Hướng dẫn học sinh giải bài toán dựng thiết diện

1. MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài
Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó
đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên
quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi
đại học, cao đẳng hàng năm.
Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu
người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không
gian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao
đẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian
thì làm còn không còn thời gian thì thôi.
Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự
liên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành
khó đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học
chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài
toán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập
này, tôi viết thành chuyên đề riêng về các dạng toán dựng thiết diện .
1.2.Mục đích nghiên cứu
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh
ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ.
Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê

1


2.NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
Để giải quyết một bài toán dựng thiết diện yêu cầu học sinh phải nắm được
những kiền thức cơ bản và cần thiết sau đây:
1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt
phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P)
cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt). [1]
2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc
trùng với một trong hai đường thẳng ấy.[1]
3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.[1]
4. Các cách xác định mặt phẳng:
+ Biết ba điểm không thẳng hàng
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
+ Hai đường thẳng song song.[2]
5. Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T.
- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và
phần biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T
nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh
của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T.
- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết
của đầu bài.

2.2. Thực trạng vấn đề
Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài: Cho học sinh lớp 11 (48 em)
làm bài tập sau: Cho hình chóp đều S.ABC , đáy là tam giác đều ABC. Qua AB
dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cát bởi mặt phẳng (P)
Kết quả như sau:
+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SC, BK ⊥ SC rồi không biết kết
luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB.
+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH ⊥ SC (hoặc BH ⊥ SC) rồi khẳng định tam
giác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại sao).
+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH ⊥ SC sau đó chứng minh ∆CHB = ∆CHA
(cgc) suy ra AH ⊥ SC thiết diện là tam giác AHB.
+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh AB ⊥
(SMC) sau đó dựng MH ⊥ SC được thiết diện là tam giác AHB.
Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra
mặt phẳng phụ chứng minh AB ⊥ SC từ đó kẻ MH ⊥ SC suy ra thiết diện bởi
vấn đề thiết diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh
2


có định hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về
vấn đề này).
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
Từ thực trạng trên tôi đã nghiên cứu để phân loại thành các dạng bài toán về
dựng thiết diện, mỗi dạng bài có phương pháp giải cụ thể để các em dễ tiếp thu
hơn, từ đó các em sẽ vận dụng linh hoạt vào việc giải các dạng bài tập này
Một số dạng toán và phương pháp dựng thiết diện
I. Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai
đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….
1. Phương pháp giải

Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T
(thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao
điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm
chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết
diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD).
Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (AIJ).[3]
Giải:
Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm
không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao
tuyến gốc là AI, IJ.
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài
IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung
của (AIJ) và (SAD).
Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ
là các đoạn giao tuyến tiếp theo.
Thiết diện là tứ giác AIJF.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn
thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải: Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các
cạnh hình bình hành ABCD.

3


Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt
BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J.

Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó
thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các
tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
(MNP).[4]
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa
mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt
phẳng(MNP) có điểm chung P với
mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm
chung nữa ta tìm giao điểm O của
MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB
tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1
mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt
(ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O
là giao điểm của MN và M1N1
⇒ OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt
AB. BC tại E, F.
Tùy theo vị trí OP trong tam giác
ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK
(hình a) hoặc tam giác EFI (hình b)
Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc
là đường thẳng qua P song song với
M1N1.

Hình a

Hình b

4


Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường
hợp:
a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
b. Đường thẳng d đi qua điểm C.[3]
Giải:
a) d là giao tuyến gốc ta tìm
thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F
là giao điểm của AB. AC, AD
với d.
Xét (M, d) và (SAB) có M, H
chung nối MH cắt SB tại N ta có
một đoạn giao tuyến MN. Tương
tự nối ME cắt SC tại P, nối MF
cắt SD tại Q.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
b) Tương tự phần a. lúc này
E ≡ C thiết diện là tứ giác
MNCQ.

.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các
tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (MNE). [3]
Giải:

Gọi I là trung điểm SA.
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI. Từ
IM 1 IN
= =
⇒ MN / / BD .
IB 3 ID

Xét mặt phẳng (MNE) và mặt
phẳng (ABCD) có E chung và MN //
BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo
giao tuyến EF // BD (F ∈ CD).

5


Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm
chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,
nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK.
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
song song với hai đường thẳng đó.
II Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
1. Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với
đường thẳng l.
a. Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d
và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và
(Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P)
xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.

b. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm
thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và
song song với BD. [4]
Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Đường thẳng AH
cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH
và SO. Trong mp (SBD) kẻ qua I đường
thẳng song song với BD, gọi M, N là giao
điểm của đường thẳng đó và SB. SD. Mặt
phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh
CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC.
a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P).
b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Giải:
a. Chọn mặt phẳng (ABC) ⊃ BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC).
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.

6


(P) và (BCD) có N chung và chứa
hai đường thẳng song song nên
(P) ∩ (BCD) theo giao tuyến NF //
BC (F ∈ BD), nối MF, EN.
Thiết diện là tứ giác MENF.

b. Theo cách dựng thiết diện ở phần
a) thiết diện là hình thang MENF
1
(ME // NF) ta có ME = BC nên để
2
MENF là hình bình hành thì
1
NF = BC hay N là trung điểm CD.
2

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.
Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với
AD.
Giải:

H.1

H.2

Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt phẳng
(IAD) chứa G và AD // (P) ⇒ (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song
với AD cắt AI, ID tại M và N.
Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
2. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo
nhau d và l.
7

a. Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường
thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường
thẳng vừa dựng.
b. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng
tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M
song song với SB. AC. [4]
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và
BD. Ta có trọng tâm M thuộc
SO. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)
trong mp này kẻ qua M đường
thẳng song song với SB cắt SD,
DB tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt
phẳng (SAC) nên qua M kẻ
đường thẳng song song với AC
cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa
NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có
điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và
song song với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết
diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’. [2]
Giải:
Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là
(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)

khó xác định hơn.
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,
BD). (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến qua M và song song với BD
cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E.
(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và
song song với AC’ (trở thành bài
toán 1).
EF cắt AC tại I nên (P) ∩ (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với
AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
8


Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)
(gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song
với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.
OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng trụ
cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng
qua F và song song với A’O khó xác định hơn.
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’
tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.
Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO ' = 2OI = 2 A ' J nên A ' JIO
là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song
song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA. AA ' .

Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo
giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)

H1
H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua
M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua
M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và
song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).
9


3. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
a. Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song
song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P) ∩ (R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
b. Ví dụ
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M
thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì?
[3]
Giải:

Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) ∩ (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo
giao tuyến MN // AB (N∈AD).
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) ∩ (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao
tuyến NE // SA (E∈SD).
Mặt phẳng (SCB) chứa M và
(SCB) ∩ (SAB) = SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến
MF // SB (F ∈SC). Nối EF, ta được
thiết diện là tứ giác MNEF.
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD
(CD // AB) mà (P) ∩ (SCD) = EF.
Suy ra EF // MN.
Thiết diện MNEF là hình thang.
III. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố
vuông góc
1. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và
vuông góc với một đường thẳng d.
a. Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt
phẳng qua M song song với a và a’.
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một
đường thẳng d thì a // (P) hoặc a ⊂ (P)).
b. Ví dụ
Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam
giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông
góc với AB. [4]
10

Giải:
Gọi I là trung điểm AB ta
có SI ⊥ AB (do tam giác
SAB đều), BC ⊥ AB suy ra
(P) đi qua M song song với
BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (ABCD) có M chung
và cùng song song với BC
nên ( P ) ∩ ( ABCD ) = EF với
EF qua M và song song với
BC cắt AB. CD tại E, F.
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại
H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông
góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với SC. [4]
Giải:
Kẻ AH ⊥ SC ta có AH ⊂ (P).
Ta có: BD ⊥ AC , BD ⊥ SA
nên BD ⊥ SC
Vậy (P) chứa AH và song song BD.
Gọi O là giao điểm AC và BD, E là
giao điểm của SO và AH.
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung,
(P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song
song với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.

Ví dụ 15: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt
bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B. [4]

11


Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân
tại C nên AB = a 2 . Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông ⇒AB’ ⊥ A’B.
Gọi H là trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB
⇒ CH ⊥ (ABB’A’) ⇒ CH ⊥ A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.
Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung,
(P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua
M kẻ đường thẳng song song với CH cắt
AB tại N thì ( P ) ∩ ( ABC ) = MN .
Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với
AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được
thiết diện là tứ giác MNPQ.
2. Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường
thẳng l.
a. Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng
(P) là mặt phẳng (H, d).
b. Ví dụ
Ví dụ 16: Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều

cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết
diện theo a và h. [5]
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có
SO ⊥ ( ABC ) khi đó SO ⊥ AB , gọi M là
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên
CM ⊥ AB vậy AB ⊥ ( SMC ) .
Trong mp(SMC) kẻ MH ⊥ SC ta có mặt
phẳng (AHB) ⊥ SC.
Thiết diện là tam giác AHB.
1
Ta có : S∆AHB = MH . AB .
2
Theo giả thiết AB = a. ta có MC =
OC =

a 3
,
2

a 3
,
3

SO = h, SC = SO 2 + OC 2 = h 2 +

a2
3
12

a 3
3ah
2 =
Ta có: MH.SC = SO.MC ⇒ MH =
a 2 2 3h 2 + a 2
h2 +
3
2
1
3a h
S∆AHB = MH . AB =
.
2
4 3h 2 + a 2
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)
3. Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) đã
cho (d xiên góc với (Q))
a. Phương pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song
với a. (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc
với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q) ⊃ d).
b. Ví dụ
Ví dụ 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên
bằng 3 . Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt
bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC). [4]
h.

Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm

SI. Do hình chóp đều nên BC ⊥ (SAI)
⇒ BC ⊥ AH .
3
Mặt khác: AI = AB
= 3 = SA nên
2
tam giác SAI cân ta có AH ⊥ SI vì vậy
AH ⊥ (SBC) nên (P) // AH.
(P) qua MN và song song AH.
Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và
AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E
đường thẳng song song với AH cắt SI tại
F, F là điểm chung của (P) và (SBC).
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo
giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ví dụ 18: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng
thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt
phẳng (IKC). [4]
Giải:
13


Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC).
Theo giả thiết:
CI ⊥ AB
⇒ CI ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ CI ⊥ A ' B

CI ⊥ AA '

Lại có: AA’ = AB = a 2
nên ABB’A’ là hình vuông nên
A ' B ⊥ AB ', IK / / AB ' ⇒ A ' B ⊥ IK suy ra
A’B ⊥ (IKC).
Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.
Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G
chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H,
nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.
Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm
SA. M là một điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với
mặt phẳng (SAD). Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). [4]
Giải:
Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),
(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥
(ABCD). Ta có:
 AB ⊥ AD
⇒ AB ⊥ ( SAD )

AB
⊥
SA

Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song
song với AB.
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M
chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường
thẳng và song song với AB cắt BC tại N.
(P) ∩ (ABCD) = MN.
Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với

AB cắt SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm
được cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần
phải thực hành nhiều.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi tổ chức dạy cho học sinh theo chuyên đề trên, tôi đã cho các em
học sinh lớp 11A làm một bài kiểm tra
Đề bài : Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lượt
nằm trong tam giác BCD và tam giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi
mặt phẳng MNP.
14


Hướng dẫn giải:

Hình a
Hình b
Kẻ DN, DP cắt BC và AC lần lượt tại K, H.
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Trong (DKH), nếu NP cắt KH tại E thì khi đó thiết diện là tứ giác
MJIL ở hình a
Trường hợp 2: Trong (DKH), nếu NP song song với KH thì thiết diện là tứ giác
MJIL ở hình b trong đó MJ song song với KH.
(Một số trường hợp vẽ hình sẽ ra hình khác nhưng cách dựng là như trên)
Ý tưởng khi đưa ra đề bài:
Trong bài này học sinh sẽ gặp phải một số khó khăn:
- Không làm được.
- Vẽ hình không chính xác.
- Làm được nhưng không xét hết được các trường hợp.
Kết quả thực tế:

Đa phần khi học sinh học xong đã phân tích và làm được bài tập này.
Cụ thể như sau : Tổng số 48 học sinh
- Điểm dưới 5: 0 học sinh
- Điểm từ 5 đến 6 : 10 học sinh
- Điểm từ 6,5 đến 7,5 : 13 học sinh
- Điểm từ 8 đến 10 : 25 học sinh
Dựa trên của các em thì nhận thấy: Khả năng học tập phân môn hình học của
các em tốt hơn. Đa phần các em hiểu bài, nắm bắt được phương pháp và thể hiện
được kỹ năng làm bài tương đối tốt.Và điều quan trọng nhất là tôi thấy các em
đã tỏ ra tự tin với bộ môn hình học không gian, có một số em tỏ ra thực sự yêu
thích môn học này.

15


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu được một số phương pháp dựng thiết diện.
Qua các phân tích, các phương pháp và các ví dụ trên học sinh phần nào nắm
được các cách dựng thiết diện và các dạng toán liên quan tới thiết diện nhằm
củng cố kiến thức cần thiết về phần kiến thức này. Các em yêu thích và tự tin
hơn với phân môn hình học không gian.
Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích trên cơ sở nền tảng là những
kiến thức căn bản của toán THPT, đề tài có khả năng ứng dụng, triển khai trong
các buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, trong các câu lạc bộ toán học, cho ôn thi học
sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học hoặc để nâng cao kiến thức cho học sinh.
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài, tác giả sẽ đi sâu hơn vào các bài toán có
liên quan đến thiết diện như:
- Tính diện tích thiết diện
- Tỉ số thể tích và ứng dụng của tỉ số thể tích.

- Sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán thiết diện.
3.2. Kiến nghị
Để việc dạy và học được nâng cao tôi kiến nghị sở giáo dục đào tạo nên
công bố các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng trong toàn ngành để giáo viên
chúng tôi có điều kiện tham khảo trao đổi chuyên môn để nâng cao năng lực
giảng dạy của mình.
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không
tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng
nghiệp, bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn và đạt hiệu quả trong giảng dạy
và học tập của học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Nguyễn Thị Hà

Thanh Hóa, ngày15 tháng 5 năm2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Hồ Thị Mai

16


17


18