Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy tính tích cực của học sinh

MỤC LỤC
Nội dung
Phần 1 : Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phần 2 : Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
2.2. Thực trạng
2.3. Các giải pháp
2.3.1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình
2.3.2. Ứng dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học
2.3.3. Bài tập ứng dụng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Phần 3 : Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3

4
14
14
15
15
15
17


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn toán giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy, lập luận một cách chặt chẽ logíc,
những tri thức trong toán cùng với phương pháp làm việc trong toán là công cụ
để học tốt những môn học khác. Nội dung các phép biến hình được trình bày
trong sách giáo khoa hình học 11 có tác dụng phát triển tư duy hàm cho học
sinh. Đó là một phương thức tư duy đòi hỏi phải biết nhận thức các đối tượng
toán học trong sự chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn nhau. Hơn nữa, học sinh
được học phép biến hình với những điểm, những hình, liên hệ giữa ảnh và tạo
ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệ nhân quả, nghiên cứu
hình học trong trạng thái động. Điều đó góp phần bồi dưỡng quan điểm duy vật
biện chứng cho học sinh đồng thời kiến thức về phép biến hình cần thiết cho
nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác như hội họa,
kiến trúc và các ngành kĩ thuật.
Trong thực tế giảng dạy cho học sinh lớp 11 ở trường THPT Quảng
Xương 2, tôi thấy nội dung phép biến hình là một nội dung mới và khó đối với
đa số học sinh, nhiều học sinh khi học về các phép biến hình các em thường lúng
túng trong việc áp dụng nó để giải toán thêm nữa từ trước đến nay nội dung kiến
thức chương phép biến hình ít có trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên khi
học các em ít quan tâm và không tích cực. Tuy nhiên đây lại là phần kiến thức

giúp các em rèn luyện tư duy toán học và đặc biệt là giúp các em giải được các
bài toán thực tiễn có thể được áp dụng trong cuộc sống hằng ngày đồng thời
trong những năm học tiếp theo nội dung các phép biến hình là một phần kiến
thức không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
Xuất phát từ thực tế trên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Dạy học phép biến
hình trong mặt phẳng theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy
tính tích cực của học sinh ” với mong muốn một phần nào đó giúp học sinh
nắm vững kiến thức đồng thời tạo sự húng thú say mê tìm tòi sáng tạo trong học
tập.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới, học sinh tiếp cận khá
khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều nên để áp dụng được lý thuyết
vào giải toán thì thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh. Do vậy
qua quá trình giảng dạy tôi đã nghiên cứu đề tài này với mục đích:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh, phát hiện và bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh,
tạo được hứng thú học tập môn toán.
- Thông qua đề tài này, là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên và học
sinh, đặc biệt là đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi
tốt nghệp THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:

2


- Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng để giải toán hình học.
- Học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham

khảo.
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến của giáo viên và học sinh.
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT
Quảng Xương 2.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển.Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng gợi động
cơ học tập để các em thấy được những điều mình chưa biết và khả năng nhận
thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức. Từ
đó kích thích khả năng tư duy, sáng tạo của các em.
Phép biến hình là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình
hình học 11, các phép biến hình trong mặt phẳng không chỉ cung cấp cho học
sinh những kiến thức công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm
quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các
hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng
để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh
và sáng tạo trong tương lai. Ngoài ra, bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo
ra các bài toán khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong
việc tìm tòi, nghiên cứu hình học.Vì vậy, trong quá trình dạy học để giúp các em
học tốt phép biến hình giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, cần cho
học sinh thấy được các phép biến hình được ứng dụng để giải nhiều bài toán
hình học và trong thực tế.
2.2. Thực trạng vấn đề:
Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều
tra từ giáo viên và học sinh ở trường THPT Quảng Xương 2, tổng hợp các thông
tin có được tôi nhận thấy trong việc dạy phép biến hình tồn tại những thực trạng
sau:
- Xuất phát từ nguyên nhân từ trước đến nay nội dung kiến thức chương

phép biến hình không có trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên nhiều giáo
viên còn xem nhẹ, chưa thực sự quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu kiến
thức về phép biến hình để dạy cho học sinh.
- Phép biến hình là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu,
tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp
dụng các dạng bài tập đối với nhiều học sinh chưa được tốt.
Kết quả khảo sát nội dung kiến thức về phép biến hình đối với học sinh
lớp 11 trường THPT Quảng Xương 2

3


Năm học
Học sinh đạt yêu cầu
Học sinh chưa đạt yêu cầu
2012 – 2013
25%
75%
2013 - 2014
35%
65%
2014 - 2015
30%
70%
2.3. Các giải pháp:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình trong mặt phẳng học sinh
nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả năng khái
quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì
vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học
tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một

vài dạng toán được giải bàng cách sử dụng phép biến hình.
2.3.1. [3] Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình:
a) Định nghĩa phép dời hình:
Quy tắc đặt tương ứng một điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M ' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.
b) Tính chất của phép dời hình:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm: AB = A ' B ' với mọi điểm A, B ( A ', B '
là ảnh của A, B ).
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường d ' song song hoặc trùng với nó.
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A ' B ' và AB = A ' B ' , biến tam giác
ABC thành tam giác A ' B ' C ' và ∆ABC = ∆A ' B ' C ' .
- Biến đường tròn (O, r ) thành đường tròn (O ', r ) với O ' là ảnh của O qua
phép biến hình.
- Biến hình H thành hình H ' bằng nó.
- Biến góc thành góc bằng nó.
c) Các phép dời hình trong mặt phẳng:
+ Phép tịnh tiến :
r
Oxy cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M
- Trong mặt phẳng
uuuuur r
r
thành điểm M ' sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v.
r
- Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = (a; b) , điểm
uuuuur r

x ' = x + a
M ' = Tvr ( M ) = ( x '; y ') với M(x;y). Khi đó MM ' = v ⇔ 
.
y' = y +b

+ Phép đối xứng trục:
- Cho đường thẳng d . Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M ' sao cho d là đường trung
trực của đoạn thẳng MM ' , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay
phép đối xứng trục d . Kí hiệu Đd , d gọi là trục đối xứng.

4


- Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox trùng với đường
x ' = x
.
y' = −y

thẳng d . Điểm M ' = Đd ( M ) = ( x ', y ') với M(x,y) ta có 

+ Phép quay:
Cho điểm O và góc lượng giác ϕ . Phép biến hình biến O thành chính
nó, biến mỗi điểm M khác O thành M ' sao cho OM ' = OM và góc lượng giác
(OM ', OM ) = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc ϕ . Kí hiệu Q( O ,ϕ ) .
+ Phép đối xứng tâm :
- Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm
M khác I thành M ' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM ' được gọi là
phép đối xứng tâm I . Kí hiệu ĐI , I gọi là tâm đối xứng.
- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ

x ' = −x
Oxy sao cho M ( x; y ) , M ' = ĐO ( M ) = ( x '; y ') . Khi đó : 
.
y' = −y

d) Khái niệm hai hình bằng nhau:
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
e) Định nghĩa phép đồng dạng:
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0 ) nếu với hai
điểm M , N bất kì và ảnh M ', N ' tương ứng của chúng ta luôn có: M ' N ' = kMN .
f) Tính chất của phép đồng dạng:
- Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm.
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường thẳng d ' song song hoặc trùng với d .
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A ' B ' và A ' B ' = kAB .
- Biến tam giác ABC thành tam giác A ' B ' C ' và ∆ABC ∽ ∆A ' B ' C ' .
- Biến đường tròn (O, r ) thành (O ', kr ) với O ' là ảnh của O .
- Biến hình H thành hình H ' và H ' đồng dạng với H .
- Biến góc thành góc bằng nó.
g) Phép vị tự:
Cho điểm O và số k ≠ 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm
uuuuu
r
uuuu
r
M ' sao cho OM ' = k .OM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k . Kí hiệu là V( O ,k ) .
Tính chất của phép vị tự: Phép vị tự tâm O tỷ số k là phép đồng dạng tỷ
số k nên có các tính chất của phép đồng dạng. Ngoài ra, phép vị tự có tính chất
đặc biệt sau: đường thẳng nối một điểm và ảnh của nó luôn đi qua O; ảnh d ' của

đường thẳng d luôn song song hoặc trùng với d .
h) Khái niệm hai hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với
nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
2.3.2. Ứng dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học:
Dạng toán 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình
Phương pháp chung:
- Sử dụng định nghĩa.

5


- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình.
- Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: [8] Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường thẳng ∆ ' là ảnh của
đường thẳng ∆ : x + 2 y − 3 = 0 rqua mỗi phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −2)
b) Phép đối xứng tâm I với I (2; −1)
c) Phép đối xứng trục d với d : x − y − 3 = 0
Giải
r
a) Cách 1: Gọi ∆ ' là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến vectơ v = (3; −2) nên phương
trình ∆ ' có dạng x + 2 y + c = 0 . Lấy M (1;1) ∈ ∆ .Gọi M '( x '; y ') là ảnh của M qua Tvr ,
uuuuur

r

x −1 = 3
x = 4
⇔
. Vậy M '(4; −1), M '(4; −1) ∈ ∆ ' nên c = −2 .Vậy

 y −1 = 2
 y = −1

khi đó MM ' = v ⇔ 
∆ ': x + 2y − 2 = 0

Cách

2:

Gọi

M '( x '; y ')

là

ảnh

của

M ( x ; y)

qua

Tvr .

Khi

đó

uuuuur r
x ' = x + 3
 x = x '− 3
MM ' = v ⇔ 
⇔
(*)
y' = y − 2
 y = y '+ 2
Thay (*) vào phương trình của ∆ ta được x '− 3 + 2( y '+ 2) − 3 = 0 ⇔ x '+ 2 y '− 2 = 0
Vậy phương trình đường thẳng ∆ ' : x + 2 y − 2 = 0
Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng ∆ , ta tìm tọa độ các ảnh
A ', B ' tương ứng của chúng qua Tvr , khi đó ∆ ' là đường thẳng A ' B ' .

b) ∆ ' là ảnh của ∆ qua ĐI nên phương trình ∆ ' có dạng x + 2 y + c = 0 . Lấy
x '+ 1

 2 = 2
x ' = 3
M (1;1) ∈ ∆ . Gọi M '( x '; y ') là ảnh của M qua ĐI , khi đó 
⇔
.
 y ' = −3
 −1 = y '+ 1

2
Vậy M '(3; −3) mà M ' ∈ ∆ ' nên 3 + 2(−3) + c = 0 ⇔ c = 3 . Vậy phương trình
∆': x + 2y + 3 = 0
c) Ta có ∆ cắt d tại I (3;0) . Lấy M (1;1) ∈ ∆ , gọi H là hình chiếu vuông góc của M
lên d ta có MH ⊥ d ⇒ MH : x + y + c = 0, M ∈ MH ⇔ 1 + 1 + c = 0 ⇒ c = −2
Vậy phương trình MH : x + y − 2 = 0 . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:

5

x=

x − y − 3 = 0
5 1

2
⇔

. Vậy H ( ; − )
2 2
x + y − 2 = 0
 y = −1

2
Gọi M 1 là điểm đối xứng của M qua d, suy ra H là trung điểm MM 1 ⇒ M 1 (4; −2)
Đường thẳng ∆ ' đi qua I (3;0) và M 1 (4; −2) có phương trình: 2x + y − 6 = 0
Bài 2: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) có phương trình:
x 2 + y 2 − 2x − 2 y − 2 = 0 .Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C)
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O ,
góc quay 450 và phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 .

Giải

6


Đường tròn (C ) có tâm I (1;1) , bán kính R = 2
Gọi I1 là ảnh của I qua phép quay tâm O , góc quay 450 thì I1 (0; 2)

Gọi I '
là ảnh của I1 qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = 2 khi đó
uuur
uur
OI ' = 2 OI 1 ⇒ I '(0; 2)

Do đó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm
O góc quay 450 và phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 thì I có ảnh là I '(0; 2)
Gọi (C ') là ảnh của (C ) qua phép đồng dạng nói trên thì (C ') có tâm I ' và bán
kính R ' = k R = 2 2 . Vậy phương trình (C ') : x 2 + ( y − 2)2 = 8
Bài 3: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình
5x − 3 y + 15 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép
quay tâm O , góc quay 900 .
Giải
Cách 1: Phép quay tâm O , góc quay 900 biến đường thẳng d thành đường thẳng
d ' có phương trình 3x + 5 y + c = 0 . Lấy M (0;5) ∈ d , khi đó đường thẳng d ' đi qua
ảnh M '(−5;0) của M qua Q(O;90 )
M ' ∈ d ' ⇒ 3(−5) + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 15 . Vậy phương trình d ' : 3x + 5 y + 15 = 0
Cách 2: Đường thẳng d qua A(0;5), B(−3;0) , gọi A ', B ' lần lượt là ảnh của A, B
qua Q(O ;90 ) thì A '(−5;0), B '(0; −3) .
Đường thẳng d ' là đường thẳng A ' B ' có phương trình 3x + 5 y + 15 = 0 .
Bài 4: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình
2x+y − 4 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự
tâm I (−1; 2) , tỷ số k = −2 .
Giải
d
Cách 1: Đường thẳng 1 là ảnh của d qua V( I ;−2) nên phương trình đường thẳng
d1 có dạng 2x + y + c = 0 .
0

0

uuu
r

uu
r

 x ' = −3
 y ' = −2

Lấy A(0; 4) ∈ d . Gọi A '( x '; y ') là ảnh của A qua V( I ;−2) ta có : IA ' = −2 IA ⇔ 
suy ra A '(−3; −2)
Do A '(−3; −2) ∈ d1 ⇒ 2(−3) − 2 + c = 0 ⇒ c = 8 .Vậy d1 : 2x + y + 8 = 0
Cách 2 : Gọi M '( x '; y ') là ảnh của M ( x; y ) qua V( I ;−2) ta có

x '+ 3

x=−
uuuu
r
uuur

 x '+ 1 = −2( x + 1)

2
IM ' = −2 IM ⇔ 
⇔
 y '− 2 = −2( y − 2)
 y = − y '− 6


2
 x '+ 3  y '− 6
−2 
− 4 = 0 ⇔ 2x '+ y '+ 8 = 0 .Vậy
d
M
Điểm
thuộc
nên
÷−
2
 2 
d1 : 2x + y + 8 = 0
Cách 3 : Lấy hai điểm M , N bất kỳ trên d .Tìm ảnh của M ', N ' của chúng qua
phép vị tự tâm I , tỷ số −2 . Khi đó d1 là đường thẳng đi qua hai điểm M ', N ' .

Dạng toán 2: Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán tìm quỹ tích

7


Phương pháp:
Giả sử cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α . Từ các dữ kiện
của bài toán ta cần xem xét điểm M là ảnh của một điểm chuyển động N nào
đó qua một phép biến hình f ( M = f ( N ) ). Nếu N thuộc vào một hình H thì
M ∈ H ' là ảnh của H qua phép biến hình đó.
Sử dụng phép biến hình giải bài toán quỹ tích cần chú ý hướng dẫn học
sinh lựa chọn các phép biến hình.
Phép biến hình được sử dụng để giải toán quỹ tích khi trong giả thiết của

bài toán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động trên một tập hợp
xác định.
Bài 1: [2] Cho nửa đường tròn (O, R) , đường kính AB cố định. Điểm C di động
trên nửa đường tròn. Dựng về phía ngoài đường tròn (O, R) hình vuông BCDE .
Tìm quỹ tích điểm E .
Giải
Vì BCDE là hình vuông nên BC = BE , Bµ = 900
Xét phép quay Q( B; −90 ) biến B thành B , C thành C .
0

Mà C ∈ »AB do đó E ∈ ¼
A ' B là ảnh của »AB qua Q( B; −90 ) .
Vậy: Quỹ tích điểm E là ¼
A ' B là ảnh
của »AB qua Q( B; −90 ) .
Bài 2: [4] Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi
trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD . Tìm quỹ tích điểm B và điểm D .
Giải
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM = AB = AD
0

0

AM AB
2
0
0
=
=
.Ngoài ra, ( AM , AB ) = 45 , ( AM , AD ) = −45

AC AC
2
V
Suy ra phép vị tự ( A, 2 ) biến điểm C thành điểm M

Khi đó, ta có

2

và phép quay Q( A,45 ) biến điểm M thành điểm B.
0

V
Vậy: Nếu gọi F là phép hợp thành của ( A, 22 )

và Q( A,45 ) thì F biến C thành B .
Vì điểm C thay đổi trên đường tròn (O) nên
quỹ tích của B là ảnh của đường tròn (O)
qua phép đồng dạng F . Đường tròn quỹ tích B
có thể xác định như sau:
Gọi AR là đường kính của đường tròn (O) và PQ là đường kính của đường
tròn (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR, AP) = 450 ). Khi
đó ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP . Vậy quỹ tích điểm B là đường
tròn đường kính AP .
Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ .
0

8

Bài 3: [3] Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng: Trực tâm H của tam giác ABC nằm
trên một đường tròn cố định.
Giải
Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao
của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định
nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A. Quỹ tích của điểm A đã biết(là
đường tròn tâm O). Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh
giữa H và A. H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào?
Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau:
Cách 1: Sử dụng phép đối xứng trục
Gọi H ' là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Ta có µA1 = Cµ1 (cùng phụ với góc B)
µ
¶ (cùng chắn cung ¼ ) ⇒ C
µ =C
¶
A1 = C
BH '
2
1
2
Từ đây suy ra H là ảnh của H ' qua phép Đ BC .
Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì
H ' cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn (O ') là ảnh của
đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC qua phép Đ BC .
Từ những yếu tố cố định đã cho có thể tìm thêm
những yếu tố cố định nào khác để tìm mối liên hệ
giữa A và H ? Trả lời cho câu hỏi này sẽ dẫn đến

chỗ kẻ các đường kính AA ' và lấy trung điểm I của
đoạn thẳng BC .Các yếu tố mới tạo nên có cho biết gì về
mối liên hệ giữa H và A không? Và từ đường kính AA ' sẽ có thêm một số góc
vuông mà giả thiết ban đầu đã có ba đường cao, vì thế còn có thêm những cặp
đoạn thẳng song song, rồi còn có hai trung điểm I và O .Trong các yếu tố mới
vẽ thêm chỉ có A ' thay đổi khi A thay đổi mà quỹ tích điểm A ' là đường tròn
nên còn có thể tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và A ' . Cứ phân tích như vậy
sẽ dẫn đến chỗ tìm ra phép đối xứng tâm I biến A ' thành H ( I là giao điểm
của
uur
hai đường chéo hình bình hành A ' BHC ) và phép tịnh tiến theo vectơ 2OI biến
A thành H . Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa:
Cách 2: Sử dụng phép đối xứng tâm
Kẻ đường kính AA' . Dễ thấy A ' B / / HC , BH / / A ' C nên tứ giác A ' BHC là hình
bình
hành, suy ra H và A ' đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng BC .
Khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì A ' cũng di chuyển trên đường tròn (O)
và do đó H di chuyển trên đường tròn (O ') là ảnh của đường tròn (O) qua phép
đối xứng tâm I .
Cách 3: Sử dụng phép tịnh tiến
Kẻ đường kính AA ' , gọi I là trung điểm đoạn
thẳng BC . Tứ giác A ' BHC là hình bình hành nên

9


I là trung điểm đoạn thẳng A ' H .
Trong ∆ AHA ' thì OI là đường trung bình nên
uuur
uur

1
OI // AH và OI = AH hay AH = 2OI . Chứng tỏ
2
uuu
r
H là ảnh của A qua phép tịnh tiến T2OI
.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) ngoại tiếp
∆ABC thì H di chuyển trên (O ') là ảnh của (O)
uuu
r
qua phép tịnh tiến T2OI
.

Qua bài toán trên, ta thấy tập hợp của trực tâm H
cũng là đường tròn ngoại tiếp ∆HBC . Như vậy đường tròn
ngoại tiếp ∆HBC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC hoặc qua phép đối xứng
trục Đ BC hoặc qua phép đối xứng tâm Đ I với I là trung điểm cạnh BC hoặc qua
uuu
r
phép tịnh tiến T2OI
. Tương tự, ta có đường tròn ngoại tiếp ∆HAB là ảnh của
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua phép đối xứng trục Đ AB , hoặc qua phép đối
xứng tâm Đ J là trung điểm của AB và đối với đường tròn ngoại tiếp ∆HCA cũng
tương tự.
Dạng toán 3 : Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình
Phương pháp:
Giả sử trong một bài toán dựng hình cần dựng một điểm M nào đó. Trong
bước phân tích ta xem xét M là ảnh của một điểm N qua một phép biến hình,
do đó việc dựng điểm M đưa về dựng ảnh của điểm N trong phép biến hình đó.

Cách thứ hai xác định điểm M thuộc một đường (C ) và thỏa mãn một tính chất
T nào đó. Khi đó ta cần dựa vào tính chất T để thấy rằng M sẽ là ảnh của một
điểm N nào đó qua một phép biến hình f hoàn toàn xác định, trong khi đó N
thuộc một đường ( H ) hoàn toàn xác định. Vậy điểm M thuộc đường ( H ' ) là
ảnh của ( H ) qua f , do đó M là giao điểm của ( H ' ) và (C )
Bài 1: [6] Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) và (O, r ) với r < R và một điểm A
cho trước trên (O, r ) . Hãy dựng qua A một đường thẳng xy cắt (O, r ) tại B , cắt
(O, R) tại C , D , theo thứ tự C , A, B, D sao cho CA = AB = BD .
Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng xy thỏa đề. Chỉ cần xác định
một trong ba điểm B hoặc C hoặc D , chẳng hạn cần dựng điểm D , một mặt D
uuur
uuur
thuộc (O, R) mặt khác AD = 2 AB ⇒ AD = 2 AB do đó D = V( A;2) ( B) mà B thuộc
(O, r ) nên D thuộc (O ', 2r ) , với O ' = V( A;2) (O ) , từ đó suy ra cách dựng
+) Cách dựng:
- Dựng O ' = V( A;2) (O )
- Dựng (O ', 2r )
- Dựng D = ( O; R ) I ( O '; 2r )
- Dựng đường thẳng xy qua A, D .
Ta có đường thẳng xy cần dựng.
+) Chứng minh:

10


Gọi B = (O; r ) I xy , C = (O; R) I xy (C ≠ D) . Chứng minh CA = AB = BD .
Thật vậy, xét phép vị tự V( A;2) ( B) = D , suy ra AD = 2 AB nên AB + BD = AD = 2 AB
⇒ AB = BD
Kẻ OH ⊥ xy, ( H ∈ xy ). ∆OAB cân tại O ⇒ HA = HB tương tự HC = HD

⇒ HC − HA = HD − HB ⇒ CA = BD

+) Biện luận:
- Nếu OO ' = R − 2r ⇔ 3r = R , bài toán có một nghiệm hình
- Nếu R < 3r , bài toán có hai nghiệm hình
- Nếu R > 3r , bài toán không có nghiệm
Bài 2: [5] Cho đường thẳng d và hai đường tròn (O), (O ') nằm về hai phía đối
với d . Hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d, đỉnh A
nằm trên đường tròn (O) , đỉnh C nằm trên đường tròn (O ') .
Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông thỏa yêu cầu, A và C đối xứng nhau
qua đường thẳng d , xét phép đối xứng trục Đ d biến A thành C và biến đường tròn
(O) thành đường tròn (O ") đi qua C . Vì vậy C là điểm chung của hai đường tròn
(O ') và (O ") . Mặt khác AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông, do
đó B, D là giao điểm của đường tròn đường kính AC và đường thẳng d
+) Cách dựng:
- Dựng đường tròn (O ") là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục Đ
d . Gọi C là giao điểm của (O ") và (O ')
- Dựng ảnh của C qua phép đối xứng trục Đ d . Đó chính là điểm A .
- Dựng đường tròn đường kính AC .
Gọi B, D là giao điểm của đường tròn đó với d ,
ABCD là hình vuông phải dựng.
+) Chứng minh: Theo cách dựng, điểm C
thuộc (O ") nên ảnh A của C qua phép đối xứng
trục Đd thuộc (O) . Tứ giác ABCD có hai đường
chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó ABCD
là hình vuông.
+) Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn (O ') và (O ") .
Nếu hai đường tròn đó trùng nhau thì bài toán có vô số nghiệm.
Bài 3: [5] Cho tam giác ABC . Hãy dựng đường thẳng d song song với BC sao

cho d cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N và AM = CN .
Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.
uuur (C )
Khi đó nếu gọi K = TuNM
thì tứ giác NMKC là hình bình hành nên
·
·
. Mặt khác:
MK = CN = AM ⇒ ∆AMK cân tại M ⇒ MAK
= MKA
·
·
·
·
MKA
= KAC
⇒ MAK
= KAC
⇒ AK là tia phân giác của góc BAC .Vì MN // BC nên
K nằm trên BC . Vậy K là chân đường phân giác trong của góc BAC .
+) Cách dựng:
- Dựng đường phân giác Ax của góc BAC

11


- Dựng giao điểm K của BC và Ax
- Dựng M trên AB sao cho MK // AC
- Dựng N thuộc cạnh AC sao cho MN // BC

Khi đó đường thẳng d qua M , N là đường
thẳng cần dựng.
+) Chứng minh: Ta có d // BC
·
·
Theo cách dựng thì MAK
,
= KAC
·
·
·
·
mà MKA
nên MAK
nên AM = MK .
= KAC
= MKA
Mặt khác tứ giác MNCK là hình bình hành nên MK = CN từ đó suy ra AM = CN .
Vậy d là đường thẳng cần dựng.
+) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Dạng toán 4: Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị
Bài 1: [6] Cho trước một điểm A và đường thẳng d không đi qua A . Trên d ta
đặt một đoạn thẳng BC = a ( a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để
AB + AC nhỏ nhất.
Giải
r
r
Thực hiện phép tịnh tiến Tur , phương của u song song với d , u = a . Phép
tịnh tiến Tur biến B thành C , A thành A ' nên AB = A ' C khi đó
AB + AC = A ' C + AC . Thực hiện phép đối xứng

trục Đd biến A ' thành A " , A ' cố định nên A "
là điểm cố định và AA '' = b là một số không đổi.
Ta có CA '+ AC = CA "+ AC ≥ b .
Dấu ‘’=’’trong bất đẳng thức xảy ra khi
C là giao điểm của AA '' với d.
Vậy AB + AC nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và AA '' ,
B là ảnh của C qua phép tịnh tiến T−ur
Bài 2: [3] Hai làng nằm ở vị trí A và B cách nhau một con sông (xem hai bờ
con sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một cái cầu MN
bắc qua sông (cầu phải bắc vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn đường thẳng
từ A đến M và từ B đến N . Hãy xác định vị trí cây cầu MN sao cho khoảng
cách AM + BN ngắn nhất.
Giải
Kí hiệu a, b là hai bờ sông
- Trường hợp 1: Coi con sông rất hẹp.
Bài toán trở thành :
Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau
so với đường thẳng a . Tìm vị trí M trên a để
AM + BM nhỏ nhất.
Khi đó M là giao điểm của AB với a
- Trường hợp 2: a // b
uuuu
r
Nhận xét: a, b cố định ⇒ MN cố định.
uuur ( A ) = A ' ⇒ A ' N = AM
TuMN
. Ta có

12

uuur ( A )
AM + BN = A ' N + BN = A ' B . Dựng A ' = TuMN
,
nối A ' với B cắt b tại N ,từ N hạ
đường thẳng vuông góc với a tại M .
Khi đó MN là vị trí xây cầu.
Bài 3: [7] (Bài toán Toricelli) Cho tam giác ABC tong đó góc lớn nhất nhỏ hơn
1200 . Tìm trên mặt phẳng chứa tam giác điểm M trong tam giác sao cho tổng
MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Xét phép quay Q( B ;60 ) . Gọi M ' = Q( B ;60 ) ( M ) , C ' = Q( B ;60 ) ( C ) suy ra
M ' C ' = MC . Phép quay tâm B , góc quay α =600 nên ∆BMM ' đều ⇒ MM ' = BM
nên MA + MB + MC = MA + MM '+ M ' C ' (hình 1) .
Vì C cố định nên C ' cố định.
Với mọi điểm M , M ' ta luôn có AM + MM '+ M ' C ' ≥ AC ' .
Dấu đẳng thức xảy ra khi A, M , M ', C ' thẳng hàng.
Vậy: min( MA + MB + MC ) = AC '
Ta xác định vị trí điểm M : Giả sử M là
Hình 1
điểm thỏa MA + MM '+ M ' C ' = AC ' (hình 2).
Do α =600 nên góc giữa hai đường thẳng
·
MC và M ' C ' bằng 600 hay CMC
' = 600
·
·
∆BMM ' đều nên BMB

' = 600 ⇒ BMC
= 1200 ,
Hình 2
·
mặt khác ·AMB = 1800 − BMM
' = 1200 , do đó
·AMC = 1200 . Vậy điểm M cần tìm là giao
điểm của ba cung chứa góc 1200 dựng trên
các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC
Ta có thể dựng điểm M như sau:
- Về phía ngoài ∆ABC dựng tam giác đều
0

0

0

A

Mj

C

B

M'

C'

⇒ C ' = Q B ;600 ( C )

(
)
- Dựng đường tròn (C ) ngoại tiếp ∆BCC '
- AC’ cắt (C ) tại M . Ta có M là điểm cần tìm
Hoặc có thể dựng điểm M bằng cách sau: Về phía ngoài ∆ABC dựng các
tam giác đều BCC ', AB ' B, ACA ' thì các đường thẳng AC ', CB ', BA ' đồng quy. Điểm
BCC '

đồng quy là điểm cần tìm.
Dạng toán 5: Sử dụng phép biến hình để giải các dạng toán khác
Bài 1: [5] Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC = a . Từ A kẻ các
đường thẳng AE ⊥ BC và AF ⊥ CD ( E ∈ BC , F ∈ CD ). Tính khoảng cách từ A đến
trực tâm H của tam giác AEF biết EF = b(b < a) .
Giải
AF
⊥
CD
DC
Vì
, AF ⊥ EH nên
// EH hay FC // EH .
Tương tự ta có FH // CE ⇒ FCEH là hình bình hành.
Phép tịnh tiến TuFCuur biến F thành C , biến H thành E ,
biến A thành A ' suy ra AH = A ' E , tứ giác AA 'CF

13


là hình chữ nhật nên AC = A ' F = a .
∆A 'EF vuông tại E (vì AH // A ' E , AH ⊥ EF ),

ta có A ' E = A ' F 2 − EF 2 = a 2 − b 2 .
Vậy: AH = A ' E = a 2 − b 2
Bài 2: [6] Cho tam giác ABC vuông ở C . Kẻ CD ⊥ AB tại D . Gọi AM , CN theo
thứ tự là trung tuyến của các tam giác ACD và BCD . Chứng minh AM ⊥ CN .
Giải
DC DB CB
=
=
= k . Phép vị tự V( D; k ) biến A thành A1 ,
DA DC CA
biến C thành C1 suy ra DA1 = DC , DC1 = DB
Xét phép quay Q( D ;900 ) biến A1 thành C , biến C1 thành B

Ta có ∆DCB ∽ ∆DAC ⇒

Xét phép đồng dạng Q( D;90 ) .V( D ; k ) biến A thành C , biến C thành B , biến AM
thành CN .
Do đó góc giữa AM và CN bằng 900
tức là AM ⊥ CN
0

Bài 3: [6] Qua tâm G của ∆ABC đều , kẻ đường thẳng a cắt BC tại M , cắt AB
tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q đồng thời tạo với a một
góc 600 . Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình thang cân.
Giải
Ta có : a ∩ BC = { M } , b ∩ BA = { Q} mà Q(G ,−120 ) biến a thành b (1)
biến C thành B , biến B thành A nên biến CB thành BA (2)
Từ (1), (2) suy ra Q(G ,−120 ) biến M thành Q nên GM = GQ do đó ∆GMQ cân
A
Tương tự: ∆GNP cân suy ra MQ // NP và

NQ = MP .
Vậy: MNPQ là hình thang cân.
N
0

0

P
k

Q

G
j

B

M

C

2.3.3. Bài tập áp dụng :
Bài 1: [2] Cho hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng d .
Hãy dựng điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

14


Bài 2: [5] Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M chuyển
động trên đường tròn. Trên tia AM , ta lấy một điểm P sao cho AP = BM . Tìm

tập hợp các điểm P khi M thay đổi.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học phép biến hình trong
mặt phẳng theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy tính tích cực
của học sinh ” vào dạy học học sinh hứng thú khi học nhìn chung các em biết
vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và đặc biệt đã bắt đầu làm quen
với kiểu tư duy mới, công cụ mới có hiệu quả để giải quyết bài toán, đặc biệt là
loại toán dựng hình, tìm quỹ tích hơn nữa các em còn tìm kiếm sưu tầm những
bài có thể áp dụng được phép biến hình để làm
Kết quả đối chứng
- Chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Năm học
Học sinh đạt yêu cầu Học sinh chưa đạt yêu cầu
2012 – 2013
25%
75%
2013 - 2014
35%
65%
2014 - 2015
30%
70%
- Đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Năm học
Học sinh đạt yêu cầu Học sinh chưa đạt yêu cầu
2015 - 2016
65%
35%
2016 - 2017
75%

25%

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong những năm học tiếp theo phép biến hình là một nội dung kiến thức
mà học sinh sẽ thường gặp trong kỳ thi. Đây là một chuyên đề phù hợp với đối
tượng học sinh lớp 11, và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia, ôn thi học
sinh giỏi.
Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng
dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi, khá
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết mới
như trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập
đòi hỏi tính sáng tạo như lớp các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực
nghiệm cho học sinh lps 11 trường THPT Quảng Xương 2 đã chứng tỏ đề tài
giúp học sinh phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu.
Điều đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập tích cực của
các em.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh
nghiệm quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.

15


Trên đây là kinh nghiệm: “Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng
theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy tính tích cực của học
sinh ” của tôi. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp
và các đồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành
cảm ơn!
3.2. Kiến nghị
Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao,

cần lưu ý một số điểm sau:
1) Đối với giáo viên:
- Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy
năng lực tư duy sáng tạo của học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh
nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học
tập, tích cực hợp tác với các thầy cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và
say mê nghiên cứu môn toán hơn .
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên
trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh.
Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật
vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan.
2) Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong
trào đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng
phát huy năng lực học sinh, viết và áp dụng SKKN.
3) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn
Sở GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác
tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp
loại.
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và
các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2016
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác
Người viết

Lê Thị Lan

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 11- Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, NXB giáo dục năm 2007
2. Bài tập hình học 11- Nguyễn Mộng Hy, NXB giáo dục năm 2007
3. Hình học 11 nâng cao- Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương,NXB giáo dục năm
2007.
4. Bài tập hình học nâng cao- Văn Như Cương, NXB giáo dục năm 2007
5. Giải toán hình học 11- Võ Anh Dũng, Trần Đức Huyên, NXB giáo dục năm
2009.
6. Các phép biến hình trong mặt phẳng- Nguyễn Mộng Hy,NXB Giáo dục năm
2007
7. Trọng tâm kiến thức và bài tập hình học 11- Phan Huy Khải, NXB Giáo dục
năm 2010.
8. Đề thi kiểm tra môn toán lớp 11, trường THPT Quảng Xương 2 các năm học
2015-2016, 2016-2017.

17


18