Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế 2

SỞ GIÁO
DỤC VÀ
ĐÀO
TẠO THANH
TRƯỜNG
THPT
NGUYỄN
TRÃI HOÁ
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Người
hiện:
Chức
vụ:thực
Giáo
viênHoàng Thị Xuân
Chức thuộc
vụ: Giáo
SKKN
lĩnhviên
mực (môn): Toán
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC
TT

Mục

Trang


I

MỞ ĐẦU

1

1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Mục đích nghiên cứu

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

II

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1

Cơ sở lý luận

3

2.2

Thực trạng

3

2.3

3

2.3.1

Các giải pháp đã sử dụng
Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.

2.3.2

Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.

7

2.3.3

Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích

15

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

19

III

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

20

1

Kết luận

20

2

Kiến nghị

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

3


I. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực
đã từng được khẳng định trong các văn kiện Đảng trước đây, đặc biệt là trong
Nghị quyết sô 29 của Hội nghị Trung ương 8, khóa XI, khẳng định đây không
chỉ là quốc sách hành đầu, là “ chìa khóa” mở ra con đường đưa đất nước tiến
lên phía trước, mà còn là “ mệnh lênh” của cuộc sống.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục theo chủ trương của Đảng, từ
năm 2015, bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT quốc gia được tổ
chức theo hướng giảm áp lực, giảm tốn kém cho thí sinh, gia đình và xã hội
những kết quả vẫn bảo đảm độ tin cậy để xét tootd nghiệp THPT và làm căn cứ

cho các trường đại học, cao đẳng sử dụng trong tuyển sinh.
Các kỳ thi năm 2015, 2016 đã được tổ chức thành công, sau mỗi năm có
những điều chinh, hoàn thiện tốt hơn. Tuy nhiên, việc tổ chức thi 8 môn với 4
môn theo hình thức tự luận tạo điều kiện để học sinh học tủ, học lệch…
Để từng bước khắc phục các hạn chế trên, kỳ thi THPT quốc gia năm
2017 sẽ tổ chức thi 5 nài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ, Khoa học tự nhiên
(KHTN) và Khoa học Xã hội (KHXH), Môn ngữ văn thi theo hình thực tự luận,
các bài thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan. Với hình thức thi này sẽ
hướng tới học sinh học tập toàn diện, khắc phục dần tình trang học tủ, học lệnh.
Đối với môn Toán, năm nay là năm đầu tiên thi THPT Quốc gia theo hình
thức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng khi làm bài tập đặc biệt là một số
dạng bài tập ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế. Chính vì vậy, tôi mạnh
dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng tích phân trong bài toán
thực tế”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng tích
phân có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học
sinh.
- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

1


- Ứng dụng tích phân trong giải bài toán thực tế
- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2016-2017 tại
trường THPT Nguyễn Trãi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,
các đề thi thử của các trường THPT, các chuyên đề có liên quan.

Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong
tổ bộ môn.

2


II. NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lý luận
Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là chuyên đề quan trọng
trong toán THPT, tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về chuyển động,
tính diện tích, tính thể tích…
Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn Khoa
học tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong phương pháp
giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt được cao hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương
trình toán giải tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh
hiểu rõ ý nghĩa thực tế của tích phân. Đây cũng là một nội dung thường gặp
trong các đề kiểm tra một tiết, thi học kì II ,đề thi THPT quốc gia. Nhìn chung
khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp
những khó khăn , sai lầm sau :
- Không biết mối liên hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, gia tốc trong
bài toán chuyển đông.
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng
(hay vật thể tròn xoay ) .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”
để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh
chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay
đang học .

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn
xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ
năng chuyển bài toán về dạng quen. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh
thường gặp phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt
đối .
2.3. Các giải pháp đã sử dụng
2.3.1 Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.
a. Cơ sở lý thuyết Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời
gian, v = f (t ) (0 < t < T ) . Chứng minh rằng quãng đường S vật đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b (0 < a < b < T ) là
S = F (b) − F (a ), trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên khoảng (0;T ).[2]
Bài giải
Trong mục 2.3.1.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 2.

3


Gọi s = s (t ) là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b
là S = s (b) − s (a )
Mặt khác, ta đã biết s '(t ) = f (t ) do đó s = s (t ) là một nguyên hàm của f. Thành
thử, tồn tại một hằng số C sao cho s (t ) = F (t ) + C .
Ta có: S = s (b) − s (a ) = [ F (b) + C ] − [ F (a ) + C ] = F (b) − F (a ).
b

Vâỵ: S = ∫ f (t )dt.
a

b. Bài tập

Bài 1: Bạn Mai ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động
của máy bay là v(t ) = 3t 2 + 5(m / s ) . Tính quãng đường máy bay bay được từ giây
thứ 4 đến giây thứ 8?
Bài giải
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
8

(

S = ∫ (3t 2 + 5)dt = t 3 + 5t
4

)

8
4

= 468m

Bài 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/ s thì người người đạp phanh . Sau
khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −30t + 15(m / s)
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ
lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bài giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh.
Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc ô tô dừng hẳn.
Ta có v(T ) = 0 ⇒ 15 = 30T ⇔ T = 0.5
Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó ô tô di chuyển được quãng đường là :
0.5

S=

(

2
∫ (−30t + 15)dt = −15t + 15t
0

)

0.5
0

=

15
m
4

Bài 3: Một vật đang chuyển động với vận tốc 15 m /s thì tăng tốc với gia tốc
a (t ) = t 2 + 3t (m / s 2 ) . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Bài giải
Gọi v( t ) là vận tốc của vật. Ta có v '(t ) = a(t ) = t 2 + 3t

ccc
4


Suy ra v(t ) = ∫ ( t 2 + 3t ) dt =

t 3 3t 2
+
+ C . Vì v(0) = 15 nên suy ra C = 15
3
2
10

Thành thử quãng đường vật đi được là: S = ∫ (
0

t 3 3t 2
4450
+
+ 15)dt =
m.
3
2
3

Bài 4: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
là 20m / s , gia tốc trọng trường là 9,8m / s2 . Quãng đường viên đạn đi được từ
lúc bắn cho đến khi dừng lại. [2]
Bài giải:
Gọi v( t ) là vận tốc của vật. Ta có v '(t ) = a(t ) = −9.8
Suy ra v( t) = - 9.8t + C , do v( 0) = 20 Þ C = 20 , v( t) = - 9.8t + 20
20
10
=
Tại thời điểm cao nhất t1 thì v( t1) = 0 Þ t1 =

9.8

4.9

10
4.9

Quảng đường viên đạn đi S = ò( - 9.8t + 20) dt » 20.41m
0

Bài 5: Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 35km/h đến
40km/h. Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy
phải phanh xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −5t + 10(m / s ) . Hỏi
khi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách
chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến
chướng ngại vật.
Bài giải:
Lấy mốc thời gian là lúc xe bắt đầu được đạp phanh.
Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe máy dừng hẳn.
Ta có v(T ) = 0 ⇒ 10 = 5T ⇔ T = 2
Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là:
2

S = ∫ ( −5t + 10)dt = 10m
0

Vậy người điều khiển xe máy phải phanh cách chướng ngại vật ít nhất 10m
Bài 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1 (t ) = 2t + 10(m / s) sau khi đi được một
khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận
4 được tham khảo từ TLTK số 2.

v2 (t )mục
= 202.3.1.b:
− 4t (m /Bài
s ) và
tốcTrong
đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại. Biết

5


tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng
đường bao nhiêu mét. [3]
Bài giải
Đến lúc phanh vận tốc của xe là: v1 (t ) = 2t + 10(m / s) đó cũng là vận tốc khởi
điểm cho quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm t2 thì vận tốc là 0 nên
t + t = 4
t = 3
2t1 + 10 = 20 − 4t2 ⇔ t1 + 2t2 = 5 Lại có t1 + t2 = 4 nên ta có hệ:  1 2
⇔1
t1 + 2t2 = 5
t2 = 1
3

1

0

0

Tổng quãng đường đi được là: S = ∫ ( 2t + 10 ) dt + ∫ ( 20 − 4t ) dt = 57m

Bài 7: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m /s) thì người đạp phanh từ thời
điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −5t + a (m / s ) trong đó
t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc
dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu?[4]
Bài giải
Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: v(t ) = 0 ⇔ −5t + a = 0 ⇔ t =

a
5

Trong khoảng thời gian đó ô tô di chuyển được quãng đường là :
a
5

a

2
 −5 2
5 a
S = ∫ ( −5t + a ) dt =  t + at ÷ =
 2
 0 10
0

Theo bài ra ta có:

a2
= 40 ⇔ a = 20
10

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là: 20 m/s
c. Bài tập trắc nghiệm khách quan.
Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi
công thức v(t ) = 6t + 1 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được
tính theo đơn vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:
A. 15m .

B. 620m .

C. 310m .

D. 260m .

Câu 2: Một vật đang chuyển động với vận tốc 8 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc là
2
một hàm phụ thuộc thời gian t được xác định a ( t ) = 3t + 6t

(m/s )
2

. Khi đó

quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
tốc
là. mục 2.3.1.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 3, bài 7 được tham khảo từ TLTK
Trong
số
A.4 5600 (mét)

B. 2150 (mét)

C. 2160 (mét)

D. 5580 (mét)

6


Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = −20( 1 + 2t ) (m / s2) . Khi t = 0
−2

thì vận tốc của vật là 30(m / s) . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây
[4]
A.106 m .
B.108 m .
C. 107 m .
D. 109 m .
Câu 4: Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v0 = 15m / s thì tăng vận tốc
2
2
với gia tốc a ( t ) = t + 4t ( m / s ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong

khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.[7]
A. 68, 25m .

B. 70, 25m .

C. 69, 75m .

D. 67, 25m .

Câu 5: Giả sử một vật đi từ trạng thái nghỉ t = 0 ( s ) chuyển động thẳng với vận
tốc v ( t ) = t ( 6 − t ) ( m / s ) . Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
A.

125
( m)
9

B.

125
( m)
12

C.

125
( m)
3

D. 36 ( m )

Câu 6: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động
chậm dần đều với phương trình vận tốc v = 10 − 0,5t ( m / s ) . Hỏi ô tô chuyển động
được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?[5]
A. 100 m.

B. 200 m

C. 300 m

D. 400 m

2.3.2.Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.
A. Cơ sở lý thuyết
Dạng 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là:
b

S = ∫ f ( x) dx [1]
a

Ghi nhớ :
* Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b]
(hay vô nghiệm trên [a ; b] ) thì ta có :
b

S = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx [1]
a

Trong mục 2.3.1.c: Câu 3 được tham khảo từ TLTK số 4, câu 4 được tham khảo từ
TLTK số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 5.

7

* Nếu phương trình f(x) = 0 có k
nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1
; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu
không đổi .
Khi đó để tính tích phân
b

S = ∫ f ( x) dx ta có thể tính như sau :
a

b

S = ∫ f ( x) dx =
a

x1

∫

f ( x)dx +

a

x2

∫

b

f ( x)dx + ... +

x1

∫ f ( x)dx [1]

xk

Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và
y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó
diện tích của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hai hàm số f (x), g(x) và
hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx [1]
a

Ghi nhớ :
Nếu phương trình f(x)-g(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x2 , …, xk
thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức
f(x)-g(x) có dấu không đổi .
b

Khi đó để tính tích phân S = ∫ f ( x) − g ( x) dx ta có thể tính như sau :
a

b

x1

x2

b

a

a

x1

xk

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x)]dx +

∫ f ( x) − g ( x)]dx + ... + ∫ f ( x) − g ( x)]dx

Trong mục 2.3.2.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.

GV nhấn mạnh cho học sinh cố gắng đưa tích phân của trị tuyệt đối về trị tuyệt
đối của tích phân và hạn chế vẽ hình vì thời gian làm bài TNKQ rất ít.

8


B. Bài tập
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox và hai đường

thẳng x = -1 ; x = 2.

y

-2

A O
-1

3x

B

1

Bài giải
2

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

-4

2
∫ − x dx

f( x) = -x2

−1

Hình 5

Phương trình − x = 0 vô nghiệm trên [-1;2] nên:
2

2

S=

∫ −x

2

2

dx =

−1

∫(

−1

− x3
− x dx =
3
2

)

2

=3.
−1

Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và các đường
thẳng x = -1 , x =

y
4
f( x) = x3

3
.
2

Bài giải

-2

A O
-1

3
2

B
1 3/2

3x

Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ x 3 dx
−1

Phương trình x3 = 0 ⇔ x = 0 do đó:
3
2

S = ∫ x3 dx =
−1

0

3
∫ x dx +

−1

3
2

3
∫ x dx = (
0

3
x4 0
x4
97
)

+( ) 2 =
4 −1
4
64
0

(đvdt)

Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị
(C ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 2 .

y
4
f( x) = ( x3-3⋅ x2) +2

Bài giải
Trục tung có phương trình : x = 0
Diện tích S của hình phẳng trên là

-2

-1

A

O1

2

B

x
3

(C)

2

S = ∫ x 3 − 3 x 2 + 2 dx
0

Phương trình x3  −3x 2 + 2 = 0 ⇔ x = 1

9


2

1

2

0

0

1

S = ∫ x 3 − 3 x 2 + 2 dx = ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2)dx + ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2)dx

=(

1
2
x4
x4
5 −5 5 5 5
− x 3 + 2 x) + ( − x 3 + 2 x )
= +
= + =
0
1
4
4
4
4
4 4 2

(đvdt)

Bài 4: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà nội có hình dạng Parabol, chiều
rộng 8m, chiều cao 12,5m. Tính diện tích của cổng .[4]
Bài giải
Giả sử parabol có phương trình y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
(P) có đỉnh A(0;

25
) và đi qua B(4;0) nên ta có hệ phương trình:
2

y
15

25
25


c = 2
c = 2


⇔ b = 0
b = 0


25
−25
16a +
a =
=0
2
32



Vậy y =

10

5

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5

−25 2 25
x +
32
2
4

Khi đó diện tích cần tìm là: S = 2∫
0

−25 2 25

200 2
x + dx =
m.
32
2
3

Bài 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn
Trong
2.3.2.b:
4 đượccao
tham8m
khảo
TLTK
số 4.
hoá
cómục
dạng
hìnhBài
Parabol
vàtừrộng
8m
(như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính
cường lực cho vòm cửa này, biết kinh phí lắp
cửa là 660.000/m2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để
lắp cửa ?
Bài giải
Giả sử parabol có phương trình y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
(P) có đỉnh A(0;8) và đi qua B(4;0)
nên ta có hệ phương trình:

10


y


c = 8
c = 8

−1 2

⇔ b = 0 Vậy y =
x +8
b = 0
2
16a + 8 = 0

−1

a =
2


8
6
4
2

x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2
-4

4

Diện tích vòm cửa là: S = 2∫
0

−1 2
128 2
x + 8 dx =
m.
2
3

Số tiền cần dùng là: T = 660000.S = 660000.

128
= 28.160.000 đồng.
3

Bài 6: Một mảnh vườn hình tròn tâm
O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây
trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm
đối xứng, biết kinh phí trồng cây là
70000 đồng / m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền
để trồng cây trên dải đất đó (số tiền
được làm tròn đến hàng đơn vị). [7]
Bài giải
Xét hệ trục tọa độ 0xy đặt vào tâm khu
vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm
O là x 2 + y 2 = 36 .

y
6
4
2

Phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có

x
-8

phương trình y = 36 − x 2 = f (x)

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2

Trong mục 2.3.2.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 7.

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần
diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, đồ thị y = f (x) và hai đường thẳng

-4
-6

x = −3; x = 3
3

⇒ S = 2 ∫ 36 − x 2 dx Đặt x = 6sin t ⇒ dx = 6 cos tdt .

−3

Đổi cận : x = −3 ⇒ t = −
π
6

π
6

π
π
; x =3⇒ t =
6
6
π

⇒ S = 2 ∫ 36cos 2tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18(sin 2 t + 2 t) −6π = 18 3 + 12π
−

π
6

−

π
6

6

Do đó số tiền cần dùng là T= 70000.S ≈ 4821322 đồng.

11


Bài 7: Ông A trồng hoa vào phần đất được tô
màu đen được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường
trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật
ABCD và một đường cong hình sin (như hình
vẽ). Biết AB = 2π (m) , AD = 6 (m) . Tính số tiền
ông A cần có để trồng hoa biết rằng kinh phí
trồng hoa là 1.000.000/m2.[6]
Bài giải

4

y

3

Xét hệ trục tọa độ 0xy như hình

2
1

Diện tích trồng hoa là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi ĐTHS y = 3s inx , trục 0x, hai đường
thẳng x = 0; x = 2π

x
-π/2

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

-1
-2
-3
-4

Diện tích trồng hoa là: S =

2π

∫
0

2π

3sin x dx = 3 ∫ sin x dx = 12.
0

Do đó số tiền cần dùng là: T= 10000.S = 1.200.000 đồng.
Bài 8: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng
người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau
40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m.
Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê
Trong mục 2.3.2.b: Bài 7 được tham khảo từ TLTK số 6
tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp
cầu).[3]

Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc
Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân
đế)

12


Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O)
⇒ y2 = ax 2 + bx −

20
1
= ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới
100
5

2 2 4
2 2 4
1
x +

x ⇒ y2 = −
x +
x−
Ta có (P1 ) đi qua I và A ⇒ ( P1 ) : y1 = −
625

25

625

25

5

Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1; y2 trong
khoảng (0; 25)
0,2

S = 2( ∫ (−
0

25

2 2 4
1
x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9,9m2
625
25
5
0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m3
Trong mục 2.3.2.b: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 3.
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m3 bê tông.
C. Bài tập trắc nghiệm khách quan.
Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
hoành, đường thẳng x = a, x = b (như hình bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây
y
y= f
đúng?
b

A. S = ∫ f ( x ) dx

B. S =

a

c

b

a

c

C. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

c

b

a

c

(x)

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
c

b

a

c

c

O
a

b

x

D. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 , y = − x và x = 1 là [5]

A. 4

B.

3
4

C.

1
4

D. 1

x
2
Câu 3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ( x − 1) e , y = x − 1 [6]

13


A. S = e +

8
3

B. S = e +

2
3

C. S = e −

2
3

D. S = e −

8
3

2x
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( x − 1) e , trục
hoành và các đường thẳng x = 0; x = 2 .[7]

e4 e2 3
A. + −
4 2 4

e4 e2 3
B. − −
4 2 4

e4 e2 3
C. + +
4 2 4

e4 e2 3
D. − +
4 2 4

Câu 5: Người ta trồng hoa vào phần đất được tô
màu đen được giới hạn bởi cạnh AB, CD,
đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ
nhật ABCD và một đường cong hình sin (như
hình vẽ). Biết AB = 2π (m) , AD = 2 (m) . Tính diện
tích phần còn lại.
A. 4π − 1

B. 4(π − 1) C. 4π − 2

D. 4π − 3

Câu 6: Gọi S là diện tích của Ban Công của
một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới
hạn bởi parabol (P) và trục Ox .[7]
A. S =

9
2

B. S = 1

C. S =

4
3

D. S = 2 S = 2

2.3.3. Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích.
mụcly2.3.2.c:
A.Trong
Cơ sở
thuyếtCâu 2 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 3 được tham khảo từ TLTK
số 6, câu 4 được tham khảo từ TLTK số 7.

14


Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn
xoay khi cho hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = f(x), trục
Ox và hai đường thẳng x = a, x
= b quay xung quanh trục Ox
là:
b

y
f(x)
a

x

b x

z

VOx = π ∫ y 2 dx

[1]
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x)
và y = g(x) liên tục, cùng dấu trên
đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số trên và hai
đường thẳng x = a, x = b quay xung
quanh trục Ox tạo nên một khối tròn
xoay có thể tích là:
a

y=f(x)
y

y=g(x)
O

a

b

x

b

V = π ∫ f 2 ( x) − g 2 ( x) dx [1]
a

B. Bài tập
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi bốn đường sau quanh trục hoành y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 1.

Bài giải
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là :
1 π
1
V = π ∫ (e ) dx = π ∫ e 2 x dx = π ( e 2 x ) = (e 2 − 1)
0 2
2
0
0
1

1

x

2

(đvtt)

Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi bốn đường sau quanh trục hoành y = x 2 − 4 , y = 2x -4 , x = 0 , x = 2 .
Bài giải

Trong mục 2.3.1.c: Câu 6 được tham khảo từ TLTK số 7.
Trong mục 2.3.3.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.

15


Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là :

y
4
3

(C)

2
1

32π
V = π ∫ (2 x − 4) − ( x − 4) dx =
(đvtt)
5
0
2

2

2

2

-3

-2

-1

x

1

O

2

-1

3

-2
-3

d

-4

Bài 3: Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x 2 + ( y − 2 ) ≤ 1
quanh trục Ox. [4]
Bài giải
Hình tròn (C) có tâm I(0;2) bán kính R=1 có
2

x2 + ( y − 2) = 1
2

phương trình là:

x 2 + ( y − 1) = 1

2

Ta có:

⇔ ( y − 1) = 1 − x 2 ( −1 ≤ x ≤ 1)
2

 y = 2 + 1 − x2
⇔
 y = 2 − 1 − x 2

Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là :
1

(


V = π ∫  2 + 1 − x2
−1 

) (
2

− 2 − 1 − x2

) dx = 4π
2

2

Bài 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi
một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy
một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây). Kí hiệuV là thể tích của hình nêm
(Hình 2).Tính V . [6]

Hình

1

Hình 2
Bài
giải tham khảo từ TLTK số 4, bài 4 được tham khảo từ TLTK
Trong mục 2.3.3.b: Bài
3 được
số 6.
16


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có
phương trình : y = 225 − x2, x ∈  −15;15
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,

( x ∈ −15;15 )

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S ( x ) (xem hình).
Dễ thấy NP = y và MN = NP tan450 = y = 15 − x2 khi đó

( )

S x =

(

1
1
MN .NP = . 225 − x2
2
2

)
15

15

(

)

(

1
suy ra thể tích hình nêm là : V = ∫ S x dx = ∫ . 225 − x2 dx = 2250 cm3
2 −15
−15

( )

)

Bài 5: Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn

bằng nhau và chiều cao bình là 16cm. Đường cong của bình là một cung tròn
của đường tròn bán kính là 9. [3]

Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ,
khi đó ta có phương trình là x 2 + y 2 = 81
khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường tròn x 2 + y 2 = 81 ,
y = 0; x = −8; x = 8
8

Vậy thể tích là: V = π ∫

−8

(

2

81 − x

2

π
) dx = 2864
3

c. Bài tập trắc nghiệm khách quan.
Câu 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ

Trong mục 2.3.3.b: Bài 5 được tham khảo từ TLTK số 3
4

thị hàm số y = , trục hoành, đường thẳng x=1 và x=4 khi quay (H) quanh Ox.
x

[5]

17


B.12 π .

A. ln 256 .

C.12.

D.6π .

Câu 2: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giói hạn bởi các đường
y = 1- x2;y = 0 quay quanh trục Ox là: [6]

A.

16
p
15

B.

15
p
16

D. p

C. 30

Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
hàm số y = x 2 − 2x và y = − x 2 quay quanh trục Ox.
[7]
A.

4
3

B.

4π
3

C.

π
3

D.

1
3

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −2 + x , trục Ox và hai
đường thẳng x = 1, x = 4 quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay. Tính

thể tích V của khối tròn xoay.[7]
A. V = 4 π

B. V = 5 π

3

C. V = 32 π

6

D. V = 229 π

3

6

Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 − 2x , trục hoành, trục
tung, đường thẳng x = 1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay
A. V =

(H) quanh trục Ox. [5]

8π
15

B. V =

4π
3

C. V =

15π
8

D. V =

7π
8

Câu 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 1 − x 2 , y = 0 quanh trục Ox có kết quả viết dưới dạng

nhau). Khi đó a+b bằng
A. 11

B. 17

aπ
(a, b nguyên tố cùng
b

[7]

C. 31

D. 25

Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −2 + x , trục Ox và hai

đường thẳng x = 1, x = 4 quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay. Tính
thể tích V của khối tròn xoay. [5]
A. V = 4 π
3

B. V = 5 π
6

C. V = 32 π
3

D. V = 229 π
6

Trong mục 2.3.3.c: Câu 1 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 2 được tham khảo từ TLTK
số 6, câu 3, 4 được tham khảo từ TLTK số 7

Trong mục 2.3.3.c: câu 5 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 6 được tham khảo từ TLTK
18
số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 6,


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả từ thực tiễn
- Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các ứng
dụng tích phân phân trong bài toán thực tế và học sinh không định hướng được
cách làm mà chỉ nhớ máy móc nên hay mắc sai lầm trong quá trình suy luận
(không nắm được mối liên hệ giữa các đại lượng; khó hình dung đượng hình
phẳng…) đẫn đến kết quả không cao.
- Khi áp dụng đề tài: Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải

một số bài tập ứng dụng tích phân phân trong bài toán thực tế các đề thi khảo
sát chất lượng thi THPT Quốc gia 2017 (do Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa,
trường THPT Nguyễn Trãi và các trường trên cả nước tổ chức) thì các em đã
biết cách làm và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.4.2 Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2016-2017, bài kiểm tra áp dụng
trên hai đối tượng lớp 12 C1 không áp dụng sáng kiến và 12C2 áp dụng sáng
kiến (mỗi lớp 20 học sinh trình độ ngang nhau) như sau:
Lớp

Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB
9-10

Lớp không thực nghiệm 12 C1
Lớp thực nghiệm 12 C2

2

7-8

5-6

Điểm
dưới TB

2

5

13

5

7

3

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải các bài liên quan ứng dụng tích phân phân trong bài toán thực tế
các em làm bài rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập
khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.

19


III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận
Nghiên cứu, phân tích ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế có ý
nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học
sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của
mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ
tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm
chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi
cuối kỳ, cuối năm học và đặc biệt là thi THPT Quốc gia.
3.2. Kiến nghị
Với những kết quả ban đầu thu được sau một thời gian áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm “Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế”, tôi đề nghị nhà
trường tổ chức khảo nghiệm và có ý kiến góp ý, chỉ đạo để tôi tiếp tục hoàn

chỉnh đề tài, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán học nói riêng,
chất lượng học tập toàn trường nói chung.
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một
sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toá n. Vì vậy nhà
trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để
học sinh được tìm tòi về ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế để các em có
thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm
2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của ḿnh viết,
không sao chép nội dung của người khác

Hoàng Thị Xuân

PHỤ LỤC

20


Danh mục tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (Cơ bản - NXB GD).
2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (Nâng cao - NXB GD).
3. Ứng dụng toán vào thực tiễn - Trần Văn Tài.
4. Chuyên đề bài toán thực tế - Đoàn Văn Bộ.
5. Một số đề KSCL lớp 12 của hocmai.vn.
6. Một số đề KSCL lớp 12 của MATHVN.com.
7. Một số đề KSCL lớp 12 của violet.

21