Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trường THPT lê lợi kỹ năng giải một số dạng toán về phương trình mặt cầu bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực hành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG
THPT LÊ LỢI KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN
LOẠI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH

Người thực hiện:
Đỗ Thị Thủy
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH
MỤCHĨA
LỤCNĂM 2017

1


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU …….........................................................................................

2
1.1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………..
2
1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………..
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….
3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .........................................
4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .........................................
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .........
4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ................................
5
2.3.1. Cơ sở lý thuyết ........................................................................
5
2.3.2. Một số dạng toán thường gặp ...…...........................................
6
Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu cho trước
6
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước 7
Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua
điểm M ……………………………………………
7
Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB….
8
Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc

với mặt phẳng (P)…………………………………..
8
Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc
với đường thẳng d…………………………………..
9
Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm
A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD)…………......
10
Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm
A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P)………..
11
Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B
và tâm I nằm trên đường thẳng cho trước…………..
12
Bài toán 3: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và
mặt phẳng ……………………………………………
13
Bài toán 4: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và
đường thẳng …………………………………………
15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ..............................................
16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ....................................................................
17
- Tài liệu tham khảo ..............................................................................
19
- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở
GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ………...
20

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
Trong Chương trình Tốn hình học lớp 12, phần kiến thức về phương pháp tọa
độ trong khơng gian có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi các em học sinh cần phải
nắm vững phương pháp giải và rèn luyện giải được các dạng tốn này, nhưng thời
lượng luyện tập trên lớp thì q ít ỏi, điều này gây khó khăn cho đa số các em học
sinh.
Các bài tốn về phương trình mặt cầu thường rất hay gặp trong các đề thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia. Dạng tốn này rất hay và khơng quá khó đối với các em
học sinh lớp 12, với mức độ tư duy vừa phải, lời giải nhẹ nhàng, lơgíc thường dễ
gây hứng thú học tập hơn cho học sinh so với những dạng tốn hình khác.
Để làm được dạng tốn về phương trình mặt cầu trong khơng gian tọa độ
Oxyz thỏa mãn điều kiện nào đó cho trước này, ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân
tích giả thiết bài tốn, thì địi hỏi các em phải nắm vững kiến thức hình học khơng
gian, nắm vững kiến thức về vectơ, tọa độ mà còn phải nắm vững kiến thức về
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu và mối quan hệ giữa chúng.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng
túng trước một bài tốn về phương trình mặt cầu, khơng định hướng được cách
giải quyết, vì thế trong quá trình học để giúp học sinh khơng bị khó khăn khi gặp
dạng tốn này, tôi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phải
nắm vững và giúp các em đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để
học sinh tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành
lối tư duy giải quyết vấn đề, từ đó có thể làm được những bài tốn về phương trình
mặt cầu trong chương trình.
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia nên
phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết cho

các kỳ thi vào cuối năm học. Trường THPT Lê Lợi có học sinh điểm tuyển đầu vào
khá cao so với các trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học
sinh có học lực trung bình cịn chiếm tỉ lệ 17% . Với đề tài “Rèn luyện cho học
sinh lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ năng giải một số dạng tốn về phương
trình mặt cầu bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực
3


hành” sẽ giúp học sinh lớp 12 không bị lúng túng trước một bài tốn về phương
trình mặt cầu trong khơng gian tọa độ Oxyz.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn nói chung và mơn Hình
học giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính
tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học
sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
- Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, một mơn học được
coi là khơ khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng,
học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em
củng cố và khắc sâu các tri thức .
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
Đề tài này rèn luyện cho học sinh lớp 12 phân loại và đưa ra phương pháp
làm một số dạng tốn về phương trình mặt cầu trong khơng gian tọa độ Oxyz thông
qua một số bài tập thực hành nhằm giúp các em có nền tảng vững chắc, có kỹ năng
giải tốt dạng tốn đó trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về phương trình mặt cầu trong
khơng gian tọa độ Oxyz .
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết
dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
Để dạy đối tượng học sinh lớp 12 đại trà một cách hiệu quả, trong đề tài này tôi
đã đưa ra ba yêu cầu sau:
+) Cơ bản
+) Phù hợp với đối tượng học sinh.
4


+) Phù hợp với kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia.
Tơi tiến hành xây dựng chương trình và nội dung giảng dạy cho học sinh lớp
12 theo bố cục sau đây :
1. Phân loại các dạng bài tập
2. Nêu phương pháp làm cụ thể và tỉ mỉ đối với từng loại bài
3. Mỗi loại bài lấy ví dụ minh họa
4. Bài tập đề nghị học sinh làm
5. Kiểm tra, đánh giá việc làm bài tập của học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực,
chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo,
năng lực giải quyết vấn đề. Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng
: bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới
tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể
tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề. Có như thế thì học sinh mới dễ
dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Trong quá trình giảng dạy chương trình Tốn hình học lớp 12, tơi nhận thấy
rằng các bài tốn về phương trình mặt cầu thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp
THPT Quốc gia.
Thấy được tầm quan trọng của nó nên khi ơn tập mảng: “ Các bài tốn về
phương trình mặt cầu trong khơng gian tọa độ Oxyz ” của hình học 12, tơi băn
khoăn nên làm như thế nào để giúp các em học sinh tái hiện lại kiến thức đã học,
phân loại các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tốn đó một các hiệu quả,
đặc biệt đối tượng học sinh của tôi là lớp 12A9, đây là lớp học trung bình trong
khối, hầu hết các em đều “ngại” học toán, khả năng nhận thức của các em còn rất
chậm, nhanh quên và tính tốn kém, quả là một thách thức ! Bên cạnh những học
sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tịi, khám phá, sáng tạo thì
lại có một bộ phận khơng nhỏ học sinh lại học trung bình, trung bình yếu, lười suy
5


nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong
phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy.
Theo tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên
phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp,
tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề và
phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
2.3.1. Cơ sở lý thuyết :
a) Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M trong không gian cách một điểm I cố định một
khoảng không đổi là R > 0.
+) Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
+) Khoảng cách không đổi là R >0: Gọi là bán kính của mặt cầu .
b) Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

2
2
2
( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 . (1)

2
2
2
2
2
2
Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a + b + c − d > 0 ) (2).

Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
c) Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng ( ∆ ) .
Tính: d ( I , ∆ ) , sau đó so sánh d ( I , ∆ ) và R
+) Nếu: d ( I , ∆ ) > R : ( ∆ ) ∩ ( S ) = ∅ ;
+) Nếu: d ( I , ∆ ) < R : ( ∆ ) ∩ ( S ) tại 2 điểm phân biệt;
+) Nếu: d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) và ( S ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S).
d) Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Tính: d ( I , ( P ) ) =
Nếu: 1) d ( I , ( P ) )

Aa +Bb +Cc+D

và so sánh d ( I , ( P ) ) với R

A2 + B2 + C 2

> R :( P ) ∩ ( S ) = ∅ ;

(

2
2
2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( S ) là đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) )

)

với H là hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường trịn trong khơng gian có phương trình:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2



 Ax + By + Cz + D = 0

6


3) d ( I , ( P ) ) = R : ( P ) và (S) tiếp xúc nhau tại điểm H l
Với H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S).
2.3.2. Một số dạng toán thường gặp :
Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu cho trước.
Phương pháp chung:
2
2
2
Cách 1: Nếu PT(S) có dạng (1) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2

thì mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R
Cách 2: Nếu PT(S) có dạng (2) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
thì ta có 2 hướng làm
+) Hướng 1: Biến đổi đưa về phương trình dạng 1 và kết luận tâm, bán kính
+) Hướng 2: Trước hết ta phải chuyển ba hệ số của x 2 , y 2 , z 2 về hệ số 1(nếu có),
rồi sau đó cũng đồng nhất các hệ số của hai phương trình tìm a, b, c và d. Xét điều
kiện: a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 và kết luận.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 36 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
Hướng dẫn: Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;2) và có bán kính R= 6.
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 3x + 4 y − 5 z + 6 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
2

2

2

3

a=−

 −2a = 3
2

 −2b = 4
b
=
−

2
13


⇔
>0
⇒ a2 + b2 + c2 − d =
Hướng dẫn: Ta có: 
2
 −2c = −5 c = 5
 d = 6

2
d = 6

5
 3
26
Vậy mặt cầu (S) có tâm I  − ; −2; ÷và có bán kính R=
.
2
 2
2

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 8 x − 4 y + 12 z + 10 = 0 . Xác định tọa độ tâm I và bán kính của (S).
Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho 2 ta được:
x2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 6z + 5 = 0
 −2a = 4
 a = −2

 −2b = −2
b = 1


⇔
⇒ a2 + b2 + c2 − d = 9 > 0
Ta có: 
−
2
c
=
6
c
=
−
3


 d = 5
d = 5

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;-3) và có bán kính R= 3.
Bài tập đề nghị :
7


Bài 1[1] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
A. I(1 ; -2 ; -1) và R = 3
B. I(-1 ; 2 ; 1) và R = 3

C. I(-1 ; 2 ; 1) và R = 9
D. I(1 ; -2 ; -1) và R = 9
2
2
2
Bài 2[2] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 x + 10 y − 6 z + 49 = 0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
A. I(4 ; -5 ; 3) và R = 1
B. I(-4 ; 5 ; -3) và R = 1
C. I(-4 ; 5 ; -3) và R = 7
D. I(4 ; -5 ; 3) và R = 7
2
2
2
Bài 3[3] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : 3x + 3 y + 3z − 6 x − 3 y + 15 z − 2 = 0
. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2

3 −15 
139
÷; R =
2

139
 1 −5 
C. I 1; ; ÷; R =
2
 2 2 

2

2

7 6
 3 −15 
B. I  3; ;
÷; R =
6
 2 2 


A. I  3; ;
 2 2

1 −5



D. I 1; ; ÷; R =
6
 2 2 
Bài 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4mx + 2my + 4 z + m2 + 4m = 0 . Giá trị thực của m để bán kính mặt
cầu nhỏ nhất là

B. m =

A. Khơng tồn tại m

1

2

C. m = 1

7 6

D. m = −

1
3

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp chung:
Cách 1: Xác định 2 yếu tố: Tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
Từ đó suy ra phương trình mặt cầu : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
Cách 2: Xác định phương trình mặt cầu theo dạng (2)
- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng :
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( Điều kiện : a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )
- Bước 2: Từ giả thiết của bài tốn, lập hệ phương trình 4 ẩn a, b, c, d.
- Bước 3: Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c , d và kết luận.
Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm M.
uuur
• Bước 1: Tính vectơ IM
• Bước 2: Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là: R = IM.
• Bước 3: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).
VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, cho 2 điểm E(-1;4;5) và F(3;2;7).

Viết phương trình mặt
cầu (S) đi qua điểm F và có tâm là E.
uuur
Hướng dẫn: Ta có: EF = ( 4; −2; 2 ) . Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là:
R = EF =

( 4)

2

+ ( −2 ) + ( 2 ) = 2 6 .
2

2

8


Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 5) = 24 .
2

2

2

Bài tập đề nghị :
Bài 1[4] : Trong không gian Oxyz, cho A(1 ; 2 ; 0), B(3 ; -2 ; 2). Viết phương trình
mặt cầu (S) tâm A và đi qua B.
2
2

2
2
A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 24
B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 20
C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 16
2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 4

2

2

2

Bài 2[5] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :

x −1 y − 2 z +1
=
=
và điểm
−1
1
2

A(2 ; -1 ; 1). Gọi I là hình chiếu vng góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm I và đi qua A.
2
2
2

2
A. x 2 + ( y − 3) + ( z − 1) = 20
B. x 2 + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 5
C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 20
2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 14

2

2

2

2

Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB.
Phương pháp chung:
uuu
r
• Bước 1: Tính vectơ AB
• Bước 2: Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là: R =

1
AB .
2

• Bước 3: Tìm tọa độ tâm I của (S) chính là trung điểm của đoạn AB.

• Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).
* Chú ý: Nếu ta tìm tâm I trước thì bán kính cịn có thể tính là R=IA hoặc R=IB.
VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3) và B(3;2;-7).
Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB.
uuu
r

Hướng dẫn: Ta có: AB = ( 4;0; −10 ) .
1
2

1
2

Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là: R = . AB = . ( 4 ) + ( 0 ) + ( −10 ) = 29
2

2

2

Gọi I(x; y; z) là tâm của mặt cầu (S). Khi đó I là trung điểm của đoạn AB. Suy ra:
I(1; 2; -2).
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 29 .
Bài tập đề nghị [6]: :
Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7). Phương trình

mặt cầu đường kính AB là :
2
2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62
B. ( x + 5 ) + ( y + 1) + ( z − 6 ) = 62
C. ( x − 5) + ( y − 1) + ( z + 6 ) = 62
2

2

2

D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62
2

2

2

9


Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Phương pháp chung:
• Bước 1: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là: R = d [ I , ( P) ]
• Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).

VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là:
2.1 − 2.2 − 1.3 − 4

R= d [ I , ( P) ] =

( 2)

2

+ ( −2 ) + ( −1)
2

2

= 3.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .
2

2

2

Bài tập đề nghị :
Bài 1[7] : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1 ; 2 ; -3) và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P):
2

2
2
2
2
2
A. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9
B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9
C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 81
D. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25
[8]
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) và mặt cầu ( S ) có phương
trình lần lượt là ( P ) : 2 x + 2 y + z − m 2 + 4m − 5 = 0; ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 2 z − 6 = 0 .
Tất cả các giá trị của m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) là
A. m = 5 .
B. m = −1 hoặc m = −5 .
C. m = −1 .
D. m = −1 hoặc m = 5 .
[9]
Bài 3 : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x – 2y + 2z + 9 = 0. Mặt cầu (S) tâm
O và tiếp xúc với mp(P) tại H(a ; b ; c), tổng a + b + c bằng :
A. -1
B. 1
C. 2
D. -2
2

Bài 4

[10]

2

2

2

2

2

x = t

: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :  y = −1 và hai mặt phẳng
 z = −t


(P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S)
có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
4
9
4
=
9

A. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) =
2

2

C. ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3)

2

2

2

2

2
3
2
2
2
2
D. ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =
3

B. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) =
2

2

2

Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Phương pháp chung:
• Bước 1: Vì (d) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là: R = d [ I , (d ) ]
• Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).
10

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I (0;1; −2). Viết phương trình mặt cầu
có tâm I và tiếp xúc với trục Ox .
Hướng dẫn: Vì (S) tiếp xúc với trục Ox nên bán kính của mặt cầu (S) là:
R= d ( I , Ox ) = 2.
2
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .
Ví dụ 2
V:

[11]

x = 1
x = 2


: Trong không gian Oxyz, cho 3 đường thẳng d1 :  y = 1 ; d 2 :  y = u ;
z = t
z = 1+ u



x −1 y z −1
= =
. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d1, d2 và có tâm thuộc
1
1
1

đường thẳng ∆.
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 
1 
1
5

B.  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ =
2 
2 

2
2


A. ( x − 1) + y + ( z − 1) = 1
2

2

3 
1 
3
1

C.  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
2 
2 
2
2


5 
1 
5
9

D.  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
4 
4 
4  16



Hướng dẫn:
ur
HS rút ra : d1 đi qua M1(1 ; 1 ; 0) và có vectơ chỉ phương u1 = ( 0;0;1)
uu
r
u
d2 đi qua M2(2 ; 0 ; 1) và có vectơ chỉ phương 2 = ( 0;1;1)
uuuu
r
uuuur
Giả sử tâm mặt cầu là I, I ∈V⇒ I ( 1 + t ; t ;1 + t ) ⇒ IM 1 = ( −t;1 − t; −1 − t ) ; IM 2 = ( 1 − t ; −t; −t )
Theo giả thiết ta có :
d ( I ; d1 ) = d ( I ; d 2 )

ur uuuu
r
uu
r uuuur
u1 ; IM 1 
u2 ; IM 2 




⇔
=
⇔
ur

uu
r
u1
u2

( 1− t )

2

+ t2

1

=

2 ( 1− t )

2

2

⇔t=0

Suy ra I(1 ; 0 ; 1)
Bán kính mặt cầu R = d ( I ; d1 ) = 1
2
2
Vây mặt cầu là : ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 1 . Chọn đáp án A.
Bài tập đề nghị :

x +1 y − 2 z + 3
=
=
và điểm
2
1
−1
I (1; −2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là
A. ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 3) 2 = 5 2.
B. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3) 2 = 50

Bài 1[8] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

C. ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 3) 2 = 50
D. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3) 2 = 50.
Bài 2[12] : Trong không gian Oxyz, cho điểm I (0; 2;3). Viết phương trình mặt cầu có
tâm I và tiếp xúc với trục Oy .
A. x 2 + ( y + 2)2 + ( z + 3)2 = 3.
B. x 2 + ( y − 2)2 + ( z − 3) 2 = 4
C. x 2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 9

D. x 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 3)2 = 2.

Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D
(ngoại tiếp tứ diện ABCD).
11


Phương pháp chung:
• Bước 1: Viết phương trình của mặt cầu (S) dạng (2).

• Bước 2: Do (S) đi qua lần lượt bốn điểm A, B, C, D nên thế tọa độ bốn điểm
vào phương trình ta được bốn phương trình .
• Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được, suy ra bốn ẩn là: a,b,c và d .
• Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).
* Chú ý: Ta có thể giải bằng cách khác như sau:
- Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S).
- Vì A, B, C, D ∈ ( S ) nên IA=IB=IC=ID=R (*)
- Giải (*) tìm a, b, c.
- Tính R=IA.
- Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).
VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Viết
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B và C.
2
2
2
Hướng dẫn: Giả sử phương trình (S) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( *)
Vì (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C nên ta thế tọa độ bốn điểm vào phương trình (*)
ta được hệ phương trình:
d =0

d = 0
d = 0
 2 − 2a

a = 1
+ 2c + d = 0
+ 2c = −2

 −2 a


⇔
⇔

6 − 2a − 4b − 2c + d = 0
−2a − 4b − 2c = −6
b = 1
 4

c = 0
− 4b
+d = 0
− 4b
=−4
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y = 0 .

Bài tập đề nghị :
Bài 1[13] : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(1 ; 1 ; 0), B(1 ; 0 ; 2),
C(2 ; 0 ; 1), D(-1 ; 0 ; -3). Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
5 5 50
=0
7 7 7
5 31
5 50
C. x 2 + y 2 + z 2 + x+ y + z- = 0
7
7
7 7

A. x 2 + y 2 + z 2 + x+ z-

5 31 5 50
y+ z- = 0
7 7
7 7
5 31
5 50
D. x 2 + y 2 + z 2 + x+ y − z- = 0
7
7
7 7

B. x 2 + y 2 + z 2 + x-

Bài 2 : Trong không gian Oxyz, gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm M(1 ; 0 ; 0),
N(0 ; 1 ; 0), P(0 ; 0 ; 1), Q(1 ; 1; 1). Tìm tọa độ tâm I.
1

1 1

A.  ; − ; ÷
2 2 2

2 2 2

B.  ; ; ÷
3 3 3

1 1 1

C.  ; ; ÷
2 2 2

 1

1

1

D.  − ; − ; − ÷
 2 2 2

Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm
trên mặt phẳng (P).
Phương pháp chung:
• Bước 1: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (2), sau đó cho (S) đi qua ba
điểm A, B, C ta được ba phương trình
• Bước 2: Thay tọa độ tâm I với a, b, c vào phương trình mặt phẳng (P) ta
được phương trình thứ tư. Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn .
12


• Bước 3: Giải hệ, ta suy ra a, b, c và d . Thay vào phương trình dạng (2) ta có
phương trình của (S).
VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm
A(-2;4;1), B(3;1;-3), C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+y-z+3=0 .
2
2
2

Hướng dẫn: Giả sử phương trình (S) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( *)
Vì (S) đi qua ba điểm A, B, C nên ta thế tọa độ ba điểm vào phương trình (*) ta
21 + 4a − 8b − 2c + d = 0 ( 1)

được hệ phương trình: 19 − 6a − 2b + 6c + d = 0 ( 2 )

+d =0 ( 3)
25 + 10a

10a − 6b − 8c = −3 ( 4 )
−6a − 8b − 2c = 4 ( 5 )

Trừ vế cho vế của pt(1) cho (2), pt(1) cho (3) ta được HPT: 

Mặt khác, (S) có tâm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) nên ta thế tọa độ điểm I vào pt
(P) ta được: 2a + b - c = -3 (6).
Giải hệ ba phương trình (4), (5) và (6) ta tìm được a =
Thế a =

7
15
23
, b =−
,c= .
8
8
8

7
135

vào (3) suy ra d = −
.
8
4
7
4

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 + y 2 + z 2 − x+

15
23 135
y − z=0 .
4
4
4

Bài tập đề nghị :
Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm
A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và có tâm thuộc (P): x+y+z-2=0 .
Bài 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm
A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B và tâm I nằm trên
đường thẳng cho trước.
Phương pháp chung:
• Bước 1: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c).
Vì I ∈ Ox nên tọa độ của tâm I là: I(a;0;0).
Hoặc nếu I ∈ Oy thì tọa độ của tâm I là: I(0;b;0).
I ∈ Oz thì tọa độ của tâm I là: I(0;0;c).
• Bước 2: Tính độ dài IA và IB
• Bước 3: Giải phương trình IA=IB=R tìm tâm I và R

• Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1).
VÍ DỤ MINH HỌA
Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;1) và B(1;-1;2). Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục hồnh và đi qua hai điểm A và B.
Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c).
13


Vì I ∈ Ox nên tọa độ của tâm I là: I(a;0;0).
uu
r

Ta có: IA = ( 3 − a; −2;1) ⇒ IA = ( 3 − a ) + 5
2

uur
IB = ( 1 − a; −1; 2 ) ⇒ IB =

(1− a)

2

+5

Vì A, B nằm trên (S) nên IA=IB ⇔ ( 3 − a ) + 5 = ( 1 − a ) + 5 ⇔ a = 2
2

2

Khi đó, (S) có tâm I(2;0;0) và R=IA= 6 .

2
Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: ( x − 2 ) + y 2 + z 2 = 6 .
Bài tập đề nghị :
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;1) và B(1;-1;2)
a) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc trục Oy và đi qua hai điểm A và B.
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc trục Oz và đi qua hai điểm A và B.
Bài 2[14]: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 3 ; 0) và B(-2 ; 1 ; 1) và
đường thẳng V:

x +1 y −1 z
=
=
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I
2
1
−2

thuộc đường thẳng ∆.
2

2

2

2

2 
13 

A.  x − ÷ +  y + ÷

5 
10 


2

2 
13 

B.  x + ÷ +  y − ÷
5 
10 


2

2 
13  
3
521

D.  x − ÷ +  y + ÷  z − ÷ =
5 
10  
5  100


3
25


z− ÷ =
5
3


2 
13  
3  521

C.  x + ÷ +  y − ÷  z + ÷ =
5 
10  
5  100


2

2

2

2

2

3
25

z+ ÷ =
5

3

2

Bài toán 3: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và mặt
phẳng.
Phương pháp chung:
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P)
Học sinh cần nắm vững 3 vị trí tương đối giữa (S) và (P):
Đặt d = IH = d ( I ; ( P ) )
+) d > R : ( S ) I ( P ) = ∅
+) d = R : ( S ) I ( P ) = { M }
M là tiếp điểm của (S) với (P)
I
(P) là tiếp diện của (S) tại M.
+) d < R : (S) cắt (P) theo đường trịn
R
(C) tâm H, bán kính r
H
Với H là hình chiếu của I trên (P)
r
A
và r = R 2 − d 2
P
Từ đó suy ra : R = r 2 + d 2
d = R2 − r 2

Đặc biệt: Khi d = 0 thì R = r
VÍ DỤ MINH HỌA
14

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 25
Và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + m = 0. Các giá trị của m để (P) và (S) khơng
có điểm chung là :
A. m ≤ −9 hoặc m ≥ 21
B. m < −9 hoặc m > 21
C. −9 ≤ m ≤ 21
D. −9 < m < 21
Hướng dẫn:
HS rút ra: Mặt cầu (S) có tâm I(-1 ; 2 ; 3) và bán kính R = 5
Để để (P) và (S) khơng có điểm chung thì
m−6
 m > 21
d ( I;( P) ) > R ⇔
> 5 ⇔ m − 6 > 15 ⇔ 
. Chọn đáp án B.
3
 m < −9
Ví dụ 2[15]: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 3) 2 = 9 , điểm M(2 ; 1; 1) thuộc mặt cầu. Lập phương
trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.
Hướng dẫn: Mặt cầu (S) có tâm
I(1 ; -1 ; 3)
uuur
HS rút ra: (P) đi qua M, nhận IM = ( 1; 2; −2 ) làm vectơ pháp tuyến
Suy ra PT của (P): x + 2y – 2z – 2 = 0.
[1]
Ví dụ 3 : Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 1; 1) và
mp ( P ) : 2 x + y + 2 z + 2 = 0 . Biết mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một

đường trịn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ( x + 2)2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2 = 8
B. ( x + 2)2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2 = 10
C. ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 8
D. ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 10
Hướng dẫn: Khoảng cách từ tâm I đến mp(P) là: d = d ( I ; ( P ) ) = 3
Bán kính đường trịn giao tuyến là : r = 1
HS nhận xét : R 2 = d 2 + r 2 = 10 . Từ đó rút ra PT(S): ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1) 2 = 10
Chọn đáp án D
Bài tập đề nghị :
Bài 1[15] : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x - 2y – z +2 =0 và mặt cầu
2
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) 2 + ( z − 1)2 = 9 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. (P) không cắt (S)
B. (P) tiếp xúc với (S)
C. (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 3
D. (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bé hơn 3.
2
2
2
Bài 2[4] : Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 và mặt
phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0. Diện tích hình trịn thiết diện của mp(P) và mặt cầu
(S) là :
A. 25π
B. 9π
C.16
D. 16π
[16]
Bài 3 : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x + y – 2z +4 =0 cắt mặt cầu
2

( S ) : ( x − 1) + ( y − 1)2 + ( z + 1)2 = 25 theo một đường tròn tâm H. Điểm H là điểm nào
sau đây ?
A. H ( 1; −1;0 )
B. H ( 0; −1;1)
C. H ( −1;0;1)
D. H ( 1;0; −1)
[17]
Bài 4 : Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 9 = 0,
15


x −1 y + 3 z − 3
=
=
, một phương trình mặt
−1
2
1
cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường trịn có chu vi 2π là
A. ( S ) : x 2 + ( y + 1)2 + ( z − 4) 2 = 4
B. ( S ) : ( x + 3) 2 + ( y − 5)2 + ( z − 7) 2 = 4

(Q): x – y +z +4 = 0 và đường thẳng d :

C. ( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 5) 2 + ( z − 2) 2 = 4
2

D. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3)2 + z 2 = 4
2

Bài 5[18] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z -2x+4y + 2z = 0 và
điểm M(0 ; -1 ; 0). Mp(P) đi qua M và cắt (S) theo đường trịn (C) có chu vi nhỏ
nhất. Gọi N ( x0 ; y0 ; z0 ) là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho ON = 6 . Tính y0 ?
A. 2
B. –2
C. –1
D. 3
2

2

2

Bài tốn 4: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và đường
thẳng.
Phương pháp chung:
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng d
Học sinh cần nắm vững 3 vị trí tương đối giữa (S) và d :
Đặt d = IH = d ( I ; d )
+) d > R : ( S ) I d = ∅
+) d = R : ( S ) I d = { M }
M là tiếp điểm của (S) với d
d là tiếp tuyến của (S) tại M.
+) d < R : (S) cắt d tại 2 điểm phân biệt
A, B
Với H là trung điểm của AB
Ta có:

R=

B
A

H

d

AB 2
+d2
4

Từ đó suy ra : d = R 2 −

I

AB 2
4

AB = 2 R 2 − d 2

Đặc biệt: Khi d = 0 thì AB = 2R
VÍ DỤ MINH HỌA[19]
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x − 2 y −1 z +1
và điểm
=
=
2
2

−1

I(2 ; -1 ; 1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai
điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I.
2
2
A. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1)2 + ( z − 1)2 = 9
B. ( S ) : ( x + 2 ) + ( y − 1) 2 + ( z + 1) 2 = 9
C. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1)2 + ( z − 1)2 = 8
2

D. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) 2 + ( z − 1) 2 =
2

80
9

Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của AB
HS nhận xét : Vì ∆IAB vng tại I nên IH ⊥ AB và IA = 2.IH
Ta có : IH = d ( I ; d ) = 2 ⇒ IA= 2 2
16


suy ra PT mặt cầu (S) : ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) 2 + ( z − 1) 2 = 8 . Chọn đáp án C
2

Bài tập đề nghị :
Bài 1[7] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x −1 y z + 3

= =
và mặt cầu
−1 2
−1

(S) tâm I có phương trình : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 18 . Đường thẳng (d) cắt (S) tại
2

2

2

hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác IAB.
A.

8 11
3

Bài 2[16]

B.

16 11
3

C.

11
6

D.

8 11
9

x = m + t

: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :  y = n + 2t cắt mặt cầu
 z = 2 − mt


( S ) : x2 + ( y − 2)

2

+ ( z − 2 ) = 9 tại hai điểm A, B sao cho độ dài của AB bẳng 6. Cặp
2

(m;n) là cặp giá trị nào sau đây ?
A. ( m; n ) = ( 1; 2 )

B. ( m; n ) = ( 1;0 )

C. ( m; n ) = ( 2;0 )

D. ( m; n ) = ( 0; 2 )

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường :
* Trước khi thực hiện đề tài: Tơi cho học sinh lớp 12A9 có lực học trung bình

làm bài kiểm tra sau trong 20 phút:
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG :
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1 ; 2 ; 3). B(3 ; 0 ; 1) và mặt
phẳng (P): 2x – y – 2z +1 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa mãn :
1) (S) có tâm là A và đi qua B.
(4 điểm)
2) (S) có đường kính là đoạn AB.

(3 điểm)

3) (S) có tâm là B và tiếp xúc với mp(P).

(3 điểm)

Kết quả không khả quan lắm như sau :
Điểm
Lớp 12A9

Giỏi
SL
5

%
12%

Khá
SL
12

TB

%
29%

SL
16

%
38%

Yếu
SL
9

%
21%

(Sĩ số 42 )
* Sau khi thực hiện đề tài:

17


Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh cũng lớp 12A8 đó làm
một đề kiểm tra 45 phút với mức độ nâng cao hơn và nội dung là các dạng tốn
viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài :
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;-1;4), B(2;5;-3), C(1;-3;7). Viết
phương trình mặt cầu (S) thỏa mãn :
1) Mặt cầu (S) có đường kính AC.
(4 điểm)

2) Mặt cầu (S) có tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng (OAC).

(3 điểm)

3) Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C và gốc tọa độ O.

(3 điểm)

Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:
Điểm
Lớp 12A9

Giỏi
SL
11

%
26%

Khá
SL
19

TB
%
45%

SL
10

%
24%

Yếu
SL
2

%
5%

(Sĩ số 42 )
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa trước và sau khi thực hiện đề tài. Như vậy
là việc rèn luyện cho học sinh lớp 12 phân loại một số dạng tốn về phương trình
mặt cầu trong khơng gian tọa độ Oxyz đã giúp các em tỏ ra rất say mê, hứng thú
học tập, đó có thể coi là một thành công của người giáo viên. chắc chắn phương
pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em phân loại được bài tập, nắm khá
vững phương pháp làm và trình bày bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng
như khi đi thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Qua việc thực hiện chuyên đề trên đối với lớp 12A9 có học lực trung binh, tôi
nhận thấy rằng việc giảng dạy cho học sinh trung bình, trung bình yếu để đạt được
yêu cầu tối thiểu của giáo dục quả là gian nan và vất vả. Yêu cầu một người giáo
viên khi dạy đối tượng này phải là người có trách nhiệm cao, tỉ mỉ và kiên nhẫn.
Bên cạnh đó phải hiểu được tâm lí của các em, biết thơng cảm và chia sẻ kết hợp
với phương pháp dạy phù hợp với tư duy của các em, giúp các em có hứng thú, có
nhu cầu học tập đó là điều hết sức quan trọng đối với bất kì một học sinh nào.
18

Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm
giảng dạy của bản thân tơi. Phần giải các bài tốn về phương trình mặt cầu trong
không gian cũng rất đa dạng, với việc hướng dẫn học sinh phân loại và nắm vững
phương pháp giải của từng dạng sẽ giúp học sinh lớp 12 tự tin làm tốt các bài tốn
về phương trình mặt cầu trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với giáo viên: Nên nghiên cứu kĩ các phương pháp và nhiều dạng bài tập
về hình học khơng gian khác ( như các dạng tốn về viết phương trình đường
thẳng, mặt phẳng trong khơng gian…), chọn lọc sao cho phù hợp với đối tượng
học sinh để hướng dẫn học sinh nhằm nâng cao sự hiểu biết về mơn hình khơng
gian, từ đó giúp các em học tốt hơn về mơn hình học lớp 12.
- Với kết quả của đề tài này, bản thân tôi rất mong đồng nghiệp quan tâm, chia
sẻ và đóng góp ý kiến để đề tài được hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi từng bước
hồn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Đồng thời các giáo viên tổ Tốn cũng
có thể áp dụng cho học sinh lớp 12 của mình đang giảng dạy nhằm giúp cho học
sinh có nền tảng vững chắc về phương trình mặt cầu trong khơng gian.
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY.
Người viết SKKN :

Đỗ Thị Thủy

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học và Tuổi trẻ từ năm 2013 đến nay.
19

2. Hình học 12 ( sách giáo khoa ) – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như
Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân - NXB Giáo dục,
2008.
3. Chuyên đề luyện thi Đại học: Hình học giải tích – Trần Văn Hạo (Chủ biên),
Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên – NXB Giáo dục, 2007 .
4. Phương pháp giải tốn Hình học giải tích trong khơng gian – Lê Hồng Đức,
Lê Hữu Trí – NXB Hà Nội, 2009 .
5. Tuyển tập các đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017
của các trường trên cả nước qua Internet.
[1]. Đề minh họa kỳ thi TN THPT QG của Bộ GD & ĐT – Lần 1
[2]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Thái Nguyên – Lần 3
[3]. Đề thi thử THPT QG của THPT Nguyễn Trường Tộ -Đà Nẵng –Lần 1
[4]. Đề thi thử THPT QG của THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 3
[5]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Chuyên KHTN – Lần 1
[6]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Lương Văn Chánh–Phú Yên–Lần 1
[7]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 2
[8]. Đề thi thử THPT Quốc gia của THPT Lê Lợi – Thanh Hóa - Lần 3
[9]. Đề thi thử THPT Quốc gia của THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc – Lần 3
[10]. Đề thi thử THPT QG của THPT Chu Văn An – Gia Lai
[11]. Đề thi thử THPT QG của THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình
[12]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Chuyên Quang Trung – Lần 3
[13]. Đề thi thử THPT QG của THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa – Lần 1
[14]. Đề thi thử THPT QG của THPT Nguyễn Trường Tộ - Đà Nẵng – Lần 3
[15]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Sở GD & ĐT Bắc Giang
[16]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Chuyên Nguyễn Trãi – Lần 3
[17]. Đề thi thử THPT QG của THPT Nguyễn Đình Chiểu –Bình Định –Lần 1
[18]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Sở GD & ĐT Hà Tĩnh
[19]. Đề thi thử THPT Quốc gia của Sở GD & ĐT Thanh Hóa

6. Giới thiệu đề thi chính thức Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng mơn Tốn –
NXB Đại học Sư phạm, 2014.
7. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn: Hình học giải tích –
Trần Phương, Lê Hồng Đức – NXB Hà Nội, 2009.
8. Phân loại và phương pháp giải Hình học 12 – Lê Mậu Thống, Lê Thị Quỳnh
Lâm, Lê Hữu Nguyên Chương – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2008

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
20


Họ và tên tác giả:
Đỗ Thị Thủy
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi
– Thọ Xn – Thanh Hóa

TT
1.

Tên đề tài SKKN

trị trong hình học giải tích lớp

2008 – 2009

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2010 – 2011

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2012 – 2013

12.
Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện
kỹ năng sử dụng phương pháp
tọa độ hóa để giải quyết một số

4.

C

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

bậc hai và tích vơ hướng
Hướng dẫn học sinh ôn thi đại
học giải một số dạng bài tập cực

3.

Năm học
đánh giá
xếp loại

Nhận dạng tam giác bằng
phương pháp sử dụng tam thức

2.

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phịng, Sở,
Tỉnh...)

bài tốn hình học khơng gian.
Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân
loại một số dạng tốn viết
phương trình mặt phẳng trong

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

2014 – 2015
C

khơng gian tọa độ Oxyz thường
gặp trong đề thi THPT Quốc gia
----------------------------------------------------

21