giá xếp
loại

TT

Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

1.

Rèn luyện học sinh lớp 12 kỹ
năng sử dụng phương pháp
hàm số vào giải phương trình,

Sở Giáo Dục và
Đào Tạo tỉnh
Thanh Hóa.

Kết quả
đánh giá xếp
loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

(A, B, hoặc C)

C

2013-2014

hệ phương trình, bất phương
trình.

----------------------------------------------------

21