Hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức và phân dạng bài tập về khoảng cách

1.MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những
loại toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề
thi đại học.Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết
hướng giải quyết.Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ
thông là một trong những môn học khó, phần lớn các em học môn Toán rất yếu
đặc biệt là hình học không gian, nếu không có những bài giảng và phương pháp
dạy môn Hình học phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ
động trong việc tiếp thu, cảm nhận. Đã có hiện tượng một số bộ phận học sinh
không muốn học Hình học, ngày càng xa rời với giá trị thực tiễn của Hình học.
Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho
mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một
cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn nhiều. Do
đó phương pháp ít có tiến bộ mà người giáo viên đã trở thành người cảm nhận,
truyền thụ tri thức một chiều, còn học sinh không chủ động trong quá trình lĩnh
hội tri thức-kiến thức hình học làm cho học sinh không thích học môn Hình
học.
1.2.Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo
của học sinh nhằm giúp các em xây dựng các kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập
cần thiết, kỹ năng tư duy, tổng kết, hệ thống lại những kiến thức, vấn đề cơ bản
vừa mới lĩnh hội giúp các em củng cố bước đầu, khắc sâu trọng tâm bài học, thì
sơ đồ tư duy là một biểu đồ được sử dụng để thể hiện từ ngữ, ý tưởng, nhiệm vụ
hay các mục được liên kết và sắp xếp tỏa tròn quanh từ khóa hay ý trung tâm. Sơ
đồ tư duy là một phương pháp đồ họa thể hiện ý tưởng và khái niệm trong các
bài học mà giáo viên cần truyền đạt, làm rõ các chủ đề qua đó giúp các em hiểu
rõ hơn và nắm vững kiến thức một cách có hệ thống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Để cho học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Hình học hơn, tôi có
một ý tưởng là: “ Hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức

và phân dạng bài tập về khoảng cách ” với mong muốn thay đổi cách giảng
dạy truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy
nghĩ. Ý tưởng là “sơ đồ tư duy” được xây dựng theo quá trình từng bước khi
người dạy và người học tương tác với nhau.
1.4.Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện được điều như trên, bản thân tôi xác định phải luôn bám sát
các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, kĩ năng; sách giáo khoa; sách giáo viên
và các sách tham khảo khác. Ngoài ra còn luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và
bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng chương cụ thể, giúp học sinh định
hướng và nắm được kiến thức trọng tâm bài học. Thông qua đó học sinh nắm
vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn.

1


2 .NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Sơ đồ tư duy (SĐTD) còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy,… là hình
thức ghi chép nhằm tìm tòi đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ
đề hay một mạch kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình
ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Đặc biệt đây là một sơ
đồ mở, không yêu cầu tỉ lệ, chi tiết chặt chẽ như bản đồ địa lí, có thể vẽ thêm
hoặc bớt các nhánh, mỗi người vẽ một kiểu khác nhau, dùng màu sắc, các cụm
từ diễn đạt khác nhau, cùng một chủ đề nhưng mỗi người có thể “thể hiện” nó
dưới dạng SĐTD theo một cách riêng, do đó việc lập SĐTD phát huy được tối
đa khả năng sáng tạo của mỗi người.[1]
Cách thức tổ chức dạy học với SĐTD thể hiện dưới sơ đồ sau:

[1]

SĐTD chú trọng tới hình ảnh, màu sắc, với các mạng lưới liên tưởng (các
nhánh). Có thể vận dụng SĐTD vào hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến
thức sau mỗi tiết học, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau mỗi chương, mỗi học
kì...[1]
SĐTD giúp học sinh học được phương pháp học tập chủ động, tích
cực.SĐTD giúp học sinh học tập tích cực, huy động tối đa tiềm năng của bộ não.
Việc học sinh vẽ SĐTD có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh,
các em được tự do chọn màu sắc để thể hiện ( xanh, đỏ, tím, vàng, nâu, …),
đường nét (đậm, nhạt, thẳng cong…), các em tự “ sáng tác” nên trên mỗi SĐTD
thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh và SĐTD do
các em tự thiết kế nên các em sẽ yêu quý, trân trọng “ tác phẩm” của mình.[1]
2


SĐTD giúp học sinh ghi chép rất hiệu quả. Do đặc điểm của SĐTD nên
người thiết kế SĐTD phải chọn lọc thông tin, từ ngữ, sắp xếp bố cục để ghi
thông tin cần thiết nhất và lôgic. Vì vậy, sử dụng SĐTD sẽ giúp học sinh dần
dần hình thành cách ghi chép hiệu quả.[1]
Đồng thời sử dụng sơ đồ tư duy rất phù hợp với cách tư duy làm bài của
hình thức thi trắc nghiệm hiện nay.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
a/Thuận lợi:
Là giáo viên dạy toán nhiều năm được tiếp xúc với nhiều đối tượng học
sinh.Đa số học sinh thích học Toán, thích tìm phương pháp mới trong học tập.
Tổ chuyên môn thảo luận về chuyên đề sơ đồ tư duy. Bản thân thích học
hỏi và nâng cao kiến thức.
Hưởng ứng việc Sở giáo dục và đào tạo phát động sử dụng sơ đồ tư duy
trong dạy học và đổi mới phương pháp dạy học .
b/Khó khăn:
Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11của học sinh còn hạn

chế .
Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng
trong hình không gian và hình học phẳng của các em còn yếu.
Kỹ năng vẽ hình trong không gian của học sinh phần đa là yếu.
Đa số học sinh là con em nông dân, học sinh gia đình có hoàn cảnh kinh
tế khó khăn nên học yếu môn Toán, đặc biệt là hình học không gian.
Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn yếu.

3


2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Hệ thống hoá các kiến thức về khoảng cách :
Sơ đồ tóm tắt
Khoảng cách từ một điểm M
đến một đường thẳng()
phẳng(P)

Gọi H là hình chiếu
của M trên ( )
(()
(hoặc(P))
Khi đó : d(M;())=MH
(Hoặc d(M;(P)) =MH)

Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song

Cho a//(P),
a//(P).Điểm

M ( a)M
(a_ a
d(a;(P))=d(M;(P))

Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song

Cho (P)//(Q),
(P)//(Q).Với
M(Q)
M(Q)
d((P);(Q))=d(M;(P))

Khoảng cách

Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau

Là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai
đường thẳng đó
[2]

2.3.2.Phân loại các dạng toán :
Sơ đồ tóm tắt
Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng

Phân loại các dạng
toán về khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
[2]

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau

Loại 1: Khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng.
a) Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

4


Trong không gian cho điểm M và đường thẳng ∆ ,để tính khoảng cách từ
M đến ∆ ta làm như sau :
Sơ đồ tóm tắt
Sử dụng định nghĩa :Trong mặt phẳng
chứa M và ta kẻ MHtại H.Ta có
d(M;) = MH
Cách 1
d(M;)
Cách 2

Trong không gian dựng mặt phẳng ()
đi qua M và ()vuông góc với và cắt tại
H ,ta có d(M;) = MH
[2]

b) Bài tập vận dụng :
Bài tập 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O
cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi I là trung điểm
của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB.Tính khoảng cách từ I đến CM.[3]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
S
Hướng dẫn học sinh giải:

I
D

A
M
Vẽ hình

Xác định
d(I,CM)
Tính
d(I,CM)
Tính IH

H

O

N

C
B
Trong mp(ABCD) dựng OH⊥CM. Ta có

IO//SA mà SA⊥(ABCD) nên IO⊥(ABCD). Do
đó : CM⊥(OIH) nên IH⊥CM d(I,CM) = IH.
Gọi N là giao điểm của MO với CD.Ta có hai
tam giác vuông MHO và MNC đồng dạng.
Do đó , lại có . Mà OIH vuông tại O nên
. Vậy d(I,CM) .

Loại 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
a) Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng:
5


Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác
định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:
Sơ đồ tóm tắt
Sử dụng định nghĩa : Gọi H là hình chiếu của M
trên (P) Khi đó d(M;(P))=MH
Cách 1
Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc
với mp(P)
d(M; (P))

Cách 2

Bước 2:Xác định giao tuyến d của mp(P) và (Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H
⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH

Cách 3

Bổ đề 1 :Cho mp(P) và 2 điểm M,A không nằm
trên (P).Gọi I = MA ∩ (P) khi đó :=
S

[2]
Lưu ý :
* Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình
chóp:
+ Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông
H góc với mặt đáy thì hình
chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu
D của đỉnh lênAgiao tuyến của mp
đó và đáy.
I
+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc
O các cạnh bên tạo với mặt đáy
một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn
C
B
ngoại tiếp đa giác đáy.
+Hình chóp có các mặt
bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình
Vẽ hình
S.ABCD
hình
chóp đều
chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn nội
tiếp đalàgiác
đáy.
(ABCD).

Quacủa
O
+Hình chóp có hai mặt bên kề nhau vuông gócnên
vớiSO
đáy⊥thì
hình chiếu
OIbên
vuông
gócđáy
với. AB
đỉnh lên mp đáy chính là giao điểm của
đó và
Xácgiao
địnhtuyến haikẻmặt
(SOI)
⊥ (SAB).
Kẻtâm
OH
+Hình chóp đa giác đều thì hình
chiếu
của đỉnh⇒
lên
mp đáy
chính là
hình
chiếu
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của O trên
⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒
*Ta sẽ sử dụng cách 1 trong trường
hợp bài toánd(O;(SAB))

xác định hình
chiếu của
= OH
mp(SAB)
điểm trên mặt dễ dàng.
Tính d(O;(SAB)).
* Ta sẽ sử dụng cách 2 trong trường hợp xác định được một mặt phẳng(Q)
chứa điểm M, vuông góc với mặt phẳng (P) và (Q) cắt Ta
(P)có:
. AC = BD = a,
* Ta sẽ sử dụng bổ đề trong trường hợp việc tínhOI
khoảng
cách
trực ta
tiếp
= . Xét
∆SAO
có:
Tính
OH
khó khăn mà việc tính khoảng cách của điểm nào đó trong
tính
SO =hình
SA -dễAO
= hơn.
,2)) .Nên
b) Bài tập vận dụng :
)) = )) + )) = ))
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD
⇒ OH là

= hình vuông tâm
O cạnh bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
[3]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
Hướng dẫn học sinh giải:

d(O;(SAB)) =
6


Nhận xét:
* Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB)
ta sẽ làm như thế nào:
Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề 1 để
suy ra d(C;(SAB)) Ta có: = = 2 ⇒ d(C;(SAB)) = a 6
3

* Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K
của SC đến (SAB) ta sẽ làm như thế nào:
Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng tính chất để
suy ra d(K;(SAB))Ta có OK //(SAB) ⇒ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a 6 .
6

Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 45 0. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SCD).
[3]
7

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
Hướng dẫn học sinh giải:
S
H

A
Vẽ hình

B

D

C
Kẻ AHSD tại H,mà AHCD
nên AH(SCD)

Tínhd(B;(SCD))

Tính d(A;(SCD))

d(A;(SCD))=AH
S =
= =a

Vì AB // CD nên AB// (SCD)
K
d(B,(SCD))= d(A,(SCD))=a
Nhận
xét :
I

Tính d(B;(SCD))
A
Vẽ
hình
Như vậy ở
C là khó
bài tập này việc tính khoảng cách từ B đến mp(SCD) bằng định nghĩa
H
khăn mà AB // CD nên AB // (SCD) .
Vì vậy d(B;(SCD)) = d(A;(SCD)) .
Trong khi đó việc tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) dễ dàng hơn nhiều
Lưu ý: Nếu một đường thẳng song song vớiB một mặt phẳng thì khoảng
Kẻ SH cách
⊥ BC,
có:điểm bất kỳ trên
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng
từtamột
Tínhd(B;(SAC))
Tínhd(H;(SAC))
đường thẳng đến mặt phẳng.[2]
SH = SB.sin30 = a,BH = 3a
Giáo viên yêu cầu học sinh sử dụng sơ đồ tư duy để trình bày hướng làm
bài đã nêu. Cho các học sinh khác thảo luận
làm thấy
của từng
QuavàHso
kẻsánh
HI ⊥với
ACcách
tại I .Dễ

học sinh.
⇒
(SHI)
(SHI)
⊥⊥
(SAC).
(SAC).
KẻKẻ
HK
HK
⊥⊥
SISI
tạitại
K
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
K⇒
⇒
HKHK⊥ (SAC)
⊥ (SAC)
AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC).Biết SB=2a, góc
SBC=30.Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
[4]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
d(H;(SAC)) =HK=))
Hướng dẫn học sinh giải:

,)) = = 4 ⇒ d(B;(SAC)) = ,7))
8

I

S

Vẽ hình

C
H
B

I

A

Gọi H là trung điểm BC thì SH ⊥
(ABC) và SH =
Ta có BC=a,

Nhận xét :
Nhận thấy tính d(B; (SAC)) trực tiếp khó khăn vì vậy ta đã tính thông qua bổ
đề bằng việc tính d(H;(SAC))
Tính dễ hơn .
Như vậy việc tính d(H;
khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng có rất nhiều
(SAB))
hướng
nghĩ khác nhau do đó người học cần chọn cách nào cho phù hợp với
Tính
d(C;suy

(SAB))
là trung
điểm
.Tahướng
có tới
từng bài toán cụ thể một cách nhanh nhất có Gọi
thể. IĐó
cũng là
mụcAB
tiêu
HI=người
,
của xã hội công nghệ thông tin, của những con
thích ứng nhanh với thời
Vẽ
HK
⊥
SI
thì HK ⊥ (SAB).Ta có
cuộc hiện nay.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
[4]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
Hướng dẫn học sinh giải:
Tính
d(C; (SAB))

Vậy d(C, (SAB))= 2HK =

9


K

Nhận xét :
Nhận thấy tính d(C; (SAB)) trực tiếp khó khăn vì vậy ta đã tính thông qua bổ
đề bằng việc tính d(H;(SAB)) dễ hơn .
Bài tập 5. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ
nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao
điểm O của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính
khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD).
[4]
B’
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
A’
Hướng dẫn học sinh giải:

C’
D’

Vẽ hình
10


B
A

C
OH

D

Ta có B’C//(A’BD) . Nên
d(B’;(A’BD))=d(C;(A’BD))
Ta có A’O =
Tính d(C;
(A’BD))
Tính d(B’;
(A’BD))

AB
.tan600=
2

Kẻ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ (A’BD) ⇒
d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = ⇒ CH =

Sử dụng định nghĩa : Gọi AB là đoạn
vuông góc chung giữa a và b khi đó d(a;b)
Cách 1
=AB
Tính d(B’;
Vậy d(B’;(A’BD)) =
(A’BD))
Th1: a và b vuông góc với nhau
Mcách
nằm tính
trên khoảng

a (thuậncách
lợi nhất)
Bình luận: Qua bài tập ta Chọn
có thểđiểm
rút ra
từ điểm I
kẻ
MH
⊥
b
⇒
mp(a,H)
⊥
b
nàod(a;b)
đó đến mp(α) chứa đường cao của khối chóp như sau:
Tính
Kẻ HKvà⊥ mặt
a ⇒đáy
d(a,b) = HK
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(α)
Nói mặt
cáchđáy
khácthuận
:Xác lợi
địnhnhất,
mp()chứa
a và
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên
rồi tính

d(M;(α))
vuông
góc
với
b
tại
H.
Trong
mp()kẻ
HKa
bằng cách kẻ MH ⊥ d tại M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH
tại K.Ta có d(a;b) =HK
Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra
Như vậy : Để Cách
tính khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
2
và btachéo
nhưng
khôngkhoảng cách
khoảng cách giữa hai mặt phẳng Th2
song:asong
đều nhau
quy về
xác định
từ một điểm đến một mặt phẳng vuông góc ta có
Cách 1 :Dựng mp(α) chứa b và song song
với a, thẳng
d(a,b) =
d(a,(α))

Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường
chéo
nhau.= d(M,(α)), trong
a) Cách xác định khoảng cách giữa
hai
đó M
là đường
1 điểmthẳng
bất kỳchéo
nằm nhau:
trên đường
Cho hai đường thẳng a và bthẳng
chéo a.nhau . Cách xác định khoảng cách giữa
2 đường thẳng chéo nhau.
Cách 2 : Ta dựng mp(α)a tại O,(α) cắt b
Sơ đồ tóm tắt
tại I .Dựng hình chiếu vuông góc của b là
b’trên (α).Trong mp(α) vẽ OHb’.Từ H
dựng a’//a cắt b tại B.Từ B dựng b’//OH
cắt a tại A .Ta có
11
d(a;b)=AB.


[2]
Nhận xét :
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó,chứa đường thẳng còn
lại .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai

mặt phẳng lần lượt song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó
b)Bài tập vận dụng :
Bài tập 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của
CN và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DM và SC.
[4]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

12


Hướng dẫn học sinh giải:

S
K
B

C

Vẽ hình

H
A

Xác định đoạn
vuông góc chung
giữa DM và SC
Tính d(DM;SC)

M

D
N
Ta có: ∆CDN = ∆DAM
⇒ CN ⊥ DM; mặt khác
SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ (SCN)
⇒ DM ⊥ SC.
Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM
⇒ d(DM, SC) = HK
Ta có S)) = ,2))
Mặt khác S = CH.DM
⇒ CH = ,DM)) = ))
)) = )) + )) = ))

Tính HK

Tính
d(DM;SC)

HK = ,))
⇒ d(DM, SC) =

Nhận xét: Học
sinh cần nắm
chắc quy trình xác định đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt
đáy.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà BC.

[4]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

13


Hướng dẫn học sinh giải:

S

Vẽ hình

a

J

C

A
I
B

Tính d(SA;BC)

Xác định đoạn
vuông góc chung
giữa SA và BC

Tính IJ

Gọi I là trung điểm của
BC ⇒ SI ⊥ BC
⇒ SI ⊥ mp(ABC)
∆ABC vuông cân
⇒ AI =
Kẻ IJ vuông góc với SA,
∆SIA vuông góc tại I .
Do đó : d(SA;BC)=IJ

⇒ IJ =
Vậy d(SA;BC) =

Nhận xét:
Ở bài tập 1và 2 đều sử dụng cách xác định đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng chéo nhau bằng định nghĩa
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy.
Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
[4]
Nhận xét bài toán : Ở bài toán này việc xác định đoạn vuông góc chung
giữa hai đường thẳng chéo nhau là khó, vì vậy ta tìm cách tính bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó,chứa
đường thẳng còn lại .
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

14

S

Hướng dẫn học sinh giải:

H
Vẽ hình

A

D

N

C

M

Tính
d(AB,SN)

Xác định
d(AB,SN)

B
Mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với
(ABC)
⇒ SA ⊥ (ABC)
AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC Mặt phẳng qua SM
// BC cắt AC tại N
⇒ MN // BC và N là trung điểm AC

MN = = a
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N song song
AB, gọi (α) là mp chứa SN và ∆
⇒ AB // (α) ⇒ d(AB, SN) = d(A;(α))
Kẻ AD ⊥ ∆ tại D ⇒ (SAD) ⊥ (α), Kẻ AH
⊥ SD ⇒AH ⊥ (α) ⇒ d(A,(α)) = AH

Tính AH

SBA là góc giữa mp(SBC) và (ABC)
bằng 600
⇒ SA = AB.tan60 = 2a
Ta có AD = MN = a ⇒ )) = )) + )) = )) ⇒
AH = ,))
Vậy: d(AB,SN) =

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
AC = 2a, BD = 4a , tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. [5]
Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy
Hướng dẫn học sinh giải:

15


S

A

K

Vẽ hình

H
B

E

D
O
C

Ta có BC // AD nên AD //(SBC) .
Tính
d(AD;SC)

Gọi , H là trung điểm của AB, suy ra .
Do và nên
Xác định
d(AD;S
C))

Tính d(A;
(SBC)))

Do H là trung điểm của AB và B = nên
Kẻ , do nên .
Kẻ , ta có

Ta có , .

Vậy

16


2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Làm cho học sinh thay đổi tư duy hình học.Khi dạy học theo kĩ thuât lập
sơ đồ tư duy phần lớn gây được hứng thú cho học sinh, phát huy được tính tích
cực cho học sinh, tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán, vì giáo viên
không phải lặp đi, lặp lại với những cấu trúc câu hỏi gần giống nhau.
Qua học theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy học sinh có thể tư duy một cách có
hệ thống, đồng thời có thể so sánh được những nội dung kiến thức ở mỗi phần
và mỗi chuyên đề với nhau, qua đó học sinh khắc sâu hơn những kiến thức theo
chuẩn yêu cầu.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong nhiều năm học giảng dạy lớp
11, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả trong việc nâng cao khả năng
chứng minh các bài toán và có cái nhìn thân thiện với các bài toán về hình học
không gian trong các đề thi đại học.Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp
có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng
giải các bài tập,học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 11 sau
khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được
cơ bản các dạng toán nói trên , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau
Trước khi học sinh hai lớp 11A3 và lớp 11A6 được tiếp cận với đề tài thì
kết quả bài kiểm tra liên quan đến phần khoảng cách như sau :
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình

yếu
11A3
48
5
12
18
13
11A6
48
6
14
13
15
Sau khi học sinh được áp dụng đề tài một cách hệ thống thì kết quả bài
kiểm tra liên quan đến phần khoảng cách của hai lớp như sau :
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
yếu
11A3
48
13
22
8
5
11A6
48
10

20
12
6
So sánh kết quả khảo sát ở hai lớp 11 tôi thấy tỷ lệ học sinh được đưa
chuyên đề vào học làm được bài đã tăng nhiều hơn đáng kể, số điểm (9;10) cũng
đã được tăng lên rõ rệt so với trước khi các em được học chuyên đề này.
Đề tài đã được các đồng nghiệp trong trường sử dụng để dạy bồi dưỡng
và thấy được kết quả học sinh đã vận dụng tốt môn hình học ,yêu thích môn hình
nói riêng và môn toán học nói chung.Đồng thời thể hiện ở kết quả các kỳ thi
chất lượng tăng lên rõ rệt.

17


3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1.Kết luận:
Để có những tiết học đạt kết quả cao nhất luôn là niềm trăn trở, suy nghĩ
là mục đích hướng tới của từng người giáo viên có lương tâm và trách nhiệm
nghề nghiệp, nhưng đây không phải là điều đạt được dễ dàng. Người giáo viên
phải nhận thức rõ vai trò là người “thắp sáng ngọn lửa” chủ động lĩnh hội tri
thức trong từng học sinh. Trong nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh dùng sơ
đồ tư duy hệ thống kiến thức và phân dạng bài tập về khoảng cách” tôi đã đề
cập đến một trong những phương pháp giúp học sinh tự suy luận vấn đề. Tôi hy
vọng đây là vấn đề cởi mở gợi ra một quan điểm trong dạy học toán học, mặc dù
trong đề tài này tôi không thể đề cập mọi vấn đề liên quan. Với thực trạng học
Toán học và yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, có thể coi đây là một quan
điểm của tôi đóng góp ý kiến vào việc nâng cao chất lượng dạy học Toán học
trong thời kỳ mới.
3.2.Kiến nghị:
Đối với Sở GD & ĐT : Tiếp tục phổ biến rộng rãi các sáng kiến đã được

công nhận cấp ngành và cấp tỉnh để giáo viên được học hỏi áp dụng trong thực
tiễn giảng dạy và học tập.
Đối với Trường phổ thông : Tiếp tục nhân rộng hơn nữa các đề tài, sáng
kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tế trong giảng dạy.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan SKKN này là
do tôi viết,không copy của người khác.

Vũ Thị Quyền

18