Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên qua đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học phổ thông, chương số phức được đưa vào cuối
của chương trình Giải tích lớp 12, việc làm quen và giải các bài toán về số phức đối
với nhiều học sinh là điều còn khá mới mẻ. Nhiều học sinh chưa thực sự hiểu sâu
sắc về khái niệm số phức, về biểu diễn hình học của số phức, về ý nghĩa hình học
của các phép toán số phức, vì vậy khi giải quyết các bài toán số phức ở mức độ vận
dụng, vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của môđun số phức đã thực sự gặp khó khăn.
Với việc đổi mới hình thức thi môn toán trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi
THPT Quốc gia từ năm học 2016 – 2017, trong các đề toán minh họa của Bộ Giáo
dục & Đào tạo, các đề thi khảo sát chất lượng của các tỉnh, các nhà trường, số
lượng câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao liên quan đến giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của môđun số phức là khá phổ biến. Học sinh tiếp cận và giải các bài
toán dạng này rất lung túng, gặp nhiều khó khăn.
Căn cứ kế hoạch chuyên môn trường THPT Tống Duy Tân năm học 20162017. Căn cứ nhiệm vụ được giao. Năm học 2016-2017, với cương vị vừa là Phó
hiệu trưởng phụ trách chuyên môn của nhà trường, vừa phụ trách dạy môn toán lớp
12 A, đây là lớp học ban khoa học cơ bản có các môn tự chọn nâng cao là Toán, Vật
lý và Hóa học, tôi đã cố gắng trau dồi kinh nghiệm chuyên môn, trao đổi đồng
nghiệp, tìm tòi và đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao hiệu quả dạy học
cho học sinh, giúp các em hình thành và phát huy tốt nhất phẩm chất và năng lực
toán học. Trong đó mảng kiến thức về số phức với những khó khăn mà học sinh
gặp phải khi giải quyết các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
môđun số phức đặt ra cho tôi và các đồng nghiệp trong trường yêu cầu tìm phương
pháp giải quyết vừa hiệu quả, vừa phát huy được năng lực tư duy toán học, chuẩn
bị tốt nhất cho các kỳ thi, trước mắt là thi THPT Quốc gia năm 2017.
Để giúp các em hiểu sâu sắc hơn về ý nghĩa hình học của số phức, về mối
liên hệ giữa các yếu tố hình học với các bài toán số phức dạng này, phát hiện ra bản
chất hình học của các bài toán đó để giải quyết có hiệu quả, tôi mạnh dạn đề xuất
vấn đề: “Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên quan đến giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức”.

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu đề tài “Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên
quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức” nhằm giúp học
sinh nắm vững bản chất hình học của số phức, rèn kỹ năng vận dụng các tính chất
và mối quan hệ hình học để giải quyết các bài toán về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của môđun số phức. Qua đó nhằm phát triển năng lực tư duy logic, tư duy hình
học sáng tạo cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo sự
tự tin và hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ
môn theo hướng phát huy phẩm chất và năng lực của học sinh.
Nội dung các vấn đề nghiên cứu trong đề tài đề cập đến những kiến thức hết
sức cơ bản về hình học phẳng, học sinh có kiến thức trung bình trở lên có thể
nghiên cứu và vận dụng. Việc nghiên cứu đề tài cũng nhằm thêm một mục đích là
tạo ra một nội dung sinh hoạt chuyên môn, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp
về một hướng, một cách thức giải các bài toán tương đối khó về số phức.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu bản chất hình học của các bài toán số phức.
- Các tính chất và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học của các đối tượng,
các đường cơ bản trong mặt phẳng.
- Sự liên hệ, ý nghĩa hình học của các phép toán về số phức.
- Cách vận dụng kiến thức hình học vào giải các bài toán về giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của môđun số phức và quy trình vận dụng để giải các bài toán
đó.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Nghiên cứu các Định nghĩa, khái niệm số phức, các phép toán về số phức,
biểu diễn hình học của số phức, số phức liên hợp và môđun của số phức.

- Củng cố các khái niệm, tính chất của các đối tượng hình học, các đường
trong mặt phẳng, các yếu tố hình học như góc, khoảng cách, quỹ tích các điểm
trong hình học phẳng.
- Mối quan hệ giữa tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức với các
yêu cầu của bài toán số phức.

2


2. Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lý số liệu
- Thu thập thông tin qua việc giao nhiệm vụ cho học sinh thông qua các đề
bài tập giao về nhà cho học sinh và các bài tập vận dụng trên lớp.
- Thống kê số liệu học sinh về mức độ hoàn thành nhiệm vụ, khả năng vận
dụng nội dung sáng kiến, từ đó đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- Lấy ý kiến phản biện từ đồng nghiệp.
- Điều chỉnh nội dung, phương pháp để hoàn thiện với hiệu quả cao nhất.

3


B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Chủ trương, chính sách của Đảng, quan điểm chỉ đạo của ngành giáo dục
- Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn
bản toàn diện giáo dục và đào tạo xác định rõ mục tiêu cụ thể đối với giáo dục phổ
thông là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công
dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, bồi dưỡng năng lực cho học sinh…
- Chỉ đạo của ngành giáo dục về xây dựng ma trận đề thi với 4 cấp độ tư duy:
Nhận biết, thông hiểu, vận dụng cơ bản, vận dụng nâng cao.
- Phương án thi THPT Quốc gia năm 2017 có nhiều thay đổi so với trước

đây, đặc biệt môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm, nội dung kiến thức trong
chương trình lớp 12.
- Quy chế thi THPT Quốc gia ban hành kèm theo Thông tư 04/2017/TTBGDĐT, ngày 25 tháng 1 năm 2017.
2. Các kiến thức liên quan
2.1. Một số Định nghĩa, khái niệm [ 1]
2.1.1. Định nghĩa 1
Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a và b là những số thực
và số i thỏa mãn i 2 = −1 .
Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo, a được
gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi .
Tập hợp các số phức được ký hiệu là £ .
Chú ý: Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a + 0i = a ∈ ¡ ⊂ £ .
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

z = 0 + bi = bi (b ∈ ¡ ); i = 0 + 1i = 1i.
Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
2.1.2. Định nghĩa 2
Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) , z ' = a '+ b ' i (a ', b ' ∈ ¡ ) gọi là bằng nhau
nếu a = a ', b = b ' Khi đó ta viết z = z ' .

4


2.1.3. Biểu diễn hình học số phức
Đối với các số phức, xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi
(a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a; b) . Ngược lại, mỗi điểm
M (a; b) biểu diễn một số phức là z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) . Mặt phẳng tọa độ với
việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0 ; các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số

thực (trục Ox được gọi là trục thực); các điểm trên trục Oy biểu diễn các số ảo
(trục Oy được gọi là trục ảo).
Trong toàn bộ nội dung của đề tài này, các tập hợp điểm được nhắc đến đều
xét trên mặt phẳng phức.
2.1.4. Định nghĩa 3
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) là a − bi (a, b ∈ ¡ ) và được ký
hiệu là z .
2.1.5. Định nghĩa 4
Môđun của số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) là số thực không âm

a 2 + b 2 và

được ký hiệu là z .
2.2. Các đường trong mặt phẳng và phương trình của chúng trong mặt phẳng
tọa độ Oxy [ 4]
- Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 > 0) .
- Tập hợp các điểm M ( x; y ) trong mặt phẳng cách điểm I (a; b) cố định
một khoảng không đổi R là đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R . Phương trình
đường tròn: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (a 2 + b 2 − c > 0) (tâm I (a; b) , bán kính
R = a 2 + b 2 − c ).
- Tập hợp các điểm M ( x; y ) trong mặt phẳng thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a ,
trong đó F1 , F2 cố định, F1F2 = 2c ( a, c không đổi, a > c > 0) được gọi là đường
elíp; F1 , F2 là các tiêu điểm. Phương trình chính tắc của elíp:

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

(b 2 = a 2 − c 2 , b > 0) . Trục Ox được gọi là trục lớn, trục Oy được gọi là trục bé.

5


- Tập hợp các điểm M ( x; y ) trong mặt phẳng thỏa mãn MF1 − MF2 = 2a ,
trong đó F1 , F2 cố định, F1F2 = 2c ( a, c không đổi, 0 < a < c) được gọi là đường
hypebol; F1 , F2 là các tiêu điểm. Phương trình chính tắc của hypebol:

x2 y 2
−
=1
a2 b2

(b 2 = c 2 − a 2 , b > 0) .
Trục Ox được gọi là trục thực, trục Oy được gọi là trục ảo của hypebol.
2.3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt
phẳng [ 4]
d ( M 0 ; ∆) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

,

trong đó M 0 ( x0 ; y0 ) , Đường thẳng (∆) có phương trình: ax + by + c = 0
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Khi gặp các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
môđun số phức, học sinh thường rất lung túng và khó khăn trong việc định hướng
lời giải. Đối với học sinh có lực học từ trung bình trở xuống hầu như không làm

được. Đối với học sinh khá trở lên, các em thường biến đổi một cách mò mẫm,
thiếu tính định hướng. Số ít học sinh khá trở lên có kỹ năng biến đổi tốt thường sử
dụng các bất đẳng thức như bất đẳng thức về môđun, bất đẳng thức
Bunhiacopski… . Một số học sinh cố gắng quy về tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
của hàm số rồi sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
Hầu hết các em thấy các bài toán dạng này là khó, ngại làm.
Cách làm trên của một số em có thể mang đến kết quả đúng nhưng cũng rất
khó khăn và không nắm được bản chất hình học của bài toán, thiếu tính tư duy
mạch lạc và quan trọng là nó mang tính tức thời, thiếu tính định hướng chung và
không có quy trình rõ ràng.
III. CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Sử dụng kiến thức hình học giải một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của môđun số phức, mức độ vận dụng cơ bản .

6


Ví dụ 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có
môđun nhỏ nhất là
A. z = −1 + i
B. z = −2 + 2i

C. z = 2 + 2i

D. z = 3 + 2i

Lời giải vắn tắt: (Hình 1)
Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ . Giả sử z thỏa mãn điều
kiện đề bài, khi đó ta có x − 2 + (y− 4)i = x + (y − 2)i ⇔ x + y − 4 = 0 (d).
Số phức z có mô đun nhỏ nhất ứng với điểm M ( x; y ) biểu diễn z là hình

chiếu của điểm O trên đường thẳng (d).
Phương trình đường thẳng đi qua
O và vuông góc với d là: y = x .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

y

4

y = x
phương trình 
.
x + y = 4

M

x
O

4

x = 2
Giải hệ ta được 
.
y = 2
Hình 1
Vậy z = 2 + 2i , chọn đáp án C.
Nhận xét 1:
- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z − z1 = z − z2 ( z1 , z2 cho trước) là một đường thẳng. Cụ thể: Nếu gọi A, B lần

lượt biểu diễn số phức z1 và z2 thì điều kiện đã cho tương đương với MA = MB,
nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường
thẳng d . Khi đó để z nhỏ nhất thì M là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng
d và Min z = d (O; d ) ;
Ví dụ 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 .
Các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = z là:
A.

5 và 2 5

B. 2 5 và 3 5

C.

5 và 3 5

D. Đáp án khác

Lời giải vắn tắt: (Hình 2)

7


Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ . Giả sử z thỏa mãn điều
kiện đề bài, khi đó ta có x − 2 + (y− 4)i = 5 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 suy ra tập
hợp các điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi nằm trên đường tròn tâm
I (2; 4) , bán kính R = 5 .

y

M2
4
I

M1
O

x
2

Hình 2
Do đó MinP = OI − R = 2 5 − 5 = 5 và MaxP = OI + R = 2 5 + 5 = 3 5
Vậy chọn đáp án C.
Nhận xét 2:
- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − z0 = k
(với k > 0 , z0 = x0 + y0i cho trước) là một đường tròn tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính
R=k.
- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường tròn
C ( I ; R ) . Khi đó để z nhỏ nhất, hoặc lớn nhất thì các điểm O, I , M thẳng hàng
và Min z = OI − R ; Max z = OI + R .
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10 , giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z lần lượt là:
A. 10 và 4
Lời giải vắn tắt:

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Trong mặt phẳng phức, Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z , F1 (4;0) ,
F2 (−4;0) thì ta có z − 4 + z + 4 = 10 tương đương với MF1 + MF2 = 10 > F1F2 = 8 .
Do đó điểm M nằm trên đường elíp có hai tiêu điểm F1 (4;0) , F2 (−4;0) và

8


a = 5, c = 4 ⇒ b = 3 . Phương trình của elíp là

x2 y2
+
= 1 . Do vậy z đạt giá trị lớn
25 9

nhất khi M ≡ A(5;0) , hoặc M ≡ A '(−5;0) , khi đó Max z = 5 ; z đạt giá trị nhỏ
nhất khi M ≡ B(3;0) , hoặc M ≡ B '(−3;0) , khi đó Min z = 3 .
Vậy ta chọn đáp án D.
Nhận xét 3:
- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z − c + z + c = 2a (a>c>0) là một đường elíp.
- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường elíp
x2 y 2
+
= 1 có các đỉnh thuộc trục lớn là A(a;0) và A '(−a;0) , các đỉnh thuộc
a 2 b2
trục nhỏ lần lượt là B(b;0) và B'( − b;0) , khi đó
(E):

Để z nhỏ nhất thì M trùng với B hoặc B ' và Min z = OB = b .

Để z lớn nhất thì M trùng với A hoặc A' và Max z = OA = a .
Ví dụ 4. Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − z + 2 = 2 . Số phức có môđun nhỏ
nhất là:
A. z = 1 − 3i

B. z = −1 + 3i

C. z = 1

D. z = 3 + i

Lời giải vắn tắt:
Trong mặt phẳng phức, Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z , F1 (2;0) ,
F2 (−2;0) thì ta có z − 2 − z + 2 = 2 tương đương với MF1 − MF2 = 2 < F1F2 = 4 .
Do đó điểm M nằm trên đường hypebol có hai tiêu điểm F1 (2;0) , F2 (−2;0) và
x2 y2
−
= 1 . z đạt giá trị nhỏ
a = 1, c = 2 ⇒ b = 3 . Phương trình của hypebol là
1
3
nhất khi M ≡ A(1;0) , hoặc M ≡ A '(−1;0) , khi đó Min z = 1 . Vậy ta chọn đáp án C.
Nhận xét 4:
- Tập hợp các điểm M

biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

z − c − z + c = 2a (c>a>0) là một đường hypebol.

9

- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường
x2 y 2
hypebol (H): 2 − 2 = 1 có các đỉnh thuộc trục thực là A(a;0) và A '(−a;0) , khi
a
b
đó để z nhỏ nhất thì M trùng với A hoặc A' và Min z = OA = a
2. Một số bài toán ở mức độ khó hơn
Ví dụ 5. Với các số phức z thỏa mãn điều kiện (i + 1) z + 1 − 7i = 2 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun z .
A. 4 và 3
B. 5 và 4
Lời giải vắn tắt:

C. 7 và 5

Ta có (i + 1) z + 1 − 7i = 2 ⇔ i + 1 . z +

D. 6 và 4

1 − 7i
= 2 ⇔ z − (3 + 4i ) = 1
i +1

Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ . Giả sử z thỏa mãn điều kiện
2
2
đề bài, khi đó ta có x − 3 + (y− 4)i = 1 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4) = 1 suy ra tập hợp các

điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi nằm trên đường tròn tâm I (3;4) , bán
kính R = 1
Khi đó ta có
Min z = OI − R = 5 − 1 = 4 và Max z = OI + R = 5 + 1 = 6 . Đáp án D.
Nhận xét 5:
Thực chất bài toán này là dạng toán tương tự ví dụ 2, tuy nhiên học sinh cần
có kỹ năng biến đổi để đưa điều kiện của bài toán về dạng quen thuộc, tương tự với
điều kiện ở ví dụ 2.
Ví dụ 6. Trong các số phức thỏa mãn z −1 −2i =1 , tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của P = z − 5 + i
Lời giải vắn tắt: (Hình 3)
Gọi I (1;2) , N (5; −1) lần lượt biểu diễn các số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 5 − i ,
M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, yy ∈ ¡ ) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta có điểm M nằm trên đường tròn
tâm I(1;2), bán kính r1 = 1 .
M1
I

2

M2
5

O
-1

x

1
N

10


Hình 3
Đặt r2 = IN = 5 , ta có P = z − 5 + i = MN . Do đó MaxP = M 1 N = r1 + r2 = 6
và MinP = M 2 N = r1 − r2 = 4
Nhận xét 6:
Qua các ví dụ 2, ví dụ 5 và ví dụ 6, ta hoàn toàn giải quyết được bài toán
tổng quát sau đây:
Bài toán tổng quát 1
Trong các số phức thỏa mãn z − z1 = r , tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P = z − z2

(ở đây z1 , z2 là các số phức cho trước, r là số không đổi)

Ví dụ 7. Cho các số phức z thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = iz + 1
Lời giải vắn tắt:
Ta có P = iz + 1 = i . z +

1
= z − i . Gọi I (−2;2) , N (0;4) lần lượt biểu diễn
i

các số phức z1 = −2 + 2i , z2 = 4i , M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn điều kiện đề bài. Khi đó, từ điều kiện đề bài ta suy ra
điểm M nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng IN. Đường trung trực của
IN có phương trình là x + y − 2 = 0 (∆) .
2

Gọi K(0;1) thì P = z − i = MK . Do vậy, MinP = d ( K ; ∆) =
.
2
Nhận xét 7:
Qua các ví dụ 1 và ví dụ 7 , ta hoàn toàn giải quyết được bài toán tổng quát
sau đây:
Bài toán tổng quát 2

11


Cho các số phức z thỏa mãn z − z1 = z − z2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z − z3 .
Ví dụ 8. Cho các số phức z , w lần lượt thỏa mãn các điều kiện z − 2 − i = 1 và
w + 4 − 2i = w + 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − w .
Lời giải vắn tắt: (Hình 4)
Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z , w ; Điểm I(2;1),
A(−4;2) , B (0; −2) , khi đó tập hợp các điểm M nằm trên đường tròn C(I; R), R = 1;
tập hợp các điểm N nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương trình đường tròn C: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 1 ;
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: x − y + 2 = 0 (d)
Vì d ( I ;d) =

3
>1= R
2

suy ra C ∩ d = ∅ . P = z − w = MN

N

d
M

3 2
nên MinP = d ( I ;d) − R =
−1.
2

I

Hình 4
Ví dụ 9. Cho các số phức z , w lần lượt thỏa mãn các điều kiện z + 1 − 2i = 2 và
w - 4 + 2i = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − w .
Lời giải vắn tắt: (Hình 5)
Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z , w , khi đó M, N lần
lượt nằm trên các đường tròn C(I; R), và C’(I’; R’) với I(-1; 2), R=2, I’(4; -2),
R’=1. Kiểm tra được II’ > R + R’, nên các đường tròn C và C’ nằm ngoài nhau. Ta
có
P = z − w = MN nên suy ra
M

MinP = II '− ( R + R ') = 41 − 3 ,
MaxP = II '+ ( R + R ') = 41 + 3 .

N

I
I'

12

Hình 5
Nhận xét 8:
Qua các ví dụ 8 và ví dụ 9 ta thấy, khi tập hợp các điểm M, N lần lượt biểu
diễn các số phức z , w lần lượt là đường tròn và đường thẳng hoặc đường tròn và
đường tròn thì việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = z − w bằng
kiến thức hình học là cực kỳ đơn giản và hiệu quả.
Sau đây ta xét thêm một số ví dụ phức tạp hơn để thấy được hiệu quả của
việc sử dụng kiến thức hình học trong việc giải các bài toán khó về số phức.
Ví dụ 10. Xét số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 − 2i + z − 1 + 2i = 6 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = z .
Lời giải vắn tắt:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F1 (−1;2), F2 (1; −2) , thì F1 , F2 đối xứng
qua gốc tọa độ O và điều kiện đã cho tương đương với MF1 + MF2 = 6 , mà
F1F2 = 2 5 < 6 , suy ra tập hợp các điểm M là đường elíp có các tiêu điểm F1 , F2 ,
tâm đối xứng là gốc O.
Ta có a = 3, c = 5 ⇒ b = 2 do đó MaxP = a = 3 và MinP = b = 2 .
Ví dụ 11.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i) z + 1 − 2i + (1 − i ) z − 1 + 2i = 2 5 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = z .
Lời giải vắn tắt:
Điều kiện đã cho tương đương với z −

1 3
1 3
− i + z + + i = 10 . Gọi M là
2 2
2 2

1 3
1 3
điểm biểu diễn số phức z , F1 ( ; ), F2 (− ; − ) , thì F1 , F2 đối xứng qua gốc tọa
2 2
2 2
độ O và điều kiện đã cho tương đương với MF1 + MF2 = 10 , mà F1F2 = 10
⇒ MF1 + MF2 = F1F2 , do đó tập hợp các điểm M là đoạn thẳng F1F2 . Vậy nên
MaxP = OF1 = 5 , MinP = 0 .
Ví dụ 12 (Đề minh họa thi THPTQG 2017 của Bộ GD & ĐT).

13


Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m, M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z − 1 + i . Tính P = m + M .
A. P = 13 + 73 B. P =

5 2 + 2 73
2

C. P = 5 2 + 2 73 D. P =

5 2 + 73
2

Lời giải vắn tắt: (Hình 6)
Gọi N là điểm biểu diễn số phức z , F1 (−2;1), F2 (4;7) và Q(1; −1) . Từ điều
kiện đã cho ta có NF1 + NF2 = 6 2 = F1F2 nên N nằm trên đoạn thẳng F1F2 . Gọi H
3 3
là hình chiếu của Q trên F1F2 thì ta có H ( − ; ) .

2 2
Ta lại có NQ = z − 1 + i do đó
m = Min( NQ ) = QH =

y
F2

7

5 2
,
2

M = Max( NQ) = QF2 = 73 .
5 2 + 2 73
.
2
Vậy ta chọn đáp án B.
Từ đó suy ra P =

H
1

F1
-2

O
-1

x

1
Q

4

Hình 6
Ví dụ 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z + 1 + 4 z − 1 = 10 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của P = z .
Lời giải vắn tắt:
Trong mặt phẳng phức Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z ,
A( −1;0), B(1;0) , thì O là trung điểm của AB và điều kiện đã cho tương đương
với 3MA + 4 MB = 10 .
Áp dụng công thức trung tuyến ta có OM 2 =

MA2 + MB 2 AB 2
−
(*) .
2
4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có

14


100 = (3MA + 4MB ) 2 ≤ (32 + 42 )( MA2 + MB 2 ) ⇒ MA2 + MB 2 ≥ 4 , mặt khác AB = 2
do đó thay vào (*) ta suy ra OM 2 ≥

4 4

− , tức là OM 2 ≥ 1 suy ra OM ≥ 1 . Dấu “=”
2 4

 MA MB
=

4
xảy ra khi và chỉ khi  3
giải ra ta được
3MA + 4 MB = 10

6

MA
=

5

 MB = 8

5

Vậy MinP = 1
Ví dụ 14. Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2
2
z − (3 + 4i) = 5 và P = z + 2 − z − i đạt giá trị lớn nhất. Tính z .

Lời giải vắn tắt:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = x + yi . Vì z thỏa mãn điều kiện

z − (3 + 4i) = 5 nên điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), bán kính R =
2

5.

2

2
2
2
2
Mặt khác ta có P = z + 2 − z − i = ( x + 2) + y −  x + ( y − 1) 

⇔ P = 4 x + 2 y + 3 do đó điểm M thuộc đường thẳng (d): 4 x + 2 y + 3 − P = 0
Vậy M ∈ (C ) ∩ (d ) .
Để tồn tại điểm M thì d ( I ; d ) ≤ R ⇔
⇔

23 − P
20

23 − P
20

≤ 5

≤ 5 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 .

4 x + 2 y − 30 = 0
P = 33 khi và chỉ khi x, y thỏa mãn hệ phương trình 

.
2
2
(
x
−
3)
+
(
y
−
4)
=
5

x = 5
Giải hệ ta được 
. Vậy MaxP = 33 , khi đó z = 52 + (−5) 2 = 5 2 .
y
=
−
5

Nhận xét 9:

15


- Qua các ví dụ trên ta thấy, để giúp học sinh vận dụng kiến thức hình học
để giải bài toán về số phức, giáo viên cần lưu ý hướng dẫn học sinh nắm được quy

trình thực hiện như sau:
+ Từ điều kiện đề bài cho, xác định được tập hợp các điểm biểu diễn số
phức là tập nào? (xác định bản chất hình học của bài toán)
+ Biểu diễn minh họa bằng các hình vẽ trực quan (nếu cần).
+ Huy động và vận dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán theo yêu
cầu.
- Kiến thức hình học cần vận dụng để giải các bài toán dạng này chủ yếu
tập trung vào mối quan hệ, vị trí tương đối, khoảng cách…của các đối tượng hình
học và các đường cơ bản trong mặt phẳng như: Điểm, đường thẳng, đường tròn, E
líp, Hypebol…
- Ngoài ra cũng cần lưu ý tới các bất đẳng thức thường gặp cần dùng tới
như bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị tuyệt
đối (môđun), bất đẳng thức véc tơ…

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
- Trong quá trình triển khai nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm này,
tôi đã thực hiện việc thu thập thông tin kiểm chứng từ học sinh lớp 12A. Giao
nhiệm vụ giải quyết một số bài toán tương tự dạng này và thu được kết quả sau:
1. Trước khi được định hướng sử dụng kiến thức hình học:
- Số học sinh tìm được kết quả đúng khoảng 10% . Đó là các em học sinh
giỏi, có khả năng biến đổi tốt, và học sinh giải theo các cách khác nhau, mất nhiều
thời gian. Các em học sinh còn lại còn lúng túng, không tìm được cách giải.
2. Khi được định hướng bằng các câu hỏi gợi ý:
Chẳng hạn: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mã điều kiện đã cho
thuộc đường nào? khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nhỏ nhất khi
nào? Khoảng cách giữa hai điểm trên hai đường tròn nhỏ nhất khi nào, lớn nhất khi
nào?...
Các em học sinh đã tự tin hơn và nhiều em đã sử dụng kiến thức hình học để
giải, có khoảng gần 50% tìm được kết quả đúng với các bài vận dụng cơ bản, gần
20% giải được các bài vận dụng cao.

16


3. Sau khi được hướng dẫn giải và rèn luyện kỹ năng giải thông qua các ví dụ
tương tự
Các em học sinh đã tự tin và có nhiều em áp dụng được. Có khoảng gần 70%
giải được các bài mức độ vận dụng cơ bản, gần 40% giải được các bài vận dụng
cao.
- Kết quả trên cùng với những ý kiến đánh giá tích cực từ đồng nghiệp cùng
chuyên môn đã phần nào thể hiện được tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
này.

C. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Có thể nói, những bài toán số phức được minh họa qua các ví dụ đều được
bắt nguồn từ việc nghiên cứu các tính chất hình học, nghĩa là ta hoàn toàn có thể
xây dựng các đề toán dạng này dựa trên những kiến thức hình học cơ bản đã nêu, vì
vậy áp dụng kiến thức hình học để giải những bài toán đó là một hướng đi đúng và
hiệu quả.
Áp dụng đề tài SKKN “Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán
liên quan đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của môđun số phức” vào giảng dạy học
sinh sẽ giải quyết được một số vấn đề cơ bản sau:
1. Giúp học sinh nắm được bản chất hình học của một số bài toán liên quan
đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của môđun số phức và quy trình giải các dạng
bài toán đó.
2. Phát triển năng lực và tư duy sáng tạo của học sinh, đặc biệt là năng lực tư
duy hình học. Giúp học sinh có sự tự tin, chủ động, nắm được định hướng và có
quy trình rõ ràng.

17

3. Học sinh nắm được những tập hợp điểm quen thuộc, thường gặp trong các
bài toán dạng này và kỹ thuật xử lý các tình huống xảy ra .
Tôi hy vọng kinh nghiệm nhỏ của mình có thể góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học nói chung và giải quyết bài toán về số phức nói riêng.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì điều kiện thời gian và kinh nghiệm còn
hạn chế nên những kinh nghiệm được trao đổi thông qua đề tài chắc chắn vẫn còn
thiếu sót, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này
được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Lê Văn Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam, 2008.
2. Giải tích 12 nâng cao – Sách giáo viên, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất
bản Giáo dục Việt Nam, 2008.
3. Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nhà xuất bản Giáo
dục, 2008.
4. Hình học 10 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục,
2006.
5. Đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2017 của các Sở Giáo dục và các trường
THPT trên toàn quốc (tham khảo qua mạng internet)

18

19