Khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lôgarit (giải tích 12)

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
+ Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017, chương trình thi THPT Quốc Gia mơn
Tốn đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm. Bài thi gồm
50 câu với thời gian 90 phút, thời gian trung bình cho mỗi câu là 1,8 phút, nhưng
cần sắp xếp hợp lí giữa những câu dễ, trung bình và khó. Mơn Tốn thi trắc
nghiệm là một thay đổi lớn, nó ảnh hưởng trực tiếp đến cách dạy của giáo viên
và cách học của các em học sinh. Đối với cách thi trắc nghiệm yêu cầu các em
học sinh phải học rộng, phải bao quát hết kiến thức, phải có khả năng xử lý
nhanh, tốc độ làm bài nhanh và phải hiểu chính xác vấn đề để không bị mắc bẫy
mà đề đặt ra.
+ Các bài tốn về hàm mũ và lơgarit chiếm một vị trí quan trọng trong
việc phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh. Do sự lý thú của các bài tốn
này nên chúng ln xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào
các trường Đại học và Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2014, kỳ thi THPT Quốc
gia năm 2015, năm 2016 và những năm tiếp theo. Trong nội dung này, có bài
tốn giải bất phương trình mũ và lơgarit. Đây là bài tốn hay, khó, rộng và đa
dạng. Khi gặp bài tốn thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có
tâm lí sợ và rất dễ làm sai bài tốn.
+ Đặc biệt hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vấn đề
khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình
mũ và lơgarit.
+ Trong q trình giảng dạy thực tế trên lớp nhiều năm học qua, tôi đã
phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kĩ năng giải bất phương trình
mũ và lơgarit cịn yếu, trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về
bất phương trình mũ, lơgarit, trong khi giải bất phương trình mũ và lơgarit rất
hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đề bài, thực hiện sai mục đích, chưa nắm vững các
phương pháp giải tổng quát cho từng dạng,....Việc giúp học sinh nhận ra sự
nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một cơng việc vơ cùng
cần thiết và cấp bách, nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp
các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức bất phương trình mũ và

lơgarit tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng tốn cao hơn.
Từ các lí do cần thiết như vậy tơi đã chọn đề tài: “Khắc phục sai lầm của
học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lơgarit (Giải
tích 12)” để viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tổng kết những kinh
nghiệm của bản thân, đồng thời chia sẻ cùng đồng nghiệp trong quá trình giảng
dạy và giáo dục học sinh. Rất mong nhận được sự quan tâm đón nhận của đồng
nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
+ Giúp học sinh phát hiện và khắc phục những sai lầm thường gặp khi
giải bất phương trình mũ và lơgarit, khi làm bài thi mơn Tốn nói riêng và trong
kỳ thi THPT Quốc gia nói chung.
+ Đề tài nhằm mục đích tổng kết lại một số kỹ năng mà tôi thường sử
dụng và hướng dẫn học sinh khi đi tìm lời giải cho bài tốn giải bất phương trình
mũ và lơgarit.
1


+ Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính tốn và xử lý tình huống nhanh
nhạy. Từ đó học sinh tích lũy một số kinh nghiệm trong thi cử và đạt kết quả cao
nhất trong kỳ thi sắp tới.
+ Giúp học sinh tự tin và có một tâm lý ổn định trong phòng thi.
+ Qua đây cũng là dịp giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp để giúp
nhau cùng tiến bộ, để nhận được nhiều hơn nữa sự góp ý của đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này sẽ nghiên cứu và tổng kết về vấn đề: Khắc phục sai lầm của
học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lơgarit (Giải
tích 12) từ đó gợi ý cho học sinh phương pháp học tập trong giai đoạn hiện nay
không chỉ là học kiến thức mà còn là vận dụng kiến thức vào thực tế cuộc sống,
qua đó hình thành được các kỹ năng môn học cũng như kỹ năng trong cuộc
sống.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong q trình thực hiện đề tài, tơi đã sử dụng kết hợp nhiều phương
pháp nghiên cứu khác nhau, như:
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách
giáo khoa, các tài liệu tham khảo,...Tổng hợp các kiến thức liên quan đến các nội
dung sẽ trình bày trong đề tài. Tìm các ví dụ nêu trong đề tài.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Tiến hành tìm
hiểu về các số liệu thơng qua giáo viên tốn ở các trường phổ thông, qua bài
kiểm tra học sinh Trường THPT Vĩnh Lộc.
+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm một số
buổi ở trường THPT Vĩnh Lộc.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. 1. Bất phương trình mũ và lơgarit cơ bản dạng 1:
2.1.1.1 a f ( x ) > b : +) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với
mọi x sao cho f ( x) có nghĩa.

f ( x) > log a b khi a > 1
+) Nếu b > 0 thì a > b ⇔ 
[12].
 f ( x) < log a b khi 0 < a < 1
f ( x)
2.1.1.2 a ≥ b : +) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với
mọi x sao cho f ( x) có nghĩa.

f ( x) ≥ log a b khi a > 1
f ( x)
+) Nếu b > 0 thì a ≥ b ⇔ 
[2].
 f ( x) ≤ log a b khi 0 < a < 1

f ( x)

2.1.1.3

2.1.1.4

a f ( x ) < b : +) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình vơ nghiệm.

f ( x) < log a b khi a > 1
f ( x)
+) Nếu b > 0 thì a < b ⇔ 
[12].
 f ( x) > log a b khi 0 < a < 1
a f ( x ) ≤ b : +) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình vơ nghiệm.

2


+) Nếu b > 0 thì a

f ( x)


f ( x) ≤ log a b khi a > 1
≤ b ⇔ 
[2].
 f ( x) ≥ log a b khi 0 < a < 1


f ( x) > a b khi a > 1


2.1.1.5. log a f ( x) > b ⇔ 
[12].
b
0 < f ( x ) < a khi 0 < a < 1

f ( x ) ≥ a b khi a > 1

2.1.1.6. log a f ( x) ≥ b ⇔ 
[2].
b
0 < f ( x) ≤ a khi 0 < a < 1

0 < f ( x) < a b khi a > 1

2.1.1.7. log a f ( x) < b ⇔ 
[12].
b
 f ( x ) > a khi 0 < a < 1

0 < f ( x) ≤ a b khi a > 1

2.1.1.8. log a f ( x) ≤ b ⇔ 
[12].
b
 f ( x ) ≥ a khi 0 < a < 1

2.1.2. Bất phương trình mũ và lơgarit cơ bản dạng 2:
 f ( x) > g ( x ) khi a > 1
f ( x)

g ( x)

a
>
a
⇔
2.1.2.1.
[10].
 f ( x) < g ( x) khi 0 < a < 1
 f ( x ) < g ( x) khi a > 1
f ( x)
g ( x)
2.1.2.2. a < a ⇔ 
[10].
 f ( x ) > g ( x) khi 0 < a < 1
 f ( x) > g ( x) > 0 khi a > 1

log
f
(
x
)
>
log
g
(
x
)
⇔
2.1.2.3. a

a
 0 < f ( x) < g ( x) khi 0 < a < 1
 0 < f ( x) < g ( x ) khi a > 1
2.1.2.4. log a f ( x) < log a g ( x) ⇔ 
 f ( x) > g ( x) > 0 khi 0 < a < 1
 f ( x ) ≥ g ( x) khi a > 1
f ( x)
g ( x)

a
≥
a
⇔
2.1.2.5.
[10].
 f ( x ) ≤ g ( x) khi 0 < a < 1
 f ( x ) ≤ g ( x) khi a > 1
f ( x)
g ( x)
2.1.2.6. a ≤ a ⇔ 
[10].
 f ( x ) ≥ g ( x) khi 0 < a < 1
 f ( x) ≥ g ( x) > 0 khi a > 1

log
f
(
x
)
≥

log
g
(
x
)
⇔
2.1.2.7. a
a
 0 < f ( x) ≤ g ( x ) khi 0 < a < 1
 0 < f ( x) ≤ g ( x ) khi a > 1
2.1.2.8. log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇔ 
 f ( x) ≥ g ( x) > 0 khi 0 < a < 1

[11].
[11].

[11].
[11].

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Đại đa số học sinh hiện nay học bài cịn rất thụ động, học thuộc lịng các
cơng thức một cách máy móc, quên kiến thức rất nhanh chóng, khơng đọng lại
được gì. Mà số lượng cơng thức thì nhiều nên khả năng ghi nhớ kiến thức khơng
được tốt, nhanh quên, dễ nhầm lẫn công thức này với công thức khác.
3


Trong những năm học vừa qua, tôi luôn trăn trở về vấn đề mà học sinh
thường mắc phải khi giải toán, dẫn đến kết quả trong các kỳ thi thấp, chưa được
như mong muốn. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm

tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tơi nắm được các sai lầm mà học
sinh thường mắc phải khi giải bài tập. Cụ thể khi giải toán học sinh thường mắc
phải các sai lầm sau:
+ Cách trình bày bài tốn khơng rõ ràng, thiếu lập luận, làm không đủ các
bước đã vội vàng kết luận,...
+ Sử dụng các cơng thức cịn sai, chưa vận dụng phù hợp các công thức
vào các bài tốn cụ thể.
+ Nhiều khi cịn nhìn sai đề dẫn đến làm sai bài toán,...
+ Chưa khai thác hết giả thiết bài tốn, chưa tìm được mối liên hệ giữa giả
thiết và kết luận của bài tốn,...
Chính học sinh cũng rất khó để phát hiện ra sai lầm mình mắc phải khi
giải tốn. Vì thế giáo viên phải biết được học sinh mắc phải những sai lầm gì,
đồng thời phải liệt kê, phân loại những sai lầm đó và đưa ra nhiều ví dụ để
chứng tỏ. Sau đó, giáo viên đưa ra cách khắc phục, tạo niềm tin cho học sinh khi
giải toán.
Các tài liệu viết về khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài tập trắc
nghiệm toán chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu nên chưa thực sự thuận lợi cho
thầy và trò trong việc dạy và học về loại toán này, chưa xây dựng được hệ thống
các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp, để học sinh có cơ hội
rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập.
2.2.1. Về phía giáo viên: Quan tâm nhiều đến việc trang bị kiến thức và
trình bày các lời giải các bài toán cho học sinh mà chưa thực sự chú trọng việc
khắc phục sai lầm cho học sinh.
2.2.2. Về phía học sinh: Các em nắm được kiến thức nhưng kỹ năng giải
bất phương trình mũ và lơgarit cịn yếu, cịn lúng túng trong việc lựa chọn
phương pháp giải. Đặc biệt có những em cịn thấy nản trí khi giải bất phương
trình mũ và lơgarit, bởi vì các em không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải
bài toán này như thế nào.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.

Trong các giờ học về bất phương trình mũ và lơgarit vẫn cịn học sinh
chưa hiểu rõ bản chất, khả năng suy luận lôgic, khả năng khái quát phân tích bài
tốn cịn hạn chế. Một số khơng ít học sinh thường sai lầm khi biến đổi tương
đương một bất phương trình, học sinh thường khơng để ý đến cơ số dương và
khác 1, quên điều kiện xác định của bất phương trình, .... Vì vậy học sinh cịn
lúng túng, khó hiểu, hay mắc vào sai lầm dẫn đến kết quả sai. Nên chưa kích
thích được nhu cầu học tập của học sinh. Do đó khi dạy cho học sinh, các thầy
cơ giáo cần phân tích những sai lầm hay gặp phải để học sinh tránh được những
đáp án có tính chất “bẫy” học sinh vào lựa chọn đáp án sai.
Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các
lớp 12A2, 12A4 trong hai năm học 2015-2016, 2016-2017. Khi được tiếp cận với
chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm
4


tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải
bất phương trình mũ và lôgarit cho các em học sinh, giúp các em khắc phục
được sai lầm khi giải bài toán này.
Để các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia, tơi xin đưa ra
một số ví dụ và phân tích các lỗi thường gặp của các em, giúp các em khắc phục
các lỗi đó, đồng thời giúp các em thấy được các phương pháp giải bất phương
trình mũ và lôgarit hay, độc đáo.
Ví dụ 1. Nghiệm của bất phương trình log 2 (3x − 2) < 0 là:
A. x > 1
B. x < 1
C. 0 < x < 1
D. log 3 2 < x < 1 [2].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
x

3 − 2 > 0
⇔ 3x − 2 > 1 ⇔ 3x > 3 ⇔ x > 1 .
Ta có: log 2 (3 − 2) < 0 ⇔  x
3 − 2 > 1
x

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: log 2 (3x − 2) < 0 ⇔ 3x − 2 < 1 ⇔ 3x < 3 ⇔ x < 1 .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: log 2 (3x − 2) < 0 ⇔ −1 < 3x − 2 < 1 ⇔ 1 < 3x < 3 ⇔ 0 < x < 1 .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ba học sinh giải bài toán này với ba đáp số khác nhau (học sinh 1 chọn
đáp án A, học sinh 2 chọn đáp án B, học sinh 3 chọn đáp án C). Vậy ai là người
làm đúng?
Nhận xét: Đây là bài tốn giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.7.
Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng đưa ra 3x − 2 > 1 sai (Vì cơ số
bằng 2 > 1 ) nên đã chọn sai đáp án (A).
Học sinh 2 chưa đưa ra điều kiện xác định 3x − 2 > 0 nên đã chọn sai đáp
án (B).
Học sinh 3 đưa ra chiều bất phương trình đúng, nhưng đưa ra điều kiện
xác định 3x − 2 > −1 sai nên đã chọn sai đáp án (C).
Lời giải đúng:
3x − 2 > 0
⇔ 0 < 3x − 2 < 1 ⇔ 2 < 3x < 3 ⇔ log 3 2 < x < 1 .
Ta có: log 2 (3 − 2) < 0 ⇔  x
3 − 2 < 1
x

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

2
3
Ví dụ 2. Tập các số x thỏa mãn ( )4 x ≤ ( ) 2− x là:
3

2
3

2
3

A. (−∞; ]

B. [ − ; +∞)

2

2
5

C. (−∞; ]

2
5

D. [ ; +∞) [6].

Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
2

3

3
2

2
5

Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ 4 x ≤ 2 − x ⇔ 5 x ≤ 2 ⇔ x ≤ . Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2:

5


2
3

3
2

2
5

Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ 4 x ≥ 2 − x ⇔ 5 x ≥ 2 ⇔ x ≥ . Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Lời giải của học sinh 3:
2
3

3
2

2
3

2
3

2
3

Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ ( )4 x ≤ ( ) 2+ x ⇔ 4 x ≤ 2 + x ⇔ 3x ≤ 2 ⇔ x ≤ .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 chưa đưa hai vế về cùng cơ số đã vội đưa ra 4 x ≤ 2 − x sai
nên đã chọn sai đáp án (C).
Học sinh 2 chưa đưa hai vế về cùng cơ số đã vội đưa ra 4 x ≥ 2 − x sai
nên đã chọn sai đáp án (D).
Học sinh 3 đưa hai vế về cùng cơ số nhưng sai số mũ ở vế phải ( 2 + x )
và đưa ra 4 x ≤ 2 + x sai nên đã chọn sai đáp án (A).
Lời giải đúng:
2
3

3
2

2
3

2

3

2
3

Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ ( )4 x ≤ ( ) −2+ x ⇔ 4 x ≥ −2 + x ⇔ 3x ≥ −2 ⇔ x ≥ − .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
A. x > 3

B.

log 2 (3x − 1) > 3

1
< x<3
3

C. x < 3

D. x >

10
[5].
3

Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
3x − 1 > 0

Ta có: log 2 (3x − 1) > 3 ⇔ 

3x − 1 < 2

3

⇔

1
< x<3 .
3

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 2:
Ta có: log 2 (3x − 1) > 3 ⇔ 3x − 1 < 23 ⇔ x < 3 .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 3:
Ta có: log 2 (3x − 1) > 3 ⇔ 3x − 1 > 32 ⇔ x >

10
. Vậy đáp án đúng là đáp án D.
3

Ba học sinh giải bài toán này với ba đáp số khác nhau (học sinh 1 chọn
đáp án B, học sinh 2 chọn đáp án C, học sinh 3 chọn đáp án D). Vậy ai là người
làm sai?
Nhận xét: Đây là bài tốn giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.5.
Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng đưa ra 3x − 1 < 23 sai (Vì cơ số
bằng 2 > 1 ) nên đã chọn sai đáp án (B).
Học sinh 2 chưa đưa ra điều kiện xác định và đưa ra 3x − 1 < 23 sai (Vì

cơ số bằng 2 > 1 ) nên đã chọn sai đáp án (C).
Học sinh 3 đưa ra chiều bất phương trình đúng, nhưng đưa ra
2
3 x − 1 > 3 sai nên đã chọn sai đáp án (D).
Lời giải đúng:
Ta có: log 2 (3x − 1) > 3 ⇔ log 2 (3x − 1) > log 2 23 ⇔ 3x − 1 > 8 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
6


Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1)
A. S=(2; +∞)

1
2

B. S = (−∞; 2)

C. S = ( ; 2)

D. S = (−1; 2) [5].

Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
x +1 > 0
Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔ 

 x > −1
⇔
⇔ −1 < x < 2 .

x
+
1
>
2
x
−
1
x
<
2



Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Lời giải của học sinh 2: Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔ x + 1 > 2 x − 1 ⇔ x < 2 .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Lời giải của học sinh 3: Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔ x + 1 < 2 x − 1 ⇔ x > 2 .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Đây là bài toán giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.2.4.
Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình đúng x + 1 > 2 x − 1 , nhưng đưa
ra điều kiện xác định còn thiếu ( x + 1 > 0 ) nên đã chọn sai đáp án (D).
Học sinh 2 đưa ra cách giải bất phương trình đúng x + 1 > 2 x − 1 nhưng chưa
đưa ra điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (B).
Học sinh 3 chưa đưa ra điều kiện xác định và đưa ra x + 1 < 2 x − 1 sai nên
đã chọn sai đáp án (A).
Lời giải đúng:

 x > −1
x +1 > 0

log 1 ( x + 1) < log 1 (2 x − 1) ⇔ 2 x − 1 > 0 ⇔  x > 1 ⇔ 1 < x < 2
Ta có:


.
2
2
2
2
x + 1 > 2x −1 

 x < 2

Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình: log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 là:
A. S = (−2 − 14; −2 + 14)
B. S = (−∞; −2 − 5) ∪ ( −2 + 5; +∞)
C. S = (−∞; −2 − 14) ∪ (−2 + 14; +∞)
D. S = (−∞; −5) ∪ (1; +∞) [10].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
 x < −2 − 14

Ta có: log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 ⇔ x 2 + 4 x − 1 > 9 ⇔ x 2 + 4 x − 10 > 0 ⇔ 

 x > −2 + 14
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; −2 − 14) ∪ (−2 + 14; +∞) .

Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 ⇔ x 2 + 4 x − 1 < 9 .
⇔ x 2 + 4 x − 10 < 0 ⇔ −2 − 14 < x < −2 + 14 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−2 − 14; −2 + 14) .
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 3:
7


 x > −2 + 5

2
Ta có: log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 ⇔ x + 4 x − 1 > 0 ⇔ 

 x < −2 − 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; −2 − 5) ∪ ( −2 + 5; +∞) .

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình sai ngay từ đầu
log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 ⇔ x 2 + 4 x − 1 > 9 nên đã chọn sai đáp án (C).
Học sinh 2 sai ngay từ đầu log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 3 9 ⇔ x 2 + 4 x − 1 < 9 nên
dẫn đến chọn đáp án sai (A).
Học sinh 3 không đọc kĩ đề bài mới đưa ra điều kiện mà đã vội vàng
kết luận nên chọn đáp án sai (B).
 x > −2 + 5

2
Lời giải đúng: Điều kiện: x + 4 x − 1 > 0 ⇔ 

 x < −2 − 5

Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với: log 2 ( x 2 + 4 x − 1) > log 2 4
x > 1
⇔ x2 − 4x − 1 > 4 ⇔ x2 + 4 x − 5 > 0 ⇔ 
. Kết hợp với điều kiện ta được:
 x < −5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; −5) ∪ (1; +∞) .

x > 1
 x < −5


Vậy đáp án đúng là đáp án D.
3x 2 + 4
< 0 là:
2 10 x − 3
3
7
C. S = ( ; +∞)
D. S = (1; ) [4].
10
3

Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình: log 1
7
3

A. S=(-∞;1) ∪ ( ; +∞)

3
10

7
3

B. S = ( ;1) ∪ ( ; +∞)

Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
3
10

Lời giải của học sinh 1: TXĐ: D = ( ; +∞) .
x < 1
3x 2 + 4
3x 2 + 4
2
2
<0 ⇔
> 1 ⇔ 3x + 4 > 10 x − 3 ⇔ 3 x − 10 x + 7 > 0 ⇔ 
Ta có: log 1
x > 7
10
x
−
3
10
x
−

3
2
3

7
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=(-∞;1) ∪ ( ; +∞) .
3

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
 3x 2 + 4
>0
3

⇔ 10 x − 3 > 0 ⇔ x > .
Lời giải của học sinh 2: Điều kiện xác định: 10 x − 3
10
10 x − 3 ≠ 0

3
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( ; +∞) .
10

Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 3:
3x 2 + 4
7
3x 2 + 4
<0 ⇔
> 1 ⇔ 3x 2 + 4 > 10 x − 3 ⇔ 3 x 2 − 10 x + 7 > 0 ⇔ 1 < x < .
3

10 x − 3
2 10 x − 3
7
Ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (1; ) .
3

Ta có: log 1

8


Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Các em hãy nhận xét về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Đây là bài tốn giải bất phương trình cơ bản thuộc dạng 2.1.1.7.
Học sinh 1 tìm TXĐ đúng, đưa ra cách giải bất phương trình đúng nhưng
7
3

khi giải đến x ∈ (−∞;1) ∪ ( ; +∞) không đối chiếu với điều kiện xác định nên đã
chọn sai đáp án (A).
Học sinh 2 đọc sai yêu cầu bài toán nên sau khi tìm tập xác định của bất
phương trình đã chọn sai đáp án (C).
Học sinh 3 chưa đưa ra điều kiện xác định và trong quá trình giải còn sai
7
nên đã chọn sai đáp án (D).
3
 3x 2 + 4
>0
3


⇔ 10 x − 3 > 0 ⇔ x > .
Lời giải đúng: Điều kiện xác định: 10 x − 3
10
10 x − 3 ≠ 0

3 x 2 − 10 x + 7 > 0 ⇔ 1 < x <

x < 1
3x 2 + 4
3x 2 + 4
2
2
<0 ⇔
> 1 ⇔ 3x + 4 > 10 x − 3 ⇔ 3 x − 10 x + 7 > 0 ⇔ 
Ta có: log 1
x > 7
10
x
−
3
10
x
−
3
2
3


Kết hợp với TXĐ ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S =(

3
7
;1) ∪ ( ; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
10
3

Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình: 2 log3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ 2 là:
3 3
2 8

A. S=(- ;- ] ∪ [3; +∞)

3
8

B. S = (− ;3]

C. S = [3; +∞)

3
4

D. S = ( ;3] [7].

Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
4 x − 3 > 0
3
⇔x>− .
2

2 x + 3 > 0

Lời giải của học sinh 1: Điều kiện: 

(4 x − 3) 2
≤ 2 ⇔ (4 x − 3) 2 ≤ 9(2 x + 3)
Ta có: 2 log 3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ 2 ⇔ log3
2x + 3

3
⇔ 16 x 2 − 42 x − 18 ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 3 . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất
8
3
3
phương trình là: − < x ≤ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là: S = (− ;3] .
8
8

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
4 x − 3 > 0
3
⇔x>− .
2
2 x + 3 > 0

Lời giải của học sinh 2: Điều kiện: 
Ta có: 2 log 3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ 2

3


x
≤
−
(4 x − 3) 2
2
2
8 .
⇔ log 3
≤ 2 ⇔ (4 x − 3) ≤ 9(2 x + 3) ⇔ 16 x − 42 x − 18 ≤ 0 ⇔ 

2x + 3
x ≥ 3

9


3
 3
− 
8.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:  2
x ≥ 3
3 3
Tập nghiệm của bất phương trình là: S=(- ;- ] ∪ [3; +∞) .
2 8

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
3
. Ta có: 2 log 3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ 2

4
3

x
≤
−
(4 x − 3) 2
2
2
8 .
⇔ log 3
≤ 2 ⇔ (4 x − 3) ≤ 9(2 x + 3) ⇔ 16 x − 42 x − 18 ≤ 0 ⇔ 

2x + 3
x ≥ 3

Lời giải của học sinh 3: Điều kiện: x >

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 3 .
Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [3; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Tại sao ba học sinh giải bài toán này lại chọn ba đáp án khác nhau?
Nguyên nhân sai từ đâu? Ta hãy xem nhận xét sau:
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng nhưng giải điều kiện đó
thì lại sai, cách giải bất phương trình đúng. Vì phải kết hợp với điều kiện nên sai
. Dẫn đến đã chọn sai đáp án (B).
Học sinh 2 sai ngay điều kiện xác định, giải đến bất phương trình
2
16 x − 42 x − 18 ≤ 0 sai (vì hệ số a = 16 )nên dẫn đến chọn đáp án sai (A).
Học sinh 3 đưa ra điều kiện xác định đúng nhưng giải đến bất phương
2

trình 16 x − 42 x − 18 ≤ 0 sai nên chọn đáp án sai (C).
Lời giải đúng: Điều kiện: x >

3
. Ta có: 2 log 3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ 2
4

(4 x − 3) 2
≤ 2 ⇔ (4 x − 3) 2 ≤ 9(2 x + 3)
2x + 3
3
⇔ 16 x 2 − 42 x − 18 ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 3 . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất
8
3
3
phương trình là: < x ≤ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là: S = ( ;3] .
4
4
⇔ log 3

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
2
1 [log 2 (2-x )]>0 là:
Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình: log 2017

A. S=(-∞;0) ∪ (0; +∞)
B. S = (−1;1)
C. S = (− 2; 2)
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1:

D. S = (−1;0) ∪ (0;1)

2
1 [log 2 (2-x )]>0 ⇔ 2 − x 2 > 0 ⇔ x 2 < 2 ⇔ − 2 < x <
Ta có: log 2017
2.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2:
Ta có:

log

[log 2 (2-x 2 )]>0 ⇔ 2 − x > 0
⇔ 2 − x 2 > 1 ⇔ −1 < x < 1 .

2
log 2 (2 − x ) > 0
2

1
2017

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 3:
10


2

2
2
2
1 [log 2 (2-x )]>0 ⇔ log (2 − x ) < 1 ⇔ 2 − x < 2 ⇔ x > 0 ⇔ x ≠ 0 .
Ta có: log 2017
2

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Các em hãy nhận xét về bài làm của ba học sinh trên ?
Nhận xét: Học sinh 1 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra điều kiện xác định 2 − x 2 > 0
của log 2 (2 − x 2 ) mà vội vàng đưa ra đáp án C nên chọn sai.
Học sinh 2 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng chưa giải bất
phương trình mà đã chọn đáp án B nên sai.
Học sinh 3 đưa ra cách giải bất phương trình đúng log 2 (2 − x 2 ) < 1 ,
nhưng khơng tìm điều kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (A).
2
 2 − x > 0
⇔ 2 − x 2 > 1 ⇔ −1 < x < 1 .
Lời giải đúng: Điều kiện: . 
2
log 2 (2 − x ) > 0

Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với:
 −1 < x < 1
log 2 (2 − x 2 ) < 1 ⇔ 2 − x 2 < 2 ⇔ x 2 > 0 ⇔ x ≠ 0 Kết hợp với điều kiện được: 
x ≠ 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−1;0) ∪ (0;1) .

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
x2 + x

) < 0 là:
Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình: log 2016 (log 6
x+4
2017
A. S = (−∞; −4) ∪ (−3;8)
B. S = (−4; −3) ∪ (8; +∞)
C. S = (−4; 2) ∪ (2; +∞)
D. S = (−4; −1) ∪ (0; +∞)

Có 3 học sinh giải bài tốn này như sau:
Lời giải của học sinh 1:
 x2 + x
 x2 + x
>
0
>0


x2 + x
x+4
x+4
)<0 ⇔ 
⇔ 2
Ta có: log 2016 (log 6
2
x+4
2017
log x + x > 0
 x + x >1
6


 x + 4
x+4
 −4 < x < 2
x2 + x
x2 − 4
⇔
>1⇔
>0⇔
. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
x+4
x+4
x > 2

Lời giải của học sinh 2:
Ta có: log 2016 (log 6
2017

 −4 < x < − 1
x2 + x
x2 + x
)<0 ⇔
>0⇔
x+4
x+4
x > 0

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Lời giải của học sinh 3: Ta có:
log 2016 (log 6

2017

⇔ log 6

x2 + x
x2 + x
) < 0 ⇔ log 2016 (log 6
) < log 2016 1
x+4
x
+
4
2017
2017

 −3 < x < 8
x2 + x
x2 + x
x2 + x
x 2 − 5 x − 24
> 1 ⇔ log 6
> log 6 6 ⇔
<6⇔
<0 ⇔
x+4
x+4
x+4
x+4
 x < −4

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Đây là bài toán mà học sinh rất dễ mắc sai lầm. Vậy ba học sinh trên,
bạn nào mắc sai lầm, bạn nào đúng. Ta hãy xem nhận xét sau:
11


Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, nhưng chưa giải bất
phương trình mà đã chọn đáp án C nên sai.
Học sinh 2 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra điều kiện xác định
của log 6

x2 + x
>0
x+4

x2 + x
mà vội vàng đưa ra đáp án D nên sai.
x+4

Học sinh 3 đưa ra cách giải bất phương trình sai và khơng tìm điều
kiện xác định nên đã chọn sai đáp án (A)
Lời giải đúng: Điều kiện:
 x2 + x
 x2 + x
>0
>0


 −4 < x < 2
x2 + x

x2 − 4
x+4
x+4
⇔
⇔
>
1
⇔
>
0
⇔


x > 2
2
2
x+4
x+4

log x + x > 0
x + x >1
 6 x + 4
 x + 4

Bất phương trình đã cho tương đương với:
log 2016 (log 6
2017

x2 + x
x2 + x

x2 + x
) < log 2016 1 ⇔ log 6
> 1 ⇔ log 6
> log 6 6
x+4
x+4
x+4
2017

 −4 < x < −3
x2 + x
x 2 − 5 x − 24
x2 + x
x 2 − 5 x − 24
>6⇔
>0⇔
>6⇔
>0 ⇔
x+4
x+4
x+4
x+4
x > 8
 −4 < x < − 3
So với điều kiện ta suy ra: 
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho
x > 8
là: S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
⇔

2

Ví dụ 10. Giải bất phương trình: ( 5 + 2) x −1 ≥ ( 5 − 2) − x +3
A. S = [-1; 2]
C. S = (−∞; −1] ∪ [2; +∞)

−1 − 17
−1 + 17
] ∪[
; +∞)
2
2
−1 − 17 −1 + 17
D. S = [
;
] [3].
2
2

B. S = (−∞;

Có 3 học sinh giải bài tốn này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Ta có: ( 5 + 2)( 5 − 2) = 1 ⇒ 5 − 2 =

1
= ( 5 + 2) −1 .
5+2

2

Bất phương trình tương đương với: ( 5 + 2) x −1 ≥ ( 5 + 2) x −3
 x ≤ −1
⇔ x −1 ≥ x2 − 3 ⇔ x2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ 
.
x ≥ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; −1] ∪ [2; +∞) .
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải của học sinh 2: Ta có: ( 5 + 2)( 5 − 2) = 1 ⇒ 5 − 2 =

1
= ( 5 + 2) −1 .
5+2

2

Bất phương trình tương đương với: ( 5 + 2) x −1 ≥ ( 5 + 2) − x +3

−1 − 17
x ≤
2
⇔ x −1 ≥ − x2 + 3 ⇔ x2 + x − 4 ≥ 0 ⇔ 

−1 + 17
x ≥
2


12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞;

−1 − 17
−1 + 17
] ∪[
; +∞) .
2
2

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
1
= ( 5 + 2) −1 .
5+2

Lời giải của học sinh 3: Ta có: ( 5 + 2)( 5 − 2) = 1 ⇒ 5 − 2 =
2

Bất phương trình tương đương với: ( 5 + 2) x −1 ≥ ( 5 + 2) − x +3
−1 − 17
−1 + 17
≤x≤
.
2
2
−1 − 17 −1 + 17
;
].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [
2

2
⇔ x −1 ≥ − x2 + 3 ⇔ x2 + x − 4 ≥ 0 ⇔

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Các bạn có nhận xét gì về cách giải của ba học sinh trên?
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra cách giải bất phương trình đúng nhưng khi giải
đến x 2 − x − 2 ≤ 0 sai nên đã chọn sai đáp án (C).
Học sinh 2 sai ngay từ đầu ( 5 − 2) − x +3 = ( 5 + 2) − x +3 nên dẫn đến chọn
đáp án sai (B).
Học sinh 3 sai ngay từ đầu ( 5 − 2) − x +3 = ( 5 + 2) − x +3 , giải bất phương
trình x 2 + x − 4 ≥ 0 sai nên dẫn đến chọn đáp án sai (D).
2

2

2

Lời giải đúng: Ta có: ( 5 + 2)( 5 − 2) = 1 ⇒ 5 − 2 =

2

1
= ( 5 + 2) −1
5+2
2

Bất phương trình tương đương với: ( 5 + 2) x −1 ≥ ( 5 + 2) x −3
⇔ x − 1 ≥ x 2 − 3 ⇔ x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình
là: S = [-1; 2] . Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình:

5 2
5
(t 2 + 2t + )t −t −1 ≥ (t 2 + 2t + )3t − 4 là:
4
4
−2 − 3
−2 + 3
)∪(
;1] ∪ [3; +∞)
A. S = (−∞;1] ∪ (3; +∞)
B. S = (−∞;
2
2
−2 − 3
−2 + 3
−2 − 3
−2 + 3
] ∪[
;1] ∪ [3; +∞) D. S = ( −∞;
)∪(
;1) ∪ (3; +∞)
C. S = (−∞;
2
2
2
2

[4].
Có 3 học sinh giải bài toán này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Ta có:

5 2
5
(t 2 + 2t + )t −t −1 ≥ (t 2 + 2t + )3t − 4 ⇔ t 2 − t − 1 ≥ 3t − 4 ⇔ t 2 − 4t + 3 ≥ 0 ⇔ t ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞ )
4
4
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−∞;1] ∪ (3; +∞) .

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Lời giải của học sinh 2:
5
4

Ta có: (t 2 + 2t + )t

2

−t −1

5
≥ (t 2 + 2t + )3t − 4
4

13


  −2 − 3
 −2 − 3
 t <
t <
2

2



5
2
 −2 + 3
t + 2t + > 1
  −2 + 3
⇔
⇔ t >
⇔
< t ≤1
4
2
2

2

t − t − 1 ≥ 3t − 4


t ≥ 3
 t ≤ 1



 t ≥ 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

S = (−∞;

−2 − 3
−2 + 3
)∪(
;1] ∪ [3; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án B.
2
2

Lời giải của học sinh 3:
5
4

5
≥ (t 2 + 2t + )3t − 4
4
  −2 − 3
 −2 − 3
 t <
t <
2
2


5
2

 −2 + 3
t + 2t + > 1
  −2 + 3

⇔
⇔ t >
⇔
< t <1
4
2
 2
t 2 − t − 1 > 3t − 4


t > 3
 t < 1



 t > 3

Ta có: (t 2 + 2t + )t

2

−t −1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S = ( −∞;

−2 − 3
−2 + 3
)∪(
;1) ∪ (3; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án D.

2
2

Đây là bài toán học sinh rất dễ mắc sai lầm vì cơ số chứa ẩn t , học sinh
thường quên xét điều kiện của cơ số. Vậy ba học sinh trên bạn nào mắc sai lầm ?
Nhận xét: Học sinh 1 nhầm lẫn về kiến thức nên chưa xét điều kiện của cơ số
t 2 + 2t +

5
mà vội vàng kết luận nên khoanh đáp án sai (A).
4

Học sinh 2 đọc chưa kĩ đề, mới đưa ra 1 trường hợp của cơ số là
5
t 2 + 2t + > 1 mà vội vàng chọn đáp án B nên sai.
4
5
4

Học sinh 3 mới đưa ra 1 trường hợp của cơ số là t 2 + 2t + > 1 và khơng
để ý đến dấu của bất phương trình nên khoanh đáp án sai (D).
5
4

1
4

1
4

1
4

Lời giải đúng: Ta có: t 2 + 2t + = t 2 + 2t + 1 + = (t + 1) 2 + ≥ , ∀t ∈ R .
Xảy ra các trường hợp sau:
 −2 + 3
t =
5
1
2
2
2
TH1: t + 2t + = 1 ⇔ t + 2t + = 0 ⇔ 
4
4
 −2 − 3
t =
2

 −2 − 3 −2 + 3 
;

2 
 2


Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH1 là: T1 = 

14

t 2 + 2t + 1 ≥ 0
1 2
5

TH2: ≤ t + 2t + < 1 ⇔  2
1
4
4
t + 2t + < 0
4

t ∈ R
−2 − 3 − 2 + 3

⇔
)
−2 − 3 −2 + 3 ⇔ t ∈ ( 2 ;
2
t
∈
(
;
)


2
2

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

t 2 − t − 1 ≤ 3t − 1 ⇔ t 2 − 4t + 3 ≤ 0 ⇔ t ∈ [1;3]

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH2 là: T2 = ∅
 −2 + 3
t <
5
1
2
−2 − 3
−2 + 3
2
2
⇔ t ∈ (−∞;
)∪(
; +∞)
TH3: t + 2t + > 1 ⇔ t + 2t + > 0 ⇔ 
4
4
 −2 − 3
2
2
t >

2

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
t 2 − t − 1 ≥ 3t − 4 ⇔ t 2 − 4t + 3 ≥ 0 ⇔ t ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞ )

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho ở TH3 là: T3 =
(−∞;

−2 − 3
−2 + 3
)∪(
;1] ∪ [3; +∞)
2
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
 −2 − 3 −2 + 3 
−2 − 3
−2 + 3
S = T1 ∪ T2 ∪ T3 = 
;
)∪(
;1] ∪ [3; +∞)
 ∪ ∅ ∪(−∞;
2
2
2
2


= (−∞; −2 − 3 ] ∪ [ −2 + 3 ;1] ∪ [3; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án C.
2
2

Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình:
( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥

A. S = (0;1]

1
3

B. S = (−∞; − ] ∪ [1; +∞)

2
x là
3

C. S = [1; +∞)

D. S = (−∞;1] [3].

Có 3 học sinh giải bài tốn này như sau:
Lời giải của học sinh 1: Điều kiện: x > 0 .
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với:
2015 + 2006 log3 x
2015 − 2006 log3 x 2
2015 + 2006 log3 x
)
−(
)
≥ . Đặt t = (
)
, t >0
3
3
3

3
1

t≤−
1 2
2

3
Bất phương trình trên trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − 1 ≥ 0 ⇔ 
t 3
t ≥ 1
(

1
3

Nên tập nghiệm của bất phương trình là: S = (−∞; − ] ∪ [1; +∞) .
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Lời giải của học sinh 2:
Điều kiện: x > 0 . Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với:
2
( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ .3log3 x
3

15


2015 + 2006 log3 x
2015 − 2006 log3 x 2
2015 + 2006 log3 x

)
−(
)
≥ . Đặt t = (
)
, t >0
3
3
3
3
1

t
≤
−
1 2
2
3
Bất phương trình trên trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − 1 ≥ 0 ⇔ 
t 3
t ≥ 1
⇔(

2015 + 2006 log x
)
≥ 1 ⇔ log 3 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1.
Kết hợp với ta thu được t ≥ 1 . Khi đó: (
3

3

S
=
(
−∞
;1] . Vậy đáp án đúng là đáp án D
Nên tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải của học sinh 3:
Điều kiện: x > 0 . Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với:
2
( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ .3log3 x
3
2015 + 2006 log3 x
2015 − 2006 log3 x 2
2015 + 2006 log3 x
⇔(
)
−(
)
≥ . Đặt t = (
)
, t >0
3
3
3
3
1

t≤−
1 2

2

3
Bất phương trình trên trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − 1 ≥ 0 ⇔ 
t 3
t
≥
1


Kết hợp với t > 0 ta thu được t ≥ 1 .
2015 + 2006 log3 x
)
≥ 1 ⇔ log 3 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1. .
3
Đối chiếu với điều kiện ta được: 0 < x ≤ 1 . Nên tập nghiệm của bất phương trình
là: S = (0;1] . Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Khi đó: (

Các em có nhận xét gì về bài làm của ba học sinh trên ?
1

t≤−

3 mà
Nhận xét: Học sinh 1 đưa ra điều kiện xác định đúng, mới giải đến 
t ≥ 1

vội vàng đưa ra đáp án B nên sai.

Học sinh 2 đưa ra điều kiện xác định đúng, đã giải đúng đến log 3 x ≥ 0
mà vội vàng đưa ra x ≤ 1 (Do cơ số bằng 3), không đối chiếu với điều kiện nên
chọn sai đáp án (đáp án D).
Học sinh 3 đưa ra điều kiện xác định đúng, đã giải đúng đến log 3 x ≥ 0 mà
vội vàng đưa ra x ≤ 1 (Do cơ số bằng 3) nên chọn sai đáp án (đáp án A).
Lời giải đúng: Điều kiện: x > 0 .
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với:
2
( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ .3log3 x
3
2015 + 2006 log3 x
2015 − 2006 log3 x 2
2015 + 2006 log3 x
⇔(
)
−(
)
≥ . Đặt t = (
)
, t >0
3
3
3
3
1

t≤−
1 2
2


3
Bất phương trình trên trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − 1 ≥ 0 ⇔ 
t 3
t
≥
1

2015 + 2006 log x
)
≥ 1 ⇔ log 3 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Kết hợp với t > 0 ta thu được t ≥ 1 ⇔ (
3

3

16


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1; +∞) . Vậy đáp án đúng là đáp án
C.
Vậy khi giải bất phương trình mũ và lơgarit học sinh thường mắc các sai
lầm sau: Quên tìm điều kiện xác định của bất phương trình, khơng để ý đến cơ
số nên đưa ra chiều bất phương trình mới sai, khơng đọc kỹ đề, tính tốn sai,
giải các bất phương trình cơ bản sai, vận dụng công thức sai ...
Cách khắc phục: Học sinh phải đọc kỹ đề, tìm tập xác định của bất
phương trình chính xác, biết xác định chiều bất phương trình khi cơ số a > 1 (Bất
phương trình mới cùng chiều với bất phương trình ban đầu) hoặc khi cơ số
0 < a < 1 (Bất phương trình mới ngược chiều với bất phương trình ban đầu), khi
cơ số a chứa tham số thì phải xét thêm trường hợp a = 1 , nắm vững phương
pháp giải các bất phương trình cơ bản, ...

BÀI TẬP VẬN DỤNG
x
4

Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình: log 22 x ≥ log 2 + 4 là:
1
2

1
2

1
1
2
2
2 x +1
x
Bài 2. Tập nghiệm của bất phương trình: 3 − 2.3 − 1 ≥ 0 trên tập số thực là:
A. S = (−∞;0]
B. S = [0; +∞)
C. S = [1; +∞)
D. S = (−∞;1] [9].
Bài 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình sau:

A. S = (−∞; ] ∪ [2; +∞) B. S = [ ;4] C. S = (0; ] ∪ [3; +∞) D. S = (0; ] ∪ [4; +∞) [9].

log 4 x 2 + log 2 (2 x − 1) + log 1 (4 x + 3) < 0
2

A. 2

B. 3
C. 4
D. 1 [10].
x 1− x
2x
Bài 4. Tập nghiệm của bất phương trình: 8 .2 > ( 2) là:
A. x > 1 + 2 B. x < 1 − 2 C. 1 − 2 < x < 1 + 2 D. x > 1 + 2 hoặc x < 1 − 2 [9].
Bài 5. Tập nghiệm của bất phương trình: log 4 x + log 4 (10 − x) > 2 là:
A. S = (0;10)
B. S = (2;10)
C. S = (8;10)
D. S = (2;8) [9].
x
Bài 6. Các giá trị thực của x thỏa mãn điều kiện 3 < 27 là:
A. −2 < x < 3
B. −2 ≤ x ≤ 3
C. −3 < x < 3
D. −3 ≤ x ≤ 3
2

1
3

2

1
3

1

+1

Bài 7. Nghiệm của bất phương trình ( ) x + 3( ) x > 12 là:
A. 0 < x < 1

B. −1 < x ≠ 0

C. −1 < x < 0

D. x > 5 [1].

2

Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình

[log 2 (x-3)]

≤ 0 là:
x2 − 4x − 5
A. 1 < x < 5
B. 3 < x < 5
C. x = 3
D. x ∈ (−∞;1) ∪ (5; +∞)
Bài 9. Tập nghiệm của bất phương trình: log 2 ( x + 1) − 2 log 4 (5 − x) < 1 − log 2 ( x − 2) là:
A. S = (3;5)
B. S = (2;3)
C. S = (2;5)
D. S = (−4;3)
1 2
1

Bài 10. Nghiệm của bất phương trình ( ) x −3 x + 2 ≥ là [a; b] . Khi đó giá trị lớn
2
4
nhất của b − a bằng:

A. 4

B. 1
C. 3
D. 2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Thực nghiệm sư phạm.
17


Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính
đúng đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc khắc phục sai lầm của
học sinh khối 12 THPT khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và
lơgarit.
2.4.2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm.
Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến
hành dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A 4 với nội dung: Khắc phục sai lầm của học
sinh khối 12 THPT khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và
lơgarit.
Sau q trình dạy học, tơi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A4.
Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A3 trường THPT Vĩnh Lộc.
Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 15 phút)
1 2
1

3
9
A. (−∞; −4) ∪ (8; +∞) B. (−∞; 4) ∪ (8; +∞) C. (−∞; −8) ∪ (8; +∞) D. (−∞; −4) ∪ (4; +∞) [8].
x2 + 6x + 9
log
< − log 2 ( x + 1)
Bài 2. Giải bất phương trình :
1
2( x + 1)
2

Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình : ( ) x −2 x < ( )16+ x là:

A. 1 − 2 2 < x < 1 + 2 2
C. 1 − 2 3 < x < 1 + 2 3

B. 2 − 2 2 < x < 2 + 2 2
D. 1 − 3 2 < x < 1 + 3 2 [8].

3
− 4 < 0 là:
7x
A. (−∞; +∞)
B. (1;3)
C. (−∞;0) ∪ (0; +∞)
3x 2 + 1
log
< 0 là:
Bài 4. Tập nghiệm của bất phương trình :
1

3 8x − 4
5
1
5
5
A. (−∞;1) ∪ ( ; +∞)
B. ( ;1) ∪ ( ; +∞)
C. ( ; +∞)
3
2
3
3
2
Bài 5. Giải bất phương trình : log 3 x − 5log 3 x + 6 ≤ 0

Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trình: 7 x +

A. 9 ≤ x ≤ 27

B. 9 ≤ x < 36

C. 3 ≤ x ≤ 27
1
8

Bài 6. Nghiệm của bất phương trình 22 x +1 < ( )

15
< x<5
2

Bài 8. Bất phương trình
A. [0; 2)

15
C.
2
log 1 ( x 2 − 3 x + 2) ≥ −1

B. x > −
2

B. [0; 2) ∪ (3;7]

5
3

D. (1; ) [4].
D. 3 ≤ x < 36 [8].

2

x −1
3

là (a; b) . Khi đó a.b bằng:

A. 4
B. 1
C. 0

Bài 7. Giải bất phương trình log5 (2 x + 15) ≤ 2
A. −

D. (0;log 7 3) [4].

D. 2 [10].
x≤5

D. −

15
< x≤5
2

có tập nghiệm là:
C. (−∞;1)

D. [0;1) ∪ (2;3]

−2 + 11 x
2 + 11 x
) − 2(
) − 1 > 0 là:
7
7
1
A. T = (−∞;0)
B. T = (1; +∞)
C. T = (−∞; − ) ∪ (1; +∞)
D. T = (0; +∞) [4].

2
Bài 10. Giải bất phương trình : log x [log3 (9 x -72)] ≤ 1
A. log9 73 < x ≤ 2
B. log 9 73 ≤ x ≤ 2
C. log9 73 < x < 2 D. log3 73 < x ≤ 2 [12].

Bài 9. Tập nghiệm của bất phương trình 3(

18


Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng giải các bất phương
trình mũ và lơgarit của các em học sinh.
2.4.3. Kết quả thực nghiệm.
Trong lớp 12A4 mà tơi tiến hành dạy thực nghiệm khơng có học sinh giỏi,
có khoảng 11 đến 15 em học tương đối khá, cịn lại là mức trung bình. Bởi vậy,
phần lớn các em cho rằng giải bất phương trình mũ và lơgarit là tương đối khó.
Về bài kiểm tra, tơi chấm kĩ và thu được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
số
SL
%
SL
%

SL
%
SL
% SL %
12 A4 45
9
20
21
46,
10
22,2
5
11,1 0
0
7
12 A3 45
2
4,4
12
26,
15
33,4
14
31, 2 4,4
7
1
Kết quả sơ bộ:
+ Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 88,9%,
trong đó có 66,7% loại khá, giỏi.
+ Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 64,5%,

trong đó có 31,1% loại khá, giỏi.
2.4.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua giảng dạy và kiểm tra thực nghiệm với các đối tượng học sinh khác
nhau tôi nhận thấy rằng:
- Đối với các đối tượng học sinh chưa được tìm hiểu chuyên đề dù là ở
nhóm học sinh đuợc đánh giá là học lực khá như lớp 12A3 nhưng các em có kết
quả chưa cao. Lý do là các em chưa nắm vững kiến thức, chưa có kỹ năng cần
thiết về giải bất phương trình mũ và lơgarit. Tuy nhiên vẫn có một số em thực
hiện khá tốt bài đánh giá bởi các em này đa phần là các học sinh có kiến thức
tốt, có khả năng tư duy cao và rất ham học hỏi.
- Với các đối tượng đã được tơi giới thiệu và cùng các em tìm hiểu chuyên
đề này thì phần lớn các em làm được bài, biết cách phân tích để tránh được các
sai lầm thường gặp. Số em được điểm cao nâng lên rõ rệt, số em ở trình độ trung
bình sau khi được tiếp xúc và tìm hiểu chuyên đề cũng làm được bài cao hơn.
Như vậy qua đây bản thân Tôi nhận thấy rằng: Chất lượng học sinh ở các
nhóm lấy làm đối chứng có trình độ và khả năng tiếp thu khác nhau, nhưng nếu
được giáo viên tạo điều kiện tiếp xúc và giới thiệu cho các em các sai lầm
thường gặp thì các em khơng những nắm vững kiến thức mà các em còn vận
dụng linh hoạt kiến thức vào các bài tốn, chất lượng mơn học cũng thay đổi rõ
rệt, nhiều em say mê và tích cực học tập bộ mơn Tốn hơn. Qua đó bản thân tơi
cũng rút ra một số bài học kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Khắc phục sai lầm của học sinh khi
giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lơgarit (Giải tích 12)”, tơi
đã thu được một số kết quả sau

19

- Dạy học là một nghệ thuật và là một q trình tích lũy kinh nghiệm lâu
dài. Vì vậy để nâng cao trình độ chun mơn thì việc đưa ra các sáng kiến kinh
nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình là việc làm rất cần thiết.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ thống các bài toán minh
hoạ cho việc phát hiện và khắc phục các sai lầm của học sinh. Giúp các em học
sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo, nhạy bén trong giải quyết các
vấn đề mới.
- Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới
phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo
linh hoạt của người học. Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý
chí vươn lên của học sinh.
- Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ chỉ ra sai lầm và cách khắc phục các sai
lầm đó giúp học sinh tăng hứng thú học tập bộ môn, chất lượng môn học cũng
thay đổi rõ rệt. Các em hiểu rằng việc tổng ôn kiến thức nói chung hay rèn luyện
kỹ năng làm bài tập chính xác ln đóng một vai trị quan trọng. Nhiều em say
mê và tích cực học tập bộ mơn Tốn hơn.
- Qua cách trình bày các em tự hệ thống hoá được các sai lầm thường gặp
khi giải dạng bài tập này, giúp các em nâng cao điểm số trong kỳ thi THPT
Quốc Gia sắp tới.
- Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài
là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hồn thành.
3.2. Kiến nghị.
* Đối với Sở Giáo dục và đào tạo: Cần tiếp tục tổ chức giao lưu học hỏi
chuyên môn giữa các trường trung học phổ thơng trên tồn tỉnh đặc biệt dạy học
theo phương pháp mới.
* Đối với nhà trường: Cần tổ chức thêm một số buổi hoạt động ngoại
khoá với nội dung khắc phục sai lầm của học sinh khi giải tốn nói chung và giải
bất phương trình mũ và lơgarit nói riêng để học sinh được trang bị đầy đủ về loại
bài tốn này, từ đó các em có sự nhạy bén khi làm bài trong các kỳ thi tiếp theo.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi trong việc “Khắc phục sai lầm

của học sinh khi giải bài tập trắc nghiệm về bất phương trình mũ và lơgarit
(Giải tích 12)”. Trong q trình thực hiện chắc chắn cịn nhiều thiếu sót, mong
được sự góp ý của các chuyên viên, thầy cô giàu kinh nghiệm và các đồng
nghiệp.
Cuối cùng tôi xin gửi lời chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ
Toán trường THPT Vĩnh Lộc, Hội đồng khoa học Trường THPT Vĩnh Lộc Thanh Hóa đã giúp đỡ tơi trong q trình tiến hành kiểm nghiệm và hồn thành
sáng kiến kinh nghiệm.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017.
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết:
20


Vũ Thị Nhì

21